直线、平面平行的判定及其性质
线面、面面平行的判定与性质
【线面平行】1.判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.符号表示：ααα//,//,,a b a b a 则⊂⊄.2.直线与平面平行的性质性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的任一平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.符号表示：b a b a a //,,,//则=⋂⊂βαβα3.直线与平面平行的证明方法（1）利用定义：证明直线与平面无公共点.（2）利用直线与平面平行的判定定理：即证明平面外的一条直线与平面内的一条直线平行.（3）利用平面与平面平行的的定义：两个平面平行，则一个平面内的所有直线都平行于另一个平面，即若βαβα//,,//l l 则⊂.【例题与变式】例1.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，点M 是BC 的中点．点N 是1AA 的中点．求证：//MN 平面1A CD ；FEDCAP变式2-1.如图,在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ，且22PA PD AD ==,若E 、F 分别为线段PC 、BD 的中点．求证：直线EF //平面PAD ；变式2-2.已知,,,E F G H 为空间四边形ABCD 的边,,,AB BC CD DA 上的点，且//EH FG ．求证：//EH BD .变式2-3.如图，在正方体ABCD D C B A 1111-中，（1）求证：1BC ∥平面11D AB ；（2）若E、F 分别为C D 1、BD 的中点，则EF∥平面11A ADD .H G FE D BAC【面面平行】2.平面与平面平行的判定：定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.符号表示：.//,//,//,,,βαααββ则b a P b a b a =⋂⊂⊂3.平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.【例题与变式】例2.已知m、n 是两条直线，βα、是两个平面，有以下命题：①m,n 相交且都在平面βα、外，βαβαβα//,//,//,//,//则n n m m ；②若βαβα//,//,//则m m ；③若βαβα//,//,//,//则n m n m .其中正确的命题个数是（）A.0B.1C.2D.3变式2-1.已知βα、是两个不重合的平面，在下列条件中，可确定βα//的是（）A.βα、都平行于直线lB.α内有三个不共线的点到β的距离相等C.l,m 是α内两条直线，且ββ//,//m l D.l,m 是两条异面直线，且ααββ//,////,//m l m l ，例3.如图，在三棱锥S −ABC 中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A 作AF⊥SB，垂足为F，点E，G 分别是棱SA，SC 的中点.求证：(1)平面EFG∥平面ABC；变式3-1.如图所示，在三棱柱1111D C B A ABCD -中，点D，E 分别是BC 与11C B 的中点.求证：平面EB A 1//平面1ADC .1.如图，已知在正方体''''D C B A ABCD -中，对角线'AB 、'BC 上分别有两点E、F,且FC E B ''=求证：(1)EF∥平面ABCD；(2)平面'ACD ∥平面''BC A .。
直线、平面平行的判定及其性质2
X
X
[试一试]
1．下列说法中正确的是
(
)
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数 条直线平行；②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面 内的任何直线无公共点；③过直线外一点，有且仅有一个平 面和已知直线平行；④如果直线l和平面α平行，那么过平面 α内一点和直线l平行的直线在α内．
A．①②③④ C．②④
二、线面平行的证明方法：
1、定义法：直线与平面没有公共点。 2、如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行。（线面平行的判定定理）
3、两个平面平行，其中一个平面内的任何一条直线必平行
于另一个平面。
4、如果一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，那 么它也平行于另一个平面。切记直线不在平面内.
(1)求证：AM＝CM； (2)若 N 是 PC 的中点，求证：DN∥平面 AMC.
1 证明：(1)∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝ AB＝1， 2 ∴AC＝ 2，BC＝ 2， ∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD， ∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC. 1 在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝ PB， 2 1 在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝ PB，∴AM＝CM. 2
一.线线平行的证明方法：
1.利用平面几何中的定理：三角形（或梯形）的中位线 与底边平行、平行四边形的对边平行、利用比例、……
2.利用公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行 3.利用线面平行的性质定理： 如果一条直线平行于一个平面，经过这条直线的 平面和这个平面相交，则这条直线和交线平行 4.利用面面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么 它们的交线平行， 5.利用线面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行
直线、平面平行的判定及其性质教案
课题直线、平面平行的判定及其性质教案授课时间：备课时间：教学目标重点、难点考点及考试要求教学内容考点梳理：1、直线与平面的位置关系1）直线与平面有无数多个公共点——直线在平面内，记作：a α2)直线不在平面内①直线与平面只有一个公共点——直线与平面相交,记作: a∩α =A②直线与平面没有公共点——直线与平面平行,记作：a∥α2、平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．注：1）两平面平行⇔没有公共点2）两平面相交⇔有一条公共直线2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记：线线平行，则线面平行。
理解：由定理可知，要证明一条已知直线与一个平面平行，只要在这个平面内找出一条直线与已知直线平行，就可断定已知直线与这个平面平行。
将直线与平面的平行关系转化为直线间的平行关系，是处理空间位置关系的一种常用方法。
符号表示：判定定理：////a ba abααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭（线线平行⇒线面平行）注：证明直线与平面平行，三个条件必须具备，才能得到线面平行的结论．(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；符号：//αβαβ=∅⇒；（2）两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
