空间直线的一般式方程
空间直线及其方程
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
高等数学七⑥
12/28
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
MN {2 2,13 1, 3 3} { 12 , 6 , 24},
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
空间直线的一般方程 x
z 1
2
L
o
2/28
y
高等数学七⑥
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1、方向向量
如果一非零向量平行于
一条已知直线，这个向量称 为这条直线的方向向量．
2、直线的方程
z s
L
M
M0
M0( x0 , y0 , z0 ), M( x, y, z),
o
y
M L,
M0M// s
x
s {m, n, p}, M0M {x x0 , y y0 , z z0 }
高等数学七⑥
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x x0 y y0 z z0mn Nhomakorabeap
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
x 1 4t
参数方程
y
t
.
z 2 3t
高等数学七⑥
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例 2 一直线过点 A(2,3,4)，且和y 轴垂直相
空间坐标系直线的表达式
空间坐标系直线的表达式在三维空间中，直线是一种基本的几何元素，它可以用数学表达式来描述。
我们可以通过空间中的点或向量来定义一条直线的表达式。
直线的一般表达式一条直线可以用一个参数方程组表示为：$$ \\begin{cases} x = x_0 + at \\\\ y = y_0 + bt \\\\ z = z_0 + ct \\end{cases} $$ 其中x0,y0,z0是直线上的一点，a,b,c为方向向量或者直线的方向比例。
点向式另一种表示直线的方法是点向式，也被称为对称式，即$$ \\frac{x - x_0}{l} = \\frac{y - y_0}{m} = \\frac{z - z_0}{n} $$其中(l,m,n)是直线的方向向量。
参数方程式直线也可以用参数方程式表示，形式为$$ \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x_0\\\\ y_0 \\\\ z_0 \\end{pmatrix} + t\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c\\end{pmatrix} $$其中 $\\begin{pmatrix} x_0 \\\\ y_0 \\\\ z_0 \\end{pmatrix}$ 是直线上的一点，$\\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ c \\end{pmatrix}$ 是直线的方向向量。
对称式直线还可以通过对称式表达为$$ \\frac{x - x_0}{a} = \\frac{y - y_0}{b} = \\frac{z - z_0}{c} $$其中(a,b,c)是直线的方向向量。
距离点法式如果已知直线上的一个点P0(x0,y0,z0)和与直线平行的一个法向量(A,B,C)，直线的方程可以表示为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0标准方向向量形式直线的标准方向向量形式为$$ \\begin{pmatrix} x \\\\ y \\\\ z \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} x_0\\\\ y_0 \\\\ z_0 \\end{pmatrix} + t\\begin{pmatrix} l \\\\ m \\\\ n\\end{pmatrix} $$其中 $\\begin{pmatrix} l \\\\ m \\\\ n \\end{pmatrix}$ 为直线的方向向量。
