高中数学必修四《1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)》一课一练2(含答案)

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高中数学人教A版必修4 1.5第1课时画函数y=Asin(ωx+φ)的图象作业 Word版含解析

[A.基础达标]1．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度解析：选A.只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动1个单位长度，便得函数y ＝sin(x ＋1)的图象，故选A.2．将函数y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度，所得函数的解析式是( )A ．y ＝cos(3x ＋π4)B ．y ＝cos(3x －π4)C ．y ＝cos(3x －3π4)D ．y ＝cos(3x ＋3π4)解析：选D.y ＝cos 3x 的图象向左平移π4个单位长度得y ＝cos 3(x ＋π4)＝cos(3x ＋3π4)．故选D.3．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x 的图象，只需将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6的图象( ) A ．向左平移π3个单位B ．向右平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位解析：选B.∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x －π6 ＝sin ⎣⎡⎦⎤－12⎝⎛⎭⎫x ＋π3， ∴向右平移π3个单位．4．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是( ) A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D.函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度得到函数f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －π4(其中ω＞0)，将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，所以ωπ2＝k π(k ∈Z )，故得ω的最小值是2.5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A.由题意，y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得解析式为y ＝cos x ＋1，向左平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)＋1，向下平移一个单位为y ＝cos(x ＋1)，显然点(π2－1,0)在函数图象上．故选A.6．将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(4x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象，则φ的值为________．解析：将函数y ＝sin 4x 的图象向左平移π12个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，所以φ的值为π3.答案：π37．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π，为了得到函数g (x )＝2sin(x＋π4)的图象，只需将y ＝f (x )的图象上________．解析：因为T ＝π，所以ω＝2πT＝2.所以f (x )＝sin(2x ＋π4)．因此要得到函数g (x )＝2sin(x ＋π4)的图象，只需将f (x )的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍．答案：各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的2倍8．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x －π6)的图象，则φ＝________.解析：因为φ∈[0,2π)，所以把y ＝sin x 的图象向左平移φ个单位长度得到y ＝sin(x ＋φ)的图象，而sin(x ＋11π6)＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋11π6－2π＝sin(x －π6)，即φ＝11π6. 答案：11π69．(1)利用“五点法”画出函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)说明该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的．解：(1)先列表，后描点并画图.(2)把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象．或把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 12x的图象．再把所得图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6的图象． 10．已知函数y ＝3sin 2x 的图象C 1，问C 1需要经过怎样的变换得到函数y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4的图象C 2，并且平移路程最短？解：①∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π8， ∴将y ＝3sin 2x 的图象C 1向右平移5π8个单位长度可得C 2.②∵y ＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π4＋2π ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋3π8， ∴将y ＝3sin 2x 的图象C 1向左平移3π8个单位长度可得C 2.综上可知，平移路程最短的方法是向左平移3π8个单位长度．[B.能力提升]1．将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A ．在区间[π12，7π12]上单调递减B ．在区间[π12，7π12]上单调递增C ．在区间[－π6，π3]上单调递减D ．在区间[－π6，π3]上单调递增解析：选B.将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －2π3)，令2k π－π2≤2x －2π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z ，故递增区间为[k π＋π12，k π＋7π12](k ∈Z )，当k ＝0时，得递增区间为[π12，7π12]，故选B.2．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3B.5π6C.π2D.π6解析：选B.将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度，得g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝32，sin (θ－2φ)＝32，解得θ＝π3，φ＝－k π或－π6－k π(k ∈Z )，结合选项取得φ＝5π6. 3．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析：由题意，y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6―――――――――――――――→每个点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22. 答案：224．某同学利用描点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中0＜A ≤2,0＜ω＜2，－π2＜φ＜π2)的图y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式应是________．解析：在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．根据函数图象的大致走势，可知点(1,0)不符合题意；又因为0＜A ≤2，函数图象过(4，－2)，所以A ＝2，因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，又∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝π6，由(0,1)，(2,1)关于直线x ＝1对称，知x ＝1时函数取得最大值2，因此函数的最小正周期为6.∴ω＝π3.答案：y ＝2sin(π3x ＋π6)5．设ω＞0，若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后与原图象重合，求ω的最小值．解：将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3＋2的图象向右平移4π3个单位长度后，所得图象的函数解析式为 y ＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x －4π3＋π3＋2 ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3－4ωπ3＋2.因为平移后的图象与原图象重合，所以有4ωπ3＝2k π(k ∈Z )，即ω＝3k 2(k ∈Z )，又因为ω＞0，所以k ≥1，故ω＝3k 2≥32.故ω的最小值为32.6．(选做题)已知函数f (x )＝2sin ωx ，其中常数ω＞0.(1)若y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g (x )的图象，区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a ＜b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)因为ω＞0，根据题意有⎩⎨⎧－π4ω≥－π22π3ω≤π2⇒0＜ω≤34.所以ω的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，34. (2)f (x )＝2sin 2x ，g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， g (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ，即g (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点，则b －a 的最小值为14×2π3＋15×π3＝43π3.。

