利用Casio图形计算器探究关于求参数范围的问题(仲元中学霍子伟)

利用Casio 图形计算器探究关于求参数范围的问题

广东仲元中学数学科 霍子伟

摘要：Casio 图形计算器拥有代数运算功能、图像功能、统计功能、编程功能以及几何功能，具有便携性、交互性等特点，是进行数学教学与学习的强有力的工具。含参数问题是综合性很强的问题，是近年高考综合题的热点考点，解决这类问题需要学生有较好的数学素养和较强的数学能力。本文主要论述如何利用图形计算器探究关于求参数范围的问题。 关键词：参数；图形计算器；数形结合；化归思想

Casio 图形计算器拥有代数运算功能、图像功能、统计功能、编程功能以及几何功能，当中的计算矩阵、统计、电子教案、数据表格等14个模块全面覆盖高中数学教材，满足各种数学教学需要，同时它还能与电脑相连，实现教学内容的同步投影，让数学的教与学更加生动，让数学课堂更加丰富多彩。“君子生非异也，善假于物也。”学生若能掌握好图形计算器这门“利器”，学生便能在教师的指导下进行自主操作、观察、研究、分析、发现、猜想，深刻理解数学本质，真正实现数学学习与现代信息的有效整合。含参数问题是综合性很强的问题，是近年高考综合题的热点考点。参数问题广泛应用于高中数学的函数解析式、数列的通项公式、含参数的方程或不等式、含参数的曲线方程和曲线的参数方程等。本文笔者利用图形计算器探究关于求参数范围的问题。

一. 值域问题与参数的范围

例1.（2013广东深圳二模，6）设函数22(2)()(2)

x a x f x x a x ?+>?=?+≤??，若()f x 的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ ）

A. (,1][2,)-∞-+∞

B. [1,2]-

C. (,2][1,)-∞-+∞

D. [2,1]- 作图探究：按如下步骤操作

S1. 按p6选中动态图模块

S2. 输入函数12,(2)x y a x =+>，22,(2)y x a x =+≤，按l ；

S3. 按Le ，调整坐标轴，X 轴范围（-4,4），Y 轴范围（-6,4），按l ；

S4. 按rw ，设置参数a 的范围是（-4,4），步长是1，按l ；

S5. 作出函数12,(2)x y a x =+>，22,(2)y x a x =+≤的图像，按l

动态分析：通过多次点击l 变换a 值，观察参数a 与图像的变化规律。通过下图可以发现，无论a 取何值，()f x 在(,2]-∞和[2,)+∞上均是单调递增。a 值变化时，()f x 在(,2]-∞和[2,)+∞上的图像分别作上下平移。要使得()f x 的值域为R ，只需在2x =处满足22

22a a +≥+，即(,1][2,)a ∈-∞-+∞即可。

简要点评：华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．本题的关键是利用数形结合的思想解决分段函数参数的取值问题。学生需要深入分段函数的图像，判断函数的单调性，理解随a 的变化函数在两个区间的图像分别作上下平移。经过分析图像易知，要使()f x 的值域为R ，断点处满足条件2222a a +≥+即可。

二. 函数的单调性与参数的取值范围

通过图形计算器，用新的视觉纵观高考题目。

例5.（ 2013高考数学广东理科第21题）设函数2()(1)()x f x x e kx k R =--∈。

（1） 当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（2） 当1(,1]2

k ∈时，求函数()f x 在[0,]k 上的最大值M 。

解：（1）当1k =时，输入函数2(1)x y x e x =--，函数图像如下图所示，按Ly ，

分别选择y ，e ，得出函数的极大值与极小值。得出()f x 的

单调区间的单调递增区间是(,0)-∞和(0.69314,)+∞，单调

递减区间是(0,0.69314)。其中0.69314约为ln 2。

（2）探究一：观察函数21()(1)((,1])2

x f x x e kx k =--∈的图像，定义域设为R 。函数动态图像如下图所示：

动态分析：虽然可以看到函数()f x 在定义域R 上的图像随参数k 值变化的趋势，但由于定义域(,)-∞+∞是开区间，在图像上不能确定闭区间[0,]k 上的最大值。

探究二：观察函数21()(1)((,1])2

x f x x e kx k =--∈的图像，定义域设为[0,]k 。函数动态图像如下图所示：

动态分析：随着参数k 的变化，函数()f x 图像在变动，同此同时函数的定义域也在变动，图像看似毛毛虫在爬动，图像形象具体，但是由于k 的变化既影响函数的单调性，又影响着定义域的范围，所以仍然无法得出函数的最大值M 。

