高等代数考研试题精选
华东师范大学2023年高等代数考研试题
华东师范大学2023年高等代数考研试题## 2023华东师范大学高等代数考研试题### 一、选择题1. 集合P是实数集，则“∃x∈P,x+2<7”的否定形式是A. ∀x∈P,x+2<7B. ∀x∈P,x+2≥7C. ∃x∈P,x+2≥7D.∃x∈P,x+2>72. 下列命题中，属于广义算子*的特征是A. x*y=x+yB. x*x=xC. x*1=xD. x*0=13. 已知αβγ三个元素的秩为3，由α+β=γ 知下面最小的空间维数是A. 0B.1C. 2D. 34. 对于一个n阶矩阵A，若所有元素都为0，那么A的行列式的值是A. nB. n!C. 0D. 1### 二、填空题5. 多项式f(x)=2x<sup>2</sup>-3x+5在x=1处的值是 _________。
6. 有限集P={2, 3, 4, 7, n}中n的最小可能值是 _________。
### 三、解答题7. 设m、n是自然数，证明对任意（m，n）∈N*×N*，都有m+n大于等于mn+1。
证明：由算术基本定理知，对于任意非负整数m，都有m!+1>m，将m 及n分别代入m!+1>m及m+n≥mn+1，化简后有（m+1）!>m+n，发现左右两边同乘以（m+1），可以得出（m+1）m!>m（m+1）+m（n−1），即mn+m>m（m+1），减去m（m+1）得mn>0，同时减去m+n< mn+1得负，此仅在m > 0时成立，故该式成立。
由例出可知m，n都大于等于0，因此该式成立，即m+n≥mn+1成立，证毕。
8. 已知线性代数空间V、W和线性映射T：V→W，请回答下列问题：（1）V和W是否都有双重自反？（2）V和W是否都有对称？（3）T是否具有线性特性？（1）双重自反：V和W均需要满足双重自反的性质才可以。
（2）对称：若存在T：V→W的线性映射，则V和W均需要满足对称性质。
南京航空航天大学2023年《814高等代数》考研专业课真题试卷
南京航空航天大学2023年硕士研究生招生考试试题科目代码： 814 科目名称：高等代数考生注意：答案要写在答题纸上，写在试题纸上无效一、已知三阶矩阵A=(−1−26−10a −1−14)f(x)=|xE−A|是A的特征多项式，且(x−1)2是A的最小多项式。
（1）求a及f(x)；（2）求A的初等因子；（3）A是否与对角矩阵相似？请说明理由。
二、已知矩阵A=(011a211−1b)有特征向量β=(11−1)。
（1）求a，b的值；（2）求可逆矩阵p，使得P−1AP为对角阵；（3）求A2022。
三、设V1是由向量α1=(1,1,α)T，α2=(−2,α,4)T，α3=(−2,α,−2)T生成的的ℝ3的子空间，V2是由β1=(1,1,α)T，β2=(1,α,1)T，β3=(α,1,1)T生成的ℝ3的子空间。
（1）若V2的维数为1，求α的值；（2）若V1=V2，求α的取值范围；（3）求V1+V2维数的取值范围。
四、设σ为ℝ3上的线性变换，ε1=(1,1,0)T，ε2=(0,1,1)T，ε3=(1,1,1)T，且σ(ε1)=(0,−1,1)T,σ(ε2)=(1,1+a,0)T,σ(ε3)=(1,a−1,1)T。
（1）求σ在基η1=(1,0,0)T，η2=(0,1,0)T，η3=(0,0,1)T下的矩阵A；（2）若σ可对角化，求a的值；（3）当a=2时，求一多项式g(x)，使得g(A)=A−1。
五、设三阶实矩阵A的3个列向量α，β，r线性无关，二次型f(x)=(αT x)2+(βT x)2+(r T x)2，其中x=(x1,x2,x3)T。
（1）求此二次型的矩阵B；（2）问：此二次型是否正定？并写出此二次型的规范型；（3）是否存在正定矩阵S，使得B=S3？并说明理由。
六、解答如下问题（1）判别多形式x6−5x+6在复数域ℂ上有无重因式；（2）设n阶矩阵A满足A4=E，证明：在复数域ℂ上一定可对角化；（3）设A，B是两个n阶矩阵，且满足(A OO B)在数域P上可对角化。
电子科技大学2023年高等代数考研试题
第一部分：数论
(一) 基础题
1.证明欧拉定理：
设n∈N，则φ(n)与n互质的正整数的数量之积等于n：
证：假设n=p1^k1*p2^k2*…*pn^kn，（p1，p2,…,pn 为不同的素数）
取任意m∈N，m<n，
m除以p1后余数r1满足0≤r1<p1
m除以p2后余数r2满足0≤r2<p2
……
m除以pn后余数rn满足0≤rn<pn
因此，m的余数组合方式有：(r1,r2,…rn)，其中r1,r2,…rn的取值范
围均为0,1,2,3,…,pn-1
由于m<n，故m和n互质，则m可以同n的不同素数分解系数
（k1,k2,…,kn）各不相同且k1≤r1,k2≤r2,……, kn≤rn
因此，以上m的余数组合方式有：(k1,k2,…kn)
另一方面，m∈Z，且m和n互质，则，任意一个r1,r2,…rn这样的余数组合方式都表示某个m∈N，m<n，m和n互质
则m的组合方式有：p1*p2*…*pn种
故有φ(n)=p1*p2*…*pn
令m= p1^k1*p2^k2*…*pn^kn，则m<n，m和n互质，故
φ(n)=p1*p2*…*pn=n
故欧拉定理成立。
2.证明：m和n互质，则最大公约数 d=1
证：设m和n互质，则，
有质数的分解式m=p1^k1*p2^k2*…*pn^kn，
有质数的分解式n=q1^j1*q2^j2*…*qm^jm
由于m和n互质，故它们的质因数不能相同，
即p1,p2,…,pn,q1,q2,…,qm均互不相同。
故最大公约数d=1
即证毕。
高等代数考研真题详解
高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。
考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。
