河南省中考数学专题复习专题四与圆有关的计算训练

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2024专题4.4圆---利用“阿氏圆”模型求最值-中考数学二轮复习必会几何模型剖析(全国通用)

当BPD三点共线且P点位于BD之间时,PB+PD最小,此
时2PB+PC最小,最小值为2BD,延长CD交AB于H,则
CH⊥AB,
O D P
B
A
H

易求得DH= ,BH=3,∴BD= ,

C
O
P
∴2PB+PC的最小值为3 .
B
C
针对训练
变式一系数需要转化(提系数)
知识点三
1.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的
P(x,y),PA=kPB,即：(x+m)2+y2 =k (x-m)2+y2
∴(x+m)2+y2=k2(x-m)2+k2y2
∴(k2-1)(x2+y2)-(2m+2k2m)x+(k2-1)m2=0
2m
2m+2k
∴x2+y2- k2-1 x+m2=0
知识点二
新知探究
解析式满足圆的一般方程,故P点所构成的图形是圆,且圆心与AB共线.除
则 PD+4PC的最小值为_____.
D
A
P
B
C
典例精讲
变式三求差最大的问题
知识点五
求带系数的两条线段差最大的问题,转化方法和前面所讲完全一样,只是
最后求最值时有所不同,前面求和最小都是运用两点之间线段最短的原理,
求差最大,我们需要运用“三角形两边只差小于第三边”这一原理来解决.
【例6】(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上
【引例】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上

2020河南中考数学专题练习——圆和四边形综合(无答案)

2020河南中考数学专题练习——圆与四边形综合知识点睛圆中常见思考角度（1）连半径，得等腰①设半径，表达，几何特征列方程求解；②等腰（等边）三角形中转移角．（2）遇弦①知（求）弦长，作垂线，连半径，垂径定理配合勾股定理求解；②弦相等，找弧传角．（3）遇角①有角找弧，由弧找角；②有直径找直角，由直角找直径．（4）有切线，连半径．注：圆综合问题，往往先从圆的角度来分析，再将其看作三角形、四边形背景下的条件．精讲精练1.如图，AB为⊙O的直径，CD切⊙O于点D，AC⊥CD于点C，交⊙O于点E，连接AD，BD，ED．（1）求证：BD=ED；（2）若CE=3，CD=4，求AB的长．AOBEC D2.如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线BE∥AC，点P是优弧AC上一动点（不与A，C重合），连接P A，PB，PC，PB交AC于D．（1）求证：PB平分∠APC；（2）当PD=3，PB=4时，求AB的长．POA D CEB3.如图，在△ABD中，AB=AD，AB是⊙O的直径，DA，DB分别交⊙O于点E，C，连接EC，OE，OC．（1）当∠BAD是锐角时，求证：△OBC≌△OEC．（2）填空：①若AB=2，则△AOE的最大面积为___________；②当DA与⊙O相切时，若AB=2，则AC的长为_________．DECA BO4.如图，△ABC内接于⊙O且AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE交AC于点F，连接CE．（△1）求证：ABE≌△CDE．（2）填空：①连接AO，OC，当∠ABC=_____时，四边形AOCE为菱形；②若AE=6，EF=4，则DE的长为_________．AEOFB C D5.如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（不与点A，B重合），连接AD，过点O作AD的垂线，交半圆O的切线AC于点C，交半圆O于点E．连接BE，DE．（1）求证：∠BED=∠C．（2）连接BD，OD，CD．填空：①当∠ACO的度数为__________时，四边形OBDE为菱形；②当∠ACO的度数为__________时，四动形AODC为正方形．CE DA O B︵6.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上不同于A，B的一动点，在B C上取点D，使∠DBC=∠ABC，DE为半圆O的切线，过点B作BF⊥DE于点F．（1）求证：∠DBF=2∠CAD．（2）连接OC，CD．填空：①当∠CAB=________°时，四边形COBD为菱形；②当∠CAB=________°时，四边形DOBF为正方形．EFDCA O B︵︵7.如图所示，半圆O的直径AB=4，C D=B D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．（△1）求证：CDF≌△BDE．（2）填空：①当AD=_______时，四边形AODC是菱形；②当AD=_______时，四边形AEDF是正方形．FC DA O E B8.如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D，E为BC边的中点，连接DE，OE．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）填空：①当∠CAB=__________时，四边形AOED是平行四边形；②连接OD，在①的条件下，探索四边形OBED的形状为____________．CDEA O B。

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案

中考数学复习《圆》专题训练-附带有答案一、选择题1．下列有关圆的一些结论：①平分弧的直径垂直于弧所对的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；④同弧或等弧所对的弦相等，其中正确的有（）A．①④B．②③C．①③D．②④2．在同一平面内，已知⊙O的半径为3cm，OP＝4cm，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O圆外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．无法确定3．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC＝66°（）A．66°B．33°C．24°D．30°4．如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠CDA＝118°，则∠C的度数为（）A．32°B．33°C．34°D．44°5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=26°，则∠D等于（）A．26°B．48°C．38°D．52°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么∠A是（）A．60°B．50°C．80°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若∠BCO=35°，AO=2，则AC⌢的长度为（）A．29πB．59πC．πD．79π8．如图，点A、B、C、D、E都是⊙O上的点AC⌢=AE⌢，∠D=130°则∠B的度数为（）A．130°B．128°C．115°D．116°二、填空题9．半径为6的圆上，一段圆弧的长度为3π，则该弧的度数为°.10．如图，在△ABC中，∠ACB= 130°，∠BAC=20°，BC=2．以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为.11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，AB=AC．∠ABC的平分线交AC于点D，交⊙O于点E，连结CE．若CE= √2，则BD的长为.12．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠ADC=85°，则∠B=．13．如图，在△ABC中∠ACB=90°，O为BC边上一点CO=2.以O为圆心，OC为半径作半圆与AB边交π，则阴影部分的面积为.于E，且OE⊥AB.若弧CE的长为43三、解答题14．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，OD交AC于点E，OD∥BC（1）求证：AD＝CD；（2）若AC＝8，DE＝2，求BC的长.15．如图，AB是⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠FAB交⊙O于点C.过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D.（1）求证：CD是⊙O的切线.（2）若DC＝3，AD＝9，求⊙O半径.⌢上一点，AG与DC的延长线交于点F．16．已知，如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是AC（1）如CD=8，BE=2，求⊙O的半径长；（2）求证：∠FGC=∠AGD．17．如图，在△ABC中AB=AC，以底边BC为直径的⊙O交两腰于点D，E .（1）求证：BD=CE；⌢的长.（2）当△ABC是等边三角形，且BC=4时，求DE18．如图，在△ABC中，经过A，B两点的⊙O与边BC交于点E，圆心O在BC上，过点O作OD⊥BC交⊙O 于点D，连接AD交BC于点F，且AC＝FC．（1）试判断AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若FC＝√3，CE＝1．求图中阴影部分的面积（结果保留π）．参考答案1．A2．A3．B4．C5．C6．C7．D8．C9．9010．2√311．2√212．95°π13．4√3−4314．（1）证明：∵AB是⊙O的直径∴∠ACB＝90°∵OD∥BC∴∠AEO＝∠ACB＝90°⌢＝CD⌢∴AD∴AD＝CD；（2）解：∵OD⊥AC，AC＝8AC＝4∴AE＝12设⊙O的半径为r∵DE＝2∴OE＝OD﹣DE＝r﹣2在Rt△AEO中，AE2+OE2＝AO2∴16+（r﹣2）2＝r2解得：r＝5∴AB＝2r＝10在Rt△ACB中，BC＝√AB2−AC2＝√102−82＝6∴BC的长为6.15．（1）证明：连接OC∵AC平分∠FAB∴∠FAC＝∠CAO∵AO＝CO∴∠ACO＝∠CAO∴∠FAC＝∠ACO∴AD∥OC∵CD⊥AF∴CD⊥OC∵OC为半径∴CD是⊙O的切线；（2）解：过点O作OE⊥AF于EAF，∠OED＝∠EDC＝∠OCD＝90°∴AE＝EF＝12∴四边形OEDC为矩形∴CD＝OE＝3，DE＝OC设⊙O的半径为r，则OA＝OC＝DE＝r∴AE＝9﹣r∵OA2﹣AE2＝OE2∴r2﹣（9﹣r）2＝32解得r＝5.∴⊙O半径为5.16．（1）解：连接OC．设⊙O的半径为R．∵CD⊥AB∴DE=EC=4在Rt △OEC中，∵OC2=OE2+EC2∴R2=(R−2)2+42解得R=5．（2）解：连接AD∵弦CD⊥AB̂ = AĈ∴AD∴∠ADC=∠AGD∵四边形ADCG是圆内接四边形∴∠ADC=∠FGC∴∠FGC=∠AGD．17．（1）证明：∵AB=AC∴∠B=∠C⌢=BE⌢∴CD⌢=CE⌢∴BD∴BD=CE；（2）解：连接OD、OE∵△ABC 是等边三角形∴∠B =∠C =60°∴∠COD =120°∴∠COD +∠BOE =∠COE +∠DOE +∠BOD +∠DOE =240° ∴∠DOE =240°−180°=60°∵BC =4∴⊙O 的半径为 2∴DE ⌢ 的长 =60π×2180=2π3 .18．（1）解：AC 与⊙O 的相切，理由如下∵AO =DO∴∠D =∠OAD∵CF =CA∴∠CAF =∠CFA又∵∠CFA =∠OFD∴∠CAF =∠OFD∵OD ⊥BC∴∠OFD +∠ODF =90°∴∠CAF +∠OAF =90°∴OA ⊥AC∵OA 是半径∴AC 是⊙O 的切线∴ AC 与⊙O 的相切；（2）解：过A 作AM ⊥BC 于M ，如图设OA=OE=r∵FC=√3，CE=1在Rt△CAO中AO=r，AC=FC=√3，OC=OE+EC=r+1AO2+AC2=OC2∴r2+(√3)2=(r+1)2解得r=1∴OC=OE+EC=2∴AO=12 OC∴∠C=30°∴∠AOC=60°∴∠AOB=180−∠AOC=120°在Rt△CAM中AM=12AC=12FC=√32∴S△AOB=12⋅OB⋅AM=12×1×√32=√34∴S扇形AOB=120360π×1=π3∴S阴影部分=S△AOB−S扇形AOB=π3−√34．。

中考数学专题复习《圆的证明与计算》检测题(含答案)