(3)推论：a ∩b ＝M ，a ，b ⊂α，a ′∩b ′＝M ′，a ′，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 5．两个平面平行的性质定理 (1)α∥β，a ⊂α⇒a ∥β；(2)如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
6．与垂直相关的平行的判定 (1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ；(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.符号：a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.性质定理：////a a a b b αβαβ⎫⎪⊂⇒⎬⎪=⎭（线面平行⇒线线平行）判定或证明线面平行的依据：（i ）定义法（反证）：//l l αα=∅⇒（用于判断）； （ii ）判定定理：////a b a a b ααα⎫⎪⊄⇒⎬⎪⊂⎭“线线平行⇒面面平行”（用于证明）；（iii ）////a a αββα⎫⇒⎬⊂⎭“面面平行⇒线面平行”（用于证明）； （Ⅳ）//b a b a a ααα⊥⎫⎪⊥⇒⎬⎪⊄⎭（用于判断）；二、证明线面位置关系的常用方法小结： 1、证明直线与直线平行的常用方法： （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ,//AB DC (平行四边形性质) （2）∵D E 、分别是ABC ∆两边AB AC 、的中点，∴//DE BC （三角形中位线性质） （3）∵//,//a l b l ， ∴//a b （平行公理） （4）∵//,//a b b c ， ∴//a c （传递性） （5）∵//,,a a b βααβ⊆= ∴//a b （线面平行性质）（6）∵//,,a b αβαγβγ== ∴//a b （面面平行性质） （7）∵,a b αα⊥⊥， ∴//a b （线面垂直推论）三、一个关系考向一 直线与平面平行的判定与性质基础测试1、如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ）A 只和这个平面内一条直线平行；B 只和这个平面内两条相交直线不相交；C 和这个平面内的任意直线都平行；D 和这个平面内的任意直线都不相交。
直线、平面平行的判定与性质
直线、平面平行的判定与性质考纲要求以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定.考情分析1.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．2.着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用．题型多为选择题与解答题.教学过程基础梳理1．平面与平面的位置关系有两种情况．2．直线和平面平行的判定(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；(2)判定定理：符号表示：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；(3)其他判定方法：α∥β；a⊂α⇒a∥β.3．直线和平面平行的性质定理：符号表示：a∥α，a⊂β，α∩β＝l⇒a∥l.4．两个平面平行的判定(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；(2)判定定理：符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝M，a∥β，b∥β⇒α∥β；(3)推论：a∩b＝M，a，b⊂α，a′∩b′＝M′，a′，b′⊂β，a∥a′，b∥b′⇒α∥β.5．两个平面平行的性质定理(1) 即α∥β，a⊂α⇒a∥β；(2) 即α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b⇒a∥b.6．与垂直相关的平行的判定(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b；(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.双基自测1．(教材习题改编)下列条件中，能判断两个平面平行的是()A．一个平面内的一条直线平行于另一个平面B．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面2．设m，l表示直线，α表示平面，若m⊂α，则l∥α是l∥m的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．(教材习题改编)若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是()A．a平行于α内的所有直线B．α内有无数条直线与a平行C．直线a上的点到平面α的距离相等D．α内存在无数条直线与a垂直4．已知α、β是两个不同的平面，直线a⊂α，直线b⊂β，命题p：a与b没有公共点；命题q：α∥β，则p是q的________条件．5．(教材习题改编)已知不重合的直线a，b和平面α，①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，上面命题中正确的是________(填序号)．1．平行问题的转化方向如图所示：2．应用判定和性质定理的注意事项在应用线面平行、面面平行的判定定理和性质定理进行平行转化时，一定要注意定理成立的条件，严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．考点一、 线面平行、面面平行的基本问题[例1] (2011·福建高考) 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·义乌模拟)已知m ，n 表示两条不同直线，α，β，γ表示不同平面，给出下列三个命题：(1)⎩⎨⎧ m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； (2)⎩⎨⎧m ⊥αm ⊥n⇒n ∥α (3)⎩⎨⎧ m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n 其中真命题的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2012·金华模拟)已知m 、n 、l 1、l 2表示直线，α、β表示平面．若m ⊂α，n ⊂α，l 1⊂β，l 2⊂β，l 1∩l 2＝M ，则α∥β的一个充分条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥β且n ∥βC ．m ∥β且n ∥l 2D ．m ∥l 1且n ∥l 2[冲关锦囊]解决有关线面平行，面面平行的判定与性质的基本问题要注意1．注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的判定定理中条件线在面外易忽视．2．结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．3．会举反例或用反证法推断命题是否正确.考点二、直线与平面平行的判定与性质[例2] (2011·北京高考改编)如图，在四面体P ABC中，PC⊥AB，P A⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB 的中点．