空间直线方程一般式的方向向量
空间直线方程一般式的方向向量空间直线是三维空间中的一条线，可以用方程表示。
其中，一般式的方向向量是描述直线方向的重要工具。
本文将围绕空间直线方程一般式的方向向量展开，介绍其定义、性质和应用。
一、定义空间直线方程一般式的方向向量是指直线上的两个不重合的点所构成的向量。
设直线上两点为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，则直线方程一般式的方向向量可以表示为AB→=(x2-x1, y2-y1, z2-z1)。
这个向量可以用于描述直线的方向和倾斜程度。
二、性质1. 方向唯一性：空间直线方程一般式的方向向量的方向是唯一的，即两点确定一条直线的方向是确定的。
2. 倾斜程度：空间直线方程一般式的方向向量的长度可以表示直线的倾斜程度，长度越大，直线倾斜程度越大。
3. 平行性：两条直线平行的充要条件是它们的方向向量共线。
4. 垂直性：两条直线垂直的充要条件是它们的方向向量的内积等于零。
三、应用1. 直线的平行和垂直关系：通过比较直线的方向向量可以判断直线之间的平行和垂直关系。
如果两条直线的方向向量共线，则它们平行；如果两条直线的方向向量的内积为零，则它们垂直。
2. 直线的夹角：通过计算直线的方向向量的夹角可以得到直线之间的夹角。
设直线的方向向量分别为u→=(a1, b1, c1)和v→=(a2, b2, c2)，则直线的夹角θ可以通过以下公式计算得到：cosθ=(a1a2+b1b2+c1c2)/(|u→||v→|)。
3. 直线的平面垂直：如果一个直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与该平面垂直。
通过计算直线的方向向量与平面的法向量的内积可以判断直线与平面的垂直关系。
4. 直线的投影：直线的方向向量可以用于计算点到直线的投影。
设直线的方向向量为l→=(a, b, c)，点P(x0, y0, z0)到直线的投影为点Q(x, y, z)，则有公式：(x-x0)/a=(y-y0)/b=(z-z0)/c。
直线的一般式方程
直线的一般式方程直线一般式方程适用于所有的二维空间直线。
它的基本形式是Ax+By+C=0 （A，B不全为零）。
因为这样的特点特别适合在计算机领域直线相关计算中用来描述直线。
方程表达式直线的一般式方程能够表示坐标平面内的任何直线。
（A，B不全为零即A^2+B^2≠0）该直线的斜率为(当B=0时没有斜率)平行于x轴时，A=0，C≠0；平行于y轴时，B=0，C≠0；与x轴重合时，A=0，C=0；与y轴重合时，B=0，C=0；过原点时，C=0；与x、y轴都相交时，A*B≠0。
结论两直线平行时：普遍适用：，方便记忆运用：(A2B2C2≠ 0）两直线垂直时：两直线重合时：两直线相交时：两直线一般式垂直公式的证明：设直线l1：A1x+B1y+C1=0直线l2：A2x+B2y+C2=0（必要性）∵l1⊥l2∴k1×k2=-1∵k1=-A1/B1，k2=-A2/B2 ∴(-A1/B1)(A2/B2)=-1 ∴（B1B2）/(A1A2)=-1∴B1B2=-A1A2∴A1A2+B1B2=0（充分性）∵A1A2+B1B2=0∴B1B2=-A1A2∴（B1B2）(1/A1A2)=-1∴(A1/B1)(A2/B2)=-1∴(-A1/B1)(-A2/B2)=-1∵k1=-A1/B1, k2=-A2/B2∴k1×k2=-1∴l1⊥l2方程求解一般式方程在计算机领域的重要性常用的直线方程有一般式、点斜式、截距式、斜截式、两点式等等。
除了一般式方程，它们要么不能支持所有情况下的直线（比如跟坐标轴垂直或者平行），要么不能支持所有情况下的点（比如x坐标相等，或者y坐标相等）。
所以一般式方程在用计算机处理二维图形数据时特别有用。
已知直线上两点求直线的一般式方程已知直线上的两点P1(X1,Y1) P2(X2,Y2)， P1 P2两点不重合。
对于AX+BY+C=0：当x1=x2时，直线方程为x-x1=0当y1=y2时，直线方程为y-y1=0当x1≠x2，y1≠y2时，直线的斜率k=(y2-y1)/(x2-x1) 故直线方程为y-y1=(y2-y1)/(x2-x1)×(x-x1)即x2y-x1y-x2y1+x1y1=(y2-y1)x-x1(y2-y1)即(y2-y1)x-(x2-x1)y-x1(y2-y1)+(x2-x1)y1=0即(y2-y1)x+(x1-x2)y+x2y1-x1y2=0 ①可以发现，当x1=x2或y1=y2时，①式仍然成立。
