垂直关系的性质PPT课件
合集下载
第4节 直线、平面垂直的判定及其性质课件
因为DA＝DC，所以OD⊥AC. 又因为平面ADC⊥平面ABC，且相交于AC， 所以OD⊥平面ABC，所以OD⊥OB. 因为AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC. 又AB＝BC，所以OB＝OC，所以△OBD≌△OCD， 所以DB＝DC，且M为BC的中点，所以BC⊥DM.
(2)VD-ABC＝16DO·BC·AB＝8 3 3，
1．(202X·江苏省南通市模拟)在如图所示的空间几何体中，△ABC是以BC为 底边的等腰三角形，M是BC的中点，DA，EB都垂直于平面ABC. 求证：(1)AM⊥平面EBC； (2)DA∥平面EBC.
证 明 ： (1) 因 为 △ABC 是 以 BC 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， M 是 BC 的 中 点 ， 所 以 AM⊥BC. 因为EB⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以EB⊥AM. 又因为BC，EB⊂平面EBC，EB∩BC＝B， 所以AM⊥平面EBC. (2)因为DA，EB都垂直于平面ABC，所以DA∥EB. 因为EB⊂平面EBC，DA⊄平面EBC，所以DA∥平面EBC.
(2)因为 AB＝BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC＝C， 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E.
第4节 直线、平面垂直的判定及 其性质
1
课标要求
命题方向
数学素养
1.从基本事实出发，借助长方体，通过直 1.线面垂直的判 逻辑推理、直
观感知，了解空间中直线与直线、直线与 定与性质
观想象
(2)VD-ABC＝16DO·BC·AB＝8 3 3，
1．(202X·江苏省南通市模拟)在如图所示的空间几何体中，△ABC是以BC为 底边的等腰三角形，M是BC的中点，DA，EB都垂直于平面ABC. 求证：(1)AM⊥平面EBC； (2)DA∥平面EBC.
证 明 ： (1) 因 为 △ABC 是 以 BC 为 底 边 的 等 腰 三 角 形 ， M 是 BC 的 中 点 ， 所 以 AM⊥BC. 因为EB⊥平面ABC，AM⊂平面ABC，所以EB⊥AM. 又因为BC，EB⊂平面EBC，EB∩BC＝B， 所以AM⊥平面EBC. (2)因为DA，EB都垂直于平面ABC，所以DA∥EB. 因为EB⊂平面EBC，DA⊄平面EBC，所以DA∥平面EBC.
(2)因为 AB＝BC，E 为 AC 的中点，所以 BE⊥AC. 因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是直棱柱，所以 CC1⊥平面 ABC. 又因为 BE⊂平面 ABC，所以 CC1⊥BE. 因为 C1C⊂平面 A1ACC1，AC⊂平面 A1ACC1，C1C∩AC＝C， 所以 BE⊥平面 A1ACC1. 因为 C1E⊂平面 A1ACC1，所以 BE⊥C1E.
第4节 直线、平面垂直的判定及 其性质
1
课标要求
命题方向
数学素养
1.从基本事实出发，借助长方体，通过直 1.线面垂直的判 逻辑推理、直
观感知，了解空间中直线与直线、直线与 定与性质
观想象
《垂直》PPT课件3
C
一起来找茬
1.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A.线段上 B.线段的端点 C.线段的延长线上 D.以上都有可能2.如图，分别过P点作OA、OB的垂线
D
M
N
M
练习
3.如图，分别过点B、C，画AD所在直线的垂线，垂足分别为M、N
A
B
C
D
M
N
如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
A
B
C
D
探索与发现
线段CD叫做点C到直线AB的垂线段
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离
1.点到直线的距离是指( )A.直线外一点到这条直线的垂线段B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度C.直线外一点到这条直线的垂线的长度D.直线外一点到这条线上任意一点的距离
B
2.如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=a cm，BC=b cm，则BD的取值范围是（ ）A.小于a cmB.大于b cmC.小于a cm或大于b cmD.小于a cm且大于b cm
D
垂直的定义与表示法
垂线的画法
垂线的性质
点到直线的距离
垂直
（2007年济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ） A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角
垂直的定义与表示法是什么?
当两条直线互相垂直时,所成的四个角都是直角吗?为什么?
∠BOC=90°
在两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直
其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 它们的交点叫做垂足
例：如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB.已知∠BOD=45°，求∠COE的度数.
