2019-2020年高中数学必修三 3-1-2 概率的意义能力强化提升
2020-2021学年人教版数学必修3配套课件：3.1.2 概率的意义
探究二 游戏的公平性 [例 2] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会，组织者欲使晚会气氛热烈、有趣， 策划整场晚会以转盘游戏的方式进行，每个节目开始时，两班各派一人先进行转盘 游戏，胜者获得一件奖品，负者表演一个节目．(1)班的文娱委员利用分别标有数字 1， 2，3，4，5，6，7 的两个转盘(如图所示)，设计了一种游戏方案：两人同时各转动一 个转盘一次，将转到的数字相加，和为偶数时(1)班代表获胜，否则(2)班代表获胜．该 方案对双方是否公平？为什么？
[自我检测] 1．已知某人在投篮时投中的概率为 50%，则下列说法正确的是( ) A．若他投 100 次，一定有 50 次投中 B．若他投一次，一定投中 C．他投一次投中的可能性大小为 50% D．以上说法均错 解析：概率是指一件事情发生的可能性大小． 答案：C
2．若在同等条件下进行 n 次重复试验得到某个事件 A 发生的频率 f(n)，则随着 n 的 逐渐增加，有( ) A．f(n)与某个常数相等 B．f(n)与某个常数的差逐渐减小 C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小 D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定 解析：随着 n 的增大，频率 f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频率与概率的 关系． 答案：D
(4)试验与发现 概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔利 用豌豆所做的试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近____3_∶__1____，而对 这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律． (5)遗传机理中的统计规律 孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种 统计规律．利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与___规__律__性____的关系，以 及频率与____概__率_____的关系．
高中数学必修三3.1.2概率的意义公开课同课异构课件
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课堂互动
题型一 概率的正确理解
【变式1】 下列说法正确的是
( )．
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课堂互动
解析
题型一 概率的正确理解
答案 D
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课堂互动
题型二 概率的应用
【例2】设有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球和1个黑 球，乙箱有1个白球和99个黑球，今随机地抽取一箱，再从取出的 一箱中抽取一球，结果取得白球．问这球是从哪一个箱子中取出 的． [思路探索] 理解概率的实际生活意义，作出判断的依据是“样本发 生的可能性最大”．
规律方法 本题中事件“击中靶心”的概率为0.9，这个值是经过大量的
重复试验得出的一个统计值，但作为单独的一次或多次试验而言，很
有可能该事件不发生或发生的可能性与大量试验的值相差很大，因而
随机事件的发生与否需要看试验的次数，不能将概率值当作是必然发
生的值来理解．
高中数学必修三3.1.2概率的意义公开课同课异构
高中数学必修三3.1.2概率的意义公开课同课异构
，全部正面向上．试就这一现象分 析，这些硬币的质地是否均匀．
可见，对均匀硬币而言，10枚全部正面向上的概率很小，几 乎是不可能发生的，但它又确实发生了．根据极大似然思想， 如果就这些硬币是否均匀作出判断，我们更倾向于认为，质 地是不均匀的，即硬币的反面可能更重一些．
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课堂互动
题型一 概率的正确理解
解 从概率的统计定义出发，击中靶心的概率是 0.9 并不意 味着射击 10 次就一定能击中 9 次，只有进行大量射击试验 时，击中靶心的次数约为190n，其中 n 为射击次数，而且当
人教A版高中数学必修3《第三章 概率 3.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义》_1
概率的意义一、教材内容分析本节为人教版必修3第三章3.1随机事件的概率中的第二小节3.1.2概率的意义，通过本节的学习，学生能正确理解概率。
本节在内容和结构上起着承上启下的作用，乘上：通过了解概率的意义，明白概率与第二章统计的联系；启下：通过了解概率的重要性，引出后两节概率的计算。
二、教学目标1.知概念识与技能：正确理解概率的意义；了解概率在实际问题中的应用，增强学习兴趣；进一步理解概率统计中随机性与规律性的关系。
2.过程与方法：通过对生活中实际问题的提出，学生掌握用概率的知识解释分析问题，着重培养学生观察、比较、概括、归纳等思维能力，并进一步培养将实际问题转化为数学问题的数学建模思想。
3.情感态度与价值观：鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，激发学生的学习兴趣。
三、学情分析学生已经学习了3.1随机事件的概率再加上初中对概率的了解，所以学生的认知起点较高，理解本节内容不难。
作为新授课，学生对于概率在实际问题中的应用具有较高的学习兴趣，但是用概率的知识解释问题的能力仍需进一步提高。
教师在本节讲授需要注意理论联系实际，同时注意培养学生的科学素养。
四、教学重难点重点：概率的正确理解及在实际中的应用难点：实际问题中体现随机性与规律性之间的联系，如何用概率解释这些具体问题。
五、教学策略1.教学方法：讲授法，讨论法，引导探究法2.教学手段：多媒体教学工具六、教学过程学生——完成探究并且回答原因不公平，各班被选到概率不相等，其中7班被选中概率最大..2决策中的概率思想问题：如果连续10次掷一枚骰子，结果都是出现1点，你认为这枚骰子的质地均匀吗？为生产过程中发生小概率事件，我们有理由认为生产过程中出现了问题，应该立即停下生产进行检查。
3.天气预报的概率解释思考：某地气象局预报说，明天本地降水概率为70%。
你认为下面两个解释中哪一个能代表气象局的观点？教师、学生——归纳总结. 归纳提升：七、板书设计八、教学反思本节是培养学生对数学产生兴趣的关键一节，教师要紧抓理解概率的意义和培养学生的学习兴趣这两个任务进行教学，通过生日在同一天的探讨，“生日悖论”的提出和在实际问题中的应用，提高学生学习数学的兴趣，通过孟德尔的豌豆试验培养学生科学探究的意识，树立学生严谨的科学观. 该节课十分有创意，在教材内容的基础上作了适当的必要的扩展，激发学生兴趣，教学目的明确，方法得当,引导自主探究、合作交流完成任务，整个课堂效率非常高。
2019-2020年高中数学必修三：3-2-1 —3-2-2古典概型及随机数的产生 教案