人教A版数学必修四1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象能力提升(含答案解析)

1．将函数y ＝5sin 3x 的周期扩大到原来的2倍，再将函数图象右移π3个单位，得到图象的解析式是( )A ．y ＝5sin(3π2－32x ) B ．y ＝sin(7π10－32x ) C ．y ＝5sin(π6－6x ) D ．y ＝－5cos 32x 2．函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在一个周期内当x ＝π6时有最大值2，当x ＝2π3时，有最小值－2，则ω＝________.解析：∵在一个周期内，x ＝π6时有最大值， x ＝23π时有最小值， ∴T 2＝23π－π6＝π2，即T ＝π，∴ω＝2.答案：23．函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，则f (α2)＝2，求α的值．解：(1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2.∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2， ∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，故函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1. (2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6)＝12， ∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3， ∴α－π6＝π6，故α＝π3.4．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图象如图所示． (1)求f (x )的解析式； (2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43(4π－π4)＝5π，ω＝25. 由f (x )＝3sin(25x ＋φ)过(π4，0)得sin(π10＋φ)＝0，又|φ|<π2，故φ＝－π10， ∴f (x )＝3sin(25x －π10)． (2)由f (x ＋m )＝3sin[25(x ＋m )－π10]＝3sin(25x ＋2m 5－π10)为偶函数(m >0)，知2m 5－π10＝π2＋k π，即m ＝3π2＋52k π. ∵m >0，∴m min ＝3π2. 故至少把f (x )的图象向左平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．。

人教版高中数学必修4第一章三角函数1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)同步练习题及答案.doc

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】§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)课时目标 1.了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到． 2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到． 3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________． 4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．y ＝sin x 的图象__________的图象______________的图象______________的图象．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向右平移π6个单位长度2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( )A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度D ．向右平移5π6个单位长度3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －15．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位B ．向右平移π4个长度单位C ．向左平移π2个长度单位D ．向右平移π2个长度单位6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，x ∈R 题号 1 2 3 4 5 6 答案 7．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象；②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ). (1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位B ．向右平移π8个单位C ．向左平移π4个单位D ．向右平移π4个单位14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π31．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条： (1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)． (2)y ＝sin x ――→周期变换y ＝sin ωx ――→相位变换y ＝sin[ω(x ＋φω)]＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移|φ|ω个单位，这是很易出错的地方，应特别注意．2．类似地y ＝A cos(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)答案知识梳理1．向左向右 |φ| 2.缩短伸长1ω不变 3．伸长缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ) 作业设计1．B 2.C 3.D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .]5．B [y ＝sin(2x ＋π6)4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．]6．C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 7．sin x8．y ＝cos 2x 9.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z .∴φ的最小正值是32π.10．①③11．解由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径：①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2 (k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )，∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可．13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位 y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．]14．D [方法一正向变换y ＝f (x )——————→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )——————→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.] 高中数学知识点三角函数 1、以角的顶点为坐标原点，始边为 x 轴正半轴建立直角坐标系，在角的终边上任取一个异于原点的点，点 P 到原点的距离记为，则 sin= ， cos = ， tg = ， ctg = ， sec = ， csc = 。

