第二章单自由度系统自由振动)[优质ppt]
单自由度系统(自由振动)
第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。
设质量为m ，单位是kg 。
弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。
弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。
当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形∆：，同时也产生弹簧恢复力K ∆，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ⋅∆若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。
首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。
现设质量m 向下运动到x ，此时弹簧恢复力为K(∆+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx xm (1-1-1 令mkp =2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02=+x p x(1-1-3)设方程的特解为 ste x =将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ips p s ±==+2,1220则(1-1-3)的通解为ptD pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)C 、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,x xx x == （1-1-5）()x m x k W F=+∆-=∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆==k mgW xx)则pt pxpt x x sin cos 00 += （1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(α+=pt A x（1-1-7）其中 001220,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角α与系统的参数和初始条件有关。
第二章单自由度无阻尼系统的振动
第二章 单自由度无阻尼系统的振动单自由度系统是指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
系统的自由度数是指确定系统位置所必须的独立参数的个数，这种独立参量称为广义坐标，广义坐标可以是线位移、角位移等。
单自由度系统振动理论是振动理论的基础，尽管实际的机械都是弹性体，属多自由度系统，然而要掌握多自由度系统振动的基本理论和规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，许多工程实际问题在一定条件下可以简化为单自由度振动系统来研究。
单自由度系统的力学模型如图2-1所示，图中，m 为质量元件（或惯性元件），k 为线性弹簧，C 为线性阻尼器。
图2-1所示系统称为单自由度有阻尼系统，若该系统不计阻尼，则称之为单自由度无阻尼系统，若在质量元件上作用有持续外界激扰力，则系统作强迫振动，如无持续的外界激扰力而只有初始的激扰作用，则系统作自由振动。
下面先研究单自由度无阻尼系统的自由振动，再进一步研究其强迫振动。
2—1 自由振动图2-2左图所示为单自由度无阻尼的弹簧质量系统。
现用牛顿第二定律来建立该系统的运动微分方程。
取质量m 的静平衡位置为坐标原点，取x 轴铅直向下为正，当系统处于平衡位置时有，δk mg =，故有静位移δ=mg/k （a ）当系统处在位置x 处时，作用在质量上的力系不再平衡，有：mg x k xm ++-=)(δ (b) 式中:22/dt x d x = 是质量的加速度，将（a ）式代入（b ）式；则得 kx xm -= 即 0=+kx xm （2-1） 注意，上式中-kx 是重力与弹簧力的合力，它的大小与位移x 的大小成正比，但其方向却始终与位移的方向相反，即始终指向平衡位置，故称其为弹性恢复力。
由式（2-1）可以看到，只要取物体的静平衡位置为坐标原点，则在列运动微分方程时，可以不再考虑物体的重力与弹簧的静变形。
将（2-1）式改写成 0=+x m k x，令2p mk= 则得 02=+x p x （2-2）这是一个二阶齐次线性常系数微分方程。
机械振动单自由度系统
习题2.3 重物ml悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置， 另一重物m2从高度为h处自由落到ml上而无弹跳，如图T— 2.3所示，求其后的运动。
图 T—2.3
习题2.4 一质量为m、转动惯量为I的圆柱体作自由纯滚动， 圆心受到一弹簧k约束，如图T—2.4所示，求系统的固有频率。
习题2.5 均质杆长L、重G，用两根长h的铅垂线挂成水平位 置，如图T—2.5所示，试求此杆相对铅垂轴OO微幅振动的周 期。
习题2.10 如图T—2.10所示，轮子可绕水平轴转动，对转轴 的转动惯量为I，轮缘绕有软绳，下端挂有重量为P的物体， 绳与轮缘之间无滑动。在图示位置，由水平弹簧维持平衡。 半径R与a均已知，求微振动的周期。
图T—2.10
图T—2.12
2.2.3 有效质量 • 离散系统模型约定：系统的质量集中在惯性元件上，弹性 元件无质量。
第2章 单自由度系统
• • • • • • • 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 引言 无阻尼自由振动 阻尼自由振动 单自由度系统的简谐强迫振动 简谐强迫振动理论的应用 周期强迫振动 非周期强迫振动
§2.1 引言
• 单自由度系统：只有一个自由度的振动系统称为 单自由度振动系统。 单自由度线性振动系统可以用一个常系数的二 阶线性常微分方程描述它的振动规律。
上述结论与坐标系的选择无关，但选择合适的坐标系有助 于简化问题的求解。以下例说明。 例2.1 考虑汽车的垂直振动，并只考虑悬架质量，弹性元件 为汽车的板簧。此时汽车垂直振动模型如图2—3(a)所示，忽 略阻尼。