2019-2020年高中数学必修三：3-2-1 —3-2-2古典概型及随机数的产生 教案一、教学目标：1、知识与技能：（1）正确理解古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等；（2）掌握古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A （3）了解随机数的概念；（4）利用计算机产生随机数，并能直接统计出频数与频率。
2、过程与方法：（1）通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知识与现实世界的联系，培养逻辑推理能力；（2）通过模拟试验，感知应用数字解决问题的方法，自觉养成动手、动脑的良好习惯。
3、情感态度与价值观：通过数学与探究活动，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点：1、正确理解掌握古典概型及其概率公式；2、正确理解随机数的概念，并能应用计算机产生随机数．三、教学设想：1、创设情境：（1）掷一枚质地均匀的硬币，结果只有2个，即“正面朝上”或“反面朝上”，它们都是随机事件。
（2）一个盒子中有10个完全相同的球，分别标以号码1，2，3，...，10，从中任取一球，只有10种不同的结果，即标号为1，2，3 (10)师生共同探讨：根据上述情况，你能发现它们有什么共同特点？2、基本概念：（1）基本事件、古典概率模型、随机数、伪随机数的概念见课本P121~126；（2）古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ． 3、例题分析：课本例题略例1 掷一颗骰子，观察掷出的点数，求掷得奇数点的概率。
分析：掷骰子有6个基本事件，具有有限性和等可能性，因此是古典概型。
解：这个试验的基本事件共有6个，即（出现1点）、（出现2点）……、（出现6点） 所以基本事件数n=6，事件A=（掷得奇数点）=（出现1点，出现3点，出现5点），其包含的基本事件数m=3所以，P （A ）=n m =63=21=0.5 小结：利用古典概型的计算公式时应注意两点：（1）所有的基本事件必须是互斥的；（2）m 为事件A 所包含的基本事件数，求m 值时，要做到不重不漏。
人教A版高中数学必修三课件：3-1-2
每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试
1 共12道选择题，某同学说：“每个选项正确的概率是 4 ，若每题都选择第一个选 项，则一定有3道题的选择结果正确”．这句话 导学号 93750597 ( A．正确 C．有一定道理 B．错误 D．无法解释
B
)
• [分析] 根据概率的意义判断．
1 [解析] 从四个选项中正确选择选项是一个随机事件， 4 是指这个事件发生 的概率，实际上，做12道选择题相当于做12次试验，每次试验的结果是随机 的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3 个，…12个正确．因此该同学的说法是错误的．
1 000 件产品. 导学号 93750595 大约需抽查__________
[解析] 由表中数据知：抽查5次，产品合格的频率依次为0. 94,0. 92,0. 96,0. 95,0. 956，可见频率在0. 95附近摆动，故可估计该厂生产的此种产品合格的概率 950 约为0. 95. 设大约需抽查n件产品，则 n ≈0. 95，所以n≈1 000．
• 1．对概率的正确理解 • 随机事件在一次试验中发生与否是随机的 规律性 ，但随机性中含有 __________，认识了 可能性 这种随机性中的__________，就能比较 准确地预测随机事件发生的__________ ． 公平 0. 5 • 2．游戏的公平性 公平 • (1)裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪 一名运动员先猜，猜中并取得发球的概率 均为________，所以这个规则是
[解析] 由图知，若射中1,2,3,7,8这5个数字，展展可得到玩具，所以展展得 5 6 3 5 到玩具的概率是 8 ；同理宁宁得到玩具的概率是 8 ＝ 4 ；凯凯得到玩具的概率是 8 . 三个小朋友得到玩具的概率不相同，所以这个游戏规则不公平．
高中数学 312 概率的意义能力强化提升 新人教A版必修3
【成才之路】2014高中数学 3-1-2 概率的意义能力强化提升新人教A版必修3一、选择题1．事件A发生的概率接近于0，则( )A．事件A不可能发生B．事件A也可能发生C．事件A一定发生D．事件A发生的可能性很大[答案] B[解析]不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．2．某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选的概率是110，其中正确的是( ) A．10个教职工中，必有1人当选B．每位教职工当选的可能性是110C．数学教研组共有50人，该组当选教工代表的人数一定是5D．以上说法都不正确[答案] B3．下列说法正确的是( )A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的[答案] B4．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是( ) A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨C．北京和上海都可能没降雨D．北京降雨的可能性比上海大[答案] A[解析]北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，所以B，C，D正确．5．下列命题中的真命题有( )①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是59；②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性相同；④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个[答案] A[解析] 命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是12；命题②中摸到白球的概率要小于摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命题④中男生被抽到的概率为12，而每名女生被抽到的概率为13.6．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中正确的是( )A ．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品B ．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品C ．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品D ．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品 [答案] B[解析] 从12个产品中抽到正品的概率为1012＝56，抽到次品的概率为212＝16，所以抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品．