探究三：观察函数21()(1)((,1])2x f x x e kx k =--∈的图像，由于1(,1]2

k ∈，其最大值为1，所以将定义域调节为[0,1]。函数动态图像如下图所示：

动态分析：可观察到在确定区间[0,1]上，函数()f x 呈现一定的下降与上升的趋势，这种趋势引领我们先研究函数()f x 在确定的闭区间[0,1]上的单调性，并以此作为本题的切入点，再通过比较定义域端点k 值与极小值ln 2k 的大小进一步求解，体现从宏观到微观的解题思路。具体证明过程如下：

证明: ()()()

1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令()0f x '=,得10x =,()2ln 2x k =(0,ln 2][0,1]∈?,

令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12?? ???

上递增, 所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈

所以当()()0,ln 2x k ∈时,()0f x '<；当()()ln 2,x k ∈+∞时,()0f x '>；

所以()(){}(){}

3max 0,max 1,1k M f f k k e k ==--- 令()()311k h k k e k =--+,则()()

3k h k k e k '=-, 令()3k k e k ?=-,则()330k

k e e ?'=-<-<

所以()k ?在1,12?? ???上递减,而()()1313022e ??????=-< ????? 所以存在01,12x ??∈ ???使得()00x ?=,且当01,2k x ??∈ ???

时,()0k ?>, 当()0,1k x ∈时,()0k ?<, 所以()k ?在01

,2x ?? ???上单调递增,在()0,1x 上单调递减.

因为17028h ??=> ???

,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12?? ???

上恒成立,当且仅当1k =时取得“=”. 综上,函数()f x 在[]0,k 上的最大值()31k M k e k =--.

三．方程问题与参数的取值范围。

例2．（2010全国Ⅰ，15）直线1y =与曲线2

||y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是_______________.

作图探究：按如下步骤操作

S1. 按p6选中动态图模块

S2. 输入函数23||1y x x =-++，4y a =，按l ；

S3. 按Le ，调整坐标轴，X 轴范围（-4,4），Y 轴范围（-6,4），按l ；

S4. 按rw ，设置参数a 的范围是（-4,4），步长是1，按l ；

S5. 作出函数23||1y x x =-++，4y a =，的图像，按l

动态分析：通过函数与方程的关系可知，原题设等价于方程21||x x a =-+ 有四个不

同解，方程移项将a 置于等号一边可得方程2||1a x x =-++，即等价于直线y a =与曲线2||1y x x =-++有四个交点。通过分析函数解析式以及观察图像易知，函数

2||1y x x =-++是偶函数，图像关于y 轴对称，(0)1f =，max 15()24

f f ==。随着多次

变换a 值，直线y a =上下平移，观察下图可得，要使直线y a =与曲线2||1y x x =-++有四个交点，a 只需满足514

a <<。

简要点评：本题利用等价转化思想将函数的交点问题与方程的根的问题进行互相转化，然后利用函数图像进行求解，求解时要注意转化的等价性。

四．不等式问题与参数的取值范围

例4. （2013广东模拟，13）已知满足约束条件50,0,3,x y x y x -+≥??+≥??≤?

，则2z x y =+的最小值是

_______________.

作图探究：按如下步骤操作

S1. 按p 5选中图形模块；

S2. 输入不等式5y x ≤+，y x ≥-，3x ≤，按l ；

S3. 按Lp ，在Ineq Type 处按q ，设置为Intsect 按l ；

S4. 按Le ，调整坐标轴，X 轴范围（-2,4），Y 轴范围（-4,10），按l 得到约束条件所表示的平面区域；

S5. 按iqqq ，键入数字1，保存文件，按Lp ，在Background 处打开pict01； S6. 按p6，输入函数7122

z y x =-+，变量z 范围为（-4,20），步长为1，按l ； 动态分析：先画出约束条件所表示的平面区域，将目标函数转化为关于x 的函数7122z y x =-+，其中z 视为参数。通过变换参数z 的值，使直线7122

z y x =-+上下平移，从图像可得，该直线过点(3,3)-时，直线的截距最小，从而z 取得最小值 -3 。

简要点评：数形结合是解决简单线性规划问题的基本解题思想，其中将将目标函数转化为关于x 的函数体现了化归的思想。利用图像计算器研究凸显其直观性、动态化等特点。 参考文献

[1] 唐德绪. TI 图形计算器支持下的高中数学探究学习研究[D]. 云南师范大学. 2006.

[2] 邓军民. 利用TI图形计算器探索参数范围的求解问题[J]. 中国数学教育2012（1-2）：1-2.