专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1.如图，⊙O 的半径为5，点P 在⊙O 外，PB 交⊙O 于A 、B 两点，PC 交⊙O 于D 、C 两点． (1)求证：P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)若P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，求点O 到PC 的距离．第1题图2. 如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是AB ︵的中点，连接P A ，PB ，PC .(1)如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AC ＝3AP ； (2)如图②，若sin ∠BPC ＝2425，求tan ∠P AB 的值．第2题图3. 已知⊙O 中弦AB ⊥弦CD 于E ，tan ∠ACD ＝32. (1)如图①，若AB 为⊙O 的直径，BE ＝8，求AC 的长；(2)如图②，若AB 不为⊙O 的直径，BE ＝4，F 为BC ︵上一点，BF ︵＝BD ︵，且CF ＝7，求AC 的长．第3题图4.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，连接AD 、DE .(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若 DE ＝3，BD －AD ＝2，求⊙O 的半径； (3)在(2)的条件下，求弦AE 的长．第4题图5.如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点， ∠APC ＝∠CPB ＝60°.(1)判断△ABC 的形状：________；(2)试探究线段P A ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论； (3)当点P 位于AB ︵的什么位置时，四边形APBC 的面积最大？求出最大面积．第5题图备用图类型二与切线有关的证明与计算(一、与三角函数结合1.已知：如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC中点，BE平分∠ABD 交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.(1)求证：AC与⊙O相切；(2)当BD＝6，sin C＝35时，求⊙O的半径．第1题图2.如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.(1)求证：∠PCA＝∠ABC；(2)过点A作AE∥PC，交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE.若sin ∠P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．第2题图3. 如图①，在⊙O 中，直径AB ⊥CD 于点E ，点P 在BA 的延长线上，且满足∠PDA ＝∠ADC .(1)判断直线PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)延长DO 交⊙O 于M (如图②)，当M 恰为BC ︵的中点时，试求DE BE 的值；(3)若P A ＝2，tan ∠PDA ＝12，求⊙O 的半径．第3题图二、与相似三角形结合1.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，E 是BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 与AB 边交于点D ，连接DE . (1)求证：△ABC ∽△CBD ； (2)求证：直线DE 是⊙O 的切线．第1题图2. 如图，⊙O 的圆心在Rt △ABC 的直角边AC 上，⊙O 经过C 、D 两点，与斜边AB 交于点E ，连接BO 、ED ，有BO ∥ED ，作弦EF ⊥AC 于G ，连接DF .(1)求证：CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠DFE ＝35，求EF 的长．第2题图3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作半圆⊙O ，交BC 于点D ，连接AD ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为点E ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，sin ∠ADE ＝45，求BF 的长．第3题图4.如图，在△ABC中，∠C＝90°，以AB上一点O为圆心，OA长为半径的圆恰好与BC相切于点D，分别交AC、AB于点E、F.(1)若∠B＝30°，求证：以A、O、D、E为顶点的四边形是菱形；(2)若AC＝6，AB＝10，连接AD，求⊙O的半径和AD的长．第4题图5.已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD ＝DC，延长CB交⊙O于点E.(1)图①的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；(2)如图②，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F.①若CF＝CD时，求sin∠CAB的值；②若CF＝aCD(a>0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)第5题图6.已知：如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，OF延长线交⊙O于点E，AE与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB＝∠AEC.(1)求证：BD是⊙O的切线；(2)求证：CE2＝EH·EA；(3)若⊙O 的半径为5，sin A ＝35，求BH 的长．第6题图7.如图①，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，交BC 于点E (BE ＞EC )，且BD ＝2 3.过点D 作DF ∥BC ，交AB 的延长线于点F .(1)求证：DF 为⊙O 的切线；(2)若∠BAC ＝60°，DE ＝7，求图中阴影部分的面积；(3)若AB AC ＝43，DF ＋BF ＝8，如图②，求BF 的长．第7题图三、与全等三角形结合1.如图，已知PC 平分∠MPN ，点O 是PC 上任意一点，PM 与⊙O 相切于点E ，交PC 于A 、B 两点． (1)求证：PN 与⊙O 相切；(2)如果∠MPC ＝30°，PE ＝23，求劣弧BE ︵的长．第1题图2.如图，已知BC是⊙O的弦，A是⊙O外一点，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC ＝60°.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若E、F分别是边AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O 的半径为2.试问BE＋CF的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．第2题图3. 已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE.(1)求证：AE与⊙O相切；(2)连接BD，若ED∶DO＝3∶1，OA＝9，求AE的长和tan B的值．第3题图4. 如图，PB为⊙O的切线，B为切点，直线PO交⊙O于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂足为点D，交⊙O于点A，延长AO与⊙O 交于点C，连接BC，AF.(1)求证：直线P A为⊙O的切线；(2)试探究线段EF、OD、OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC＝6，tan∠F＝12，求cos∠ACB的值和线段PE的长．第4题图5. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，∠ACB 的平分线CD 交⊙O 于点D ，过点D 作⊙O 的切线PD ，交CA 的延长线于点P ，过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F . (1)求证：PD ∥AB ； (2)求证：DE ＝BF ；(3)若AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，求线段PC 的长．第5题图6.如图，点P 是⊙O 外一点，P A 切⊙O 于点A ，AB 是⊙O 的直径，连接OP ，过点B 作BC ∥OP 交⊙O 于点C ，连接AC 交OP 于点D . (1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)若PD ＝163，AC ＝8，求图中阴影部分的面积；(3)在(2)的条件下，若点E 是AB ︵的中点，连接CE ，求CE 的长．第6题图7. 如图①，AB是⊙O的直径，OC⊥AB，弦CD与半径OB相交于点F，连接BD，过圆心O作OG∥BD，过点A作⊙O的切线，与OG 相交于点G，连接GD，并延长与AB的延长线交于点E.(1)求证：GD＝GA；(2)求证：△DEF是等腰三角形；(3)如图②，连接BC，过点B作BH⊥GE，垂足为点H，若BH＝9，⊙O的直径是25，求△CBF的周长．第7题图专题二圆的证明与计算类型一圆基本性质的证明与计算1. (1)证明：如解图，连接AD，BC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠P AD＝∠PCB，∠PDA＝∠PBC，∴△P AD ∽△PCB ， ∴P A PD ＝PC PB ， ∴P A ·PB ＝PD ·PC ；(2)解：如解图，连接OD ，过O 点作OE ⊥DC 于点E ， ∵P A ＝454，AB ＝194，PD ＝DC ＋2，∴PB ＝P A ＋AB ＝16，PC ＝PD ＋DC ＝2DC ＋2， ∵P A ·PB ＝PD ·PC ，∴454×16＝(DC ＋2)(2DC ＋2)，解得DC ＝8或DC ＝－11(舍去)， ∴DE ＝12DC ＝4， ∵OD ＝5，∴在Rt △ODE 中，OE ＝OD 2－DE 2＝3，即点O 到PC 的距离为3.2. (1)证明：∵∠BAC 与∠BPC 是同弧所对的圆周角， ∴∠BAC ＝∠BPC ＝60°，又∵AB ＝AC ，∴△ABC 为等边三角形， ∴∠ACB ＝60°， ∵点P 是AB ︵的中点， ∴P A ︵＝PB ︵，∴∠ACP ＝∠BCP ＝12∠ACB ＝30°，而∠APC ＝∠ABC ＝60°， ∴△APC 为直角三角形， ∴tan ∠APC ＝AC AP ， ∴AC ＝AP tan60°＝3AP ；(2)解：连接AO 并延长交PC 于点E ，交BC 于点F ，过点E 作EG ⊥AC 于点G ，连接OC ，BO ，如解图，∵AB ＝AC ， ∴AF ⊥BC ， ∴BF ＝CF ， ∵点P 是AB ︵中点， ∴∠ACP ＝∠PCB ， ∴EG ＝EF .∵∠BPC ＝∠BAC ＝12∠BOC ＝∠FOC ， ∴sin ∠FOC ＝sin ∠BPC ＝2425，设FC ＝24a ，则OC ＝OA ＝25a ，∴OF ＝OC 2－FC 2＝7a ，AF ＝25a ＋7a ＝32a ，在Rt △AFC 中，∵AC 2＝AF 2＋FC 2， ∴AC ＝（32a ）2＋（24a ）2＝40a ， ∵∠EAG ＝∠CAF ， ∴△AEG ∽△ACF ， ∴EG CF ＝AE AC ，又∵EG ＝EF ，AE ＝AF －EF ，第2题解图∴EG 24a ＝32a －EG 40a ，解得EG ＝12a ，在Rt △CEF 中，tan ∠ECF ＝EF FC ＝12a 24a ＝12， ∵∠P AB ＝∠PCB ，∴tan ∠P AB ＝tan ∠PCB ＝tan ∠ECF ＝12. 3. 解：(1)如解图①，连接BD ， ∵直径AB ⊥弦CD 于点E ， ∴CE ＝DE ，∵∠ACD 与∠ABD 是同弧所对的圆周角， ∴∠ACD ＝∠ABD ， ∴tan ∠ABD ＝tan ∠ACD ＝32， ∴ED EB ＝AE CE ＝32，即ED 8＝32， ∴ED ＝12， ∴CE ＝ED ＝12，又∵AE ＝32CE ＝18， ∴AC ＝AE 2＋CE 2＝613；(2)连接CB ，过B 作BG ⊥CF 于G ，如解图②， ∵BF ︵＝BD ︵， ∴∠BCE ＝∠BCG ，在△CEB 和△CGB 中第3题解图①⎩⎪⎨⎪⎧∠BCE ＝∠BCG ∠BEC ＝∠BGC BC ＝BC， ∴△CEB ≌△CGB (AAS)， ∴BE ＝BG ＝4，∵四边形ACFB 内接于⊙O ， ∴∠A ＋∠CFB ＝180°，又∵∠CFB ＋∠BFG ＝180°， ∴∠BFG ＝∠A ， ∵∠FGB ＝∠AEC ＝90°， ∴△BFG ∽△CAE ， ∴FG BG ＝AE CE ＝32， ∴FG ＝32BG ＝6， ∴CE ＝CG ＝13， ∴AE ＝32CE ＝392，∴AC ＝AE 2＋CE 2＝13213. 