空间之中的直线方程
空间之中的直线方程一、引言直线是平面几何中的基本图形之一，其方程是数学中的基础知识。
在空间中，直线的方程也是必须掌握的重要内容。
本文将详细介绍空间中直线的方程。
二、空间直线的定义在三维坐标系中，如果两个不同点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)确定了一条唯一的直线l，则称这条直线为由点A和点B所确定的直线。
三、空间直线方程的表示方法1. 参数式方程参数式方程是指用参数t表示空间直线上任意一点P(x,y,z)与某个已知点P0(x0,y0,z0)之间距离比值关系得到的方程。
设向量a=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，则过点A(x1,y1,z1)且与向量a共面的平面可以表示为：a·(x-x1,y-y1,z-z1)=0即：ax+by+cz+d=0其中d=-(ax1+by1+cz1)设P(x,y,z)为该平面上任意一点，则有：AP/AB=t即：|(x-x1,y-y1,z-z1)|/|(x2-x2,y2-y1,z2-z1)|=t 化简可得：x=x_ 10 +t(x_ 20 -x_ 10 )y=y_ 10 +t(y_ 20 -y_ 10 )z=z_ 10 +t(z_ 20 -z_ 10 )其中(x_ 10 ,y_ 10 ,z_ 10 )和(x_ 20 ,y_ 20 ,z_ 20 )分别是直线上已知的两个点A和B的坐标。
因此，空间直线的参数式方程为：x=x1+t(x2-x1)y=y1+t(y2-y1)z=z1+t(z2-z1)2. 对称式方程对称式方程是指用空间中任意一点P(x,y,z)到直线l的距离表示出来，并且有两个不同点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)在该直线上，从而得到的方程。
设P0为平面上一点，向量n为平面法向量，则过P0且垂直于l的平面可以表示为：n·(x-x0,y-y0,z-z0)=0即：ax+by+cz+d=0其中d=-(ax0+by0+cz0)设P(x,y,z)为该平面上任意一点，则有：AP与BP在l上投影相等即：|(x-x1,y-y1,z-z1)·(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|/|(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|=|(x-x2,y-y2,z-z2)·(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|/|(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|化简可得：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)因此，空间直线的对称式方程为：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)3. 一般式方程一般式方程是指将空间直线的参数式方程中的参数t消去，从而得到的方程。
4空间直线及其方程
l ' l'
: 2x + y + 2z = 0
'：
即
x y 1 ( y z 1) 0 ,
x z 2 0.
故: 投影直线l':
xz 2 = 0 2x+y +2z = 0
作业
P33.2. 3. 5. 10. 11
3 2 3 2
(x – y + z – 1) = 0
即：5x – y + z – 3 = 0
例7 .求直线 l :
x + y 1=0,
y + z + 1=0.
在平面 : 2x + y + 2z = 0
l ' l'
上的投影直线方程. 解：设投影直线为l'，则由l与 l'决定的平面'与平面垂直。
高校理科通识教育平台数学课程
微积分学(二)
多元微积分学
空间解析几何
●
授课教师
孙学峰
向量代数与 空间解析几何
空间直线及其方程
§4
空间直线及其方程
一. 空间直线的方程
(一).空间直线的一般方程 空间直线可看成是两个不平行平面1与 2 的交线 已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0
( 为任意实数 .)
