一元二次方程竞赛解题方法

与一元二次方程有关的竞赛题求解方法

一元二次方程是初中教材的重点内容，也是竞赛题的特点，在掌握常规解法的基础上，注意一些特殊的、灵活的解法，往往能收到事半功倍的效果。

一、换元

例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )

A、-2

B、0

C、2

D、4

( “希望杯”竞赛题)

二、降次

例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。

(江苏省竞赛题) 三、整体代入

例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x

1、x

2

，记S

1

=x

1

+1993x

2

，S

2

=

x 12+1993x

2

2，…，Sn=x

1

n+1993x

2

n，则aS

1993

+bS

1992

+cS

1991

= 。

(希望杯竞赛试题)

例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。

(第八届“祖冲之”杯竞赛试题)

五、反客为主

例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。

(香港初中数学竞赛试题)

六、构造新方程

例6 已知两数a、b，ab≠1，且

2a2+1234567890a+3=0(1)

3b2+1234567890b+2=0(2)

则= 。

( “希望杯”竞赛试题)

例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程

ax2+2bx+c=0

bx2+2cx+a=0

cx2+2ax+b=0

不可能都有两个相等的实数根。

(山东省数学竞赛试题)

八、巧用αβ+α+β+1，αβ-α-β+1因式分解

例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。

(江苏省竞赛试题)

九、整体变形

例9 设a、b、c、d＞0，证明在方程

x2+

x2+

x2+

x2+

中，至少有两个方程有不相等的实数根。

( “希望杯”竞赛试题)

十、分类讨论

例10 已知三个关于x的方程：

x2-x+m=0(1)

(m-1)x2+2x+1=0(2)

(m-2)x2+2x-1=0(3)

其中至少有两个方程有实根，则实数m的取值范围是( )

A、m≤2

B、m≤或1≤m≤2

C、m≥1

D、≤m≤1

(山东省竞赛试题)

例1 方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是( )

A、-2

B、0

C、2

D、4

解：原方程为(x-1)2-5|x-1|+6=0 即|x-1|2-5|x-1|+6=0 令|x-1|=A，则方程变为A2-5A+6=0 ∴A1=2，A2=3 由|x-1|=2，得x1=3，x2=-1；由|x-1|=3，得x3=4，x4=-2。x1+x2+x3+x4=4

故选D。

例2 已知α、β是方程x2-x-1=0的两个实数根，不解方程，求a4+3β的值。

解：∵α是方程x2-x-1=0的根，∴α2-α-1=0，α2=α+1(二次转化为1次)

α4=(α+1)2=α2+2α+1=α+1+2α+1=3α+2(四次转化为一次)

∴α4+3β=3α+2+3β=3(α+β)+2=3×1+2=5

例3 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2= x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991= 。(93年希望杯竞赛试题)

解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax+bx1+c=0，ax+bx2+c=0。

aS1993+bS1992+cS1991=a(x+1993x)+b(x+1993x)+c(x

+1993x)=(ax+bx+cx)+(a·1993x+b·1993x+c·1993x)= x

(ax+bx1+c)+1993x(ax+bx2+c)=0。

例4 已知α、β是方程x2-7x+8=0的两根且α＞β，不解方程，利用韦达定理求+3β2的值。

解：由韦达定理，得α+β=7，αβ=8∴α2+β2=(α+β)2-2αβ=49-16=33，(α-β)2=(α+β)2-4αβ=49-32=17 ∵α＞β，∴α-β=

设A=+3β2，B=+3α2(A的配偶)

则A+B=+3(α2+β2)=+3×33=

A-B=-+3β2-3α2=-3(α+β)(α-β)=

∴2A=A=

例5 求所有正实数a，使得方程x2-ax+4a=0仅有整数根。

解：设方程两整数根为α、β，则α+β=a。由此可知a必为整数

将方程x2-ax+4a=0中的x视为常数，a视为未知数，方程可变为

(x-4)a=x2∴a==x+4+

∵a为正整数∴x=5, 6, 8, 12, 20。

此时对应的a值为a=25, 18, 16, 18, 25。

∴所有正实数a的值为25，18，16。

例6 已知两数a、b，ab≠1，且2a2+1234567890a+3=0(1) 3b2+1234567890b+2=0(2) 则= 。

解：显然b=0不是方程(2)的解，方程(2)两边同除以b2，得

3+1234567890×+=0 即2()2+1234567890×+3=0

考虑方程2x2+1234567890x+3=0中，△=12345678902-24＞0

∴方程有两个不相等的实数根

而ab≠1，即a≠∴a、是方程2x2+1234567890x+3=0的两个根。

∴a·=，即=

例7 设a、b、c为互不相等的非零实数，求证：三个方程

ax2+2bx+c=0

bx2+2cx+a=0

cx2+2ax+b=0

不可能都有两个相等的实数根。

证明：若三个方程都有两个相等的实数根，

则三式相加，得

4(a2+b2+c2)-4(ab+bc+ca)=0，

a2+b2+c2-ab-bc-ca=0，

2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca=0，

(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

∴a=b=c

这与已知a、b、c为互不相等的实数相矛盾。

故题中三个方程不可能都有两个相等的实数根。

例8 求满足如下条件的所有k值：使关于x的方程kx2+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数。

解：当k=0时，原方程化为x-1=0，x=1，符合题意。

当k≠0时，设原方程的两个整数根为α、β，不妨设α≥β。由韦达定理，得