7．根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O 型50%，A 型15%，AB 型5%，B 型30%.现有一血型为O 型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概率为( )A ．50%B ．15%C ．45%D ．65% [答案] A[解析] 仅有O 型血的人能为O 型血的人输血． 8．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是 ( )A ．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B ．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜C ．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲胜，是黑色的则乙胜D ．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 [答案] B[解析] A 项，P (点数为奇数)＝P (点数为偶数)＝12；B 项，P (一枚正面向上)＝12，P (两枚都正面向上)＝14；C 项，P (牌色为红)＝P (牌色为黑)＝12；D 项，P (同奇或同偶)＝P (不同奇偶)＝12.二、填空题9．在一次考试中，某班有80%的同学及格，80%是________．(选“概率”或“频率”填空)[答案] 频率10．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标 ②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90% [答案] ②[解析] 射中的概率是90%说明中靶的可能性大小，即中靶机会是90%，所以①不正确，②正确．11．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”．你认为这个游戏规则公平吗？答：________.[答案] 不公平[解析] 如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有3个，所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38.所以不公平．12．(2012～2013·昆明高一检测)为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水库的不同位置捕捞出n 条鱼，将这n 个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为30和0.25，则n ＝________.[答案] 120[解析] 根据某组的频率与频数计算总体n . 据题意知n ×0.25＝30，所以n ＝120. 三、解答题13．解释下列概率的含义：(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6； (3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是2245.[解析] (1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的．(2)购买10次商品，每次购买额都满200元，都参加抽奖，大约有6次中奖． (3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%. (4)一个婴儿将是女孩的可能性是2245.14．某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人都没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如何理解治愈的概率为0.3?[分析] 概率从数量上．反映了随机事件发生的可能性的大小，它是该事件的频率在变化过程中始终与之非常接近的一个常数，[解析] 如果把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，可能治愈，也可能没有治愈．治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的概率附近摆运这一前提，就可以认为1 000个人中大约有300人能治愈．[点评] 正确理解随机事件概率的意义，纠正日常生活中出现的一些错误认识是解决本题的关键．15．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定．机灵的小强给小华出主意，要小华先抽，说先抽的机会大．你是怎样认为的？说说看．[解析] 其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上面标上1,2,3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．16．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？[解析]体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．。
高中数学必修3第三章 3.1.1~3.1.2
§3.1 随机事件的概率 3.1.1 随机事件的概率 3.1.2 概率的意义学习目标 1.了解随机事件、必然事件、不可能事件的含义.2.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.3.了解概率的意义以及频率与概率的区别.知识点一 事件的有关概念 1.事件的分类及三种事件2.对事件分类的两个关键点(1)条件：在条件S 下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生. (2)结果发生与否：有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况. 知识点二 概率与频率思考 小明说：“做10次抛硬币试验，正面向上的次数一定是5次”对吗？ 答案 不一定正确.因为每次试验结果都是随机的，在试验前不能确定正面向上的次数. 梳理 (1)频数与频率在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n An 为事件A 出现的频率.(2)概率①含义：概率是度量随机事件发生的可能性大小的量.②与频率联系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A ). 知识点三 概率的意义 1.概率的正确理解随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性，认识了这种随机性中的规律性，就能比较准确地预测随机事件发生的可能性. 2.实际问题中的几个实例 (1)游戏的公平性①裁判员用抽签器决定谁先发球，不管哪一名运动员先猜，猜中并取得发球权的概率均为12，所以这个规则是公平的.②在设计某种游戏规则时，一定要考虑这种规则对每个人都是公平的这一重要原则. (2)决策中的概率思想如果面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则.