冀教版九年级数学上册《圆》28.3.3圆周角和直径的关系
数学九年级上第三篇第四节《圆周角》课件
目录
• 圆周角基本概念与性质 • 圆周角定理及其推论 • 弧长与扇形面积计算 • 圆锥曲线中圆周角应用 • 拓展延伸：其他几何图形中圆周角应用 • 总结回顾与课堂练习
01 圆周角基本概念与性质
圆周角定义及特点
圆周角定义
顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角叫做圆周角。
圆周角性质总结
01
02
03
性质1
在同圆或等圆中，如果两 个圆周角相等，那么它们 所对的弧也相等。
性质2
在同圆或等圆中，如果两 条弧相等，那么它们所对 的圆周角也相等。
性质3
在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心 角的一半。
02 圆周角定理及其推论
圆周角定理内容
ห้องสมุดไป่ตู้圆周角定义
圆柱、圆锥等立体图形中圆周角应用
圆柱中的圆周角
圆柱侧面展开图是一个矩形，其相邻两边夹角即为圆周角。利用圆周角定理可解决圆柱中 的相关问题。
圆锥中的圆周角
圆锥侧面展开图是一个扇形，其圆心角即为圆锥的顶角，而圆周角则为顶角的一半。利用 这些性质可解决圆锥中的相关问题。
圆周角定理在立体图形中的应用
在解决立体图形的问题时，可利用圆周角定理将问题转化为平面问题，从而简化计算过程 。
设扇形半径为r cm，则根据扇 形面积计算公式有 (45° × π × r²) / 360 = 24cm²，解得 r≈4.37cm（保留两位小数）。 再根据弧长计算公式，弧长 = 45° × 4.37cm × π / 180 ≈ 3.43cm（保留两位小数）。
04 圆锥曲线中圆周角应用
圆锥曲线基本概念回顾
典型例题解析
《28.3 圆心角与圆周角 第一课时》优质课件
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等 .
典例精析
例2 如图所示，AB和CD是两条直径，弦CE∥AB，求证：弧AD=弧AE .
分析：要证明弧AD=弧AE，需证明
∠AOD=∠AOE，由已知CE∥
AB，所以∠AOD=∠OCE， ∠AOE=∠OEC，又因为OC=OE， 可以知道∠OCE=∠OEC . 证明：连接OE . ∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC .
探索新知
总结
在同一个圆中，弧、弦和圆心角中只要有一组量相等，就 能推出另两组量相等．线段有和差，弧也有和差．
练一练
1 如图所示，在⊙O中，AB CD ，则在①AB＝CD；②AC＝BD； ③∠AOC＝∠BOD；④ AC BD 中，正确的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
练一练
2 在⊙O中，M，N分别为弦AB，CD的中点，如果OM＝ON，那 么在结论：①AB＝CD；② AB CD; ③∠AOB＝∠COD中，正确 的是( D ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
(4)如果AB=CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F，OE与 OF相等吗？为什么？
解：OE=OF，理由如下： ∵AB=CD，∴易证△ABO≌△CDO . ∴可证Rt△AOE≌Rt△COF，∴可得OE=OF .
课堂练习
⌒⌒
5 如图，在⊙O中，AB=AC，∠ACB=60°. 求证：∠AOB=∠BOC= ∠AOC .
证明：如图，连接OC，OD . AD BC,即AC CD CD BD,
AC BD.AOC BOD.
在Rt△CMO和Rt△DNO中， ∴CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠CMO =∠DNO =90°. 又∵OC=OD，∠MOC=∠NOD， ∴Rt△CMO≌Rt△DNO . ∴CM= DN .
202X秋冀教版数学九上28.3《圆心角和圆周角(1)》ppt课件
14．(9 分)如图，以▱ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作⊙A， ⊙A 交 AD，BC 于点 E，F，延长 BA 交⊙A 于点 G，试说明：G︵E＝E︵F.
连接 AF，∵AD∥BC，∴∠GAE＝∠ABF，∠EAF＝∠AFB，又∠ABF ＝∠AFB，∴∠GAE＝∠EAF，∴G︵E＝E︵F
(提示：连接 AC，BD，先证：AC＝CD＝BD)
•
9、要学生做的事，教职员躬亲共做； 要学生 学的知 识，教 职员躬 亲共学 ；要学 生守的 规则， 教职员 躬亲共 守。21.5.321.5.3Monday, May 和过去最杰出 的人谈 话。12:45:3012:45:3012:455/3/2021 12:45:30 PM
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C．AB＜A′B′
D．无法确定
11．如图，将圆沿 AB 折叠后圆弧恰
好经过圆心，则A︵mB等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
12．如图，在⊙O 中，A︵B＝2C︵D，则下列结论正确的是( C )
A．AB＞2CD
B．AB＝2CD
C．AB＜2CD
D．以上都不正确
13．(9分)如图，已知A，B，C，D是⊙O上四点，若AC＝BD，求证： AB＝CD.