本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。
第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。
题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。
2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。
对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。
假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。
那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。
对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。
假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。
对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。
通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。
接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。
对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。
首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。
因此，U∩W也非空。
其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。
因此，u和w的线性组合也属于V。
根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。
因此，u和w的线性组合也属于U∩W。
所以，U∩W对于向量的加法封闭。
最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。
中国海洋大学数学专业考研试题(高等代数)
【2009-2018】
中国海洋大学 2009 数学专业考研试题 中国海洋大学 2010 数学专业考研试题 中国海洋大学 2011 数学专业考研试题 中国海洋大学 2012 数学专业考研试题 中国海洋大学 2013 数学专业考研试题 中国海洋大学 2014 数学专业考研试题 中国海洋大学 2015 数学专业考研试题 中国海洋大学 2016 数学专业考研试题 中国海洋大学 2017 数学专业考研试题
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Hale Waihona Puke
高等代数825考研真题
高等代数825考研真题高等代数825考研真题高等代数是数学中的一门重要学科，它研究的是向量空间、线性变换、矩阵、行列式等概念和性质。
对于数学专业的研究生来说，高等代数是必修课程之一，考研中也经常会出现与高等代数相关的真题。
本文将针对高等代数825考研真题进行分析和讨论。
第一道题目是关于向量空间的性质的判断题。
向量空间是高等代数中的重要概念，它是一组向量的集合，满足一定的运算规则。
在这道题中，我们需要判断给定的四个集合是否构成向量空间。
通过观察，我们可以发现其中一个集合缺少了零向量，因此不满足向量空间的定义。
而其他三个集合都满足向量空间的性质，因此判断为真。
第二道题目是关于线性变换的性质的选择题。
线性变换是高等代数中的另一个重要概念，它是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足线性性质。
在这道题中，我们需要选择一个满足给定条件的线性变换。
通过计算，我们可以得出只有一个选项满足条件，因此选择该选项作为答案。
第三道题目是关于矩阵的性质的填空题。
矩阵是高等代数中的基本工具，它由数个数排列成的矩形阵列组成。
在这道题中，我们需要填写一个矩阵的特定位置的值，使得矩阵满足给定的条件。
通过代数运算，我们可以得出填写的值为某个数的倒数。
因此，我们可以将该数的倒数填写在相应位置上。
第四道题目是关于行列式的性质的计算题。
行列式是高等代数中的另一个重要概念，它是一个方阵中各个元素按照一定规则排列而成的一个数。
在这道题中，我们需要计算一个给定矩阵的行列式的值。
通过行列式的定义和展开定理，我们可以按照一定的步骤进行计算，最终得出行列式的值。
第五道题目是关于特征值和特征向量的计算题。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们描述了矩阵在线性变换中的特殊性质。
在这道题中，我们需要计算一个给定矩阵的特征值和特征向量。
通过求解矩阵的特征方程和对应的特征向量方程，我们可以得到矩阵的特征值和特征向量。
通过以上对高等代数825考研真题的分析和讨论，我们可以看出高等代数作为数学中的一门重要学科，其知识点和概念都需要我们进行深入的学习和理解。
哈尔滨工业大学高等代数考研试题
1 哈尔滨工业大学硕士研究生入学考试高等代数 真题1、设向量112344βαααα=+++，212344βαααα=+++，312344βαααα=+++，412344βαααα=+++。
证明：向量组1234,,,ββββ线性无关充要条件是1234,,,αααα线性无关。
2、设1234,,,εεεε是欧氏空间n R 的一组标准正交基；12,,,k ααα是n R 中的任意k 个向量，试证：12,,,k ααα为标准正交向量组的充要条件是10,(,)(,)1,n i s j s s i j i j αεαε=≠⎧=⎨=⎩∑。