(1)求证：DE∥平面BCP；(2)求证：四边形DEFG为矩形；[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)3. (2012·东北三校联考)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D为棱AB的中点，BC＝1，AA1＝ 3.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求三棱锥D－A1B1C的体积．[冲关锦囊]证明直线与平面平行，一般有以下几种方法(1)若用定义直接判定，一般用反证法；(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.考点三、平面与平面平行的判定与性质[例3] (2012·宁波模拟) 如图，在三棱锥A－BOC中，AO⊥平面COB，∠OAB＝∠OAC＝π6，AB＝AC＝2，BC＝2，D、E分别为AB、OB的中点．(1)求证：CO⊥平面AOB；(2)在线段CB上是否存在一点F，使得平面DEF∥平面AOC，若存在，试确定F 的位置；若不存在，请说明理由．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2012·南昌模拟)已知α、β是平面，m、n是直线，给出下列命题：①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β.②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β.③如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交．④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．45．(2012·温州调研)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E、F、G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：(1)平面AD1E∥平面BGF；(2)D1E⊥AC.[冲关锦囊]判定平面与平面平行的方法：1．利用定义；2．利用面面平行的判定定理；3．利用面面平行的判定定理的推论；4．面面平行的传递性(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)；5．利用线面垂直的性质(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．一、选择题1．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是() A．b⊂αB．b∥αC．b⊂α或b∥αD．b与α相交或b⊂α或b∥α2．设α、β是两个平面，l 、m 是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A ．l ⊂α，m ⊂α，且l ∥β，m ∥βB ．l ⊂α，m ⊂β，且m ∥αC ．l ∥α，m ∥β，且l ∥mD ．l ⊥α，m ⊥β，且l ∥m3．(2012·长春模拟)a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，现给出四个命题① ⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β ② ⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β ③ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α ④⎭⎬⎫a ∥γα∥γ⇒α∥a 其中正确的命题是( )A ．①②③B ．①④C ．②D ．①③④4．下列命题中正确的个数是( )①若直线a 不在α内，则a ∥α；②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；③若直线l 与平面α平行，则l 与α内的任意一条直线都平行；④若l 与平面α平行，则l 与α内任何一条直线都没有公共点；⑤平行于同一平面的两直线可以相交．A ．1B ．2C ．3D ．45．(2012·天津模拟)如图边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上；②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值．A ．①B ．①②C ．①②③D ．②③二、填空题6.如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD上的一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7.如图所示，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是棱CC 1、C 1D 1、D 1D 、DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.。
20-21 第8章 第3节 直线、平面平行的判定及其性质
定
课
们的交线平行
堂理
考
点
探
究
α∥β
课 后
α∩γ＝a⇒a∥b 限
β∩γ＝b
时 集
训
返 首 页
[常用结论]
课 前
平行关系中的三个重要结论
自
主 回
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则 课
顾
α∥β．
后 限
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥
时 集
点
探 究
平面平行．(
)
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课
前
自
主 回
(3)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平 课
顾
行或异面．( )
后 限
时
(4)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.( )
集
课
训
堂 考
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
点
探
究
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二、教材改编
课 前
1．已知直线a与直线b平行，直线a与平面α平行，则直线b与平
限
关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含有选择项的填空
时
集
课
堂 题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再
训
考
点 探
逐步判断其余选项．
究
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课 前
1.(2019·全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条
自
主 回
件是(
)
课
顾
A．α内有无数条直线与β平行
后 限
时
B．α内有两条相交直线与β平行
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质