一起来找茬
1.画一条线段的垂线，垂足在（ ） A.线段上 B.线段的端点 C.线段的延长线上 D.以上都有可能2.如图，分别过P点作OA、OB的垂线
D
M
N
M
练习
3.如图，分别过点B、C，画AD所在直线的垂线，垂足分别为M、N
A
B
C
D
M
N
如图，在灌溉时需要把河AB中的水引到C处，如何挖渠能使渠道最短？
A
B
C
D
探索与发现
线段CD叫做点C到直线AB的垂线段
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离
1.点到直线的距离是指( )A.直线外一点到这条直线的垂线段B.直线外一点到这条直线的垂线段的长度C.直线外一点到这条直线的垂线的长度D.直线外一点到这条线上任意一点的距离
B
2.如图，AD⊥BD，BC⊥CD，AB=a cm，BC=b cm，则BD的取值范围是（ ）A.小于a cmB.大于b cmC.小于a cm或大于b cmD.小于a cm且大于b cm
D
垂直的定义与表示法
垂线的画法
垂线的性质
点到直线的距离
垂直
（2007年济南）已知：如图，AB⊥CD，垂足为O，EF为过点O的一条直线，则∠1与∠2的关系一定成立的是（ ） A.相等 B.互余 C.互补 D.互为对顶角
垂直的定义与表示法是什么?
当两条直线互相垂直时,所成的四个角都是直角吗?为什么?
∠BOC=90°
在两条直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,就说这两条直线互相垂直
其中一条直线叫做另一条直线的垂线, 它们的交点叫做垂足
例：如图直线AB与直线CD相交于点O，OE⊥AB.已知∠BOD=45°，求∠COE的度数.
8.6.3平面与平面垂直 (第2课时)平面与平面垂直的性质(教学课件)高一数学(人教A版必修第二册)
（1）正确．因为另一条直线与这个平面垂直，则另一条直线垂直于这个平面内 的任意一条直线.所以另一条直线一定垂直于平面内与已知直线平行的直线．故 两条直线垂直．
（2）正确．
（3）错误．比如正方体两个相对的侧面，都垂直于底面，但两侧面平行．
21
平面与平面垂直的性质
补充例题(2016全国Ⅰ,
8.课后练习，凝练提
从本节的讨论可以看到，由直线与直线垂直可以判定直线与平面垂直；由直 线与平面垂直的定义可以得到直线与直线垂直；由直线与平面垂直可以判定 平面与平面垂直；而由平面与平面垂直的性质可以得到直线与平面垂直．这 进一步揭示了直线、平面之间的位置关系可以相互转化．
判定 直线与直线垂直
判定 直线与平面垂直
性质
平面与平面垂直
16
平面与平面垂直的性质
8.课后练习，凝练提 升
4.已知平面, , 直线a, 且 , AB, a // , a AB, 判断直线
a与平面的位置关系, 并说明理由.
直线a与平面的位置关系是a . 理由如下：
过直线a作平面 , 使得 a, a // , a , a,a // a,
这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如，装修房子时 ，要在墙壁上画出与地面垂直的直线，只需在墙面上画出地面与墙 面的交线的垂线即可．
b
A c
a
图8.6-30
6
平面与平面垂直的性质
3.抽象概括，形成概 念
探究
设平面 平面 , 点P在平面内, 过点P作平面的垂线a, 直线a与平 面具有什么位置关系?
③平面内的任一条直线必垂直于平面．
④过平面内任意一点作交线l的垂线, 则此垂线必垂直于平面．
A. 3
B. 2
线面垂直面面垂直的性质与判定定理课件
学习目标
学习者能够理解面面 垂直的性质与判定定 理的基本概念。
学习者能够通过实际 案例分析，提高解决 实际问题的能力。
学习者能够掌握面面 垂直的性质与判定定 理的应用方法。
02
线面垂直的性质
定义与性质
01
02
03
定义
线面垂直是指一条直线与 某一平面内的任意一条直 线都垂直。
性质1
线面垂直，则该直线与平 面内任意直线都垂直，且 线段与平面所成的角为直 角。
06
实例分析
线面垂直实例
总结词
线面垂直的判定定理
详细描述
若一条直线与平面内两条相交直线都垂直，则该 直线与该平面垂直。
实例
一个长方体，其一条棱与底面垂直，则该棱与底 面所在的平面垂直。
面面垂直实例
总结词
面面垂直的判定定理
详细描述
若两个平面内各有一条相交直线互相垂直，则这两个平面互相垂直 。
实例
证明2
根据判定定理2，如果一个平面$alpha$与另一个平面$beta$的垂线$c$平行，那么可以证明平面$alpha$与平面 $beta$垂直。设过直线$c$作平面$gamma$与$beta$相交于直线$d$，由于$c parallel d$，且$c perp beta$ ，则$d perp beta$。又因为直线$d$在平面$alpha$内，所以平面$alpha perp beta$。
平面与平面垂直的判定定理证明
假设平面β内有一条直线m与平面α垂直，那么可以通过平面的性质证明平面β与平面α 互相垂直。
05
面面垂直的判定定理
判定定理
判定定理1
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面垂直，则这两 个平面垂直。
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
面面垂直的性质_讲课课件人教新课标
α β
两个平面垂直，其 中一个平面的直线 不一定垂直于另一 个平面。
问题2：如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，平面A1ADD1与平 面ABCD垂直，其交线为AD，直线A1A，D1D都在平面A1ADD1 内，且都与交线AD垂直，这两条直线与平面ABCD垂直吗？
C1
D1
B1
A1
C
D
B
A
两个平面垂直，其中
α A
β B
新知探究
思考：平面⊥平面β，点P在平面内， 过点P作平面β的垂线PC， 直线PC与平面具有什么位置关系？
α
P B
DC
A
结论：直线PC在平面内
β ⊥β，∩β=AB,P∈，
PC ⊥ β， PC
说明: 这个结论是面面垂直的另一个性质，
α
P B
β
DC
文字语言： A
如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一 点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内.