4. (1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，即AD ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，∴等腰△ABC ，AD 为BC 边上的垂线， ∴BD ＝DC ， ∴D 是BC 的中点； (2)解：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠C ，∵∠ABC 和∠AED 是同弧所对的圆周角， ∴∠ABC ＝∠AED ， ∴∠AED ＝∠C ， ∴CD ＝DE ＝3， ∴BD ＝CD ＝3， ∵BD －AD ＝2， ∴AD ＝1，在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2＝BD 2＋AD 2＝32＋12＝10， ∴AB ＝10，∴⊙O 的半径＝12AB ＝102； (3)解：如解图，连接BE ， ∵AB ＝10， ∴AC ＝10，∵∠ADC ＝∠BEA ＝90°，∠C ＝∠C ， ∴△CDA ∽△CEB ， ∴AC BC ＝CD CE ，由(2)知BC ＝2BD ＝6，CD ＝3， ∴106＝3CE ， ∴CE ＝9510，∴AE ＝CE －AC ＝9510－10＝4510. 5. 解：(1)等边三角形．第4题解图【解法提示】∵∠APC ＝∠CPB ＝60°，又∵∠BAC 和∠CPB 是同弧所对的圆周角，∠ABC 和∠APC 是同弧所对的圆周角，∴∠BAC ＝∠CPB ＝60°，∠ABC ＝∠APC ＝60°， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°， ∴AC ＝BC ，又∵有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形， ∴△ABC 是等边三角形． (2)P A ＋PB ＝PC .证明如下：如解图①，在PC 上截取PD ＝P A ，连接AD ， ∵∠APC ＝60°， ∴△P AD 是等边三角形， ∴P A ＝AD ＝PD ，∠P AD ＝60°，又∵∠BAC ＝60°， ∴∠P AB ＝∠DAC ，在△P AB 和△DAC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝AD ∠P AB ＝∠DAC ，AB ＝AC ∴△P AB ≌△DAC (SAS)， ∴PB ＝DC ， ∵PD ＋DC ＝PC ， ∴P A ＋PB ＝PC ，(3)当点P 为AB ︵的中点时，四边形APBC 的面积最大．理由如下：如解图②，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，第5题解图①第5题解图②过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ， ∵S △P AB ＝12AB ·PE ，S △ABC ＝12AB ·CF ， ∴S 四边形APBC ＝12AB ·(PE ＋CF )．当点P 为AB ︵的中点时，PE ＋CF ＝PC ，PC 为⊙O 的直径，此时四边形APBC 的面积最大，又∵⊙O 的半径为1，∴其内接正三角形的边长AB ＝ 3 ， ∴四边形APBC 的最大面积为12×2×3＝ 3 . 类型二与切线有关的证明与计算一、与三角函数结合针对演练1. (1)证明：连接OE ，如解图， ∵AB ＝BC 且D 是AC 中点， ∴BD ⊥AC ， ∵BE 平分∠ABD ， ∴∠ABE ＝∠DBE ， ∵OB ＝OE ， ∴∠OBE ＝∠OEB ， ∴∠OEB ＝∠DBE ， ∴OE ∥BD ，第1题解图∵BD ⊥AC ， ∴OE ⊥AC ， ∵OE 为⊙O 半径， ∴AC 与⊙O 相切；(2)解：∵BD ＝6，sin C ＝35，BD ⊥AC ， ∴BC ＝BDsin C ＝10， ∴AB ＝BC ＝10.设⊙O 的半径为r ，则AO ＝10－r ， ∵AB ＝BC ， ∴∠C ＝∠A ， ∴sin A ＝sin C ＝35， ∵AC 与⊙O 相切于点E ， ∴OE ⊥AC ，∴sin A ＝OE OA ＝r 10－r ＝35，∴r ＝154，即⊙O 的半径是154.2. (1)证明：连接OC ，如解图， ∵PC 切⊙O 于点C ， ∴OC ⊥PC ， ∴∠PCO ＝90°， ∴∠PCA ＋∠OCA ＝90°， ∵AB 为⊙O 的直径，第2题解图∴∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＋∠OAC ＝90°， ∵OC ＝OA ， ∴∠OCA ＝∠OAC ， ∴∠PCA ＝∠ABC ； (2)解：∵AE ∥PC ， ∴∠PCA ＝∠CAF ， ∵AB ⊥CG ， ∴AC ︵＝AG ︵， ∴∠ACF ＝∠ABC ， ∵∠PCA ＝∠ABC ， ∴∠ACF ＝∠CAF ， ∴CF ＝AF ， ∵CF ＝5， ∴AF ＝5， ∵AE ∥PC ， ∴∠F AD ＝∠P ， ∵sin ∠P ＝35， ∴sin ∠F AD ＝35，在Rt △AFD 中，AF ＝5，sin ∠F AD ＝35， ∴FD ＝3，AD ＝4， ∴CD ＝CF ＋FD ＝8，在Rt △OCD 中，设OC ＝r ， ∴r 2＝(r －4)2＋82，∴r ＝10， ∴AB ＝2r ＝20， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，在Rt △ABE 中，sin ∠EAD ＝35， ∴BE AB ＝35， ∵AB ＝20， ∴BE ＝12.3. 解：(1)直线PD 与⊙O 相切，理由如下：如解图①，连接DO ，CO ， ∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDC ＝2∠ADC ， ∵∠AOC ＝2∠ADC ， ∴∠PDC ＝∠AOC ， ∵直径AB ⊥CD 于点E ， ∴∠AOD ＝∠AOC ， ∴∠PDC ＝∠AOD ， ∵∠AOD ＋∠ODE ＝90°， ∴∠PDC ＋∠ODE ＝90°， ∴OD ⊥PD ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴直线PD 与⊙O 相切； (2)如解图②，连接BD ， ∵M 恰为BC ︵的中点，第3题解图①∴∠CDM ＝∠BDM ， ∵OD ＝OB ， ∴∠BDM ＝∠DBA ， ∴∠CDM ＝∠DBA ， ∵直线PD 与⊙O 相切， ∴∠PDA ＋∠ADO ＝90°，又∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠ADO ＋∠BDM ＝90°， ∴∠PDA ＝∠BDM ， ∴∠PDA ＝∠DBA ＝∠CDM ，又∵∠PDA ＝∠ADC ， ∴∠PDM ＝3∠CDM ＝90°， ∴∠CDM ＝30°， ∴∠DBA ＝30°， ∴DE BE ＝tan30°＝33； (3)如解图③，∵tan ∠PDA ＝12，∠PDA ＝∠ADC ， ∴AE DE ＝12，即DE ＝2AE ，在Rt △DEO 中，设⊙O 的半径为r ， DE 2＋EO 2＝DO 2， ∴(2AE )2＋(r －AE )2＝r 2，解得r ＝52AE ，在Rt △PDE 中，DE 2＋PE 2＝PD 2，第3题解图②第3题解图③∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝PD 2， ∵直线PD 与⊙O 相切，连接BD ，由(2)知∠PDA ＝∠DBA ，∠P ＝∠P ， ∴△P AD ∽△PDB ， ∴PD PB ＝P A PD ，∴PD 2＝P A ·PB ，即PD 2＝2×(2＋2r )， ∴(2AE )2＋(2＋AE )2＝2×(2＋2r )，化简得5AE 2＋4AE ＝4r ， ∵r ＝52AE ，解得r ＝3. 即⊙O 的半径为3. 二、与相似三角形结合针对演练1. 证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ADC ＝90°， ∴∠CDB ＝90°，又∵∠ACB ＝90°， ∴∠ACB ＝∠CDB ，又∵∠B ＝∠B ， ∴△ABC ∽△CBD ； (2)连接DO ，如解图，∵∠BDC ＝90°，E 为BC 的中点， ∴DE ＝CE ＝BE ， ∴∠EDC ＝∠ECD ，第1题解图又∵OD ＝OC ， ∴∠ODC ＝∠OCD ，而∠OCD ＋∠DCE ＝∠ACB ＝90°， ∴∠EDC ＋∠ODC ＝90°，即∠EDO ＝90°， ∴DE ⊥OD ， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 与⊙O 相切．2. (1)证明：连接CE ，如解图， ∵CD 为⊙O 的直径， ∴∠CED ＝90°， ∵∠BCA ＝90°， ∴∠CED ＝∠BCO ， ∵BO ∥DE ， ∴∠BOC ＝∠CDE ， ∴△CBO ∽△ECD ， ∴CO DE ＝BO CD ， ∴CO ·CD ＝DE ·BO ；(2)解：∵∠DFE ＝∠ECO ，CD ＝2·OC ＝10，∴在Rt △CDE 中，ED ＝CD ·sin ∠ECO ＝CD ·sin ∠DFE ＝ 10×35＝6，∴CE ＝CD 2－ED 2＝102－62＝8，在Rt △CEG 中，EG CE ＝sin ∠ECG ＝35， ∴EG ＝35×8＝245，第2题解图根据垂径定理得：EF ＝2EG ＝485. 3. (1)证明：如解图，连接OD ， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°， ∵AB ＝AC ，∴AD 垂直平分BC ，即DC ＝DB ， ∴OD 为△BAC 的中位线， ∴OD ∥AC . 而DE ⊥AC ， ∴OD ⊥DE ， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠DAC ＝∠DAB ，且∠AED ＝∠ADB ＝90°， ∴∠ADE ＝∠ABD ，在Rt △ADB 中，sin ∠ADE ＝sin ∠ABD ＝AD AB ＝45，而AB ＝10， ∴AD ＝8，在Rt △ADE 中，sin ∠ADE ＝AE AD ＝45， ∴AE ＝325， ∵OD ∥AE ， ∴△FDO ∽△FEA ，∴OD AE ＝FO F A ，即5325＝BF ＋5BF ＋10，第3题解图∴BF ＝907.4. (1)证明：如解图①，连接OD 、OE 、ED . ∵BC 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥BC ，∴∠ODB ＝90°＝∠C ， ∴OD ∥AC ， ∵∠B ＝30°， ∴∠A ＝60°， ∵OA ＝OE ，∴△AOE 是等边三角形， ∴AE ＝AO ＝OD ，∴四边形AODE 是平行四边行， ∵OA ＝OD ，∴平行四边形AODE 是菱形； (2)解：设⊙O 的半径为r . ∵OD ∥AC ， ∴△OBD ∽△ABC ，∴OD AC ＝OBAB ，即10r ＝6(10－r )．解得r ＝154， ∴⊙O 的半径为154.如解图②，连接OD 、DF 、AD . ∵OD ∥AC ， ∴∠DAC ＝∠ADO ，第4题解图①∵OA ＝OD ， ∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠DAC ＝∠DAO ， ∵AF 是⊙O 的直径， ∴∠ADF ＝90°＝∠C ， ∴△ADC ∽△AFD ， ∴AD AC ＝AF AD ， ∴AD 2＝AC ·AF ，∵AC ＝6，AF ＝154×2＝152， ∴AD 2＝152×6＝45，∴AD ＝45＝3 5.(9分) 5. 解：(1)存在，AE ＝CE . 理由如下：如解图①，连接AE ，ED ， ∵AC 是△ABC 的斜边， ∴∠ABC ＝90°， ∴AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝90°，又∵D 是AC 的中点， ∴ED 为AC 的中垂线， ∴AE ＝CE ；(2)①如解图②，∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠AEF ＝90°.第5题解图①由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED＋∠EAD＝90°，∵∠AED＋∠DEF＝90°，∴∠EAD＝∠DEF.又∵∠ADE＝∠EDF＝90°∴△AED∽△EFD，∴ADED＝EDFD，∴ED2＝AD·FD.又∵AD＝DC＝CF，∴ED2＝2AD·AD＝2AD2，在Rt△AED中，∵AE2＝AD2＋ED2＝3AD2，由(1)知∠AED＝∠CED，又∵∠CED＝∠CAB，∴∠AED＝∠CAB，∴sin∠CAB＝sin∠AED＝ADAE＝13＝33.②sin∠CAB＝a＋2 a＋2.【解法提示】由(2)中的①知ED2＝AD·FD，∵CF＝aCD(a＞0)，∴CF＝aCD＝aAD，∴ED2＝AD·DF＝AD(CD＋CF)＝AD(AD＋aAD)＝(a＋1)AD2，在Rt△AED中，AE2＝AD2＋ED2＝(a＋2)AD2，∴sin ∠CAB ＝sin ∠AED ＝ADAE ＝1a ＋2＝a ＋2a ＋2. 