这种判断问题的方法称为极大似然法，极大似然法是统计中重要的统计思想方法之一. (3)天气预报的概率解释天气预报的“降水概率”是随机事件的概率，是指明了“降水”这个随机事件发生的可能性的大小. (4)试验与发现概率学的知识在科学发展中起着非常重要的作用，例如，奥地利遗传学家孟德尔用豌豆作试验，经过长期观察得出了显性与隐性的比例接近3∶1，而对这一规律进行深入研究，得出了遗传学中一条重要的统计规律. (5)遗传机理中的统计规律孟德尔通过收集豌豆试验数据，寻找到了其中的统计规律，并用概率理论解释这种统计规律.利用遗传定律，帮助理解概率统计中的随机性与规律性的关系，以及频率与概率的关系.1.不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.( √ )2.小概率事件就是不可能发生的事件.( × )3.某事件发生的概率随着试验次数的变化而变化.( × )类型一 必然事件、不可能事件与随机事件的判断例1 指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件. (1)从分别标有1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到4号签； (2)一个三角形的大边对的角小，小边对的角大； (3)函数y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)在其定义域内是增函数； (4)平行于同一直线的两条直线平行；(5)某同学竞选学生会主席成功.考点事件的综合应用题点事件的判断解(2)为不可能事件，(4)为必然事件，(1)(3)(5)为随机事件.反思与感悟事件的分类事件类型定义举例必然事件在一定条件下，必然会发生的事件在山顶上，抛一块石头，石头下落不可能事件在一定条件下，肯定不会发生的事件在常温常压下，铁熔化随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件掷一枚硬币，出现正面向上跟踪训练1指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件.(1)中国体操运动员将在下一届奥运会上获得全能冠军；(2)出租车司机小李驾车通过4个十字路口都将遇到绿灯；(3)若x∈R，则x2＋1≥1；(4)小红书包里只有数学书、语文书、地理书、政治书，她随意拿出一本，是漫画书.考点事件的综合应用题点事件的判断解(1)(2)中的事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件.(3)中的事件一定会发生，所以是必然事件.(4)小红书包里没有漫画书，所以是不可能事件.类型二试验与重复试验的结果分析例2下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的所有结果.(1)抛掷两枚质地均匀的硬币；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素组成集合A的子集.考点随机事件题点随机事件的判断解(1)一次试验是指“抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的可能结果有4个：(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正).(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合A的一个子集”，试验的结果共有4个：{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}.反思与感悟(1)准确理解随机试验的条件、结果等有关定义，并能使用它们判断一些事件，指出试验结果，这是求概率的基础.(2)在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果不重不漏.跟踪训练2袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和结果.(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.考点随机事件题点随机事件的判断解(1)条件为：从袋中任取1球.结果为：红、白、黄、黑4种.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中取出的是红球与白球，结果为：(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)6种.类型三利用频率估计概率例3下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果.n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.试验序号抛掷的次数n 正面朝上的次数m“正面朝上”出现的频率15002512500249350025645002535500251650024575002448500258950026210500247考点概率与频率题点利用频率估计概率解由f n(A)＝mn可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.反思与感悟(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率.(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率.跟踪训练3一个地区从某年起4年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下表所示：时间范围1年内2年内3年内4年内新生婴儿数n 5 5449 60713 52017 190男婴数m2 8834 970 6 994 8 892(1)计算男婴出生的频率(保留4位小数)； (2)这一地区男婴出生的概率约是多少？ 考点 概率与频率 题点 利用频率估计概率解 (1)计算mn 即得男婴出生的频率依次约是0.520 0，0.517 3, 0.517 3,0.517 3.(2)由于这些频率非常接近0.517 3，因此，这一地区男婴出生的概率约为0.517 3.1.在10个学生中，男生有x 人.现从10个学生中任选6人去参加某项活动，有下列事件：①至少有一个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生.若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x 为( ) A.5 B.6 C.3或4D.5或6考点 事件的综合应用 题点 事件的应用 答案 C解析 由题意知，10个学生中，男生人数少于5，但不少于3，∴x ＝3或x ＝4.故选C.2.在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是( ) A.3件都是正品 B.至少有一件是次品 C.3件都是次品 D.至少有一件是正品考点 必然事件 题点 必然事件的判断 答案 D解析 12件产品中，有2件次品，任取3件，必包含正品，因而事件“抽取的3件产品中，至少有一件是正品”为必然事件，故选D.3.某人将一枚硬币连掷10次，正面朝上的情况出现了8次，若用A 表示“正面朝上”这一事件，则A 的( ) A.