过直线 l 与点 p0 的平面为:
(A x B y C z D )
1 1 1 1
Ax B y C z D
1 0 1 0 1 0
三维空间 直线的一般方程
三维空间直线的一般方程三维空间中直线的一般方程是如何表示的呢？首先，我们需要了解什么是三维空间和直线。
三维空间是指具有长度、宽度和高度三个维度的空间，也是我们所处的物理空间。
而直线是由无数个点组成的，它是最简单的曲线形状之一。
在三维空间中，直线的一般方程可以用向量表示。
具体来说，设直线上一点为P，直线的方向向量为n，直线上的点P的坐标为(x, y, z)，则直线的一般方程可以表示为：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c)其中，(x0, y0, z0)是直线上的一个已知点，(a, b, c)是直线的方向向量，t是一个参数。
这个一般方程的意义是，对于直线上的任意一点P，它的坐标(x, y, z)可以通过已知点(x0, y0, z0)加上方向向量的t倍得到。
也就是说，直线上的每个点都可以通过这个方程来表示。
那么，如何求解直线的一般方程呢？一种方法是通过已知点和方向向量来确定。
假设已知点为P0(x0, y0, z0)，方向向量为n(a, b, c)，我们可以将这些已知信息代入一般方程中，得到：(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t * (a, b, c)这样就得到了直线的一般方程。
另一种方法是通过两个不同的已知点来确定直线的一般方程。
假设已知点为P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，我们可以将这两个点代入一般方程中，得到一个方程组：(x, y, z) = (x1, y1, z1) + t * (a, b, c)(x, y, z) = (x2, y2, z2) + s * (a, b, c)通过解这个方程组，我们可以求解出直线的一般方程。
需要注意的是，直线的一般方程并不是唯一的，它可以有无数个不同的表示方式。
这是因为我们可以选择不同的已知点和方向向量来确定直线的一般方程，而这些不同的表示方式在几何上都表示同一条直线。
在实际应用中，直线的一般方程可以用于描述很多问题，比如计算直线与平面的交点、求直线的长度、判断两条直线是否相交等等。
8-7空间直线及其方程-PPT精品文档
4. 空间直线的两点式方程
设直线 L 过点 M ( x , y , z ) 与 M ( x , y , z ) ， 1 1 1 1 2 2 2 2 x x y y z z 1 1 1 则其方程为 x x y z 2 1 y 2 1 z 2 1
直线的两点式方程
例1 用对称式方程及参数方程表示直线 xyz 1 0 . 2 xy 3 z 4 0 x ,y ,z ) ， 解 在直线上任取一点 ( 5 0 0 0 x x y 1 0 3 令 z 0 ， ， 解得 , 2x y40 y2 52 3 故直线过点 ( , ,0 ) ， 33 因所求直线与两平面的法向量都垂直， i j k 取 s n n { 4 , 1 , 3 } ， 1 1 1 1 2
x 2 y 3 z 4 由两点式方程，所求直线方程为 . 2 0 4 2 x z 0 或 . y 3
二、两直线的夹角
定义 两直线方向向量间的夹角，称为两直线的夹角．
(一般取锐角) x x y z 1 y 1 z 1 直线 L ： ， s m , n , p ， 1 1 1 1 1 m n p 1 1 1
m n p 1 1 1 s s . L L ( 2 ) 1 // 2 // 2 1 m n p 2 2 2 例如， 直线 L1 : s { 1 , 4 , 0 } ， 1 直线 L2 : s { 0 , 0 , 1 } ， 2 s s ， s s 0 ， 即 L L . 1 2 1 2 1 2
x 1 y 5 z 8 例4 设有直线 L ： 及 1 1 2 1 x y 6 ， 直线 L ： 则 L 与 L 的夹角 [ ． ( 19 ) C] 2 1 2 2 y z 3 ，
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空间直线的一般式方程
在三维空间中，直线可以用一般式方程来描述。
一般式方程是一个包含两个未知数的方程，通常写作：
Ax + By + Cz + D = 0
其中，A、B、C是直线的方向向量的坐标，D是常数项。
通过这个方程，可以描述空间中的任意一条直线。
要求一条直线的一般式方程，需要知道直线上的一点和直线的方向向量。
假设给定点为P(x1, y1, z1)，直线的方向向量为v(a, b, c)，则该直线的一般式方程可以表示为：
a(x - x1) + b(y - y1) + c(z - z1) = 0
其中，x、y、z是直线上任意一点的坐标。
这个方程可以进一步化简为：
ax + by + cz + d = 0
其中，a = A，b = B，c = C，d = -(a*x1 + b*y1 + c*z1)。
通过这个方程，可以方便地求出直线上任意一点的坐标。
如果已知另外两个点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)，可以通过它们的坐标求出直线的方向向量v，进而求得该直线的一般式方程。
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