6. (1)证明：∵∠ODB ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ， ∴∠ODB ＝∠ABC ， ∵OF ⊥BC ， ∴∠BFD ＝90°，∴∠ODB ＋∠DBF ＝90°， ∴∠ABC ＋∠DBF ＝90°，即∠OBD ＝90°， ∴BD ⊥OB ， ∵OB 为⊙O 的半径， ∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：连接AC ，如解图①所示： ∵OF ⊥BC ， ∴BE ︵＝CE ︵， ∴∠ECH ＝∠CAE ， ∵∠HEC ＝∠CEA ， ∴△CEH ∽△AEC ， ∴CE EH ＝EA CE ， ∴CE 2＝EH ·EA ；(3)解：连接BE ，如解图②所示： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°，∵⊙O 的半径为5，sin ∠BAE ＝35，第6题解图①第6题解图②∴AB ＝10，BE ＝AB ·sin ∠BAE ＝10×35＝6，在Rt △AEB 中，EA ＝AB 2－BE 2＝102－62＝8， ∵BE ︵＝CE ︵， ∴BE ＝CE ＝6， ∵CE 2＝EH ·EA ， ∴EH ＝CE 2EA ＝628＝92，在Rt △BEH 中，BH ＝BE 2＋EH 2＝62＋（92）2＝152.7. (1)证明：连接OD ，如解图①， ∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ， ∴∠BAD ＝∠CAD ， ∴BD ︵＝CD ︵， ∴OD ⊥BC ， ∵BC ∥DF ， ∴OD ⊥DF ， ∴DF 为⊙O 的切线；(2)解：连接OB ，连接OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如解图①，∵∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC ， ∴∠BAD ＝30°，∴∠BOD ＝2∠BAD ＝60°，又∵OB ＝OD ，∴△OBD 为等边三角形， ∴∠ODB ＝60°，OB ＝BD ＝23，第7题解图①∴∠BDF ＝30°， ∵BC ∥DF ， ∴∠DBP ＝30°，在Rt △DBP 中，PD ＝12BD ＝3，PB ＝3PD ＝3，在Rt △DEP 中， ∵PD ＝3，DE ＝7，∴PE ＝（7）2－（3）2＝2， ∵OP ⊥BC ， ∴BP ＝CP ＝3，∴CE ＝CP －PE ＝3－2＝1，易证得△BDE ∽△ACE ， ∴BE AE ＝DE CE ，即5AE ＝71， ∴AE ＝577. ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE DF ＝AE AD ，即5DF ＝5771277，解得DF ＝12，在Rt △BDH 中，BH ＝12BD ＝3， ∴S 阴影＝S △BDF －S 弓形BD ＝S △BDF －(S 扇形BOD －S △BOD )＝12·12·3－60·π·（23）2360＋34·(23)2＝93－2π；(7分)(3)解：连接CD ，如解图②，由AB AC ＝43可设AB ＝4x ，AC ＝3x ，BF ＝y ， ∵BD ︵＝CD ︵， ∴CD ＝BD ＝23， ∵DF ∥BC ，∴∠F ＝∠ABC ＝∠ADC ， ∴∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ， ∴△BFD ∽△CDA ， ∴BD AC ＝BF CD ，即233x ＝y 23，∴xy ＝4，∵∠FDB ＝∠DBC ＝∠DAC ＝∠F AD ，而∠DFB ＝∠AFD ， ∴△FDB ∽△F AD ， ∴DF AF ＝BF DF ， ∵DF ＋BF ＝8， ∴DF ＝8－BF ＝8－y ， ∴8－y y ＋4x ＝y 8－y ，整理得：16－4y ＝xy ， ∴16－4y ＝4，解得y ＝3，即BF 的长为3.(10分) 三、与全等三角形结合第7题解图②针对演练1. (1)证明：连接OE ，过点O 作OF ⊥PN ，如解图所示， ∵PM 与⊙O 相切， ∴OE ⊥PM ，∴∠OEP ＝∠OFP ＝90°， ∵PC 平分∠MPN ， ∴∠EPO ＝∠FPO ，在△PEO 和△PFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EPO ＝∠FPO ∠OEP ＝∠OFP OP ＝OP， ∴△PEO ≌△PFO (AAS)， ∴OF ＝OE ，∴OF 为圆O 的半径且OF ⊥PN, 则PN 与⊙O 相切；(2)解：在Rt △EPO 中，∠MPC ＝30°，PE ＝23， ∴∠EOP ＝60°，OE ＝PE ·tan30°＝2， ∴∠EOB ＝120°，则劣弧BE ︵的长为120π×2180＝4π3.2. (1)证明：如解图①，连接BO 并延长交⊙O 于点N ，连接CN ， ∵∠BMC ＝60°， ∴∠BNC ＝60°， ∵∠BNC ＋∠NBC ＝90°， ∴∠NBC ＝30°，又∵△ABC 为等边三角形，第1题解图∴∠BAC ＝∠ABC ＝∠ACB ＝60°， ∴∠ABN ＝30°＋60°＝90°， ∴AB ⊥BO ，即AB 为⊙O 的切线．(2)解：BE ＋CF ＝3，是定值．理由如下：如解图②，连接D 与AC 的中点P ， ∵D 为BC 中点， ∴AD ⊥BC ， ∴PD ＝PC ＝12AC ，又∵∠ACB ＝60°，∴PD ＝PC ＝CD ＝BD ＝12AC ， ∴∠DPF ＝∠PDC ＝60°， ∴∠PDF ＋∠FDC ＝60°，又∵∠EDF ＝120°， ∴∠BDE ＋∠FDC ＝60°， ∴∠PDF ＝∠BDE ，在△BDE 和△PDF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠DPF BD ＝PD∠BDE ＝∠PDF， ∴△BDE ≌△PDF (ASA)， ∴BE ＝PF ，∴BE ＋CF ＝PF ＋CF ＝CP ＝BD ， ∵OB ⊥AB ，∠ABC ＝60°，第2题解图②∴∠OBC ＝30°，又∵OB ＝2，∴BD ＝OB ·cos30°＝2×32＝3，即BE ＋CF ＝ 3.3. (1)证明：连接OC ，如解图①， ∵OD ⊥AC ，OC ＝OA ， ∴∠AOD ＝∠COD . 在△AOE 和△COE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOE ＝∠COE OE ＝OE， ∴△AOE ≌△COE (SAS)， ∴∠EAO ＝∠ECO . 又∵EC 是⊙O 的切线， ∴∠ECO ＝90°， ∴∠EAO ＝90°. ∴AE 与⊙O 相切；(2)解：设DO ＝t ，则DE ＝3t ，EO ＝4t ，在△EAO 和△ADO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA ＝∠AOD ∠EAO ＝∠ADO， ∴△EAO ∽△ADO ， ∴AO DO ＝EO AO ，即9t ＝4t 9， ∴t ＝92，即EO ＝18.第3题解图①∴AE ＝EO 2－AO 2＝182－92＝93；延长BD 交AE 于点F ，过O 作OG ∥AE 交BD 于点G ，如解图②， ∵OG ∥AE ， ∴∠FED ＝∠GOD 又∵∠EDF ＝∠ODG ， ∴△EFD ∽△OGD ， ∴EF OG ＝ED OD ＝31，即EF ＝3GO . 又∵O 是AB 的中点， ∴AF ＝2GO ，∴AE ＝AF ＋FE ＝5GO ， ∴5GO ＝93， ∴GO ＝935， ∴AF ＝1835， ∴tan B ＝AF AB ＝35.4. (1)证明：如解图，连接OB ， ∵PB 是⊙O 的切线， ∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ， ∴AD ＝BD ，∠POA ＝∠POB ，又∵PO ＝PO ，∴△P AO ≌△PBO (SAS)， ∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，第3题解图②第4题解图∴OA ⊥P A ，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)解：线段EF 、OD 、OP 之间的等量关系为EF 2＝4OD ·OP . 证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴ OD OA ＝OA OP ，即OA 2＝OD ·OP ，又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3，设AD ＝x ，∵tan ∠F ＝12，∴FD ＝2x ，OA ＝OF ＝FD －OD ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理，得(2x －3)2＝x 2＋32，解之得，x 1＝4，x 2＝0(不合题意，舍去)，∴AD ＝4，OA ＝2x －3＝5，∵AC 是⊙O 直径，∴∠ABC ＝90°，又∵AC ＝2OA ＝10，BC ＝6，∴ cos ∠ACB ＝610＝35.∵OA 2＝OD ·OP ，∴3(PE ＋5)＝25，∴PE ＝103.5. (1)证明：连接OD ，如解图，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠ACD ＝∠BCD ＝45°，∴∠DAB ＝∠ABD ＝45°，∴△DAB 为等腰直角三角形，∴DO ⊥AB ，∵PD 为⊙O 的切线，∴OD ⊥PD ，∴PD ∥AB ；(2)证明：∵AE ⊥CD 于点E ，BF ⊥CD 于点F ，∴AE ∥BF ，∴∠FBO ＝∠EAO ，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴∠EDA ＋∠FDB ＝90°，∵∠FBD ＋∠FDB ＝90°，∴∠FBD ＝∠EDA ，在△FBD 和△EDA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFD ＝∠DEA ∠FBD ＝∠EDA BD ＝DA， ∴△FBD ≌△EDA (AAS)，∴DE ＝BF ；第5题解图(3)解：在Rt △ACB 中，∵AC ＝6，tan ∠CAB ＝43，∴BC ＝6×43＝8，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝62＋82＝10，∵△DAB 为等腰直角三角形，∴AD ＝AB 2＝52， ∵AE ⊥CD ，∴△ACE 为等腰直角三角形，∴AE ＝CE ＝AC 2＝62＝32，在Rt △AED 中，DE ＝AD 2－AE 2＝（52）2－（32）2＝42，∴CD ＝CE ＋DE ＝32＋42＝72，∵AB ∥PD ，∴∠PDA ＝∠DAB ＝45°，∴∠PDA ＝∠PCD ，又∵∠DP A ＝∠CPD ，∴△PDA ∽△PCD ，∴PD PC ＝P A PD ＝AD DC ＝5272＝57， ∴P A ＝57PD ，PC ＝75PD ，又∵PC ＝P A ＋AC ，∴57PD ＋6＝75PD ，解得PD ＝354，∴PC ＝57PD ＋6＝57×354＋6＝254＋6＝494.6. (1)证明：如解图①，连接OC ，∵P A 切⊙O 于点A ，∴∠P AO ＝90°，∵BC ∥OP ，∴∠AOP ＝∠OBC ，∠COP ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∴∠AOP ＝∠COP ，在△P AO 和△PCO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ∠AOP ＝∠COP OP ＝OP， ∴△P AO ≌△PCO (SAS)，∴∠PCO ＝∠P AO ＝90°，∴OC ⊥PC ，∵OC 为⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；(2)解：由(1)得P A ，PC 都为圆的切线，∴P A ＝PC ，OP 平分∠APC ，∠ADO ＝∠P AO ＝90°， ∴∠P AD ＋∠DAO ＝∠DAO ＋∠AOD ，又∵∠ADP ＝∠ADO ，∴∠P AD ＝∠AOD ，∴△ADP ∽△ODA ，∴AD PD ＝DO AD ，第6题解图①∴AD 2＝PD ·DO ，∵AC ＝8，PD ＝163， ∴AD ＝12AC ＝4，OD ＝3，在Rt △ADO 中，AO ＝AD 2＋OD 2＝5，由题意知OD 为△ABC 的中位线，∴BC ＝6，AB ＝BC 2＋AC 2＝10.∴S 阴影＝12S ⊙O －S △ABC ＝12·π·52－12×6×8＝25π2－24；(3)解：如解图②，连接AE 、BE ，作BM ⊥CE 于点M ， ∴∠CMB ＝∠EMB ＝∠AEB ＝90°，∵点E 是AB ︵的中点，∴AE ＝BE ，∠EAB ＝∠EBA ＝45°，∴∠ECB ＝∠CBM ＝∠ABE ＝45°，CM ＝MB ＝BC ·sin45°＝32，BE ＝AB ·cos45°＝52，∴EM ＝BE 2－BM 2＝42，则CE ＝CM ＋EM ＝7 2.7. (1)证明：连接OD ，如解图①所示，∵OB ＝OD ，∴∠ODB ＝∠OBD .∵OG ∥BD ，∴∠AOG ＝∠OBD ，∠GOD ＝∠ODB ，∴∠DOG ＝∠AOG ，在△DOG 和△AOG 中，第6题解图②第7题解图①⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OA ∠DOG ＝∠AOG OG ＝OG， ∴△DOG ≌△AOG (SAS)，∴GD ＝GA ；(2)证明：∵AG 切⊙O 于点A ，∴AG ⊥OA ，∴∠OAG ＝90°，∵△DOG ≌△AOG ，∴∠OAG ＝∠ODG ＝90°，∴∠ODE ＝180°－∠ODG ＝90°，∴∠ODC ＋∠FDE ＝90°，∵OC ⊥AB ，∴∠COB ＝90°，∴∠OCD ＋∠OFC ＝90°，∵OC ＝OD ，∴∠ODC ＝∠OCD ，∴∠FDE ＝∠OFC ，∵∠OFC ＝∠EFD ，∴∠EFD ＝∠EDF ，∴EF ＝ED ，∴△DEF 是等腰三角形；(3)解：过点B 作BK ⊥OD 于点K ，如解图②所示：则∠OKB ＝∠BKD ＝∠ODE ＝90°，∴BK ∥DE ，∴∠OBK ＝∠E ，∵BH ⊥GE ，∴∠BHD ＝∠BHE ＝90°， ∴四边形KDHB 为矩形， ∴KD ＝BH ＝9，∴OK ＝OD －KD ＝72，在Rt △OKB 中，∵OK 2＋KB 2＝OB 2，OB ＝252， ∴KB ＝12，∴tan ∠E ＝tan ∠OBK ＝OK KB ＝724，sin ∠E ＝sin ∠OBK ＝OK OB ＝725，∵tan ∠E ＝OD DE ＝724，∴DE ＝3007，∴EF ＝3007，∵sin ∠E ＝BH BE ＝725，∴BE ＝2257，∴BF ＝EF －BE ＝757，∴OF ＝OB －BF ＝2514，在Rt △COF 中，∠COB ＝90°， ∴OC 2＋OF 2＝FC 2，∴FC ＝125214，在Rt △COB 中，∵OC 2＋OB 2＝BC 2，OC ＝OB ＝252， ∴BC ＝2522，∴BC ＋CF ＋BF ＝1502＋757， ∴△CBF 的周长＝1502＋757.。