3．(4 分)如图，OA，OB，OC，OD 是⊙O 的半径，(1)如果∠AOB＝ ∠COD，那么_A_B_＝__C_D__，_A︵_B__＝__C︵_D_，∠AOC___＝_____∠BOD；(2)如果 AB ＝CD，那么_A_︵_B_＝__C︵_D___，_∠_A__O_B_＝__∠_C_O_D___；(3)如果A︵B＝C︵D，那么A__B_＝__C__D_， _∠_A_O__B_＝__∠_C_O__D__，A︵C___＝_____B︵D.
28.3 圆心角和圆周角 - 第2课时课件(共22张PPT)
思考
直径所对的圆周角是多少度？９０°的圆周角所对的弦是直径吗？
C1
A
O
B
C2
C3
知识点3 圆周角定理的性质
直径所对的圆周角是直角． 90°的圆周角所对的弦是直径.
显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等.
性质
随堂练习
C
1.下列四个图中，∠x是圆周角的是( )
课堂小结
圆周角
圆周角的概念
圆周角定理的性质
圆周角定理
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
（3）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（2）中的结论还成立吗？和同学进行交流.
证明：如图，连接 PO 并延长交⊙O 于点 D．∵PD过圆心O，
A
B
O
P
D
第三种情况请同学们自行证明
A
B
O
P
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
例2
如图，点A，B，C均在⊙O上，∠OAB＝46°，求∠ACB的度数.
解：如图，连接OB.∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA．∵∠OAB＝４６°，∴∠AOB=１８０°－２∠OAB＝１８０°－２×４６°＝８８°．∴∠ACB=½∠AOB＝４４°．
第 二十八章 圆
28.2.探究并掌握圆周角定理及其性质.3.利用圆周角定理解决简单的几何问题.
学习重难点
圆周角定理及性质.
运用圆周角定理及性质解决几何问题.
难点
重点
1. 什么叫圆心角？指出图中的圆心角.顶点在圆心的角叫圆心角, 图中∠BOC 是圆心角.2.如图，∠BAC的顶点和边有哪些特点?∠BAC的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于B、C两点.
圆的周长与直径的关系的推导过程
圆的周长与直径的关系的推导过程咱们来聊聊圆的周长与直径的关系推导呀。
圆这个东西可神奇了，到处都能看见它。
像车轮是圆的，盘子是圆的，好多东西都是圆的形状呢。
那圆有个很重要的东西，就是周长和直径。
直径好理解，就是从圆的这边到那边，穿过圆心的一条线段。
那周长呢，就是绕着圆一圈的长度。
咱得想个办法找出它们之间的关系。
咱可以做个小实验，拿根绳子绕着一个圆的东西一圈，比如说一个圆盘子。
量出这一圈绳子的长度，这就是周长啦。
再量一量这个盘子的直径。
多做几个不同大小的圆盘子的实验，把每个盘子的周长和直径的数据都记下来。
你看啊，这就有点像咱们交朋友。
刚开始可能不太清楚对方是什么样的人，就得多相处，多观察。
咱们对这些圆盘子也是，多量量不同的，就会发现一些有趣的事儿。
咱们把这些周长除以直径，你猜怎么着？哎呀，好像每次得到的数都差不多呢。
这就好像是一种隐藏在圆里面的小秘密。
不管这个圆是大是小，这个秘密好像都存在。
其实从数学的角度来讲，这个固定的数就是圆周率啦。
你可以把圆想象成一个特别的小世界，周长和直径就像是这个小世界里的两个小伙伴，它们之间有着一种特别稳定的关系，这种关系就是用圆周率来表示的。
再打个比方吧，假如圆是一个小家庭，周长就像是这个家庭的围墙，把家庭围起来，直径呢就像是从家庭中间穿过的一条大道。
不管这个家庭是大是小，围墙的长度和大道的长度总是有着固定的比例关系。
咱们再深入一点想，要是我们把圆画在纸上，把它分割成好多好多小块，就像切披萨一样。
如果切得足够小，这些小块就可以近似看成是小三角形。
把这些小三角形的边加起来，其实也能慢慢接近圆的周长。
这时候你再看直径，就会发现它和这些小三角形的组合之间也有着一种很奇妙的联系，这种联系最后就体现在周长和直径的固定比例上。
我们从不同的角度去探索圆的周长和直径的关系，不管是做实验量盘子，还是从数学分割的角度来看，都能发现这个关系的奇妙之处。
就好像是在探索一个神秘的宝藏，不管从哪条路走进去，最后都能找到那个闪闪发光的宝贝。
圆的直径与周长的关系
圆的直径与周长的关系在几何学中，圆是一种特殊的图形，具有许多独特的性质和特点。
其中，圆的直径和周长是圆的两个重要参数。
本文将探讨圆的直径与周长的关系，并阐述其数学原理和运算公式。
一、圆的直径和周长的定义在开始讨论圆的直径与周长的关系之前，先来定义这两个概念。
圆的直径是连接圆上两个点并通过圆心的线段。
直径的两个端点恰好位于圆的边界上，它是圆的最长的线段。
圆的周长是指圆的边界长度，也可以理解为圆的一周的长度。
以任意一点作为起点，沿着圆边界行进一周后所经过的距离即为圆的周长。
二、圆的直径与周长的关系对于任意一个圆，我们来研究它的直径与周长之间的关系。
假设某个圆的直径为d，那么根据圆的性质可知，这个圆的半径r等于直径的一半，即 r = d/2。