(1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。
(2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。
P
(1)证明：∵ AB是⊙O的直径，C是圆周上不 同于A，B的任意一点 ∴∠ACB=90°
∴BC⊥AC 又∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC, BC 平面ABC
C
∴BC⊥平面PAC
A
B
(2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
①若a⊥b，a∥α，则b⊥α；
②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β；
④若α⊥β，a⊥β，则a∥α。
其中不正确的命题的个数是（ D ）．
A．1 B．2
《平面与平面垂直》课件
。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
02
平面与面垂直的性质
平面与平面垂直的性质定理
总结词
描述平面与平面垂直的性质定理的内容。
详细描述
平面与平面垂直的性质定理是平面几何中的基本定理之一，它描述了两个平面垂直时所具有的性质特点。具体来 说，如果两个平面互相垂直，那么一个平面内的任意直线与另一个平面内的任意直线所成的角都为直角。这个定 理是证明其他相关性质和定理的基础。
详细描述
首先确定一条直线，然后过这条 直线作一个平面，最后在这个平 面上作该直线的垂线，即为所求 的平面与平面垂直。
通过点作平面的垂线
总结词
通过点作平面的垂线是平面与平面垂 直作图的常用方法。
详细描述
首先确定一个点，然后过这个点作一 个平面，最后在这个平面上作该点的 垂线，即为所求的平面与平面垂直。
风口的位置。这需要运用平面与平面垂直的知识，以确保窗户和通风口
与地面和立面之间的垂直关系。
工程制图中的应用
制图基础
在工程制图中，平面与平面垂直的概念是绘图的基础。工 程师需要准确地绘制各种平面图，并确保它们之间的垂直 关系，以便准确地表达设计意图。
施工指导
工程图纸中的平面与平面垂直关系对于指导施工过程至关 重要。施工人员需要根据图纸中的垂直关系，准确地构建 建筑物或机械部件。
要点一
总结词
要点二
详细描述
列举平面与平面垂直的性质定理在实际问题中的应用。
平面与平面垂直的性质定理在现实生活中有着广泛的应用 。例如，在建筑学中，这个定理被用来确定建筑物的垂直 度，以保证建筑物的稳定性和安全性；在机械工程中，这 个定理被用来设计和制造各种机械零件，以保证其精确度 和稳定性。此外，这个定理在物理学、化学、计算机图形 学等领域也有着广泛的应用。
平面与平面垂直的性质 课件
分析:已知条件“平面PAB⊥平面ABC,…”,使我 们想到面面垂直的性质定理,便有如下证法.
证明:(1)在平面ABC内取一点D,作DF⊥AC于F. 平面PAC⊥平面ABC,且交线为AC,
∴DF⊥平面PAC.PA 平面PAC.
∴DF⊥AP. 作DG⊥AB于G.同理可证DG⊥AP. DG､DF都在平面ABC内, ∴PA⊥平面ABC.
(2)取BC中点N,连结AN.∵AB=AC,∴AN⊥BC.取DE中点 M,连结MN､AM,∴MN⊥BC.∴BC⊥平面 AMN,∴AM⊥BC.又M是DE中点,AD=AE,
∴AM⊥DE.又∵DE与BC是相交直线,∴AM⊥平面BCDE.
又AM
平面ADE,∴平面ADE⊥平面BCDE.
证明:(1)连接PG,由题知△PAD为正三角形,G是AD的中 点,∴PG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD, ∴PG⊥平面ABCD,∴PG⊥BG. 又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB=60°. ∴△ABD是正三角形,∴BG⊥AD. 又 A D ∩ P G = G , ∴ B G ⊥ 平 面 PA D .
DE将△ADE折起,
(1)如果二面角A—DE—C是直二面角,求证:AB=AC; (2)如果AB=AC,求证:平面ADE⊥平面BCDE,过A作AM⊥DE于M, 则AM⊥平面BCDE.(2)已知AB=AC,取BC中点N,连结 AN,则AN⊥BC.
证明:(1)过A作AM⊥DE于M,则AM⊥平面BCDE.又 AD=AE,∴M是DE中点,取BC中点N,连结MN,则 MN⊥BC,∴BC⊥平面AMN,∴AN⊥BC.又N是BC中 点,∴△ABC为等腰三角形,∴AB=AC.
(2)由(1)可知BG⊥AD,PG⊥AD. 所以AD⊥平面PBG,所以AD⊥PB.