高中数学必修四 1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)课时跟踪检测新人教A版必修4

【高中数学 1.5函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象（二）课时跟踪检测1．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6 解析：由周期为π排除B 、D ，对A ，当x ＝π3时，有y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝1，故其图象关于直线x ＝π3对称，故选A.答案：A2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象如图，则它的振幅A 与最小正周期T 分别是( ) A ．A ＝3，T ＝5π6B ．A ＝3，T ＝53πC ．A ＝32，T ＝5π6D ．A ＝32，T ＝5π3解析：由图象可知最大值为3，最小值为0，故振幅为32，半个周期为π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝5π6，故周期为53π.答案：D3．简谐振动y ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的频率和相位分别是________________．解析：简谐振动y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6的周期是T ＝2π4＝π2，相位是4x ＋π6，频率f ＝1T ＝2π.答案：2π，4x ＋π64．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的图象如图所示，则ω＝________.解析：由题意设函数周期为T ，则T 4＝23π－π3＝π3，故T ＝43π.∴ω＝2πT ＝32.答案：325．设函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，则x 0＝________.解析：因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6.答案：－π66．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象在(－π，π)上有________条对称轴．解析：令2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π2＋π3，k ∈Z .又x ∈(－π，π)，∴k ＝－2，－1,0,1.答案：47．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜π2，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π4.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×π4＋φ＝±1. ∴π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z . ∵0＜φ＜π2，∴φ＝3π8.(2)由(1)知φ＝3π8，因此y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π8.由题意得－π2＋2k π≤12x ＋38π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即－74π＋4k π≤x ≤π4＋4k π，k ∈Z ，∴函数y ＝f (x )的单调增区间为：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－74π＋4k π，π4＋4k π，k ∈Z .8．为了使函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是( )A ．98π B.1972π C.1992π D ．100π解析：由题意至少出现50次最大值即至少需用4914个周期，所以4914·T ＝1974·2πω≤1.所以ω≥1972π.答案：B9．关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________．(填序号)①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；②y ＝f (x )是以2π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．解析：因为4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以①正确，易得②④不正确，而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是对称中心，③正确．答案：①③10．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的一段图象如图所示．(1)求f (x )的解析式．(2)把f (x )的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数？解：(1)A ＝3，2πω＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫4π－π4＝5π，ω＝25.由f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋φ过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π10＋φ＝0，又|φ|＜π2，故φ＝－π10.∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x －π10.(2)由f (x ＋m )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤25x ＋m －π10＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋2m 5－π10为偶函数(m ＞0)，知2m 5－π10＝π2＋k π，即m ＝3π2＋52k π，k ∈Z . ∵m ＞0， ∴m min ＝3π2.故把f (x )的图象向左至少平移3π2个单位长度，才能使得到的图象对应的函数是偶函数．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为2，且当x ＝13时，f (x )取得最大值2.(1)求函数f (x )的解析式．(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )图象的对称轴？如果存在，求出对称轴方程；如果不存在，说明理由．解：(1)由已知2πω＝2，得ω＝π.又A ＝2，所以f (x )＝2sin(πx ＋φ)．因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又|φ|＜π2，所以φ＝π6.故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)令πx ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z .则x ＝k ＋13，k ∈Z .即函数f (x )的对称轴为x ＝k ＋13，k ∈Z .由214≤k ＋13≤234，得5912≤k ≤6512. 因为k ∈Z ，所以k ＝5.故在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )图象的对称轴，其方程是x ＝163.12．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，πn 上的面积为2n(n ∈N *)．(1)求函数y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的面积．(2)求函数y ＝sin(3x －π)＋1在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上的面积．解：(1)y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的图象如图所示，由函数y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13π上的面积为23，可得函数y ＝sin 3x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23π上的面积为43.(2)由图可知阴影部分面积即为所求面积，S ＝S 四边形ABCD ＋23＝π＋23.。

人教A版数学必修四1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》同步测试.doc

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.5《函数y=Asin(ωx+φ)的图像》同步测试1、函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin 2πx y 在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是（） A. 311,35,3πππ- B. 310,34,32πππ- C. 623,611,6πππ- D. 35,32,3πππ- 2、要得到函数x y sin =的图象，只需将函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3sin πx y 的图象（） A. 向左平移3π B. 向右平移3π C. 向左平移32π D. 向右平移32π 3、某函数的图象向右平移2π后得到的图象的函数式是⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y ，则此函数表达式是（）A. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2sin πx y C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y4、将函数y ＝sin x 的图象上所有点向左平移3π个单位，再把所得图象上各点横坐标扩大到原来的2倍，则所得图象的解析式为( )A ．y ＝sin(32π-x )B ．y ＝sin(62π+x )C ．y ＝sin(32π+x )D ．y ＝sin(2x ＋3π) 5、同时具有性质“（1）最小正周期是π；（2）图像关于直线3π=x 对称；（3）在]3,6[ππ-上是增函数”的一个函数是（）A )62sin(π+=x yB )32cos(π+=x yC )62sin(π-=x yD )62cos(π-=x y 6． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图象是由x y sin =的图象向平移个单位得到的，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象是由x y sin =的图象向平移个单位得到的， ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4sin πx y 的图象是由⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4sin πx y 的图象向平移个单位得到的 7．函数]0,[)(62sin(2ππ-∈+=x x y 的单调递减区间是8．函数f (x )＝5sin(2x ＋θ )的图象关于y 轴对称，θ 应满足的条件是________．9．函数y ＝sin(-x ＋3π)的单调递增区间是________．参考答案：1、B2、A3、A4、C5、C6、左4π；右 4π；右 2π 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3,65ππ 8、Z k k ∈+=,2ππθ 9、Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,6112,652ππππ。

高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：1.5.1函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一).docx

& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &1.5.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________课后练习基础过关1．把函数y=cos(x+4π3)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,所得到的函数图象正好关于y 轴对称,则φ的最小值为A .4π3B .2π3C .π3D .5π32．把函数y=cos 2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是A. B.C.D.3．把函数y =cos(x +4π3)的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y 轴对称,则φ的最小正值是 A.2π3B.π3C.4π3D.354．下列命题正确的是A.y =cos x 的图象向右平移π2个单位得y =sin x 的图象B.y =sin x 的图象向右平移π2个单位得y =cos x 的图象C.当φ＜0时，y =sin x 的图象向左平移|φ|个单位可得y =sin(x+φ)的图象D. y =sin(2x +π3)的图象由y =sin2x 的图象向左平移π3个单位得到鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷5．函数y =cos(2x+φ)(−π≤φ<π)的图象向右平移π2个单位后，与函数y =sin(2x+π3)的图象重合，则|φ|=____.6．函数 y =15sin(3x −π3) 的定义域是__________，值域是________，周期是________，振幅是________，频率是________，初相是_________． 7．已知函数y =3sin(12x －π4).(1)用“五点法”作函数的图象；(2)说出此图象是由y =sin x 的图象经过怎样的变化得到的； (3)求此函数的周期、振幅、初相；(4)求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.8．使函数y =f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y =sin2x 的图象相同，求f (x )的解析式.能力提升1．函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式;(2)把f(x)的图象向左至少平移多少个单位长度,才能使得到的图象对应的函数为偶函数?2．将函数y =f (x )的图象先向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的π3倍，然后再向上平移1个单位，得到函数y =√3sinx 的图象. (1)求y =f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若函数y =g (x )与y =f (x )的图象关于直线x =2对称，求当x ∈[0，1]时，函数y =g (x )的最小值和最大值.& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &1.5.1 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)【基础过关】 1．C【解析】把函数y=cos(x+4π3)的图象向右平移φ个单位长度,得到函数y=cos(x+4π3-φ)的图象,因为该函数的图象关于y 轴对称,所以4π3-φ=k π(k ∈Z ),故φ=4π3-k π(k ∈Z ),又φ>0,显然当k=1时,φ取得最小值π3.【备注】该题易出现的问题是不能根据平移后的函数的图象的对称性确定φ所满足的条件导致解题错误. 2．A【解析】变换后的函数为y=cos(x+1),结合四个选项可得A 选项正确. 3．B【解析】函数y =cos(x +4π3)的图象向右平移φ个单位得到y =cos(x +4π3-φ)的图像，且cos(4π3–φ)=±1，则φ的最小值为π3.故选B.4．A 5．56π【解析】函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图像向右平移2π个单位后，得平移后的图象对应的函数解析式为()cos 2cos 22y x x πϕϕπ⎡⎤⎛⎫=-+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，而函数sin 2cos 2332y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由函数()()cos 2y x ϕπϕπ=+-≤<的图象向右平移2π个单位后与函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，得2232x x ππϕπ+-=+-，解得56πϕ=，符合πϕπ-≤<，故答案为56π.鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷6．(−∞,+ ∞),(−15, 15), 2π3,15, 15,32π,− π3;【解析】T =2π3,f =1T =32π.7．解：(1)(2)方法一：“先平移，后伸缩”.先把y =sin x 的图象上所有的点向右平移π4个单位，得到y =sin(x －π4)的图象；再把y =sin(x －π4)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin(12x －π4)的图象；最后将y =sin(12x －π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y =3sin(12x －π4)的图象.方法二：“先伸缩，后平移”.先把y =sin x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin(12x )的图象；再把y =sin(12x )图象上所有的点向右平移π2个单位，得到y =sin 12(x －π2)=sin(x 2−π4)的图象；最后将y =sin(12x －π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y =3sin(12x －π4)的图象.(3)周期T =2πω=2π12=4π，振幅A =3，初相是－π4.(4)令12x －π4=π2+k π，解得对称轴方程为x =3π2+2k π，k ∈Z ；令12x －π4=k π得x =π2+2k π, k ∈Z.所以对称中心为点(2π+2k π，0)，k ∈Z ；令－π2+2k π≤12x －π4≤π2+2k π，解得［－π2+4k π，3π2+4k π］，k ∈Z 为此函数的单调递增区间.【解析】本题主要考查函数y =A sin(ωx +φ)的图像和性质.& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &8．由题意将sin 2y x =的图象向右平移6π个单位得函数sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，再将所得函数的图象横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变得到函数sin 3y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故()sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【能力提升】 1．(1)由题意知A=3,T=2πω=43(4π-π4)=5π,∴ω=25.由f(x)=3sin(25x+φ)过(π4,0)得sin(π10+φ)=0, 又|φ|<π2,∴φ=-π10,∴f(x)=3sin(25x-π10).(2)由f(x+m)=3sin[25(x+m)-π10]=3sin(25x+2m 5-π10)为偶函数(m>0),知2m 5-π10=k π+π2(k ∈Z),即m=52k π+3π2(k ∈Z).∵m>0,∴m m in=3π2.故至少把f(x)的图象向左平移3π2个单位长度,才能使得到的图象对应的函数是偶函数.2．解：（1）函数y x =的图象向下平移1个单位得1y x =-的图象，再横坐标缩短到原来的3π，得13y x π=-的图象，然后向右平移1个单位得133y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y f x =的最小正周期为263T ππ==，由222332k x k ππππππ-≤-≤+，得1566,22k x k k Z -≤≤+∈，所以()y f x =的单调递增区间是156,6,22k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. （2）因为函数()y g x =与()y f x =的图象关于直线2x =对称，所以当[]0,1x ∈时，()y g x =的最值即为[]3,4x ∈时，()y f x =的最值.因为[]3,4x ∈时，2,333x ππππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，鑫达捷& 鑫达捷致力于精品文档精心制作仅供参考 &鑫达捷所以sin 33x ππ⎡⎛⎫-∈⎢ ⎪⎝⎭⎣，所以()11,2f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以()y g x =的最小值是1-，最大值为12.。