高考数学考点归纳之 直线、平面平行的判定与性质一、基础知识1．直线与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎡⎦⎥⎤❶应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必须都具备，缺一不可. 2．平面与平面平行的判定定理和性质定理⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤❷如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条直线，那么这两个平面互相平行.符号表示：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝O ，a ′⊂β，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β. 二、常用结论平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．(3)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．考点一 直线与平面平行的判定与性质考法(一) 直线与平面平行的判定[典例] 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，点M ，N 分别为线段A 1B ，AC 1的中点．求证：MN ∥平面BB 1C 1C .[证明] 如图，连接A 1C .在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧面AA 1C 1C 为平行四边形．又因为N 为线段AC 1的中点，所以A 1C 与AC 1相交于点N ，即A 1C 经过点N ，且N 为线段A 1C 的中点．因为M 为线段A 1B 的中点，所以MN ∥BC . 又因为MN ⊄平面BB 1C 1C ，BC ⊂平面BB 1C 1C ， 所以MN ∥平面BB 1C 1C .考法(二)线面平行性质定理的应用[典例](2018·豫东名校联考)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点(不包括A，D两点)，平面CEC1与平面BB1D交于FG.求证：FG∥平面AA1B1B.[证明]在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，所以CC1∥FG.因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.因为BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，所以FG∥平面AA1B1B.[题组训练]1．(2018·浙江高考)已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A∵若m⊄α，n⊂α，且m∥n，由线面平行的判定定理知m∥α，但若m⊄α，n⊂α，且m∥α，则m与n有可能异面，∴“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件．2．如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2，CD＝3，M为PC上一点，且PM ＝2MC.求证：BM ∥平面P AD .证明：法一：如图，过点M 作MN ∥CD 交PD 于点N ，连接AN . ∵PM ＝2MC ，∴MN ＝23CD .又AB ＝23CD ，且AB ∥CD ，∴AB 綊MN ，∴四边形ABMN 为平行四边形， ∴BM ∥AN .又BM ⊄平面P AD ，AN ⊂平面P AD ， ∴BM ∥平面P AD .法二：如图，过点M 作MN ∥PD 交CD 于点N ，连接BN . ∵PM ＝2MC ，∴DN ＝2NC ， 又AB ∥CD ，AB ＝23CD ，∴AB 綊DN ，∴四边形ABND 为平行四边形， ∴BN ∥AD .∵BN ⊂平面MBN ，MN ⊂平面MBN ，BN ∩MN ＝N ， AD ⊂平面P AD ，PD ⊂平面P AD ，AD ∩PD ＝D ， ∴平面MBN ∥平面P AD .∵BM ⊂平面MBN ，∴BM ∥平面P AD .3.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和P A 作平面P AHG 交平面BMD 于GH .求证：P A ∥GH .证明：如图所示，连接AC 交BD 于点O ，连接MO ， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴O 是AC 的中点，又M 是PC 的中点，∴P A ∥MO . 又MO ⊂平面BMD ，P A ⊄平面BMD ， ∴P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ， P A ⊂平面P AHG ， ∴P A ∥GH .考点二平面与平面平行的判定与性质[典例]如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EF A1∥平面BCHG.[证明](1)∵GH是△A1B1C1的中位线，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四点共面．(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，∴EF∥BC，∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EF A1∥平面BCHG.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C，AC1，设交点为M，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴M是A1C的中点，连接MD，∵D为BC的中点，∴A1B∥DM.∵DM⊄平面A1BD1，A1B⊂平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性质知D1C1綊BD，∴四边形BDC1D1为平行四边形，∴DC1∥BD1.又DC1⊄平面A1BD1，BD1⊂平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1⊂平面AC1D，DM⊂平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2．如图，四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点，求证：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.证明：(1)如图，连接AE，设DF与GN的交点为O，则AE必过DF与GN的交点O.连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN.又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN.又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG，所以BD ∥平面MNG .又DE ⊂平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，DE ∩BD ＝D ， 所以平面BDE ∥平面MNG .[课时跟踪检测]A 级1．已知直线a 与直线b 平行，直线a 与平面α平行，则直线b 与α的关系为( ) A ．平行 B ．相交C ．直线b 在平面α内D ．平行或直线b 在平面α内解析：选D 依题意，直线a 必与平面α内的某直线平行，又a ∥b ，因此直线b 与平面α的位置关系是平行或直线b 在平面α内．