中考数学专项复习与圆有关的证明与计算练习

与圆有关的证明与计算1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC ＝2，∠BAC ＝30°，则劣弧的长等于( )A.32π B. 3πC. 332πD. 33π2. 如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝30°，AC ＝2，将△ABC 绕点A 逆时针旋转至△AB 1C 1，使AC 1⊥AB ，则BC 边扫过的面积为( ) A.23125-π B. 6π C. 4π D. 32π 3. 已知扇形的弧长为6π，面积为27π，则这个扇形的圆心角为_______度．4. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝23，将△ABC 沿直线CB 向右作无滑动滚动一次，则点C 经过的路径长是_______．5. 如图，正方形OABC 的边长为2，以O 为圆心，EF 为直径的半圆经过点A ，连接AE ，CF 相交于点P ，将正方形OABC 从OA 与OF 重合的位置开始，绕着点O 逆时针旋转90°，交点P 运动的路径长是____．6. 如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，AC ＝3，∠BOC ＝2∠AOC ，若用扇形OAC (图中阴影部分)围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是 .7. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是角平分线，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，点O 在AB 上，以OB 为半径的⊙O 经过点E ，交AB 于点F . (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝4，∠C ＝30°，求的长．8. 如图，用一张半径为24cm 的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果圆锥形帽子的底面半径为10cm ，那么这张扇形纸板的面积是( )A ．240π cm 2B ．480π cm 2C ．1200π cm 2D ．2400π cm29. 如图，点A 在以BC 为直径的⊙O 内，且AB ＝AC ，以点A 为圆心，AC 长为半径作弧，得到扇形ABC ，剪下扇形ABC 围成一个圆锥(AB 和AC 重合)，若∠BAC ＝120°，BC ＝2 3，则这个圆锥底面圆的半径是( )A.31 B. 32C. 2D. 3 10．圆锥的底面半径长为5，将其侧面展开后得到一个半圆，则该半圆的半径长是_______.11．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为____． 12．如图，已知圆锥的底面⊙O 的直径BC ＝6，高OA ＝4，则该圆锥的侧面展开图的面积为________．13. 如图，在⊙O 中，AB 是直径，点D 是⊙O 上一点且∠BOD ＝60°，过点D 作⊙O 的切线CD 交AB 的延长线于点C ，E 为的中点，连接DE ，EB.(1)求证：四边形BCDE 是平行四边形；(2)已知图中阴影部分面积为6π，求⊙O 的半径r.参考答案: 1. A 2. B3. 1205π4.2 5. π21 6.2 7.8. A9. B10. 1011. 212. 15π13.。

第40讲与圆有关的计算与证明题课件(共74张ppt) 2024年中考数学总复习专题突破.ppt

复习讲义
（2）若 = 5 ， cos ∠ =
4
，求的长.
5
∘
解： ∵ ∠ = 90∘ ， ∴ ∠ + ∠ = 90 .
由（1）知， = 2 = 10 ， ∠ = 90∘ ，
∴ ∠ + ∠ = 90∘ .
图3
∴ ∠ = ∠.
4
.
5
∴ cos = cos ∠ =
复习讲义
（2）若 = 10 ， = 12 ， = 2 ，求 ⊙ 的半径．
思路点拨由（1）知 ⊥ ，因此可在 Rt △
中利用勾股定理列方程求解.
解： ∵ = ， ⊥ ， ∴ = =
1

2
= 6.
图1
∴ = 2 − 2 = 102 − 62 = 8.
∴ = 6 .
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9
第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
2.（2022·鄂尔多斯）如图3，以为直径的
⊙ 与 △ 的边相切于点，且与边
交于点，点为的中点，连接，，
.
（1）求证：是 ⊙ 的切线.
1.（2022·衡阳）如图2，为 ⊙ 的直径，过圆上一
点作 ⊙ 的切线交的延长线于点，过点
作 // 交于点，连接．
（1）直线与 ⊙ 相切吗？请说明理由.
图2
目录导航
7
第40讲与圆有关的计算与证明题
复习讲义
解：直线与 ⊙ 相切.
，的点，连接，，点在的延长线
上，且 ∠ = ∠ ，点在的延长线上，

2024年河南中考数学专题复习第六章+第一节+圆的基本性质+课件

ABC (或 ABD 或 BAC 或 BAD或 CAD)
_____A__C__(或___A_D__或__B__C_或___B_D__或___C_D__)____________是劣弧；(4)图中和
_______A_D，和BD______A__C，B 和ADB A是B等D弧. BAD Nhomakorabea图①
与圆有关的性质
河南9年真题子母题
命题点与圆周角、圆心角有关的计算9年4考
1. (2023河南6题3分)如图，点A，B，C在⊙O上，若∠C＝55°，则 ∠AOB的度数为( D ) A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°
第1题图
回归教材 1.1变设问——将求角度变为证明圆周角定理如图，点A，B，
例2题解图①
拓展探索探究：直径所对的角
例3 已知AB是⊙O的直径，点C为直线AB外一点，连接AC，BC. (1)如图①，当点C在⊙O上时，∠C为直角，依据是 _直__径__所__对__的__圆__周__角__是__直__角_______；(2)如图②，当点C在⊙O内时，请证明： ∠C是钝角；
D
(2)证明：如图，延长AC交⊙O于点D，连接BD，
正多边形和圆
内角
外角中心角
边心距周长面积
考点精讲
如图①，点A，B，C，D均在⊙O上，线段AB经过圆心O，且点D为弧AB
的中点，连接AC，OC，OD.(任填一个符合要求的答案)(1)图中________是
与圆有关的概念 (图①)
圆周角，∠__B_A__C____________∠__A_O__C_(_或__∠__B_O_C__或__∠__A_O__D_或是∠圆B心O角D或(写∠出C小OD于) 180°的角即可)；(2)图中__________是弦，其中________是最长的弦；(3) 图中___A__C_(_或__A_B_)_______________A_B_________是优弧，

§5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系五年中考三年模拟 (河南中考数学复习)

栏目引索引
中考数学
（河南专用）
第五章圆
§5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系
栏目引索引
A组河南中考题组
︵
1.(2019河南,17,9分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是BD 上不
与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.
①当∠D的度数为
时,四边形ECFG为菱形;
②当∠D的度数为
时,四边形ECOG为正方形.
解析 (1)证明:连接OC. ∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE. ∴∠FCO+∠ECF=90°. ∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°. ∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°. (3分) ∵OC=OB,∴∠FCO=∠B. ∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF. (5分) (2)①30°.(注:若填为30,不扣分)(7分) ②22.5°.(注:若填为22.5,不扣分)(9分)
∴AD=BD. (3分)
︵
∵∠DAF和∠DBG都是 DE 所对的圆周角,
∴∠DAF=∠DBG.
∴△ADF≌△BDG. (5分)
(2)①4-2 2 . (7分)
②30(注:若填为30°,不扣分). (9分)
详解:①如图,过F作FM⊥AB于M,∵点E是
︵
BD
的中点,
栏目引索引
∴∠BAE=∠DAE, ∵FD⊥AD,FM⊥AB, ∴FM=FD,
(1)求证:△ADF≌△BDG;
(2)填空:
︵
①若AB=4,且点E是BD 的中点,则DF的长为
︵
②取AE 的中点H,当∠EAB的度数为
; 时,四边形OBEH为菱形.

第2部分题型4 与圆有关的证明与计算考点命题解读-2021年中考数学一轮复习课件(河南专用)

∴BD＝2. ∵OB2＝OD2＋BD2， ∴(6－r)2＝r2＋4， ∴r＝83，故⊙O的半径为83.
(3)BD＋CE＝AF.理由如下：如图，连接DE. 由(1)，可知△ACO≌△ADO， ∴∠ACO＝∠ADO＝90°，∠AOC＝∠AOD. 又∵CO＝DO，OE＝OE， ∴△COE≌△DOE(SAS)， ∴∠OCE＝∠ODE，CE＝DE. ∵OC＝OE＝OD， ∴∠OCE＝∠OEC＝∠OED＝∠ODE，
∠A＝45°.
解：(1)如图，连接OE，CE. ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BEC＝90°， ∴∠AEC＝90°. ∵D是AC的中点， ∴DE＝12AC＝AD＝CD， ∴∠DEC＝∠DCE. ∵OC＝OE， ∴∠OCE＝∠OEC.
∵∠ACB＝90°， ∴∠DEC＋∠OEC＝∠DCE＋∠OCE＝∠ACB＝90°， ∴∠OED＝90°，即OE⊥DE. ∵E为⊙O上的点， ∴DE是⊙O的切线．
(1)求证：DE是⊙O的切线． (2)填空： ①若AC＝3，AE＝1，则⊙O的半径长是 3 2 ； ②当∠A＝___4_5_°_____时，四边形OCDE是正方形．
☞思路分析 (1)连接OE，CE，由圆周角定理得出∠BEC＝90°，则∠AEC＝
90°.由直角三角形斜边上的中线的性质得出AD＝CD＝DE，由等腰三角形的性质
(2)如图2，连接OF. 设圆O的半径为r，则OD＝OE＝r. ∵AC＝4，BC＝3，CF＝1， ∴OC＝4－r，DF＝BF＝3－1＝2. ∵OD2＋DF2＝OF2＝OC2＋CF2， ∴r2＋22＝(4－r)2＋12， ∴r＝183. 故半圆O的半径长为183.
特殊四边形的动态探究题 (2020·南阳二模)如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O交AB于点E，D为AC边的中点，连接OD，DE.

2022河南数学中考总复习--圆的性质及与圆有关的位置关系(试题、含解析)