高中数学 1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象课时训练新人教版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.5 函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象课时训练新人教版必修4一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在每个区间(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )内是增函数D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数【解析】由y ＝tan x 是周期函数，知A 、B 不正确．又y ＝tan x 在(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )上是增函数，没有减区间， ∴C 正确，D 错误．【答案】 C2．函数y ＝tan(x ＋π5)，x ∈R 且x ≠310π＋k π，k ∈Z 的一个对称中心是( )A ．(0,0)B ．(π5，0)C ．(45π，0)D ．(π，0)【解析】由x ＋π5＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k 2π－π5，令k ＝2，得x ＝45π.【答案】 C3．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12)的值是( )A ．0 B.33C ．1D. 3【解析】正切函数图象上的相邻两支曲线之间的距离为周期T ，则πω＝π4，所以ω＝4，从而f (π12)＝t an(4×π12)＝tan π3＝ 3.【答案】 D4．下列各式中正确的是( ) A ．tan 4π7＞tan 3π7B ．tan(－13π4)＜tan(－17π5)C ．tan 4＞tan 3D ．tan 281°＞tan 665°【解析】对于A ，tan 4π7＜0，tan 3π7＞0.对于B ，tan(－13π4)＝tan(－π4)＝－tan π4＝－1，tan(－17π5)＝tan(－2π5)＝－tan 2π5＜－tan π4.∴tan(－13π4)＞tan(－17π5)．对于D ，tan 281°＝tan 101°＜tan 665°＝tan 125°.故选C. 【答案】 C5．函数y ＝lg(1＋tan x )的定义域是( ) A ．(k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z )B ．(k π－π2，k π＋π4)(k ∈Z )C ．(k π－π4，k π＋π2)(k ∈Z )D ．(k π－π4，k π＋π4)(k ∈Z )【解析】由题意得1＋tan x ＞0，即tan x ＞－1，由正切函数的图象得 k π－π4＜x ＜k π＋π2(k ∈Z )．【答案】 C 二、填空题6．函数y ＝tan x1＋cos x 的奇偶性是________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π21＋cos x ≠0得：x ≠k π＋π2且x ≠(2k ＋1)π， k ∈Z .∴函数的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝tan －x1＋cos －x ＝－tan x 1＋cos x＝－f (x )， ∴函数y ＝tan x1＋cos x为奇函数．【答案】奇函数7．(2013·南通高一检测)f (x )＝a sin x ＋b tan x ＋1，满足f (5)＝7，则f (－5)＝________.【解析】 ∵f (5)＝a sin 5＋b tan 5＋1＝7， ∴a sin 5＋b tan 5＝6，∵f (－5)＝a sin(－5)＋b tan(－5)＋1 ＝－(a sin 5＋b tan 5)＋1 ＝－6＋1＝－5. 【答案】－58．已知函数y ＝tan ωx 在(－π2，π2)内是减函数，则ω的取值范围为__________．【解析】由题意可知ω<0，又(π2ω，－π2ω)⊆(－π2，π2)．故－1≤ω<0. 【答案】－1≤ω<0 三、解答题9．求函数y ＝tan(3x －π3)的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．【解】由3x －π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋5π18，k ∈Z .∴所求定义域为{x |x ∈R ，且x ≠k π3＋5π18，k ∈Z }．值域为R ，周期T ＝π3，是非奇非偶函数．在区间(k π3－π18，k π3＋5π18)(k ∈Z )上是增函数． 10．利用函数图象，解不等式－1≤tan x ≤33.【解】作出函数y ＝tan x 的图象，如图所示．观察图象可得：在(－π2，π2)内，满足条件的x 为－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知，满足不等式的x 的解集为{x |－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z }．11．求函数y ＝－tan 2x ＋10tan x －1，x ∈[π4，π3]的值域．【解】设tan x ＝t ，∵x ∈[π4，π3]，∴t ∈[1，3]，∴y ＝－tan 2x ＋10tan x －1 ＝－t 2＋10t －1 ＝－(t －5)2＋24.∴当t ＝1，即x ＝π4时，y min ＝8；当t ＝3，即x ＝π3时，y max ＝103－4.∴函数的值域为[8,103－4]．【教师备课资源】 1．正切函数性质的应用已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈(－π2，π2)．(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值．(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．【解析】 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝(x －33)2－43， x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43；当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－3，又θ∈(－π2，π2)，∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3U ⎣⎢⎡⎭⎬⎫π4，π2.在x ∈[π6，π3]时，k ＋tan(π3－2x )的值总不大于零，求实数k 的取值范围．【解】 ∵x ∈[π6，π3]，∴0≤tan(2x －π3)≤ 3.∵对任意的x ∈[π6，π3]，都有tan(2x －π3)≥k ，∴[tan(2x －π3)]min ≥k ，∴k ≤0.2．知识拓展正切函数图象的几何作法．类比正弦函数图象的作法，作正切函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)图象的步骤．(1)建立平面直角坐标系，在x 轴的负半轴上任取一点O 1，以O 1为圆心作单位圆． (2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的正切线．(3)在x 轴上，把(－π2，π2)这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x 轴上的位置．(4)把角x 的正切线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合．(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图象，如图所示．现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y ＝tan x (x ∈R ，且x ≠π2＋k π(k ∈Z ))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是由被无数条直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无数条曲线组成的．。