概率为45B.频率为45C.频率为8D.概率接近于8考点 概率与频率 题点 概率与频率的计算 答案 B解析 做n 次随机试验，事件A 发生了m 次，则事件A 发生的频率为mn .如果多次进行试验，事件A 发生的频率总在某个常数附近摆动，那么这个常数才是事件A 的概率.故810＝45为事件A 的频率.4.某地气象局预报说：明天本地降水的概率为80%，则下列解释正确的是( ) A.明天本地有80%的区域降水，20%的区域不降水 B.明天本地有80%的时间降水，20%的时间不降水 C.明天本地降水的可能性是80% D.以上说法均不正确 考点 天气预报的概率解释 题点 天气预报的概率解释 答案 C解析 选项A ，B 显然不正确，因为明天本地降水的概率为80%不是说有80%的区域降水，也不是说有80%的时间降水，而是指降水的可能性是80%.故选C. 5.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下表.每批粒数 2 5 10 70 130 700 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 637 1 370 1 786 2 709 发芽的频率(1)请完成上述表格(保留3位小数)； (2)该油菜籽发芽的概率约为多少？ 考点 概率与频率题点利用频率估计概率解(1)填入题表中的数据依次为1.000,0.800，0.900，0.857,0.892,0.910,0.913,0.893,0.903.填表如下：每批251070130700 1 500 2 000 3 000 粒数发芽的24960116637 1 370 1 786 2 709 粒数发芽的1.0000.8000.9000.8570.8920.9100.9130.8930.903频率(2)由(1)估计该油菜籽发芽的概率约为0.900.1.随机事件在一次试验中是否发生虽然不能事先确定，但是在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现一定的规律性，因而，可以从统计的角度，通过计算事件发生的频率去估算概率.2.概率是描述随机事件发生的可能性大小的一个数量，即使是大概率事件，也不能肯定事件一定会发生，只是认为事件发生的可能性较大.3.利用概率思想正确处理和解释实际问题，是一种科学的理性思维，在实践中要不断巩固和应用，提升自己的数学素养.一、选择题1.从1,2,3，…，10这10个数中，任取3个数，那么“这3个数的和大于6”这一事件是()A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上选项均不正确考点随机事件题点随机事件的判断答案 C解析从所给的10个数中，任取3个数，其和最小为6.故事件“这3个数的和大于6”为随机事件，故选C.2.下列现象：①当x是实数时，x－|x|＝2；②某班一次数学测试，及格率低于75%；③从分别标有0,1,2,3，…，9这十个数字的纸团中任取一个，取出的纸团是偶数；④体育彩票某期的特等奖号码.其中是随机现象的是( ) A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④考点 随机事件 题点 随机事件的判断 答案 C解析 由随机事件的定义知②③④正确.3.每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，某次考试共有12道选择题，某人说：“每个选项正确的概率是14，我每题都随机地选择其中一个选项，则一定有3道选择题结果正确.”这句话( )A.正确B.错误C.不一定正确D.以上都不对考点 概率的正确解释 题点 概率的意义 答案 B解析 虽然答对一道题的概率为14，但实际问题中，并不意味着一定答对3道，可能全对，可能对3道，也可能全不对等.4.某医院治疗一种疾病的治愈率为15，前4位病人都未治愈，则第5位病人的治愈率为( )A.1B.15 C.45D.0考点 概率的正确解释 题点 概率意义的应用 答案 B解析 治愈率为15，表明每位病人被治愈的概率均为15，并不是5人中必有1人被治愈.故选B.5.同时抛掷两枚大小完全相同的骰子，用(x ，y )表示出现的结果，其中x ，y 分别为两枚骰子向上的点数，则该事件的所有结果种数为( ) A.11 B.22 C.36 D.66 考点 随机事件 题点 随机事件的判断 答案 C解析 在这个试验中，(1,2)和(2,1)应视为2种不同的结果，列表可知共有36种结果. 6.下列结论正确的是( )A.设事件A 的概率为P (A )，则必有0＜P (A )＜1B.事件A 的概率P (A )＝0.999，则事件A 是必然事件C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效.现在胃溃疡的病人服用此药，则估计有明显疗效的可能性为76%D.某奖券的中奖率为50%，则某人购买此奖券10张，一定有5张中奖 考点 概率的正确解释 题点 概率意义的应用 答案 C解析 A 项不正确，因为0≤P (A )≤1；若事件A 是必然事件，则P (A )＝1，故B 项不正确；对于D 项，奖券的中奖率为50%，若某人购买此奖券10张，则可能会有5张中奖，所以D 项不正确.故选C. 7.甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是( )A.抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B.同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜C.从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D.甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜 考点 游戏的公平性 题点 游戏公平性的判断 答案 B解析 A 项，P (点数为奇数)＝P (点数为偶数)＝12；B 项，P (恰有一枚正面向上)＝12，P (两枚都正面向上)＝14；C 项，P (牌色为红)＝P (牌色为黑)＝12；D 项，P (同奇或同偶)＝P (奇偶不同)＝12.8.从一批电视机中随机抽出10台进行检验，其中有1台次品，则关于这批电视机，下列说法正确的是( ) A.次品率小于10% B.次品率大于10% C.次品率等于10% D.次品率接近10%考点 概率与频率 题点 利用频率估计概率 答案 D解析 抽出的样本中次品的频率为110，即10%，所以样本中次品率大约为10%，所以总体中次品率大约为10%.9.同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( )A.这100个铜板两面是相同的B.这100个铜板两面是不相同的C.这100个铜板中有50个两面是相同的，另外50个两面是不相同的D.这100个铜板中有20个两面是相同的，另外80个两面是不相同的 考点 决策中的概率思想 题点 极大似然法答案 A解析落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是相同的可能性较大.二、填空题10.将一枚质地均匀的硬币连掷两次，则至少出现一次正面向上与两次均出现反面向上的概率比为________. 考点试验与发现题点等可能事件的概率答案3∶1解析将一枚质地均匀的硬币连掷两次有以下情形：(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反).