2022河南数学中考总复习--第五章圆§5.1圆的性质及与圆有关的位置关系五年中考考点1圆的有关概念与性质1.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于()A.54°B.56°C.64°D.66°答案A根据圆周角定理的推论得∠BCD=∠A,∵∠BCD=36°,∴∠A=36°,根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-36°=54°.故选A.⏜所对的圆周角∠ACB=50°,若P为AB⏜上一点,∠AOP=55°,则∠POB的度2.(2019吉林,5,2分)如图,在☉O中,AB数为()A.30°B.45°C.55°D.60°答案B由题意可得∠AOB=2∠ACB=100°.∴∠POB=100°-55°=45°.故选B.3.(2021吉林,5,2分)如图,四边形ABCD内接于☉O,点P为边AD上任意一点(点P不与点A,D重合),连接CP.若∠B=120°,则∠APC的度数可能为()A.30°B.45°C.50°D.65°答案D∵圆内接四边形对角互补,∴∠ABC+∠ADC=180°.又∵∠ABC=120°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-120°=60°.∵∠APC=∠ADC+∠DCP,∴∠APC>∠ADC,即∠APC>60°.故选D.4.(2019山东潍坊,11,3分)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为直径,AD=CD,过点D作DE⊥AB于点E,连,DF=5,则BC的长为()接AC交DE于点F.若sin∠CAB=35A.8B.10C.12D.16答案C连接BD,如图,∵AB为直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,又∠DCA=∠ABD,∴∠DAC=∠ABD,∵DE⊥AB,∴∠ABD+∠BDE=90°,又∠ADE+∠BDE=90°,∴∠ABD=∠ADE,∴∠ADE=∠DAC,∴FD=FA=5.在Rt△AEF中,∵sin∠FAE=EFAF =3 5 ,∴EF=3,∴AE=√AF2-EF2=√52-32=4,DE=DF+EF=5+3=8,∵∠ADE=∠DBE,∠AED=∠BED,∴△ADE∽△DBE,∴DE∶BE=AE∶DE,即8∶BE=4∶8,∴BE=16,∴AB=AE+BE=4+16=20,在Rt△ABC中,∵sin∠CAB=BCAB =3 5 ,∴BC=20×35=12.故选C.5.(2019安徽,13,5分)如图,△ABC内接于☉O,∠CAB=30°,∠CBA=45°,CD⊥AB于点D.若☉O的半径为2,则CD的长为.答案√2解析如图,连接OC、OB,则∠COB=2∠CAB=60°,OC=OB,∴△COB为等边三角形,∴BC=2.∵∠CBA=45°,CD ⊥AB,∴CB=√2CD,∴CD=√2.解题关键连接OC 、OB 得到△COB 是等边三角形是解答本题的关键.6.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,△ABC 内接于☉O ,AB 为☉O 的直径,∠CAB =60°,弦AD 平分∠CAB ,若AD =6,则AC = .答案 2√3解析连接BD ,因为AB 为☉O 的直径,所以∠ACB =∠ADB =90°,因为∠CAB =60°,弦AD 平分∠CAB ,所以∠BAD =30°,因为AD AB =cos 30°,所以AB =AD cos30°=√32=4√3.在Rt △ABC 中,AC =AB ·cos 60°=4√3×12=2√3.7.(2021北京,24,6分)如图,☉O 是△ABC 的外接圆,AD 是☉O 的直径,AD ⊥BC 于点E. (1)求证:∠BAD =∠CAD ;(2)连接BO 并延长,交AC 于点F ,交☉O 于点G ,连接GC.若☉O 的半径为5,OE =3,求GC 和OF 的长.解析 (1)证明:∵AD 是☉O 的直径,AD ⊥BC 于点E , ∴BD ⏜=CD ⏜,∴∠BAD =∠CAD. (2)如图,∵AD是☉O的直径,AD⊥BC于点E,∴BE=CE.∵在△BGC中,点O、点E是分别是边BG、BC的中点,∴OE是△BGC的中位线,OE=12GC,∴GC=2OE=6.在Rt△BOE中,OB=5,OE=3,由勾股定理可得BE=√OB2-OE2=4.∵∠BEA=∠BCG=90°,∴AE∥CG,∴∠FOA=∠FGC,∠OAF=∠GCF,∴△AOF∽△CGF,∴OFFG =OA GC=56,又∵OF+FG=5,∴OF=2511.思路分析(1)由“垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧”和“同弧或等弧所对的圆周角相等”可证.(2)易证OE是△BGC的中位线,可得GC=2OE=6;易证△AOF∽△CGF,得OFFG =OAGC,结合OF+FG=5可得OF=2511.解后反思如果不使用中位线定理,还可以利用垂径定理求出BC=2BE=8.在Rt△BCG中,由勾股定理可得GC=√GB2-BC2=6.8.(2019河南,17,9分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是BD⏜上不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G.(1)求证:△ADF≌△BDG;(2)填空:①若AB=4,且点E是BD⏜的中点,则DF的长为;②取AE⏜的中点H,当∠EAB的度数为时,四边形OBEH为菱形.解析(1)证明:∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠C=45°.∵AB为半圆O的直径,∴∠ADF=∠BDG=90°.∴∠DBA=∠DAB=45°,∴AD=BD.(3分)∵∠DAF和∠DBE都是DE⏜所对的圆周角,∴∠DAF=∠DBG.∴△ADF≌△BDG.(5分)(2)①4-2√2.(7分)②30°(注:若填为30,不扣分).(9分)详解:①如图,过F作FM⊥AB于M,∵点E是BD⏜的中点,∴∠BAE=∠DAE,∵FD⊥AD,FM⊥AB,∵FM BF =sin ∠FBM =sin 45°=√22, ∴FD BF =√22,即BF =√2FD. ∵AB =4,∴BD =4cos 45°=2√2,∴BF +FD =2√2,即(√2+1)FD =2√2, ∴FD =√2√2+1=4-2√2. ②连接OH ,EH , ∵四边形OBEH 为菱形, ∴BE =OH =OB =12AB , ∴sin∠EAB =BE AB =12, ∴∠EAB =30°.考点2 与圆有关的位置关系1.(2020重庆A 卷,5,4分)如图,AB 是☉O 的切线,A 为切点,连接OA ,OB ,若∠B =20°,则∠AOB 的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70° 答案 D ∵AB 是☉O 的切线,∴∠OAB =90°,∴∠AOB=90°-20°=70°.故选D.2.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B为切点,点C在☉O上,且∠ACB=55°,则∠APB等于()A.55°B.70°C.110°D.125°答案B连接OA,OB.∵PA,PB是☉O的两条切线,∴OA⊥AP,OB⊥PB.∴∠OAP=∠OBP=90°.∵∠AOB=2∠ACB=2×55°=110°,∴∠APB=360°-∠OAP-∠OBP-∠AOB=360°-90°-90°-110°=70°.故选B.方法总结在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在圆中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法.3.(2021福建,9,4分)如图,AB为☉O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与☉O相切,切点分别为C,D.若AB =6,PC =4,则sin ∠CAD 等于 ( )A.35B.23C.34D.45答案 D 连接OC ,OD.∵PC ,PD 与☉O 相切, ∴OC ⊥PC ,OD ⊥PD. ∵OP =OP ,OC =OD , ∴Rt△PCO ≌Rt △PDO (HL), ∴∠POC =∠POD.∵∠PAC =12∠POC ,∠PAD =12∠POD , ∴∠PAC =∠PAD ,∴∠CAD =2∠PAC =∠POC. ∵AB =6,∴OC =12AB =12×6=3.在Rt △POC 中,由勾股定理得OP =√OC 2+PC 2=√32+42=5, ∴sin∠CAD =sin ∠POC =PCOP =45.故选D .方法总结在应用切线的性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD 是☉O 的直径,A 是☉O 外一点,点C 在☉O 上,AC 与☉O 相切于点C ,∠CAB =90°,若BD =6,AB =4,∠ABC =∠CBD ,则弦BC 的长为 .答案 2√6解析连接CD ,∵BD 是直径, ∴∠DCB =90°,又∠CAB =90°,∠ABC =∠CBD , ∴△CAB ∽△DCB , ∴BD BC =BCAB , 即6BC =BC 4,∴BC =√4×6=2√6.5.(2020河南,20,9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工具——三分角器.图1是它的示意图,其中AB 与半圆O 的直径BC 在同一直线上,且AB 的长度与半圆的半径相等;DB 与AC 垂直于点B ,DB 足够长.图1图2使用方法如图2所示,若要把∠MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过∠MEN的顶点E,点A落在边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把∠MEN三等分了.为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”过程.已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,.求证:.解析已知:如图,点A,B,O,C在同一直线上,EB⊥AC,垂足为点B,AB=OB,EN切半圆O于点F.(2分)求证:∠1=∠2=∠3.(3分)证明:连接OF.(4分)∵EB⊥AC,∴∠ABE=∠OBE=90°,又∵AB=OB,EB=EB,∴△ABE≌△OBE.∴∠1=∠2.(6分)∵EN切半圆O于点F,∴OF⊥EF,又∵OB⊥EB且OF=OB,∴EO平分∠BEF,∴∠3=∠2,∴∠1=∠2=∠3.(9分)[说明:若“已知”未补充完整,而“证明”过程正确,仅在“已知处扣分”]6.(2021河南,20,9分)在古代,智慧的劳动人民已经会使用“石磨”,其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”,推动“连杆”带动磨盘转动,将粮食磨碎,物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.小明受此启发设计了一个“双连杆机构”,设计图如图1,两个固定长度的“连杆”AP,BP的连接点P在☉O 上,当点P在☉O上转动时,带动点A,B分别在射线OM,ON上滑动,OM⊥ON.当AP与☉O相切时,点B恰好落在☉O上,如图2.请仅就图2的情形解答下列问题.(1)求证:∠PAO=2∠PBO;,求BP的长.(2)若☉O的半径为5,AP=203图1图2解析 (1)证明:连接OP .(1分)∵AP 是☉O 的切线, ∴OP ⊥AP ,∴∠OPA =90°. ∴∠PAO +∠POA =90°. ∵OA ⊥OB ,∴∠POA +∠1=90°, ∴∠PAO =∠1. (3分) ∵OP =OB ,∴∠OPB =∠PBO. ∴∠1=2∠PBO.∴∠PAO =2∠PBO. (5分)(2)过点P 作PC ⊥直线ON ,垂足为C. (6分)在Rt △POA 中,OP =5,AP =203, ∴tan∠PAO =34. ∵∠1=∠PAO , ∴tan∠1=PC OC =34,设PC =3x ,OC =4x ,则OP =√OC 2+PC 2=5x. ∴x =1,∴PC =3,OC =4. ∴BC =5+4=9.在Rt △PBC 中,BP =√PC 2+BC 2=√32+92=3√10. (9分)7.(2018河南,19,9分)如图,AB是☉O的直径,DO⊥AB于点O,连接DA交☉O于点C,过点C作☉O的切线交DO于点E,连接BC交DO于点F.(1)求证:CE=EF;(2)连接AF并延长,交☉O于点G.填空:①当∠D的度数为时,四边形ECFG为菱形;②当∠D的度数为时,四边形ECOG为正方形.解析(1)证明:连接OC.∵CE是☉O的切线,∴OC⊥CE.∴∠FCO+∠ECF=90°.∵DO⊥AB,∴∠B+∠BFO=90°.∵∠CFE=∠BFO,∴∠B+∠CFE=90°.(3分)∵OC=OB,∴∠FCO=∠B.∴∠ECF=∠CFE.∴CE=EF.(5分)(2)①30°.(注:若填为30,不扣分)(7分)②22.5°.(注:若填为22.5,不扣分)(9分)详解:①当∠D=30°时,∠DAO=60°.∵AB为直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=30°,∴∠1=∠2=60°,∵CE=FE,∴△CEF为等边三角形,∴CE=CF=EF,同理可得∠GFE=60°,利用对称得FG=FC,∴FG=EF,∴△FEG为等边三角形,∴EG=FG,∴FC=FG=GE=CE,∴四边形ECFG为菱形.②当∠D=22.5°时,∠DAO=67.5°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=67.5°,∴∠AOC=180°-67.5°-67.5°=45°,∴∠COE=45°,利用对称得∠EOG=45°,∴∠COG=90°,易证△OEC≌△OEG,∴OC=OG,∠OGE=∠OCE=90°,∴四边形ECOG为矩形,又OC=OG,∴四边形ECOG为正方形.故答案为30°;22.5°.8.(2017河南,18,9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC边于点D,过点C作CF∥AB,与过点B的切线交于点F,连接BD.(1)求证:BD=BF;(2)若AB=10,CD=4,求BC的长.解析(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵CF∥AB,∴∠ABC=∠FCB.∴∠ACB=∠FCB,即CB平分∠DCF.(3分)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,即BD⊥AC.∵BF是☉O的切线,∴BF⊥AB.(5分)∵CF∥AB,∴BF⊥CF.∴BD=BF.(6分)(2)∵AC=AB=10,CD=4,∴AD=AC-CD=10-4=6.在Rt△ABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64.(8分)在Rt△BDC中,BC=√BD2+CD2=√64+42=4√5,即BC的长为4√5.(9分)三年模拟A组基础题组一、选择题(每题3分,共18分)1.(2021洛阳洛宁一模,4)下列关于圆的说法,正确的是()A.弦是直径,直径也是弦B.半圆是圆中最长的弧C.圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴D.过三点可以作一个圆答案C弦不一定是直径,但直径是弦,选项A说法错误;半圆小于优弧,所以半圆不是圆中最长的弧,选项B 说法错误;圆的每一条直径所在的直线都是它的对称轴,选项C说法正确,符合题意;过不在同一直线上的三点可以作一个圆,选项D说法错误.故选C.2.