相似三角形--北师大版(201909)
2019年秋九年级数学上册 4《图形的相似》5 相似三角形判定定理的证明习题课件(新版)北师大版
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2019/7/13
最新中小学教学课件
33
讲课内容——对实际材料的讲解课可能需要做大量的笔记。 最讲授的主题是否熟悉——越不熟悉的学科，笔记就越需要完整。 所讲授的知识材料在教科书或别的书刊上是否能够很容易看到——如果很难从别的来源得到这些知识，那么就必须做完整的笔记。 有的同学一味追求课堂笔记做得“漂亮”，把主要精力放在做笔记上，常常为看不清黑板上一个字或一句话，不断向四周同学询问。特意把笔记做得很
全的人，主要是担心漏掉重要内容,影响以后的复习与思考.，这样不仅失去了做笔记的意义，也将课堂“听”与“记”的关系本末倒置了﹙太忙于记录， 便无暇紧跟老师的思路﹚。 如果只是零星记下一些突出的短语或使你感兴趣的内容，那你的笔记就可能显得有些凌乱。 做提纲式笔记因不是自始至终全都埋头做笔记，故可在听课时把时间更多地用于理解所听到的内容.事实上，理解正是做好提纲式笔记的关键。 课堂笔记要注意这五种方法：一是简明扼要，纲目清楚，首先要记下所讲章节的标题、副标题，按要点进行分段；二是要选择笔记语句，利用短语、数 字、图表、缩写或符号进行速记；三是英语、语文课的重点词汇、句型可直接记在书页边，这样便于复习时查找﹙当然也可以记在笔记本上，前提是你 能听懂﹚；四是数理化生等，主要记老师解题的新思路、补充的定义、定理、公式及例题；五是政治、历史等，着重记下老师对问题的综合阐述。
编后语
做笔记不是要将所有东西都写下，我们需要的只是“详略得当“的笔记。做笔记究竟应该完整到什么程度，才能算详略得当呢？对此很难作出简单回答。 课堂笔记，最祥可逐字逐句，有言必录；最略则廖廖数笔，提纲挈领。做笔记的详略要依下面这些条件而定。
2019年北师大版九年级上册数学教案：4.5相似三角形判定定理的证明
在今天的相似三角形判定定理的证明教学中，我尝试了多种教学方法和策略，目的是让学生能够更好地理解和掌握这一几何学中的重要概念。通过这节课的教学，我有以下几点反思：
首先，我发现学生在理解相似三角形的定义和判定条件时，普遍存在一定的困难。尤其是在从AAA相似定理过渡到AA相似定理的过程中，学生们对于“为什么只需要两个角相等就能判定相似”这个问题感到困惑。在今后的教学中，我需要更加细致地解释这个逻辑推理过程，可以通过更多的图形演示和实际例题来帮助学生理解。
-设计不同难度的习题，让学生在练习中逐步掌握相似三角形判定定理的应用，从简单题到综合题，逐步提升解题能力。
-开展小组合作学习，鼓励学生之间相互讨论和解释，通过团队合作突破个人理解上的障碍。
-教师应及时给予反馈，针对学生的错误理解和常见误区进行纠正和指导，确保学生能够透彻理解本节课的核心知识。
四、教学流程
另外，在课堂总结环节，我发现有些学生对相似三角形在实际生活中的应用还是有些模糊。这可能是因为我在课堂上举的例子不够丰富或者不够贴近生活。在以后的教学中，我需要搜集更多贴近生活的实例，让学生明白相似三角形的应用是无处不在的。
此外，课后我也收到了一些学生的反馈，他们表示在解决相似三角形的问题时，仍然觉得有些困难。针对这一点，我计划在下一节课中增加一些针对性较强的练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
我们将紧密围绕教材内容，通过讲解、例题解析、小组讨论等教学方式，帮助学生深入理解相似三角形的判定定理，并能够熟练运用这些定理解决相关问题。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标如下：
1.培养学生逻辑推理能力，通过相似三角形判定定理的证明过程，让学生理解数学严密的逻辑推理方法，提高推理能力。
2.培养学生空间想象力和几何直观，通过观察和分析相似三角形的性质，培养学生对几何图形的认知和想象能力。
2019年秋九年级数学上册第四章图形的相似4.5相似三角形判定定理的证明教学设计(1)(新版)北师大版
【当堂训练】
课本P107中的习题4.9中的T1、T2、T3、T4
当堂检测，及时反馈学习效果.