至少出现一次正面向上有3种情形，两次均出现反面向上有1种情形，故答案为3∶1.11.一个袋中装有数量差别较大的白球和黑球，从中任取一球，取出的是白球，估计袋中数量少的球是__________.考点决策中的概率思想题点极大似然法答案黑球解析根据极大似然法，知袋中数量较多的是白球，因此黑球数量较少.12.给出下列四个命题：①设有一批产品，其次品率为0.05，则从中任取200件，必有10件是次品；②做100次抛硬币的试验，结果51次出现正面朝上，因此，出现正面朝上的概率是51100；③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率；④抛掷骰子100次，得点数是1的结果有18次，则出现1点的频率是950.其中正确命题有__________.考点概率与频率题点概率与频率的计算答案④解析①错，次品率是大量产品的估计值，并不是针对200件产品来说的.②③混淆了频率与概率的区别.④正确.三、解答题13.街头有人摆一种游戏，方法是投掷两枚骰子，如果两枚骰子投一次点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况，红方胜，而当两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9时，白方胜，这种游戏对双方公平吗？若不公平，请说明哪方占便宜？考点游戏的公平性题点游戏公平性的判断解两枚骰子点数之和如下表：1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112其中点数之和是2,3,4,10,11,12这六种情况的共12种，概率是1236＝13，两枚骰子点数之和是5,6,7,8,9的情况共24种，概率是2436＝23.所以这种游戏不公平，白方比较占便宜.四、探究与拓展14.随着互联网的普及，网上购物已逐渐成为消费时尚，为了解消费者对网上购物的满意情况，某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答)，统计结果如下表：满意情况 不满意 比较满意满意 非常满意 人数200n2 1001 000根据表中数据，估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( ) A.715 B.25 C.1115 D.1315 考点 概率与频率 题点 利用频率估计概率 答案 C解析 由题意得，n ＝4 500－200－2 100－1 000＝1 200，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200＋2 100＝3 300，所以随机调查的消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为3 3004 500＝1115.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为1115.故选C.15．如图所示，有两个可以自由转动的均匀转盘A ，B .转盘A 被平均分成3等份，分别标上1,2,3三个数字；转盘B 被平均分成4等份，分别标上3,4,5,6四个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏规则：自由转动转盘A 与B ，转盘停止后，指针各指向一个数字，将指针所指的两个数字相加，如果和是6，那么甲获胜，否则乙获胜．你认为这样的游戏规则公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，怎样修改规则才能使游戏对双方公平？解列表如下：AB345 6145672567836789 由表可知，等可能的结果有12种，和为6的结果只有3种．因为P(和为6)＝312＝14，所以甲、乙获胜的概率不相等．所以这样的游戏规则不公平．如果将规则改为“和是6或7，则甲胜，否则乙胜”，那么此时游戏规则是公平的．。
2020-2021学年高中人教A版数学必修3课件：3.1.2 概率的意义
作 探 究
释 疑
2．借助实际问题中的统计规 2．了解“极大似然法”和遗传机
律，提升数学建模素养. 理中的统计规律.
课 时 分 层 作 业
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新 知
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1．对概率的正确理解
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知
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随 机 事 件 在 一 次 试 验 中 发 生 与 否 是随机 的 ， 但 随 机 性 中 含
合 作
率，即每次投篮有 90%命中的把握，但就一次投篮而言，也可能不
课
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究 发生，也可能发生，并不是说投 100 次必中 90 次．
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素
知
1．(变条件)某种疾病治愈的概率是 30%，有 10 个人来就诊，如 养
合 作
果前 7 个人没有治愈，那么后 3 个人一定能治愈吗？如何理解治愈的
作
课
探 究
2．随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有关系吗？
时 分
2020-2021学年高中数学必修3人教A版课件：3.1.2 概率的意义
[自主练习]
1．已知某厂的产品合格率为 90%，现抽出 10 件产品检查，则下列说法正确
的是( )
A．合格产品少于 9 件
B．合格产品多于 9 件
C．合格产品正好是 9 件
D．合格产品可能是 9 件
解析： 根据概率意义知选 D.
答案： D
2．若在同等条件下进行 n 次重复试验得到某个事件 A 发生的频率 f(n)，则随 着 n 的逐渐增加，有( )
A．f(n)与某个常数相等 B．f(n)与某个常数的差逐渐减小 C．f(n)与某个常数差的绝对值逐渐减小 D．f(n)在某个常数附近摆动并趋于稳定 解析： 随着 n 的增大，频率 f(n)会在概率附近摆动并趋于稳定，这也是频 率与概率的关系． 答案： D
3．经检验，某厂的产品合格率为 98%，估算该厂 8 000 件产品中次品的件数
(3)天气预报的概率解释 天气预报报道降雨概率为 70%是指降雨的机会是 70%，它是指降雨这个随机 事件出现的可能，而不是指某些区域有降雨或能不能降雨． (4)遗传机理中的统计规律 孟德尔通过长期不懈的试验和研究，发现了遗传机理中的统计规律，这一发 现体现了大自然中蕴含的数学规律，运用统计与概率的知识可以进行解释．
4．天气预报的概率解释 天气预报的“降水”是一个_随__机__事__件___，“降水概率为 90%”，指明了“降 水 ” 这 个 ___随__机__事__件__发__生__的__概__率_____. 在 一 次 试 验 中 ， 概 率 为 90% 的 事 件 也 _可__能__不__出__现____，因此，“昨天没有下雨”___并__不__能__说__明___“昨天的降水概率为 90%”的天气预报是__错__误__的.