(2020驻马店一模,3)以O为中心点的量角器与直角三角形ABC按如图方式摆放,直角顶点B在零刻度线所在直线DE上,且量角器与三角板只有一个公共点P,若点P的读数为35°,则∠CBD的度数是()A.55°B.45°C.35°D.25°答案 C 由题意知,AB 是☉O 的切线,∴∠OPB =90°,∵∠POB =35°,∴∠PBO =90°-∠POB =55°,∴∠CBD =180°-∠ABC -∠PBO =35°.故选C .3.(2021洛阳汝阳一模,9)如图,已知☉O 中∠AOB 度数为100°,C 是劣弧AB 上的一点,则∠ACB 的度数为( )A.130°B.100°C.80°D.50° 答案 A 在优弧AB 上取点D ,连接AD ,BD ,∵∠D =12∠AOB =12×100°=50°, ∴∠ACB =180°-∠D =130°. 故选A.4.(2020平顶山一模,9)如图,若△ABC 内接于半径为R 的☉O ,且∠A =60°,连接OB 、OC ,则边BC 的长为( )A.√2RB.√32R C.√22R D.√3R答案 D 如图,延长BO 交☉O 于点D ,连接CD ,则∠BCD =90°,∠D =∠A =60°,∴∠CBD =30°,∵BD =2R ,∴DC =R ,∴BC =√3R.故选D.5.(2021安阳一模,9)如图,PA 是☉O 的切线,A 为切点,连接OP 交☉O 于点C ,点B 在☉O 上,且∠ABC =24°,则∠APC 等于 ( )A.31°B.42°C.53°D.64°答案 B 连接AO ,则∠O =2∠B =48°,∵PA 是☉O 的切线,∴∠OAP =90°,∴∠P =90°-∠O =90°-48°=42°.故选B .6.(2020周口沈丘一模,8)如图,四边形ABCD 是半圆O 的内接四边形,AB 是直径,DC⏜=CB ⏜,若∠C =110°,则∠ABC 的度数等于 ( )A.55°B.60°C.65°D.70° 答案 A 连接BD ,∵AB 为直径,∴∠ADB=90°,∴∠A+∠1=90°,∵∠A+∠C=180°,∴∠A=180°-110°=70°,∴∠1=90°-70°=20°,∵DC⏜=CB⏜,∴CD=BC,∴∠2=∠3=35°,∴∠ABC=∠1+∠2=55°.故选A.二、填空题(共3分)7.(2021洛阳洛宁一模,12)如图所示,AB为☉O的直径,过圆外一点C作☉O的切线BC,连接AC交弧AB于点D,连接BD.若AB=5,AD=2,则BC=.答案5√212解析∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∵BC为☉O的切线,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∵∠BAD=∠CAB,∠ADB=∠ABC,∴△ABD∽△ACB,∴ABAC =ADAB,即5AC=25,解得AC=252,∴在Rt△ABC中,BC=√(252)2-52=5√212.思路分析利用圆周角定理得到∠ADB=90°,根据切线的性质得到∠ABC=90°,则可判断△ABD∽△ACB,根据相似的性质可计算出AC的长,然后由勾股定理可计算出BC的长.三、解答题(共24分)8.(2021郑州二模,20)马老师带领同学们复习《圆》的内容时,展示出如下内容:“如图,△ABC内接于☉O,直径AB的长为6,过点C的切线交AB的延长线于点D.”马老师要求同学们在此基础上添加一个条件编制一道题目,并解答问题.(1)若添加条件“∠D=30°”,则AD的长为;(2)小亮说:“我添加的条件是∠A=30°,可以得到AC=DC”,你认为小亮的说法是否正确?请说明理由.解析(1)9.(2)小亮的说法正确.连接OC,∵DC是☉O的切线,∴∠DCO=90°,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠DCO,∵∠A=30°,∴∠ABC=60°,又OB=OC,∴△OBC为等边三角形,∴CO=CB,∠ABC=∠DOC=60°.在△ABC和△DOC中,{∠ABC=∠DOC, CB=CO,∠ACB=∠DCO,∴△ABC≌△DOC(ASA),∴AC=DC.9.(2021开封一模,19)如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,点P是半径OB上一动点(不与点O,B重合),过点P作射线l⊥AB,分别交弦BC,BC⏜于D,E两点,在射线l上取点F,使FC=FD.(1)求证:FC是☉O的切线;(2)当点E是BC⏜的中点时,若∠BAC=60°,判断以O,B,E,C为顶点的四边形是什么特殊四边形,并说明理由.解析(1)如图,连接OC.∵PF⊥AB,∴∠BPD=90°,∴∠OBC+∠BDP=90°,∵FC=FD,∴∠FCD=∠FDC,∵∠BOP=∠FCD,∴∠OBC+∠FCD=90,∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,∴∠OCB+∠FCD=90°,∴OC⊥FC,∵OC是☉O的半径,∴FC是☉O的切线.(2)以O,B,E,C为顶点的四边形是菱形.连接OE,BE,CE.∵∠BAC=60°,∴∠BOC=120°,∵点E是BC⏜的中点,∴∠BOE=∠COE=∠BAC=60°,∵OB=OE=OC,∴△BOE,△OCE均为等边三角形,∴OB=BE=CE=OC,∴四边形BOCE是菱形.10.(2021郑州外国语学校模拟,18)如图,AB是☉O的直径,D是☉O外一点.DB和DC都与☉O相切,切点分别是点B、C,连接OD交☉O于点E,连接AC.(1)求证:AC∥OD;(2)如果AB=2,①当BD=时,四边形OACE是菱形;②当BD=时,四边形OCDB是正方形.解析(1)证明:连接BC,OC.∵DB,DC是☉O的切线,∴DB=DC,∵OC=OB,∴OD⊥BC,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC,∴AC∥OD.(2)①√3;②1.提示:①当BD=√3时,四边形OACE是菱形.理由:连接EC.∵BD是☉O的切线,∴BD⊥OB,∴∠OBD=90°,∴tan∠DOB=BD=√3,OB∴∠DOB=60°,∵AC∥OD,∴∠OAC=∠DOB=60°,∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形,∴AC=OA=OE,∵AC∥OE,∴四边形OACE是平行四边形,∵OA=OE,∴▱OACE是菱形.②当BD=1时,四边形OCDB是正方形.理由:∵BD,DC是☉O的切线,∴DB=DC=1,∵OB=OC=1,∴OB=BD=DC=OC,∴四边形OCDB是菱形,∵∠OBD=90°,∴菱形OCDB是正方形.思路分析(1)根据切线的性质,圆的性质及圆周角定理的推论证明AC⊥BC,OD⊥BC即可判断.(2)①当BD=√3时,可得四边形OACE四条边相等,所以四边形OACE是菱形;②当BD=1时,可得四边形OCDB是菱形,根据有一个角是90°,可得菱形OCDB是正方形.B组提升题组一、选择题(每题3分,共12分)1.(2021洛阳汝阳一模,6)若AB是☉O的直径,∠ACB=90°,则点C一定在()A.☉O内B.☉O外C.☉O上D.☉O内或☉O上答案C∵AB是☉O的直径,∴AB所对的圆周角为90°,而∠ACB=90°,∴点C在☉O上.故选C.2.(2020南阳二十一校模拟,6)如图所示,等腰直角三角形ABC的斜边AB与量角器的直径重合,点D是量角器上60°刻度线的外端点,连接CD交AB于点E,则∠CEB的度数为()A.60°B.65°C.70°D.75°答案D∵∠ACB=90°,∴点C在以AB为直径的圆上,×60°=30°,∴∠ACD=12∵AC=BC,∴∠CAB=45°,∴∠CEB=∠CAE+∠ACE=75°.故选D.3.(2021许昌长葛一模,8)如图,点A、B、C在☉O上,BC∥OA,连接BO并延长,交☉O于点D,连接AC,DC.若∠A=25°,则∠D的大小为()A.25°B.30°C.40°D.50°答案C∵BC∥OA,∴∠ACB=∠A=25°,∠B=∠AOB=2∠ACB=50°,∵BD是☉O的直径,∴∠BCD=90°,∴∠D=90°-∠B=90°-50°=40°.故选C.4.(2021南阳镇平一模,8)如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB为()A.22°B.44°C.48°D.68°答案B连接OB.∵OA=OB,∴∠A=∠OBA=22°,∴∠AOB=180°-22°-22°=136°,又∵OA⊥OC,∴∠AOC=90°,∴∠BOC=136°-90°=46°,∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBC=90°,∴∠OCB+∠BOC=90°,∴∠OCB=90°-46°=44°.故选B.二、填空题(每题3分,共6分)5.(2021洛阳汝阳一模,14)如图,在☉E中,弦AB与CD相交于坐标原点O,已知B(0,-3),C(-2,0),D(6,0),则点A 的坐标是.答案(0,4)解析连接AD,BC.∵B (0,-3),C (-2,0),D (6,0), ∴OB =3,OC =2,OD =6, 由圆周角定理得∠DAO =∠BCO , ∵∠AOD =∠BOC , ∴△AOD ∽△COB , ∴OA OC =ODOB ,∴OA 2=63, 解得,OA =4,∵点A 在y 轴上,∴点A 的坐标是(0,4).6.(2020河南联考,15)如图,点C 是半圆O 上一动点,连接AC ,BC ,点D 是BC 的中点.将△ABC 沿直线AB 对折得到△ABC',连接C'D.已知AB =4.若△C'BD 为直角三角形,则AC 的长为 . 答案 2或2√2解析如图1,当∠BDC'=90°时,连接CC'. 由题意知C'D 垂直平分BC , ∴CC'=BC',又BC =BC',∴BC =BC'=CC', ∴△C'BC 为等边三角形, ∴∠CBC'=60°,∴∠ABC=1∠CBC'=30°,2∵AB是直径,∴∠ACB=90°,AB=2.∴AC=12∠C'BD=45°,∴AC=AB·sin∠ABC=2√2.故答案为2或2√2.如图2,当∠C'BD=90°时,∠ABC=12三、解答题(共37分)7.(2021洛阳汝阳一模,17)如图,四边形ABCD内接于☉O,BD是☉O的直径,AE⊥CD于点E,DA平分∠BDE.(1)求证:AE是☉O的切线;(2)如果AB=4,AE=2,求☉O的半径.解析(1)证明:如图,连接OA.∵OA=OD,∴∠1=∠2.∵DA平分∠BDE,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴OA∥DE.∵AE⊥CD,∴∠CEA=90°.∴∠OAE=180°-∠CEA=90°,即OA⊥AE,∵OA是☉O的半径,∴AE是☉O的切线.(2)如图,∵BD 是☉O 的直径, ∴∠BAD =90°.∵∠CEA =90°,∴∠BAD =∠CE A. 又∵∠2=∠3,∴△BAD ∽△AED. ∴BD AD =BAAE ,∵BA =4,AE =2,∴BD =2AD.在Rt △BAD 中,根据勾股定理得,BD =83√3.∴☉O 半径为43√3.思路分析 (1)连接OA ,利用已知条件求得OA ∥DE ,进而证明OA ⊥AE ,可得到AE 是☉O 的切线.(2)通过证明△BAD ∽△AED ,再利用相似的性质得到Rt △ABD 的边的比例,由勾股定理求出☉O 直径的长,即可得出半径长.8.(2020郑州二模,18)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,以斜边AB 上的中线CD 为直径作☉O ,分别与AC ,BC 交于点E ,F ,过点F 作☉O 的切线交AB 于点M. (1)求证:MF ⊥AB ; (2)若☉O 的直径是6.填空:①连接OF ,OM ,当FM = 时,四边形OMBF 是平行四边形; ②连接DE ,DF ,当AC = 时,四边形CEDF 是正方形.解析 (1)证明:如图,连接OF.∵CD 是Rt △ABC 斜边AB 上的中线,∴CD =AD =BD ,∴∠DCB =∠DBC.∵CO =OF ,∴∠OCF =∠OFC.∴∠DBC =∠OFC.∴OF ∥AB.∵FM 是☉O 的切线,∴∠OFM =90°,∴∠FMB =90°,∴MF ⊥AB. (5分)(2)①3. (7分)②6√2. (9分)提示:①∵四边形OMBF 是平行四边形,∴OF BM ,又∵CO =OD ,∴CF =FB ,OF =12BD ,∴BM =DM ,∴FM 是△BCD 的中位线,∴FM =12CD =12×6=3.②当四边形CEDF 是正方形时,∠CDE =45°,DE ⊥AC ,又∵DC =DA ,∴∠CDE =∠ADE =45°,则∠ADC =90°,∴AC =√2CD =6√2.9.(2021平顶山二模,20)顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角.如图①所示,PT 切☉O 于点T ,PB 交☉O 于点A ,B ,∠PTA 就是☉O 的一个弦切角.经研究发现:弦切角等于所夹弧所对的圆周角.下面给出了上述命题的“已知”和“求证”,请写出“证明”过程,并回答后面的问题.(1)已知,如图①,PT 是☉O 的切线,T 为切点,射线PB 交☉O 于A ,B 两点,连接TA ,TB.求证:∠PTA=∠ABT.图①(2)如图②,AB为半圆O的直径,O为圆心,C,D为半圆O上两点,过点C作半圆O的切线CE交AD的延长线于点E,若CE⊥AD,且BC=1,AB=3,则DE=.图②解析(1)证明:如图,连接TO并延长交☉O于点C,连接AC.则∠C=∠ABT.又∵PT切☉O于点T,∴PT⊥TC.∴∠PTA+∠ATC=90°.∵TC为☉O的直径,∴∠C+∠ATC=90°.∴∠PTA+∠ATC=∠C+∠ATC.∴∠PTA=∠C.∵∠C=∠ABT,∴∠PTA=∠ABT.(2)13.提示:如图,连接AC ,OC ,∵EC 是☉O 的切线,∴OC ⊥CE ,∵CE ⊥AD ,∴OC ∥AE ,∴∠ACO =∠DAC =∠ECD ,∵OC =OA ,∴∠CAO =∠ACO =∠DAC ,∵AB 为直径,∴∠ACB =∠E =90°,∴△CAB ∽△EAC ∽△ECD ,∴AC 2=AB ·AE ,CE 2=ED ·EA.∵AC =√AB 2-BC 2=√9-1=2√2,AE =AC 2AB =83, ∴CE 2=AC 2-AE 2=89,∴DE =CE 2AE =13.思路分析 (1)作出过切点的直径,构造直角三角形,再结合切线的性质,可证明结论成立.(2)依据(1)中的结论以及圆周角定理,作辅助线构造出相似三角形,用勾股定理和相似的性质求得DE 的值.10.(2021许昌一模,19)如图,AB 是半圆O 的直径,点P 是半圆O 上异于A ,B 的一点,连接BP ,∠PBA 的平分线交半圆O 于点C ,过点C 作半圆O 的切线交射线BP 于点D ,连接CP ,CA.(1)求证:CD ⊥BD ;(2)若AB=5,BD=4,求BC的长度;(3)当△PCB≌△OCB时,请直接写出线段BP与DP之间的数量关系.解析(1)证明:连接OC,∵DC是半圆O的切线,∴∠OCD=90°,∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC,∵∠CBO=∠DBC,∴∠OCB=∠DBC,∴OC∥BD,∴∠D+∠OCD=180°,∴∠D=180°-∠OCD=90°,∴CD⊥BD.(3分)(2)∵AB是圆O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠D=90°,∴∠ACB=∠D,∵∠CBA=∠DBC,∴△CBA∽△DBC,(5分)∴BC AB =BD BC,∴BC2=AB·BD,∴BC=√AB·BD=√5×4=2√5.(7分) (3)BP=2DP.(9分)提示:连接OC,OP,则OC=OP=OB,∵△PCB≌△OCB,∴OC=CP=OP=OB=PB,∴∠OCP=60°,∴∠PCD=90°-60°=30°,在Rt△CPD中,∠D=90°,∴CP=2DP,∴BP=2DP.。