2．若平面α∥平面β，直线a ∥平面α，点B ∈β，则在平面β内且过B 点的所有直线中( )A ．不一定存在与a 平行的直线B ．只有两条与a 平行的直线C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一与a 平行的直线解析：选A 当直线a 在平面β内且过B 点时，不存在与a 平行的直线，故选A. 3．在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ∶EB ＝CF ∶FB ＝1∶2，则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．在平面内D ．不能确定解析：选A 如图，由AE EB ＝CFFB 得AC ∥EF .又因为EF ⊂平面DEF ，AC ⊄平面DEF ， 所以AC ∥平面DEF .4．(2019·重庆六校联考)设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a ，b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α解析：选D 对于选项A ，若存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β，则α∥β或α与β相交，若α∥β，则存在一条直线a ，使得a ∥α，a ∥β，所以选项A 的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B 、C 的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项D ，可以通过平移把两条异面直线平移到一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D 的内容是α∥β的一个充分条件．故选D.5.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD A 1B 1C 1D 1内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个命题：①没有水的部分始终呈棱柱形；②水面EFGH 所在四边形的面积为定值； ③棱A 1D 1始终与水面所在平面平行； ④当容器倾斜如图所示时，BE ·BF 是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 由题图，显然①是正确的，②是错误的； 对于③，∵A 1D 1∥BC ，BC ∥FG ，∴A 1D 1∥FG 且A 1D 1⊄平面EFGH ，FG ⊂平面EFGH ， ∴A 1D 1∥平面EFGH (水面)． ∴③是正确的；对于④，∵水是定量的(定体积V )， ∴S △BEF ·BC ＝V ，即12BE ·BF ·BC ＝V .∴BE ·BF ＝2VBC(定值)，即④是正确的，故选C.6.如图，平面α∥平面β，△P AB 所在的平面与α，β分别交于CD ，AB ，若PC ＝2，CA ＝3，CD ＝1，则AB ＝________.解析：∵平面α∥平面β，∴CD ∥AB ， 则PC P A ＝CDAB ，∴AB ＝P A ×CD PC ＝5×12＝52. 答案：527．设α，β，γ是三个平面，a ，b 是两条不同直线，有下列三个条件： ①a ∥γ，b ⊂β；②a ∥γ，b ∥β；③b ∥β，a ⊂γ.如果命题“α∩β＝a ，b ⊂γ，且________，则a ∥b ”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________(填序号)．解析：由面面平行的性质定理可知，①正确；当b ∥β，a ⊂γ时，a 和b 在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.答案：①或③8．在三棱锥P ABC 中，PB ＝6，AC ＝3，G 为△P AC 的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB 和AC ，则截面的周长为________．解析：如图，过点G 作EF ∥AC ，分别交P A ，PC 于点E ，F ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ，过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，连接MN ，则四边形EFMN 是平行四边形(平面EFMN 为所求截面)，且EF ＝MN ＝23AC ＝2，FM ＝EN ＝13PB ＝2，所以截面的周长为2×4＝8.答案：89.如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点．求证：(1)EG ∥平面BB 1D 1D ； (2)平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明：(1)如图，取B 1D 1的中点O ，连接GO ，OB ， 因为OG 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，所以BE 綊OG ，所以四边形BEGO 为平行四边形， 故OB ∥EG ，因为OB ⊂平面BB 1D 1D ， EG ⊄平面BB 1D 1D ， 所以EG ∥平面BB 1D 1D . (2)由题意可知BD ∥B 1D 1.连接HB ，D 1F ，因为BH 綊D 1F ， 所以四边形HBFD 1是平行四边形， 故HD 1∥BF .又B 1D 1∩HD 1＝D 1，BD ∩BF ＝B ， 所以平面BDF ∥平面B 1D 1H .10．(2019·南昌摸底调研)如图，在四棱锥P ABCD 中，∠ABC ＝ ∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝2，AB ＝1.设M ，N 分别为PD ，AD 的中点．(1)求证：平面CMN ∥平面P AB ； (2)求三棱锥P ABM 的体积．解：(1)证明：∵M ，N 分别为PD ，AD 的中点， ∴MN ∥P A ，又MN ⊄平面P AB ，P A ⊂平面P AB ， ∴MN ∥平面P AB .在Rt △ACD 中，∠CAD ＝60°，CN ＝AN ， ∴∠ACN ＝60°.又∠BAC ＝60°，∴CN ∥AB . ∵CN ⊄平面P AB ，AB ⊂平面P AB ， ∴CN ∥平面P AB . 又CN ∩MN ＝N ， ∴平面CMN ∥平面P AB .(2)由(1)知，平面CMN ∥平面P AB ，∴点M 到平面P AB 的距离等于点C 到平面P AB 的距离． ∵AB ＝1，∠ABC ＝90°，∠BAC ＝60°，∴BC ＝3，∴三棱锥P ABM 的体积V ＝V M P AB ＝V C P AB ＝V P ABC ＝13×12×1×3×2＝33.B 级1.如图，四棱锥P ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝AC ＝3，P A ＝BC ＝4，M 为线段AD 上一点，AM ＝2MD ，N 为PC 的中点．(1)求证：MN ∥平面P AB ； (2)求四面体N BCM 的体积． 解：(1)证明：由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ，连接AT ，TN ， 由N 为PC 的中点知TN ∥BC ， TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ，故TN 綊AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ，MN ⊄平面P AB ， 所以MN ∥平面P AB .