2014届北京市房山区高三4月一模数学理试题及答案

北京市房山区2014届高三4月模拟（一模）数学（理）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{|(2)0}A x x x =-≤，{2,1,0,1,2}B =--，则AB =（A ）{2,1}-- （B ）{1,2} （C ）{1,0,1,2}-（D ）{0,1,2}（2）已知等比数列{}n a 中，121a a +=，458a a +=-，则公比q =（A ）2- （B ）2 （C ）12-（D ）12（3）参数方程32cos12sinx y θθ=-+⎧⎨=+⎩ (θ为参数)化为普通方程是 （A ）22(1)(3)1x y -++= （B ）22(3)(1)4x y ++-= （C ）22(2)(2)4x y -++=（D ）20x y +-=（4）当0a b >≥时，双曲线22221x y a b-=的离心率e 的取值范围是（A ）(02， （B ）[2（C ）（D ）+)∞（5）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度为（A ）2（B ）3（C ）5（D（6）在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志学优网愿者要分配到3个不同的社区参加服务，每个社区分配2名志愿者，其中甲、乙两人分到同一社区，则不同的分配方案共有 （A ）12种 （B ）18种 （C ）36种 （D ）54种（7）已知不等式组202020x y x ax y +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩≥≤≥ 表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为﹙A ﹚ 1- （B ）52 ﹙C ﹚2（D ）12（8）如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点P 为线段1AD 上一动点，点Q 为底面ABCD 内（含边界）一动点，M 为PQ 的中点，点M 构成的点集是一个空间几何体，则该几何体为（A ）棱柱（B ）棱锥 （C ）棱台 （D ）球第二部分 （非选择题 共110分）（9（10 .（11）如图，B 为圆上一点，过点B 的切线交AC 的延长线于点D ，AD BC ⊥，3=BD ，1=CD ，则=AD ；圆的直径为 ．（12）如图，在梯形ABCD 中，AB //DC ，AD AB ⊥，122AD DC AB ===，点N 是CD 边上一动点，则AN AB ⋅的最大值为（13）已知函数1221,1,()log , 1.x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实根，则实数k 的取值（14）对于非空实数集合A ，记{}*|,A y x A y x =∀∈≤，设非空实数集合P 满足条件“若1x <，则x P ∉” 且M P ⊆，给出下列命题：①若全集为实数集R ，对于任意非空实数集合A ，必有*A A =R ð；②对于任意给定符合题设条件的集合,M P ，必有*P M *⊆； ③存在符合题设条件的集合,M P ，使得MP *=∅； ④存在符合题设条件的集合,M P ，使得M P *≠∅．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）已知函数2()(sin cos )cos(π2)f x x x x =++-． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求)(x f 在区间3[,]44ππ上的取值范围． （16）（本小题共13分）为加快新能源汽车产业发展，推进节能减排，国家对消费者购买新能源汽车给予补贴，其中对程R （单（Ⅰ）求x ，y ，z ，M 的值；（Ⅱ）若从这M 辆纯电动乘用车中任选2辆，求选到的2辆车续驶里程都不低于150公里的概率； （Ⅲ）若以频率作为概率，设X 为购买一辆纯电动乘用车获得的补贴，求X 的分布列和数学期望EX ．（17）（本小题共14分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=，1AC BC ==，12AA =．以 AB ，BC 为邻边作平行四边形ABCD ，连接1DA 和1DC ．（Ⅰ）求证：1A D ∥平面11BCC B； （Ⅱ）求直线1CC 与平面11DAC 所成角的正弦值；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点F ，使平面11DAC 与平面11AC F 垂直？若存在，求出BF 的长；若不存在，说明理由． （18）（本小题共14分）已知函数2()()e x af x x a =-，其导函数()y f x '=的图象经过点(3,0)-，(3,0)，如图所示． （Ⅰ）求()f x 的极大值点； （Ⅱ）求a 的值；（Ⅲ）若0m ≥，求()f x 在区间[],1m m +上的最小值．（19）（本小题满分13分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦距.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（20）（本小题满分13分）在数列{}n a 中，若221n n a a k --=（2n ≥，*N n ∈，k 为常数），则称{}n a 为X 数列．（Ⅰ）若数列{}n b 是X 数列，11b =，23b =，写出所有满足条件的数列{}n b 的前4项； （Ⅱ）证明：一个等比数列为X 数列的充要条件是公比为1或1-；（Ⅲ）若X 数列{}n c 满足12c =，2c =，0n c >，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p q ，使不等式1n T -对一切*n ∈N 都成立？若存在，求出,p q 的值；若不存在，说明理由．数学（理）参考答案一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分，有两空的第一空3分，第二空2分）（9）(1,2)-- （10）7 （11）3；6 （12）8 （13）(1,0)-（14）②③④ 三、 （15）（本小题共13分） 解： （Ⅰ）2()(sin cos )cos(2)f x x x x π=++-，()1sin 2cos 2f x x x ∴=+- ------------------3分1)42sin(2+-=πx ------------------5分∴函数()f x 的最小正周期为22T ππ==. ------------------6分 由 222242k x k πππππ-+≤-≤+，()k Z ∈ -----------------7分得 388k x k ππππ-+≤≤+，()k Z ∈∴()f x 的单调增区间是3[,]88k k ππππ-++，()k Z ∈ -----------------8分 （Ⅱ）434ππ≤≤x 45424πππ≤-≤∴x1)42s i n (22≤-≤-∴πx ------------------3分0)114x π∴≤-+≤∴函数)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,4ππ上的取值范围为[0,1]. ------------------5分（16）（本小题共13分） 解：（Ⅰ） 由表格可知20.2M =，所以10M =，50.510x ==，10253y =--=， 30.310z ==. ------------------4分 （Ⅱ）设“从这10辆纯电动车中任选2辆，选到的2辆车的续驶里程都不低于150公里”为事件A ，则()282102845C P A C ==. ------------------4分（Ⅲ）X 的可能取值为3.5，5，6 ------------------1分()3.50.2P X == ()50.5P X == ()60.3P X ==所以X 的分布列为------------------3分3.50.250.560.35EX =⨯+⨯+⨯=. ------------------5分 （17）（本小题共14分） 解：（Ⅰ）连结1B C ，三棱柱111ABC A B C -中11//A B AB ∴且11A B AB =，由平行四边形ABCD 得//CD AB 且CD AB =∴11//A B CD 且11A B CD =------------------1分 ∴四边形11A B CD 为平行四边形，11//A D B C ------------------2分1B C ⊂平11BCC B 面，1A D ⊄平面11BCC B ------------------3分∴1//A D 平面11BCC B ------------------4分1（Ⅱ）由90ACB ∠=，四边形ABCD 为平行四边形得AC AD ⊥，1AA ⊥底面ABC如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,1,0)C ，(1,0,0)D ，1(0,0,2)A ， 1(0,1,2)C ， ------------------1分1(0,0,2)CC ∴=，1(1,0,2)A D =-，11(0,1,0)AC = 设平面11DAC 的法向量为()x,y,z =n ，则1110,0.A D AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即200x z y -=⎧⎨=⎩，令1z =，则0y =，2x = (2,0,1)∴=n------------------3分11||sin ||||CC CC θ⋅∴===⋅n n ∴直线1CC 与平面1DAC 成角的正弦------------------5分 （Ⅲ）设(,1,0)F λ，10λ-≤≤，则1(,0,2)C F λ=- ------------------1分设平面11AC F 的法向量为()111,,x y z =m ，则111 =00A C C F ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩m m ， 即111020y x z λ=⎧⎨-=⎩ 令11x =，则10y =，12z λ=，所以(1,0,)2λ=m ------------------3分由（Ⅱ）知：平面11DAC 的法向量为(2,0,1)=n 假设平面11DAC 与平面11ACF 垂直，则0⋅=n m ，解得，41λ=-<- ∴线段BC 上不存在点F ，使平面11DAC 与平面11ACF 垂直. ------------------5分（18）（本小题共14分）解：（Ⅰ）由导函数图象可知：)(x f 在区间()3,-∞-单调递增，在区间()3,3-单调递减，所以，)(x f 的极大值点为3- ------------------3分（Ⅱ）22211()()()x xa af x x a e x a e a a'=-=- ------------------2分由(3)0f '-=得3a =± ------------------3分 当3a =-时，(4)0f '-<与已知矛盾，3a ∴= ------------------5分（Ⅲ）231()(9)3xf x x e '=-①当31≤+m ，即20≤≤m 时，)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递减123min ()(1)(2)m f x f m m e+∴=+=- ------------------2分②当13+<<m m ，即32<<m 时，)(x f 在区间[]3,m 上单调递减，在区间[]1,3+m 上单调递增，min ()(3)0f x f ∴== ------------------4分③当3m ≥时，)(x f 在区间[]1,+m m 上单调递增，23min ()()(3)m f x f m m e ∴==- ------------------6分（19）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知得1c =，22a c == ------------------3分2223b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22143x y += ------------------4分 （Ⅱ）2BFMBFNS S ∆∆=等价于2FM FN = ------------------2分 当直线l 斜率不存在时，1FMFN=，不符合题意，舍去； ------------------3分 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由221,43(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消x 并整理得222(34)690k y ky y ++-= ------------------5分 设11(,)M x y ，22(,)M x y ，则12263+4k y y k +=- ①，21229=34k y y k -+② ------------------7分 由2FM FN=得122y y =-③由①②③解得k =，因此存在直线l：1)y x =-使得BFM ∆与 BFN ∆的面积比值为2 ------------------9分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由{}n b 是X 数列，11b =，23b =，有22318d =-=，于是21(31)817b =+-⨯=,241(41)825b=+-⨯=}n b 的前4项为： ；1,3,；1,3,5-． ------------------4分 （Ⅱ）（必要性）设数列{}n a 是等比数列，11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠），则22221n n a a q -=，若{}n a 为X 数列，则有2222222422421111(1)n n n n n a a a q a q a q q k -----=-=-=（k 为与n 无关的常数） 所以21q =，1q =或1q =-． ------------------2分 （充分性）若一个等比数列{}n a 的公比1q =，则1n a a =， 2210n n a a --=，所 以{}n a 为X 数列；若一个等比数列{}n a 的公比1q =-，则11(1)n n a a -=-，22222224111(1)(1)0n n n n a a a a ----=---=，所以{}n a 为X 数列． ------------------4分（Ⅲ）因X 数列{}n a 中122,,0n a a a ==>，则221(1)44(1)4,n a a n d n n =+-=+-=n a ∴=， 所以数列1{}n a 的前n 项和1...2n T =+ ------------------1分假设存在正整数,p q 使不等式1 (1)2+>对一切*n N ∈...1)++>当1n =时，911),4p q >∴+<，又,p q 为正整数， 1p q ∴==． -----------------3分...1)++>对一切*n N ∈都成立．*)n N =>=∈...1)...1)>+++= ------------------5分。