根据圆的周长公式可以推导出：周长 = 圆的直径× π（圆周率）即L = d × π。
由上述公式可以看出，圆的周长与其直径成正比，直径增加，周长也会增加。
而圆周率π则是一个固定的常数，约等于3.14159。
三、例题解析为了更好地理解圆的直径与周长的关系，我们来看几个例题。
例题1：已知一个圆的直径为8 cm，求其周长。
解：根据公式 L = d × π，代入直径d的值和π的近似值（取3.14159），可得：L = 8 cm × 3.14159 ≈ 25.13272 cm。
例题2：若一个圆的周长为18π cm，求其直径。
解：根据公式L = d × π，将周长L的值代入，可得：18π = d × π。
两边同时除以π，得到直径d的值：d = 18 cm。
通过以上两个例题，我们可以发现圆的直径和周长之间的关系是相互影响的。
当我们已知圆的直径，就可以通过乘以π来求得圆的周长；反之，当我们已知圆的周长，可以通过除以π来求得圆的直径。
四、实际应用圆的直径与周长的关系在日常生活和许多实际应用中具有重要意义。
例如，在工程测量中，如果我们已知一个管道的直径，就可以通过计算其周长来确定所需的材料用量；反之，如果我们已知需要的材料用量，可以通过计算直径来选择合适的管道。
圆的直径与周长的关系
圆的直径与周长的关系圆是数学中一个重要的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。
其中，圆的直径与周长之间的关系是我们在初中数学学习中经常遇到的一个问题。
本文将通过举例、分析和说明，向中学生及其父母介绍圆的直径与周长之间的关系，并帮助他们更好地理解和应用这一知识。
首先，我们来了解一下圆的直径和周长的定义。
圆的直径是指通过圆心的一条线段，它的两个端点在圆上。
而周长则是指圆的边界长度，也就是圆的一周的长度。
那么，圆的直径与周长之间有什么关系呢？我们可以通过一个简单的例子来说明。
假设有一个圆的直径是d，那么它的半径就是d的一半，即d/2。
根据圆的性质，我们知道圆的周长等于直径乘以π（圆周率）。
因此，这个圆的周长就是d乘以π。
现在，让我们来看一个具体的例子。
假设有一个圆的直径是8cm，我们可以通过上述的关系来计算它的周长。
根据我们刚才的分析，这个圆的周长就是8乘以π，即8π。
如果我们取π的近似值3.14，那么这个圆的周长就约等于25.12cm。
通过这个例子，我们可以看到，圆的直径与周长之间存在着简单的倍数关系。
也就是说，如果我们知道了圆的直径，就可以通过直径乘以π来计算出它的周长。
这个关系在解决实际问题时非常有用。
除了直接计算，圆的直径与周长的关系还可以应用于解决其他问题。
例如，我们可以利用这个关系来比较两个圆的周长大小。
假设有两个圆，它们的直径分别是d1和d2，我们可以通过比较它们的直径大小来判断它们的周长大小。
如果d1大于d2，那么圆1的周长就大于圆2的周长；反之，如果d1小于d2，那么圆1的周长就小于圆2的周长。
此外，圆的直径与周长的关系还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，如果我们知道了一个圆的周长，想要计算它的直径，我们可以通过周长除以π来得到。
同样地，如果我们知道了一个圆的周长，想要计算它的半径，我们可以通过周长除以2π来得到。
综上所述，圆的直径与周长之间存在着简单的倍数关系。
通过直径乘以π，我们可以计算出圆的周长；通过周长除以π，我们可以计算出圆的直径。
冀教版九年级上册数学《圆心角和圆周角》教学说课复习课件拔高
由此你得到什么结论呢？
180°
A
圆是中心对称图形.
2.把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？
·
α
O
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
知识讲解
一、圆心角
1.定义：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
B
⌒
2.圆心角∠AOB 所对的弧为 AB.
M
3.圆心角∠AOB 所对的弦为AB.
任意给定圆心角，对应出现三个量：
随堂训练
本题答案不
唯一哦！
1.如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
(
(
∠AOB= ∠COD ．
AB=CD
（1）如果AB=CD，那么_________，_____________
(
(
AB=CD
∠AOB= ∠COD
（2）如果 AB=CD ，那么_________，_____________．
B
A
·
O
(
(
AB=CD
D
A
证明:连接OB,OD.
︵ ︵
∵ABC和ADC所对的圆心角之和为360°,
︵
︵
∠BCD和∠BAD分别为ABC和ADC所对的圆周角,
∴∠BCD+∠BAD=180°.
同理,∠ABC+∠ADC=180°.
O
B
C
圆内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补．
D
几何语言：
A
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
D
A
O
B
C
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形.
︵
︵
(1) ABC和ADC所对的圆心角之和等于多少度？