3、设A 是n n ⨯矩阵（2n ≥），*A 是A 的伴随阵。
证明：,()()1,()10,()1n r A n r A r A n r A n =⎧⎪==-⎨⎪<-⎩。
4、设A 是n n ⨯矩阵。
试证：（1）A 的最小多项式是唯一的；（2）A 的最小多项式是A 的特征多项式的因子。
5、已知(),()f x g x 是数域P 上两个次数大于零的多项式，且存在11(),()[]u x v x P x ∈，使11()()()()1u x f x v x g x +=。
问是否存在(),()[u x v x P x ∈使()()()()1u x f x v x g x +=，其中(())((u x g x ∂<∂，(())(())v x f x ∂<∂。
如果存在，这样的(),()u x v x 是唯一的吗？ 6、设A 是复数域上的方矩阵，如果A 的特征值全为1±，试证：1A A -'。
7、已知,A B 是两个n 阶正定矩阵，判断下列结论是否正确，说明理由。
（A ）AB 的特征值都大于零 （B ）A B =的充要条件是1A B -的特征值都是1-（C ）1A B -'+正定 （D ）AB 正定8、设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，W 为σ的不变子空间，()[]f x P x ∈。
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高等代数考研试题精选
高等代数是数学专业研究的一门重要基础课程，也是考研数学科目中的一项重要内容。
本文将为大家精选一些高等代数考研试题，涵盖了代数结构、线性空间、线性变换、特征值与特征向量等多个方面的知识点。
1. 代数结构：
1.1 群的定义及性质：
群是一个集合G与一个二元运算*构成的代数结构，满足以下四个性质：
(1) 封闭性：对于任意的a,b∈G，有a*b∈G。
(2) 结合律：对于任意的a,b,c∈G，有(a*b)*c=a*(b*c)。
(3) 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意的a∈G，有
a*e=e*a=a。
(4) 存在逆元：对于任意的a∈G，存在一个元素a'∈G，使得
a*a'=a'*a=e。
1.2 环的定义及性质：
环是一个集合R与两个二元运算+和*构成的代数结构，满足以下八个性质：
(1) (R, +)构成一个交换群。
(2) *运算封闭于R，即对于任意的a,b∈R，有a*b∈R。
(3) *运算满足结合律，即对于任意的a,b,c∈R，有(a*b)*c=a*(b*c)。
(4) *运算对于+运算满足左分配律，即对于任意的a,b,c∈R，有
a*(b+c)=a*b+a*c。
(5) *运算对于+运算满足右分配律，即对于任意的a,b,c∈R，有
(a+b)*c=a*c+b*c。
(6) 存在加法单位元0，使得对于任意的a∈R，有a+0=0+a=a。
(7) 对于任意的a∈R，存在加法逆元-a，使得a+(-a)=(-a)+a=0。
(8) *运算满足交换律，即对于任意的a,b∈R，有a*b=b*a。
2. 线性空间：
2.1 线性空间的定义及性质：
线性空间是一个非空集合V，配备了两种运算：加法和数乘。
满足
以下性质：
(1) 对于任意的u,v∈V，有u+v=v+u。
(2) 对于任意的u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
(3) 存在加法单位元0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=0+v=v。
(4) 对于任意的v∈V，存在一个元素-v∈V，使得v+(-v)=(-v)+v=0。
(5) 对于任意的a∈F（F为纯量域），v∈V，有a(v+u)=av+au。
(6) 对于任意的a,b∈F，v∈V，有(a+b)v=av+bv。
(7) 对于任意的a,b∈F，v∈V，有(ab)v=a(bv)。
(8) 对于任意的v∈V，有1v=v。
2.2 子空间的定义及性质：
设V是一个线性空间，如果W是V的非空子集，且满足对于任意的u,v∈W和任意的a∈F，有au+v∈W，则称W是V的一个子空间。
3. 线性变换：
3.1 线性变换的定义及性质：
设V和W是两个线性空间，如果存在一个映射T：V→W满足以下性质：
(1) 对于任意的u,v∈V，有T(u+v)=T(u)+T(v)。
(2) 对于任意的a∈F，v∈V，有T(av)=aT(v)。
(3) T(0)=0，则称T是一个线性变换。
3.2 线性变换的矩阵表示：
设V和W是两个线性空间，分别有维数为m和n的基
B={v1,v2,...,vm}和C={w1,w2,...,wn}。
如果T是一个线性变换，那么可以表示成矩阵形式：
[T]B,C=[T(v1)v2...T(vm)]，其中[T(v1)v2...T(vm)]为W中向量
w1,w2,...,wn在基C下的坐标。
4. 特征值与特征向量：
4.1 特征值和特征向量的定义：
设V是一个线性空间，T是V上的一个线性变换，如果存在一个非零向量v∈V和一个标量λ∈F，使得T(v)=λv，则称λ是T的一个特征值，v是对应于特征值λ的特征向量。
4.2 特征值与特征向量的性质：
(1) 与不同特征值对应的特征向量是线性无关的。
(2) 对于同一个特征值λ，其对应的特征向量构成的集合是V的一个子空间，称为特征子空间。
总结：
本文对高等代数考研试题中的代数结构、线性空间、线性变换、特征值与特征向量等知识点进行了精选和解析。
高等代数作为数学专业的一门重要基础课程，对数学研究和应用都有着重要作用。
希望本文的内容能够帮助考生更好地掌握高等代数知识，为考研取得优异成绩打下坚实基础。