(2)因为P A ⊥平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为12P A .取BC 的中点E ，连接AE .由AB ＝AC ＝3，得AE ⊥BC ，AE ＝AB 2－BE 2＝ 5.由AM ∥BC 得M 到BC 的距离为5，故S △BCM ＝12×4×5＝2 5. 所以四面体N BCM 的体积V N BCM ＝13×S △BCM ×P A 2＝453.2.如图所示，几何体E ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB ＝CD ，EC ⊥BD .(1)求证：BE ＝DE ；(2)若∠BCD ＝120°，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 证明：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接OC ，OE .∵CB ＝CD ，∴CO ⊥BD .又∵EC ⊥BD ，EC ∩CO ＝C ，∴BD ⊥平面OEC ，∴BD ⊥EO .又∵O 为BD 中点．∴OE 为BD 的中垂线，∴BE ＝DE .(2)取BA 的中点N ，连接DN ，MN .∵M 为AE 的中点，∴MN ∥BE .∵△ABD 为等边三角形，N 为AB 的中点，∴DN ⊥AB .∵∠DCB ＝120°，DC ＝BC ，∴∠OBC ＝30°，∴∠CBN ＝90°，即BC ⊥AB ，∴DN ∥BC .∵DN ∩MN ＝N ，BC ∩BE ＝B ，∴平面MND ∥平面BEC .又∵DM ⊂平面MND ，∴DM ∥平面BEC .。
直线、平面平行的判定及性质及详细答案
直线、平面平行的判定及性质1．直线和平面平行的判定定理2．直线和平面平行的性质定理3．两个平面平行的判定定理4．两个平面平行的性质定理5．与垂直相关的平行的判定定理例1如图所示，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′.例2.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AC上一点，若AB1∥平面C1EB，求：AE∶EC.例3如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点．求证：平面AMN∥平面EFDB.例4如图所示，平面α∥平面β，点A∈α，C∈α，点B∈β，D∈β，点E、F分别在线段AB，CD上，且AE∶EB＝CF∶FD.求证：EF∥β.练习题：1．(课本习题改编)给出下列四个命题：①若一条直线与一个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行；②若一条直线与一个平面内的两条直线平行，则这条直线与这个平面平行；③若平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行；④若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行．其中正确命题的个数是________个．1．下列命题中正确的是________．①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．2．(2014·合肥一检)给出下列关于互不相同的直线l、m、n和平面α、β、γ的三个命题：①若l与m为异面直线，l⊂α，m⊂β，则α∥β；②若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.1．已知两条不同直线l1和l2及平面α，则直线l1∥l2的一个充分条件是() A．l1∥α且l2∥αB．l1⊥α且l2⊥αC．l1∥α且l2⊄αD．l1∥α且l2⊂α答案 B解析l1⊥α且l2⊥α⇒l1∥l2.2．(2012·四川)下列命题正确的是()A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案 C解析若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两条直线可平行、可异面、可相交，A项不正确；如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧，那么经过这三个点的平面与这个平面相交，B项不正确．3．(2013·浙江)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面() A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β答案 C解析A项中，直线m，n可能平行，也可能相交或异面，直线m，n的关系是任意的；B项中，α与β也可能相交，此时直线m平行于α，β的交线；D 项中，m也可能平行于β.故选C项．4．设α，β表示平面，m，n表示直线，则m∥α的一个充分不必要条件是()A ．α⊥β且m ⊥βB ．α∩β＝n 且m ∥nC ．m ∥n 且n ∥αD ．α∥β且m ⊂β答案 D解析 若两个平面平行，其中一个面内的任一直线均平行于另一个平面，故选D.5．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8、12，过AB 的中点E 且平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为( )A ．10B ．20C ．8D ．4答案 B解析 设截面四边形为EFGH ，F 、G 、H 分别是BC 、CD 、DA 的中点，∴EF ＝GH ＝4，FG ＝HE ＝6.∴周长为2×(4＋6)＝20.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案 B解析 连接CD 1，在CD 1上取点P ，使D 1P ＝2a3，∴MP ∥BC ，PN ∥AD 1. ∴MP ∥面BB 1C 1C ，PN ∥面AA 1D 1D . ∴面MNP ∥面BB 1C 1C ，∴MN ∥面BB 1C 1C .7．如图所示，四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥面MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．答案①③8. 棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，P A⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面P AD的位置关系为________．答案平行解析取PD的中点F，连接EF.在△PCD中，EF綊12CD.又∵AB∥CD且CD＝2AB，∴EF＝12CD且CD＝2AB.∴EF綊AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EB∥AF.又∵EB⊄平面P AD，AF⊂平面P AD，∴BE∥平面P AD.9. 如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.答案22 3a解析 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD .∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3，∴PD AD ＝DQ CD ＝PQ AC ＝23. ∴PQ ＝23AC ＝232a ＝223a .10．考查下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中l 、m 为直线，α、β为平面)，则此条件为________．