高中数学人教A版必修四课时训练：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象 1.5(一) Word版含答案

§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一) 课时目标 1.了解φ、ω、A 对函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响.2.掌握y ＝sin x 与f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象间的变换关系．用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象1．φ对y ＝sin(x ＋φ)，x ∈R 的图象的影响y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0)的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时)或________(当φ<0时)平行移动________个单位长度而得到．2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ)的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时)或________(当0<ω<1时)到原来的______倍(纵坐标________)而得到．3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx ＋φ)图象上所有点的纵坐标________(当A >1时)或________(当0<A <1时)到原来的________(横坐标不变)而得到，函数y ＝A sin x 的值域为________，最大值为________，最小值为________．4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程．y ＝sin x 的图象__________的图象______________的图象______________的图象．一、选择题1．要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象，只要将y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向右平移π6个单位长度 2．为得到函数y ＝cos(x ＋π3)的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) A ．向左平移π6个单位长度 B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移5π6个单位长度 D ．向右平移5π6个单位长度 3．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位，所得图象对应的函数是( ) A ．非奇非偶函数B ．既是奇函数又是偶函数C ．奇函数D ．偶函数4．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝1＋cos 2xC ．y ＝1＋sin(2x ＋π4) D ．y ＝cos 2x －1 5．为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象( ) A ．向左平移π4个长度单位 B ．向右平移π4个长度单位 C ．向左平移π2个长度单位 D ．向右平移π2个长度单位 6．把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，x ∈R B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6，x ∈RC ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R D ．y ＝sin ⎛⎭⎫2x ＋2π，x ∈R 7．函数y ＝sin 2x 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象的函数解析式为f (x )＝____________.8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向左平移π6个单位，所得函数的解析式为____________． 9．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．10．某同学给出了以下论断：①将y ＝cos x 的图象向右平移π2个单位，得到y ＝sin x 的图象； ②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2)的图象；③将y ＝sin(－x )的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2)的图象；④函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移π3个单位而得到的．其中正确的结论是______(将所有正确结论的序号都填上)．三、解答题11．怎样由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，试叙述这一过程．12．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x (x ∈R ).(1)求f (x )的单调减区间；(2)经过怎样的图象变换使f (x )的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可)．能力提升13．要得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象，只要将y ＝sin 2x 的图象( ) A ．向左平移π8个单位 B ．向右平移π8个单位 C ．向左平移π4个单位 D ．向右平移π4个单位 14．使函数y ＝f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的12倍，然后再将其图象沿x 轴向左平移π6个单位得到的曲线与y ＝sin 2x 的图象相同，则f (x )的表达式为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π31．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，其变化途径有两条：(1)y ＝sin x ――→相位变换y ＝sin(x ＋φ)――→周期变换y ＝sin(ωx ＋φ)――→振幅变换y ＝A sin(ωx ＋φ)．§1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象(一)答案知识梳理1．向左向右 |φ| 2.缩短伸长1ω不变 3．伸长缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx ＋φ) y ＝A sin(ωx ＋φ)作业设计1．B 2.C 3.D4．B [将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝sin2(x ＋π4)，即y ＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y ＝1＋cos 2x .] 5．B [y ＝sin(2x ＋π6)4π−−−−−−−→向右平移个长度单位y ＝sin[2(x －π4)＋π6]＝sin(2x －π3)．] 6．C [把函数y ＝sin x 的图象上所有的点向左平行移动π3个单位长度后得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把所得图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．] 7．sin x8．y ＝cos 2x9.32π 解析 y ＝sin x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π2向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －φ－π2， ∴φ＋π2＝2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π2，k ∈Z . ∴φ的最小正值是32π. 10．①③11．解由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象有两种变化途径： ①y ＝sin x ————→向右平移π3个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3——————→纵坐标不变横坐标缩短为12 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 ②y ＝sin x ————→纵坐标不变横坐标缩短为12y ＝sin 2x ——————→向右平移π6个单位 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.12．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－π12≤x ≤k π＋512π (k ∈Z )， ∴原函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π (k ∈Z )． (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos2⎝⎛⎭⎫x ＋π12. ∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，∴只需把y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位即可． 13．A [y ＝sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π8－π4――→向左平移π8个单位 y ＝cos[2(x －π8＋π8)－π4]＝cos(2x －π4)．] 14．D [方法一正向变换y ＝f (x )——————→横坐标缩小到原来的12y ＝f (2x )——————→沿x 轴向左平移π6个单位y ＝f ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin 2x .令2x ＋π3＝t ，则2x ＝t －π3，∴f (t )＝sin ⎝⎛⎭⎫t －π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 方法二逆向变换据题意，y ＝sin 2x 6π−−−−−−→向右平移个单位y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x －π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3――→横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.]。