活动四：课堂总结反思
【板书设计】
§4.5相似三角形判定定理的证明
探究1:
探究2:
探究3:
投
影
区
学生活动区
提纲挈领，重点突出.
问题1：相似三角形的定义？
问题2：相似三角形的判定方法有哪些？
问题由学生口答完成，其他学生矫正．完成后教师引导学生，从而引入新课．引导性语言：通过复习，我发现你们掌握的很好．今天这节课，我们一起对三角形相似的条件进行证明．
1.利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣。
③[师生互动反思]
______________________________________________________________________________________________
④[习题反思]
好题题号______________________________________
2、由于学生已经有了探究1的基本方法和思路,因此,探究2处理起来应该很顺利,可以大胆放手给学生,这样更能激发学生的求知欲望,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣和成功的喜悦.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1（教材例1）
变式一、（2014•永州）如图，D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，
已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求线段CD的长．
相似三角形性质--北师大版
动脑筋
2 如图，已知 ⊿ABC∽⊿ADE,AE =50cm,EC=30cm,BC =70cm, ∠BAC=∠ADE的大小
(2)求DE的长
谢谢合作！
你会找对应边吗？
如图⊿ABC∽⊿DEF
如图2中的两个三角形 相似，根据图中的数 据找出对应角和对应边
二次元游戏 二次元游戏
；
所有的材料，无字材料、话题、命题，还是图画材料，都要注意题目和材料在哲学层次上的象征意义，也就是题目和材料的一般性、普遍性，这样才能抓住题目和材料的“本质”，防止脱题、偏题、离题。 2、立意构思启迪 现在的材料作文，往往要求学生从多个角度去理解，自主选择 一个角度来行文。 本题抓住材料本质之后，就应该发散思维，由此及彼，多方联系。比如，从大的方面来看，可以联想到“中国革命和建设”（文科生的特长）、科学的进步、社会风气的好转、整个世界的联系等等；从小的方面来看，可以联想到个人的成长，如学习进步、身体强床、 友谊加深、道德操守的进步等等。至于主题，可以就在选定的角度内确定。比如写“中国革命和建设”，就可以确定主题为“没有一次次思想革新，就没有革命和建设的不断进步” ，可以简练表述为“革新思想，前途光明”；其余兹不赘述。 但是行文过程中，无论选择任何文体，都必 须紧紧扣住材料含意，而不应该写成所选择的某个角度，这样的话就势必偏题。 四、方法指导——怎样审出最佳立意？ 1、材料一：2009江西高考作文题目: 今年3月25日，在国人的强烈反对声中，佳士得拍卖行仍将圆明园非法流失的兔首、鼠首铜像在巴黎拍卖。某艺术公司总经理蔡铭 超高价拍下这两件文物，但事后拒绝付款，造成流拍。 对此，舆论一片哗然。有人称其为民族英雄，有人认为这是恶意破坏规则，还有人认为…… 你对蔡铭超的行为有什么看法？请据此写一篇文章。 辩分析：蔡铭超的做法体现了他的一片赤子之心，值得我们赞扬。兔首鼠首归来日！ 人间处处蔡铭超。为蔡先生鼓掌，为这份爱国之心赤子情怀鼓掌，为这一份冷静智慧鼓掌。希望越来越多的中国人，能够像蔡先生一样葆有一颗爱国的赤子之心，能够在国际社会中运用智慧维护祖国的尊严！ 