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专题四与圆有关的计算类型一与切线有关的简单证明与计算 (2018·昆明)如图，AB是⊙O的直径，ED切⊙O于点C，AD交⊙O于点F，AC平分∠BAD，连接BF. (1)求证：AD⊥ED； (2)若CD＝4，AF＝2，求⊙O的半径．

【分析】 (1)连接OC，先证明OC∥AD，然后利用切线的性质得OC⊥DE，从而得到AD⊥ED；(2)OC交BF于H，如解图，利用圆周角定理得到∠AFB＝90°，再证明四边形CDFH为矩形得到FH＝CD，∠CHF＝90°，利用垂径定理得到BH＝FH，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径．【自主解答】 (1)证明：连接OC，如解图， ∵AC平分∠BAD， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠3， ∴∠2＝∠3， ∴OC∥AD， ∵ED切⊙O于点C， ∴OC⊥DE，∴AD⊥ED；

例1题解图 (2)解：OC交BF于点H，如解图， ∵AB为直径， ∴∠AFB＝90°，易得四边形CDFH为矩形， ∴FH＝CD＝4，∠CHF＝90°， ∴OH⊥BF， ∴BH＝FH＝4， ∴BF＝8，在Rt△ABF中，AB＝AF2＋BF2＝22＋82＝217， ∴⊙O的半径为17.

1．(2018·河南说明与检测)如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上任一点． (1)若∠BAC＝30°，过点C作半圆O的切线交直线AB于点P.求证：△PBC≌△AOC；

(2)若AB＝6，过点C作AB的平行线交半圆O于点D，当以点A、O、C、D为顶点的四边形为菱形时，求BC︵

的长．

2．(2018·河南说明与检测)如图，在⊙O中，∠AOB＝120°，点C为AB︵的中点，延长OC到点D，使CD＝OC，AB交OC于点E. (1)求证：DA是⊙O的切线； (2)若OA＝6，求弦AB的长． 3．(2018·河南说明与检测)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，∠CAE＝∠ADF. (1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．

4．(2018·金华)如图，在Rt△ABC中，点O在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连接AD.已知∠CAD＝∠B. (1)求证：AD是⊙O的切线； (2)若BC＝8，tan B＝12，求⊙O的半径． 5．(2018·玉林)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交BC于点D，∠DAC＝∠B. (1)求证：AC是⊙O的切线； (2)点E是AB上一点，若∠BCE＝∠B，tan∠B＝12，⊙O的半径是4，求EC的长．

6．(2018·天津)已知AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，∠BAC＝38°. (Ⅰ)如图①，若D为AB︵的中点，求∠ABC和∠ABD的大小； (Ⅱ)如图②，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点P，若DP∥AC，求∠OCD的大小．

图① 图② 7．(2018·信阳一模)如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB. (1)求证：BC是⊙O的切线； (2)连接AF，BF，求∠ABF的度数． 8．(2018·河南说明与检测)如图，AB是⊙O的直径，C是AB︵的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH. (1)求证：AC＝CD； (2)若OB＝2，求BH的长．

类型二与四边形判定结合的证明与计算 (2018·河南)如图，AB是⊙O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F. (1)求证：CE＝EF； (2)连接AF并延长，交⊙O于点G.填空： ①当∠D的度数为________时，四边形ECFG为菱形； ②当∠D的度数为________时，四边形ECOG为正方形．例2题图【分析】 (1)连接OC，如解图，利用切线的性质得∠1＋∠4＝90°，再利用等腰三角形的性质和互余证明∠1＝∠2，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论； (2)①要证明四边形ECFG为菱形，可知△CEF为等边三角形，∵∠ACB＝90°，∠CFE＝60°，∴∠D可求； ②∵四边形ECOG为正方形，∴∠COG＝90°，∠COF＝45°，则∠COA＝45°，根据△ACO是等腰三角形，在Rt△AOD中，已知∠DAO，则∠D可求．【自主解答】 (1)证明：连接OC，如解图， ∵CE为切线，∴OC⊥CE， ∴∠OCE＝90°，即∠1＋∠4＝90°， ∵DO⊥AB，∴∠3＋∠B＝90°， ∵∠2＝∠3，∴∠2＋∠B＝90°，又∵OB＝OC，∴∠4＝∠B，∴∠1＝∠2，∴CE＝FE； (2)解：①当∠D＝30°时，四边形ECFG为菱形，【解法提示】∵四边形ECFG为菱形， ∴CE＝CF＝FG＝EG，由(1)知CE＝EF， ∴△ECF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∵∠DCF＝90°， ∴∠D＝90°－60°＝30°. ②当∠D＝22.5°时，四边形ECOG为正方形．【解法提示】例2题解图 ∵四边形ECOG为正方形， ∴CO＝CE，∴∠OCE＝90°， ∴△COE是等腰直角三角形， ∴∠COE＝45°， ∵DO⊥AB， ∴∠DOA＝90°， ∴COA＝∠DOA－∠COE＝45°， ∵OA＝OC， ∴∠CAB＝67.5°， ∴∠D＝90°－62.5°＝22.5°.

1．(2016·河南)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E. (1)求证：MD＝ME； (2)填空： ①若AB＝6，当AD＝2DM时，DE＝______； ②连接OD，OE，当∠A的度数为__________时，四边形ODME是菱形． 2．(2015·河南)如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A、B重合的一个动点，延长BP到点C，使PC＝PB，D是AC的中点，连接PD、PO. (1)求证：△CDP≌△POB； (2)填空： ①若AB＝4，则四边形AOPD的最大面积为______； ②连接OD，当∠PBA的度数为__________时，四边形BPDO是菱形．

3．(2014·河南)如图，CD是⊙O的直径，且CD＝2 cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线PA，PB，切点分别为点A，B.

(1)连接AC，若∠APO＝30°，试证明△ACP是等腰三角形； (2)填空： ①当DP＝______ cm时，四边形AOBD是菱形； ②当DP＝________ cm时，四边形AOBP是正方形． 4．(2018·驻马店一模)如图，AC是⊙O的直径，点P在线段AC的延长线上，且PC＝CO，点B在⊙O上，且∠CAB＝30°. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若D为圆O上任一动点，⊙O的半径为5 cm时， ①当弧CD长为______时，四边形ADPB为菱形； ②当弧CD长为______时，四边形ADCB为矩形．

5．(2018·濮阳一模)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，OD∥AC，AD＝OC. (1)求证：四边形OCAD是平行四边形； (2)探究： ①当∠B＝________°时，四边形OCAD是菱形； ②当∠B满足什么条件时，AD与⊙O相切？请说明理由．

6．(2017·河南模拟)已知：如图，在平行四边形ABCD中，⊙O是经过A、B、C三点的圆，CD与⊙O相切于点C，点P是BC︵上的一个动点(点P不与B、C点重合)，连接PA、PB、PC. (1)求证：CA＝CB； (2)①当点P满足______________时，△CPA≌△ABC，请说明理由； ②当∠ABC的度数为__________时，四边形ABCD是菱形． 7．(2018·河南说明与检测)如图，△ABC内接于圆O，且AB＝AC.延长BC到点D，使CD＝CA，连接AD交圆O于点E.

(1)求证：△ABE≌△CDE. (2)填空： ①当∠ABC的度数为________时，四边形AOCE是菱形； ②若AE＝3，AB＝22，则DE的长为_________．

8．(2018·河南说明与检测)如图，半圆O的直径为AB，点M为半圆上一动点(不与点A，B重合)，点N为AM︵的中点，ND⊥AB于点D，过点M的切线交DN的延长线于点C.

(1)若MC∥AB， ①求证：AD＝CN； ②填空：四边形OMCD是何种特殊的四边形？________． (2)填空：当∠ANM＝____________时，四边形ANMO为菱形． 9．(2018·河南说明与检测)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E，连接OE.

(1)求证：OE∥AD； (2)填空： ①∠BAC＝________°时，四边形ODEB是正方形； ②当∠BAC＝________°时，AD＝3DE.