①⎭⎬⎫m ⊂αl ∥m⇒l ∥α；②⎭⎬⎫l ∥m m ∥α⇒l ∥α；③⎭⎬⎫l ⊥βα⊥β⇒l ∥α. 答案 l ⊄α解析 ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”，它也同样适合②③，故填l ⊄α.11．在四面体ABCD 中，M 、N 分别是面△ACD 、△BCD 的重心，则四面体的四个面中与MN 平行的是________．答案 平面ABC 和平面ABD解析 连接AM 并延长交CD 于E ，连接BN 并延长交CD 于F .由重心的性质可知，E 、F 重合为一点，且该点为CD 的中点E .由EM MA ＝EN NB ＝12，得MN ∥AB .因此MN ∥平面ABC 且MN ∥平面ABD .12．过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条．答案 6解析 过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，记AC ，BC ，A 1C 1，B 1C 1的中点分别为E ，F ，E 1，F 1，则直线EF ，EF 1，EE 1，FF 1，E 1F ，E 1F 1均与平面ABB1A 1平行，故符合题意的直线共6条．13. 如图所示，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，G在BB1上，且AE＝FC1＝B1G＝1，H是B1C1的中点．(1)求证：E、B、F、D1四点共面；(2)求证：平面A1GH∥平面BED1F.答案(1)略(2)略解析(1)连接FG.∵AE＝B1G＝1，∴BG＝A1E＝2.∴BG綊A1E，∴A1G∥BE.又∵C1F綊B1G，∴四边形C1FGB1是平行四边形．∴FG綊C1B1綊D1A1.∴四边形A1GFD1是平行四边形．∴A1G綊D1F，∴D1F綊EB.故E、B、F、D1四点共面．(2)∵H是B1C1的中点，∴B1H＝32.又B1G＝1，∴B1GB1H＝23.又FCBC＝23，且∠FCB＝∠GB1H＝90°，∴△B1HG∽△CBF.∴∠B1GH＝∠CFB＝∠FBG，∴HG∥FB.又由(1)知，A1G∥BE，且HG∩A1G＝G，FB∩BE＝B，∴平面A1GH∥平面BED1F.14. 如图所示，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．(1)求证：P A∥平面EFG；(2)求三棱锥P—EFG的体积．答案(1)略(2)1 6解析(1)如图所示，取AD的中点H，连接GH，FH.∵E，F分别为PC，PD的中点，∴EF∥CD.∵G，H分别是BC，AD的中点，∴GH∥CD.∴EF∥GH，∴E，F，H，G四点共面．∵F，H分别为DP，DA的中点，∴P A∥FH.∵P A⊄平面EFG，FH⊂平面EFG，∴P A∥平面EFG.(2)∵PD⊥平面ABCD，CG⊂平面ABCD，∴PD⊥CG.又∵CG⊥CD，CD∩PD＝D，∴GC⊥平面PCD.∵PF ＝12PD ＝1，EF ＝12CD ＝1， ∴S △PEF ＝12EF ·PF ＝12. 又GC ＝12BC ＝1，∴V P —EFG ＝V G —PEF ＝13×12×1＝16.15．一个多面体的直观图和三视图如图所示(其中M ，N 分别是AF ，BC 中点)．(1)求证：MN ∥平面CDEF ； (2)求多面体A —CDEF 的体积． 答案 (1)略 (2)83解析 (1)证明 由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱，且AB ＝BC ＝BF ＝2，DE ＝CF ＝22，∴∠CBF ＝90°.取BF 中点G ，连接MG ，NG ，由M ，N 分别是AF ，BC 中点，可知：NG ∥CF ，MG ∥EF .又MG ∩NG ＝G ，CF ∩EF ＝F ，∴平面MNG ∥平面CDEF ，∴MN ∥平面CDEF .(2)作AH ⊥DE 于H ，由于三棱柱ADE —BCF 为直三棱柱，∴AH ⊥平面CDEF ，且AH ＝ 2.∴V A －CDEF ＝13S 四边形CDEF ·AH ＝13×2×22×2＝83.16. 如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面为正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E 、F 分别是棱CC 1、BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB .当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?答案当M为AC中点时，BM∥平面AEF.解析方法一：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OM⊥AC 于点M.∵侧棱A1A⊥底面ABC，∴侧面A1ACC1⊥底面ABC.∴OM⊥底面ABC.又∵EC＝2FB，∴OM∥FB綊12EC.∴四边形OMBF为矩形．∴BM∥OF.又∵OF⊂面AEF，BM⊄面AEF，故BM∥平面AEF，此时点M为AC的中点．方法二：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ、PB、BQ. ∴PQ∥AE.∵EC＝2FB，∴PE綊BF，PB∥EF.∴PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，∴平面PBQ ∥平面AEF .又∵BQ ⊂面PQB ，∴BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．17. (2013·福建)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，BC ＝5，DC ＝3，AD ＝4，∠P AD ＝60°.(1)当正视方向与向量AD →的方向相同时，画出四棱锥P －ABCD 的正视图(要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若M 为P A 的中点，求证：DM ∥平面PBC ；(3)求三棱锥D －PBC 的体积．答案 (1)略 (2)略 (3)8 3解析 方法一：(1)在梯形ABCD 中，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ，由已知得，四边形ADCE 为矩形，AE ＝CD ＝3，在Rt △BEC 中，由BC ＝5，CE ＝4，依勾股定理，得BE ＝3，从而AB ＝6.又由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥AD .从而在Rt △PDA 中，由AD ＝4，∠P AD ＝60°，得PD ＝4 3.正视图如图所示．(2) 取PB 中点N ，连接MN ，CN .在△P AB 中，∵M 是P A 中点，∴MN ∥AB ，MN ＝12AB ＝3.又CD ∥AB ，CD ＝3，∴MN ∥CD ，MN ＝CD .∴四边形MNCD 为平行四边形．∴DM ∥CN .又DM ⊄平面PBC ，CN ⊂平面PBC ，∴DM ∥平面PBC .(3)V D －PBC ＝V P －DBC ＝13S △DBC ·PD ，又S △DBC ＝6，PD ＝43，所以V D －PBC ＝8 3.方法二：(1)同方法一．(2) 取AB 的中点E ，连接ME ，DE .在梯形ABCD 中，BE ∥CD ，且BE ＝CD ，∴四边形BCDE 为平行四边形．∴DE ∥BC .又DE ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴DE∥平面PBC.又在△P AB中，ME∥PB，ME⊄平面PBC，PB⊂平面PBC，∴ME∥平面PBC.又DE∩ME＝E，∴平面DME∥平面PBC.又DM⊂平面DME，∴DM∥平面PBC.(3)同方法一．。