图 2—3
在振动分析中，通常只对系统的动力响应感兴趣，希望 方程的解中只包括动力响应。将描述系统振动的坐标系的原 点取在系统的静平衡位置可以做到这一点。
第2章：单自由度系统的振动
运动方程 ：
k 0 I 0 T
(2.1.13)
第2章 单自由度系统的振动
例2.1.3 图示水塔，水箱的总质 量为M，抗弯刚度和单位长度的 质量分别为EI(x)和m(x) ，塔受 水平分布荷载 q(x, t)的作用， 试建立系统的运动方程。 如何将无限自由度问题简 问题 ： 化为单自由度问题？ 解：设描述塔身弯曲变形的形状函数 为φ (x)，将塔的弯曲变形表示为
l l Wnc 0 q( x, t ) y( x, t ) dx 0 q( x, t ) ( x) Ydx
y " 2 y / x 2 Wnc为非保守力，即外荷载所做的功 。
t1 哈密顿原理 ： T V dt t0 Wnc dt 0 t1 t0
第2章 单自由度系统的振动
A
m
l/4
B
C
M
l/4
k
l/4
D F (t ) m / 2 c E
l/4
图2.1.2 以转角θ 为广义坐标的单自由度系统
l 2 3l 2 1 WI I m 4 2 m 4 I 11 l 2 m 32
C2e
j 1 2 t
(2.2.19)
d 1 2
x(t ) e t ( A1 cosd t A2 sin d t ) Ae t sin d t (2.2.20)
第2章 单自由度系统的振动
x(0) x0 (0) x 0 x
第2章 单自由度系统的振动
虚功原理： WP WI WD WS 0 整理得：
M
1 2
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
单自由度系统的自由振动PPT课件
v0 pn
xx0copsntvp0nsinpnt
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.1 自由振动方程
另一种形式
xAsin pnt()
初
振幅
相 两种形式描述的物
A
x
2 0
(
v0 pn
)2
位 块振动，称为无阻 角 尼自由振动，简称
第1章单自由度系统的自由振动
1.1 无阻尼系统的自由振动
Mechanical and Structural Vibration
第1章单自由度系统的自由振动 关于单自由度系统振动的概念 典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方 向振动时，可视为集中质量。如不计梁 的质量，则相当于一根无重弹簧，系统 简化成弹簧-质量系统
自由振动。
arctg
( pnx0 ) v0
无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的 简谐振动
Mechanical and Structural Vibration
1.1 无阻尼系统的自由振动
1.1.2 振幅、初相位和频率
系统振动的周期 T 2π 2π m
pn
k
系统振动的频率 f 1 pn 2π k
Mechanical and Structural Vibration
机械与结构振动 引言
振动问题的研究方法－与分析其他动力学问题 不同的是：一般情形下，都选择平衡位置作为广 义坐标的原点。
研究振动问题所用的动力学定理：
矢量动力学基础中的－动量定理； 动量矩定理； 动能定理； 达朗贝尔原理。
分析动力学基础中的－拉格朗日方程。
振动力学第二章第一季单自由度系统的自由
F2 k 2d st F1 k1d st 系统平衡方程 Fx 0 mg F1 F2 (k1 k 2 )d st
用一根弹簧 k 来代替，静变形与 原来两根弹簧相等，则
mg kd st
k k1 k 2
1 k1 k2 f 2π m
串联弹簧与并联弹簧的等效刚度
max pn xmax x
利用上面两式可以直接求固有频率!
例 船舶振动记录仪的原理图如图所示。重物P连同杆BD对于 支点B的转动惯量为IE ,求重物P在铅直方向的振动频率。已知 弹簧AC的弹簧刚度系数是k。 解： 这是单自由度的振动系统。 系统的位置可由杆BD自水平的平
角来决定。 1 2 I 系统的动能 B 2 设系统作简谐振动，则其运动方程 sin( pnt ) 角速度为 d p cos( p t ) n n dt 1 1 2 2 最大动能为 Tmax I Bmax I B 2 pn 2 2
l
1 ms d x dTs d 2 l l dt
设
2
d
1 ms d x 2 Ts dTs ( ) 0 2 3 d t meq
系统的总动能为
x A cos( pn t )
Tmax Vmax
2
固有频率为
1 d x 2 1 ms d x 2 1 ms d x T m( ) ( ) m 2 dt 2 3 dt 2 3 dt
第二章-单自由度系统的自由振动-yyt
x(t ) A sin(nt )
振幅： A
arctan 初相位：
固有频率
x 0 x n n x0
2 0
2
x 0
n
k m
21
2.3 单自由度无阻尼自由振动—实例
例2 提升机系统。重物W=1.47x105N，钢丝刚度k=5.78x104N/cm。重物以 v=15m/min的速度匀速下降，求绳的上端突然卡住时， （1）重物的振动频率；（2）绳中最大张力。 gk 解：振动（自然）频率 n 19.6 rad / s W
证明：动能 T 1 mx 2
2
势能 V mgx k ( x )dx mgx k x
0
x
1 2 1 2 kx kx 2 2
T V const
2 kx2 const mx
两边求导并整理： (m kx) x 0 x
不恒等于0： x
Tmax Vmax
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零平衡位置
能量方法：
解：广义坐标θ，平衡位置设置零坐标如图
显然，系统的振动方程为： (t ) cos(nt ) θ
(t ) sin( t ) 则，角速度为： n n
有 max 最大动能 Tmax
max n
弹簧-质量-阻尼系统
4
2.1 基本概念(实际结构简化)
m
m
5
2.1 基本概念
振动方式：自由振动
系统在初始时只受到一个外界扰动，此后并不受其他 力的作用而发生的振动。
O
θ l
mg
6
7
2.1 单自由度系统的自由振动