人教A版高中数学必修四课后训练{1.5函数y=Asin(ωx+φ)的图象}

课后训练1．函数y＝π2sin25x⎛⎫+⎪⎝⎭的周期、振幅依次是( )C．π，2D．π，－22．把函数y＝πsin24x⎛⎫-⎪⎝⎭的图象向左平移π8个单位长度，所得到的图象对应的函数是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数3．函数y＝πcos26x⎛⎫+⎪⎝⎭在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的简图是( )4．要得到函数y＝πsin3x⎛⎫-⎪⎝⎭的图象，只需将函数y＝πsin6x⎛⎫-⎪⎝⎭的图象( )A ．向左平移π6个单位B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π2个单位D ．向右平移π2个单位5．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π．若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数 B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数 C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数 D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数6．使函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称的θ为__________．7．函数y ＝π5sin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值是__________． 9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的一段图象如图，试求这个函数的解析式．10．已知函数的解析式f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R π0002A ωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭其中，，的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M 2π23⎛⎫- ⎪⎝⎭，． (1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈ππ122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，求f (x )的值域．参考答案1答案：B2答案：A 解析：y ＝sin π24x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin π28x ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，向左平移π8个单位长度后为y ＝sin ππ288x ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin2x ，为奇函数，故选A ． 3答案：B 解析：将y ＝cos x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向左平移π12个单位得到函数y ＝ππcos 2=cos 2126x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，选B ．45答案：A 解析：∵函数f (x )的最小正周期为6π，∴2πω＝6π，得ω＝13．当x ＝π2时，函数f (x )取得最大值，∴1ππ2π+322k ϕ⨯+=，k ∈Z ．又－π＜φ≤π，∴π3ϕ=．∴f (x )＝1π2sin 33x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．由π1ππ2π2π2332k x k -≤+≤+(k ∈Z )，得5ππ6π6π+22k x k -≤≤(k ∈Z )．∴f (x )的增区间是5ππ6π,6π+22k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．取k ＝0，得5ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是f (x )的一个增区间．∴函数f (x )在区间[－2π，0]上是增函数．6答案：ππ510k +，k ∈Z 解析：∵函数f (x )＝3sin(2x ＋5θ)的图象关于y 轴对称，∴f (－x )＝f (x )恒成立，∴3sin(－2x ＋5θ)＝3sin(2x ＋5θ)，∴sin(－2x ＋5θ)＝sin(2x ＋5θ)，∴－2x ＋5θ＝2x ＋5θ＋2k π(舍去)或－2x ＋5θ＋2x ＋5θ＝2k π＋π(k ∈Z )，即10θ＝2k π＋π，故θ＝ππ510k +(k ∈Z )． 7答案：π2 解析：∵y ＝5sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π，∴函数y ＝π5sin 23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小正周期为π2．8答案：2 解析：把f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得：y ＝sin π4x ω⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又所得图象过点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭， ∴3ππsin 044ω⎡⎤⎛⎫-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．∴πsin =02ω．∴π2ω＝k π(k ∈Z )．∴ω＝2k (k ∈Z )．∵ω＞0，∴ω的最小值为2．9答案：解：易知A ＝4T＝6－2＝4． ∴T ＝16，∴2πω＝16，∴ω＝π8．又图象过点(2,，∴π28ϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭∵|φ|＜π2，∴φ＝π4．于是ππ84y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．10答案：解：(1)由最低点为M 2π,23⎛⎫- ⎪⎝⎭得A ＝2．由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为π2得π22T =，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，由点M 2π,23⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上，得 2π2sin 2+23ϕ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭，即4πsin =13ϕ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，故4π3π2π32k ϕ+=+，k ∈Z ， ∴φ＝2k π＋π6，又φ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，∴φ＝π6，故f (x )＝π2sin 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．(2)∵x ∈ππ,122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ππ7π2,636x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，当ππ262x +=，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当π7π266x +=，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．。