必修2第2章：点,线,面平行的判定及其性质
空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；. 直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线） 应用：判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ （3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 （4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈ 公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行 （6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线 ② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
第四节 直线、平面平行的判定及其性质
直线平行，但这条直线与平面内的任意一条直线可能平行，也可能 异面．
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
[典型母题]
[一题多变]
(2015· 南通模拟)如图所示,斜三棱柱 ABCA1B1C1 中,点 D，D1 分别为 AC，A1C1 上的中点． (1)证明 AD1∥平面 BDC1. (2)证明 BD∥平面 AB1D1. [证明] (1)∵D1，D 分别为 A1C1 与 AC 的中点，
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
[类题通法]
证明直线与平面平行，一般有以下几种方法 (1)若用定义直接判定，一般用反证法；
(2)用判定定理来证明，关键是在平面内找(或作)一条直线与 已知直线平行，证明时注意用符号语言叙述证明过程；
(3)应用两平面平行的一个性质，即两平面平行时，其中一 个平面内的任何直线都平行于另一个平面．
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
基础盘查二
平面与平面平行的判定与性质
(一)循纲忆知
1．以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解 空间中面面平行的有关性质与判定定理， 并能够证明有关性 质定理．
2． 能运用面面平行的判定及性质定理证明一些空间图形的平行 关系的简单命题．
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
2．(2015· 潍坊模拟)已知m，n，l1，l2表示直线，α，β表示平面．若 m⊂α，n⊂α，l1⊂β，l2⊂β，l1∩l2＝M，则α∥β的一个充分条 件是 A．m∥β且l1∥α C．m∥β且n∥l2 B．m∥β且n∥β D．m∥l1且n∥l2 ( )
解析：由定理“如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行,那么这两个平面平行”可得，由选项D可推知α∥β， 因此选D.
直线平行平面的判定定理及性质定理
直线平行平面的判定定理及性质定理直线平行平面的判定定理及性质定理是比较重要的几何定理之一，它在很多地方都有着广泛的应用。
它的内容是：如果直线 l 和 m 在平面α 上同时存在，而在平面β 上同时不存在，那么α 和β 就是相互平行的，即α ⊥ β。
其中平行平面的性质定理指出：当两个平面α和β相互平行时，任意一条直线l都具有以下性质：若l在α上存在，则l在β上不存在；若l在β上存在，则l在α上不存在。
下面，我们来说明这一定理的证明过程：首先，假设alpha和beta互相平行，即α⊥β。
根据直角三角形中两边相等及两个直角侧之间的关系，可以设立一个直角三角形ΔABC，其中∠BAC=90°，AB⊥AC，AB∥BC，AB为α和β的公共边，而AC为α和β的共线部分（此时AC一定不属于两个平面）。
接着，我们考察一般情况下的直线l，假设l在α上存在，即l∩α≠∅，那么根据上面定义的直角三角形ΔABC，l一定和AB共线，而AB又垂直于AC，所以l也与AC共线，即l∩AC≠∅。
而由于AC不属于两个平面α和β，所以l在β上不存在，即l∩β=∅。
反之，如果l在β上存在，则l一定和AB共线，即l∩AB≠∅，而AB又垂直于AC，所以l也与AC共线，即l∩AC≠∅。
由于AC不属于α，所以l在α上不存在，即l∩α=∅。
因此，通过以上的分析，可以得出：当α⊥β时，任意一条直线l都具有以下性质：若l在α上存在，则l在β上不存在；若l在β上存在，则l在α上不存在。
这就是“直线平行平面的判定定理及性质定理”的内容。
另外，该定理也可以推广到高维空间，即当n个平面α1、α2、…、αn相互平行时，任意一条直线l都具有以下性质：若l在α1上存在，则l在α2、α3、…、αn 上都不存在；若l在α2上存在，则l在α1、α3、…、αn上都不存在；若l在α3上存在，则l在α1、α2、…、αn上都不存在；……以此类推，若l在αn上存在，则l在α1、α2、…、αn-1上都不存在。
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直线与平面平行的判定定理
考点一：线面平行的基本问题
已知直线a，b，平面α，满足a⊂α，则使b∥α的条件为 ( )
A．b∥a B．b∥a且b⊄α
C．a与b异面 D．a与b不相交
考点二：直线与平面平行的判定
例1 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为 ________.
例2．如图所示，在四棱锥S—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F分别为AB，SC的中点．
求证：EF∥平面SAD.
练习1．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P、Q
分别是CC1、C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ.
2 ．如图，在四棱锥ABCDP中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的
中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；
3．(2010·浙江高考第Ⅰ问)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC ＝120°，E为线段AB的中点，
将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．
求证：BF∥平面A′DE；
4.
正方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1分别有E、F，且B1E=C1F，求证：EF∥平面ABCD.
F
E
A
C
D
B
P
5.
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在AB1上，F在BD上，且B1E＝BF.
求证：EF∥平面BB1C1C.
6.
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，并且CM=DN.
求证:MN∥平面AA1B1B.