解析： (1)抛掷一枚质地均匀的硬币，只考虑第 999 次，有两种结果：正面 朝上和反面朝上，每种结果等可能出现，故所求概率为率稳定性的角度，了解概率的意义． 目标导航 2．加深对概率的定义的理解，进一步巩固对概率的认识．
2020版人教A版高中数学必修三导练课件：3.1.1 随机事件的概率3.1.2 概率的意义 (数理化网)
“正面向上” 出现的频率
6
500
246
7
500
244
8
500
258
9
500
262
10
500
247
解:由 fn(A)= nA ,可分别得出这 10 次试验中“正面向上”这一事件出现的频 n
率依次为 0.502,0.498,0.512,0.506,0.502,0.492,0.488,0.516, 0.524,0.494.这些数在 0.5 附近摆动,由概率的统计定义可得,“正面向上” 的概率为 0.5.
方法技巧
判断事件类型的步骤 要判定事件是何种事件,首先要看清条件,因为三种事件都是相对于 一定条件而言的;第二步再看它是一定发生,还是不一定发生,还是一 定不发生,一定发生的是必然事件,不一定发生的是随机事件,一定不 发生的是不可能事件.
即时训练1-1:从一副牌中抽出5张红桃、4张梅花、3张黑桃放在一起洗 匀后,从中一次随机抽出10张,恰好红桃、梅花、黑桃3种牌都抽到,这件 事情( ) (A)可能发生 (B)不可能发生 (C)很可能发生 (D)必然发生
因此求事件 A 的概率的前提是大量重复的试验,试验的次数越多,获得的
数据越多,这时用 nA 来表示 P(A)越精确. n
思考3:事件A发生的频率fn(A)是不是不变的?事件A的概率P(A)是不是不 变的?它们之间有什么区别与联系?
答案:频率是变化的,而概率是不变的,频率因试验的不同而不同,概率则 不然,概率是频率的稳定值,是不随着频率的变化而变化的.
(2)写出“第一次取出的小球上的标号为2”这一事件.
解:(2)记“第一次取出的小球上的标号为2”为事件A,则 A={(2,1),(2,3),(2,4)}.
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2019-2020年高中数学必修三 3-1-2 概率的意义能力强化提升
一、选择题
1．事件A发生的概率接近于0，则( )
A．事件A不可能发生
B．事件A也可能发生
C．事件A一定发生
D．事件A发生的可能性很大
[答案] B
[解析] 不可能事件的概率为0，但概率接近于0的事件不一定是不可能事件．
2．某学校有教职工400名，从中选出40名教职工组成教工代表大会，每位教职工当选
的概率是110，其中正确的是( )
A．10个教职工中，必有1人当选
B．每位教职工当选的可能性是110
C．数学教研组共有50人，该组当选教工代表的人数一定是5
D．以上说法都不正确
[答案] B
3．下列说法正确的是( )
A．某事件发生的频率为P(A)＝1.1
B．不可能事件发生的概率为0，必然事件发生的概率为1
C．小概率事件就是不可能发生的事件，大概率事件就是必然要发生的事件
D．某事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的
[答案] B
4．“今天北京的降雨概率是80%，上海的降雨概率是20%”，下列说法不正确的是( )
A．北京今天一定降雨，而上海一定不降雨
B．上海今天可能降雨，而北京可能没有降雨
C．北京和上海都可能没降雨
D．北京降雨的可能性比上海大
[答案] A
[解析] 北京的降雨概率80%大于上海的降雨概率20%，说明北京降雨的可能性比上海
大，也可能都降雨，也可能都没有降雨，但是不能确定北京今天一定降雨，上海一定不降雨，
所以B，C，D正确．
5．下列命题中的真命题有( )
①做9次抛掷一枚均匀硬币的试验，结果有5次出现正面，因此，出现正面的概率是59；
②盒子中装有大小均匀的3个红球，3个黑球，2个白球，那么每种颜色的球被摸到的
可能性相同；
③从－4，－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取得的数小于0和不小于0的可能性
相同；
④分别从2名男生，3名女生中各选一名作为代表，那么每名学生被选中的可能性相同．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
[答案] A
[解析] 命题①中，抛掷一枚硬币出现正面的概率是12；命题②中摸到白球的概率要小
于摸到红球与黑球的概率；命题③中取得小于0的概率大于取得不小于0的概率；命题④中
男生被抽到的概率为12，而每名女生被抽到的概率为13.
6．从12件同类产品中(其中10件正品，2件次品)，任意抽取6件产品，下列说法中
正确的是( )
A．抽出的6件产品必有5件正品，1件次品
B．抽出的6件产品中可能有5件正品，1件次品
C．抽取6件产品时，逐个不放回地抽取，前5件是正品，第6件必是次品
D．抽取6件产品时，不可能抽得5件正品，1件次品
[答案] B
[解析] 从12个产品中抽到正品的概率为1012＝56，抽到次品的概率为212＝16，所以抽出
的6件产品中可能有5件正品，1件次品．
7．根据某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型50%，A型15%，AB型5%，B
型30%.现有一血型为O型的病人需要输血，若在该地区任选一人，那么能为病人输血的概
率为( )
A．50% B．15%
C．45% D．65%
[答案] A
[解析] 仅有O型血的人能为O型血的人输血．
8．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是 ( )
A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜
B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜
C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则甲胜，是黑色的则乙胜
D．甲，乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜
[答案] B
[解析] A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝12；B项，P(一枚正面向上)＝12，P(两
枚都正面向上)＝14；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝12；D项，P(同奇或同偶)＝P(不同
奇偶)＝12.