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必修4数学一课一练（适用新课标人教版）
1.5 函数 y=Asin(ωx+ψ)
一、选择题：
1、若f(x) cos2x 是周期为2的奇函数,则f(x)可以是（）

A．sin 2x B．cos 2x C．sinπx D．cosπx

2、把函数y=cos(x +34 )的图象向右平移φ个单位,所得到的图象正好是关于y轴对称,
则φ的最小正值是（）
A．32 B．3 C．34 D．35

3、函数y=sin(2x + 3 )的一条对称轴为（）
A．x=2 B．x= 0 C．x=－6 D．x =12

4、方程sinx = lgx的实根有（）
A．1个 B．3个 C．2个 D．无穷多个

5、函数y = sin2x+acos2x的图象关于直线x=－8 对称,则a的值为（）
A．1 B．－2 C．－1 D．2
6、已知函数y=f(x),将f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然
后把所得到的图象沿x轴向左平移4个单位,这样得到的曲线与y=3sinx的图象相同, 那
么y=f(x)的解析式为（）
A．f(x)=3sin(42x) B．f(x)=3sin(2x+4)

C．f(x)=3sin(42x ) D．f(x)=3sin(2x－4)

7、y= log21sin(2x +4)的单调递减区间是（）
必修4数学一课一练（适用新课标人教版）
A．[kπ－4,kπ](k∈Z) B．(kπ－8 ,kπ+8 )(k∈Z)
C．[kπ－83 ,kπ+ 8] (k∈Z) D． (kπ－8, kπ+83)(k∈Z)

8、已知y=Asin(ωx+φ)在同一周期内,x=9时有最大值21, x =94 时有最小值－21 ,则函
数的解析式为（）
A．y=2sin(63x) B．y=21sin(3x+6 )

C．y=21sin (3x—6 ) D．y= 21sin(3x－6 )

二、填空题：
9、已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的两个相邻最值点为(6 ,2), (32,－2),则这
个函数的解析式为y =____________.

10、设a= log21tan70°, b=log21sin25°,c=(21)cos25°,则它们的大小关系为_________.
11、已知函数y＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则其面积
为＿＿＿

12、下列说法正确的是（填上你认为正确的所有命题的代号）＿＿＿＿。
①函数y＝－sin(kπ＋x)(k∈Z)的奇函数；

②函数y＝sin(2x＋3)关于点( 12 ,0)对称；

③函数y＝2sin(2x＋3)＋sin(2x－3)的最小正周期是π；
④△ABC中，cosA＞cosB的充要条件是A＜B；
⑤函数＝cos2x＋sinx的最小值是－1

三、解答题：
13、已知函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,|φ|<π,b为常数)的一段图
象(如图)所示.
①求函数的解析式；
②求这个函数的单调区间.
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14、已知a>0,函数y=－acos2x－3asin2x+2a+b,x∈[0,2].若函数的值域为[－5,1], 求常
数a,b的值.

15、己知一条正弦函数的图象,如图所示.
①求此函数的解析式；
②求与f 1(x)图象关于直线x=8对称的函数解析式f 2(x)；
③作出y=f1(x)+f2(x)的简图.
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参考答案
一、选择题
1.A 2.B 3.D 4.B 5.C 6.D 7.B 8.B
二、填空题

9.)62sin(2xy 10.a三、解答题
13.①23.56,65)3(22,23)(21minmaxbTyyA易知，

.23)109sin(23.109,1,||)(10112)0,2(,23)56sin(23xy
kZkkxy则又代入得将点

②
xkkxkkxk5622.3356735221095622令令

)](235,6735[).(235335232109ZkkkZkkxkk


是单调递增区间，.)](235,335[是单调递减区间Zkkk

14.0,1)62sin(21,67626],2,0[2)62sin(222sin32cosaxxxbaxabaxaxay
5,2513],1,5[,3262sin(2babbababaxab函数的值域为有


15.①.162).(2)2(62).sin()(1TTTAxAxf为周期又显然设
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).48sin(2)(),48sin(2]4)16(8sin[2,)(),16(),,()(.48sin(2)(4,)0,2()8sin(2)(,821211xxfxxyxfyyxyxxfyxxfxxf即
于是上在则上任取一点在
代入得在图象上因为所以

③.8cos2)()(21xxfxfy]