有理有据也得守规。蔡铭超他是爱国的，有理的，但他不应该拒绝付款。中国 一直以诚实守信为传统美德，如此做法，有违于这一美德，有理也得守规，才能走遍天下。 既要运用智慧维护祖国的尊严，也要有理而且守规。 方法一：辩分析——最佳立意就应辩思考。 任何事物是相互联系的，而且从不同角度会有不同的答案。要注意辩思考，全面考虑，有利于构 思作文。辩分析可以突出某一方面，另一方面作为补充即可。避免说过头话。 2、材料二：两个孩子得到一个橙子，他们争来争去。最终达成协议，一个孩子负责切橙子，另一个可以先选择切好的橙子。他们按照商定好的办法各自取得一半橙子，高高兴兴地拿回家去了。一个孩子回家后， 把半个橙子的皮剥掉扔了，把果肉榨成果汁喝。另一个孩子回到家，把果肉挖出扔了，把皮留下来磨碎，将其混在面粉里烤蛋糕吃。 方法二：分层概括——在审题时要分层概括，合并几个观点，提炼最佳立意。 这是一个材料作文。材料前半部分交代两个孩子没有真正沟通，没有申明各 自利益所在，后半部分他们各自得到看似公平的一半，却没有物尽其用，结果各自的利益并未达到最大化。材料的中心在应做好沟通上，一类立意为有效地交流沟通，在合作中实现双赢，各取所需。如果不进行沟通，就不能实现利益最大化。 如果只谈合作共享双赢，没有谈沟通的属于 二类立意，如果从公平、民主、价值、选择、物尽其用的角度来立意的归入三类，如果没有谈以上角度的属于完全跑题。 3、材料三：古代有一个渔翁，一天，在井里用网捞了两条大鲤鱼；第二天，在井里捞到了三条鲫鱼；第三天，仅仅捞到了几只虾；第四天，第五天……什么也没捞到。 材料结果是什么？渔翁什么也没捞到。什么也没捞到，这是为什么呢？空间不宽，水域狭窄，藏鱼不多。应该怎么办？到广阔的空间去撒网，方有丰硕的收获。 由果溯因法，能较快速明白材料的主旨。 方法三：以果溯因——任何事物的产生、变化和发展，都有其内在或外在的原因。因 此，阅读分析材料的因果联系，从原因切入立意，是行之有效的方法。 遇见材料追问三个问题：是什么？为什么？怎么办？整合一下答案即可得出最佳立意。 4、材料四：野兔是一种十分狡猾的动物，缺乏经验的猎手很难捕获到它们。但是一到下雪天，野兔的末日就到了。因为野兔从 来不敢走没有自己脚印的路，猎人就是根据野兔的这一特性，只要找到野兔在雪地上留下的脚印，然后设一个机关，第二天早上就可以收获猎物了。兔子的致命缺点就是太相信自己走过的路了。 关键句“兔子的致命缺点就是太相信自己走过的路”。由此展开立意：走熟悉的路也会摔倒， 不能用一成不变的眼光用老经验去看待不断变化的世界，“别摔在熟悉的路上”。 方法四：找关键句——关键词语句子往往是“文眼”，它蕴含着材料的主旨，因此可以把它作为把握材料审题立意的突破口。 一段材料其主旨有时在文字上有所表现，抓住这些词句往往能事半功倍。 有 的材料为突出中心，有时会在材料中设置关键句（开头句、结尾句、对话句、结语句），抓住这些关键句，就能把握材料主旨，准确理解材料的正确立意。 五、对如何写好给材料作文的具体建议 写给材料作文要注意合理使用所给的材料，不能避开材料，另起炉灶。 若拟写记叙文，则 应先对材料内容加以分析，再由此联系与材料相关的人或事，可以以这样的形式开头：“读了以上材料，我想起了这样一件事（或‘勾起了我美好的回忆’）……”或“在我的生活阅历中，也有这样一个人（或‘曾遇见过这样一个人’）……”。结尾处，再用恰当的议论将所叙的人或事 与材料中的人或事相比较，用画龙之笔点明中心即可。 若拟写议，对所给材料可以从以下角度使用： 1、从中引发观点，一般来说，所给材料是有意义的，能给人某些启示的，所以往往可以从中得出观点（理解的角度不同，提炼的观点也不同。不管怎样不同，提炼的观点必须与原材料 相吻合。），再围绕观点来阐述。