二、填空题
9．在一次考试中，某班有80%的同学及格，80%是________．(选“概率”或“频率”
填空)
[答案] 频率
10．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释
中能代表教练的观点的为________．
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%
[答案] ②
[解析] 射中的概率是90%说明中靶的可能性大小，即中靶机会是90%，所以①不正确，
②正确．
11．玲玲和倩倩下象棋，为了确定谁先走第一步，玲玲对倩倩说：“拿一个飞镖射向如
图所示的靶中，若射中区域所标的数字大于3，则我先走第一步，否则你先走第一步”．你
认为这个游戏规则公平吗？答：________.
[答案] 不公平
[解析] 如题图所示，所标的数字大于3的区域有5个，而小于或等于3的区域则只有
3个，所以玲玲先走的概率是58，倩倩先走的概率是38.所以不公平．
12．(2012～2013·昆明高一检测)为了解在一个水库中养殖的鱼的有关情况，从这个水
库的不同位置捕捞出n条鱼，将这n个样本分成若干组，若某组的频数和频率分别为30和
0.25，则n＝________.
[答案] 120
[解析] 根据某组的频率与频数计算总体n.
据题意知n×0.25＝30，所以n＝120.
三、解答题
13．解释下列概率的含义：
(1)某厂生产的电子产品合格的概率为0.997；
(2)某商场进行促销活动，购买商品满200元，即可参加抽奖活动，中奖的概率为0.6；
(3)一位气象学工作者说，明天下雨的概率是0.8；
(4)按照法国著名数学家拉普拉斯的研究结果，一个婴儿将是女孩的概率是2245.
[解析] (1)生产1 000件电子产品大约有997件是合格的．
(2)购买10次商品，每次购买额都满200元，都参加抽奖，大约有6次中奖．
(3)在今天的条件下，明天下雨的可能性是80%.
(4)一个婴儿将是女孩的可能性是2245.
14．某种病治愈的概率是0.3，那么前7个人都没有治愈，后3个人一定能治愈吗？如
何理解治愈的概率为0.3?
[分析] 概率从数量上．反映了随机事件发生的可能性的大小，它是该事件的频率在变
化过程中始终与之非常接近的一个常数，
[解析] 如果把治疗一个病人作为一次试验，“治愈的概率是0.3”指随着试验次数的
增加，即治疗人数的增加，大约有30%的人能够治愈，对于一次试验来说，其结果是随机的，
因此前7个病人没有治愈是可能的，对后3个人来说，其结果仍然是随机的，可能治愈，也
可能没有治愈．
治愈的概率是0.3，指如果患病的人有1 000人，那么我们根据治愈的频率应在治愈的
概率附近摆运这一前提，就可以认为1 000个人中大约有300人能治愈．
[点评] 正确理解随机事件概率的意义，纠正日常生活中出现的一些错误认识是解决本
题的关键．
15．元旦就要到了，某校将举行庆祝活动，每班派1人主持节目．高一(2)班的小明、
小华和小利实力相当，又都争着要去，班主任决定用抽签的方式决定．机灵的小强给小华出
主意，要小华先抽，说先抽的机会大．你是怎样认为的？说说看．
[解析] 其实抽签不必分先后，先抽后抽，中签的机会是一样的．我们取三张卡片，上
面标上1,2,3，抽到1就表示中签，设抽签的次序为甲、乙、丙，则可以把情况填入下表：
情
况 人名 一 二 三 四 五 六
甲 1 1 2 2 3 3
乙 2 3 1 3 1 2
丙 3 2 3 1 2 1
从上表可以看出：甲、乙、丙依次抽签，一共有六种情况，第一、二两种情况，甲中签；
第三、五两种情况，乙中签；第四、六两种情况，丙中签．甲、乙、丙中签的可能性都是相
同的，即甲、乙、丙的机会是一样的，先抽后抽，机会是均等的，不必争先恐后．
16．某种彩票的抽奖是从写在36个球上的36个号码中随机摇出7个．有人统计了过去
中特等奖的号码，声称某一号码在历次特等奖中出现的次数最多，它是一个幸运号码，人们
应该买这一号码；也有人说，若一个号码在历次特等奖中出现的次数最少，由于每个号码出
现的机会相等，应该买这一号码，你认为他们的说法对吗？
[解析] 体育彩票中标有36个号码的36个球大小、重量是一致的，严格地说，为了保
证公平，每次用的36个球，应该只允许用一次，除非能保证用过一次后，球没有磨损、变
形．因此，当把这36个球看成每次抽奖中只用了一次时，不难看出，以前抽奖的结果对今
后抽奖的结果没有任何影响，上述两种说法都是错的．