由此可得下面的写作思路：开头引述材料→认真分析后，确定论点（即提出中心）→具体论→结尾照应开头（材料），深化中心。 2、用做文章的论据。对于做论据的材料的使用，需要考生精心剪辑，决定取舍：有时材料过于简单，就需要扩充内容，着 重在明的论点上加以充实；有时对论据材料可完整地抄录引用；有时不宜全文照抄，可用自己的语言对论据作概括引述；有时可以将材料穿插在阐述或评析之中。 3、用做联系实际的参照“标志”； 4、用做拟制标题的话题，如“从……说开去”、“……给我的启示”、“……教会了我 做人”、“论……”等。 5、用做照应开头的结论，议要做到结构严谨，因此在结论部分有必要用所给材料内容来照应前文（包括开头），使文章首尾呼应。 总之，写给材料作文必须“像捉毒蛇须打它的七寸一样”抓住“要害”即关键。写给材料作文的关键是对材料的“理解”、“角 度”的选择，只有命题意图领会了，切入点找好了，或记叙或抒情或议论就不难了，当然运笔最好是在自己有经历、有体验、有感悟的内容方面进行。 六、高考链接 2009年浙江省作文题（60分）：阅读下面的歌词，根据要求作文。 不要问我到哪里去，我的心依着你/不要问我到哪里去， 我的情牵着你//我是你的一片绿叶，我的根在你的土地/春风中告别了你，今天这方明天那里//无论我停在哪片云彩，我的眼总是投向你/如果我在风中歌唱，那歌声也是为着你 //不要问我到哪里去，我的路上充满回忆/请你祝福我，我也祝福你/这是绿叶对根的情意! 根据歌词所表达的 主旨，结合自己的生活体验与阅读积累，写一篇文章。可以写自己的经历、感受和见解，可以讲述身边的故事，也可以发表评论。 作文题点评： 这是一篇新材料作文，浙江卷自04年自主命题开始，都是话题作文与命题作文，新材料作文还是第一次。从本质上讲，新材料作文脱胎于材料 作文，但又不限制文体，同时保持了话题作文的开放性“三自”，更具灵活性、新鲜性与开放性，也更能发挥考生的主观能动性。但新材料作文因其“新”的特点，容易给考生设置一些无形的障碍。笔者认为要写好这篇文章，必须注意以下几个方面： 第一：必须全面理解材料，不能脱 离整体材料的意思另起话题，但可以选择一个侧面、一个角度构思作文。就是说要从材料中提炼观点而不是话题。如有的学生从材料中引出话题“情意”，则有可能偏题。 第二，必须考虑绿叶与根的双元关系、辩关系。根滋养抚育绿叶，绿叶才得以葱绿昌茂，绿叶心怀感恩之情，纵使 飘零一生，也眷恋不忘根对自己的呵护。根作用于绿叶，绿叶反作用于根，这是相互的。有很多考生应该会提炼出“感恩”的观点，比如“游子对故土的感激眷恋”、“华侨对国家的回报感恩”“孩子对母亲的依恋爱戴”等等都可以，但是像一般的帮助别人，比如朋友之间的互相关心， 情人之间的互相体贴，陌路人一个友情的微笑，身处尴尬时一份温馨的怜悯等等就与材料中的“感恩”之味有点距离，因为它们都脱离了“绿叶与根”的关系。 第三，要写好这篇文章，对考生的的思维能力要求较强。近几年浙江省命题导向显而易见的，那就是：激活学生库存的知识和 经验、培养学生的创新精神和关注现实的认识观，引导学生心灵的真善美和思维的开阔和多样。如果考生能超越 “感恩”，能从材料中品出根与绿叶的延续性关系——“给予与吸收，及再给予”，将个体心理上升为一种群体情感倾向，比如“乡愁的文化心理”等，则能写出一定的思想 深度，容易得高分。 总之，在全国大范围一片话题与命题的作文大潮中，09年的浙江卷昂扬走在“新材料作文”的行列，与全国卷Ⅱ及卷一起，情理兼重，相信积极参与生活，思考生活，注重生活积累与情感积淀的考生定能交出一份满意的答卷。 八、一点补充 阅读下面的文字材料， 根据要求作文。 材料一：2003年春，在爆发的“非典型性肺炎”开始席卷全国。根据中科院院士钟南山等认定，“非典”病毒的宿主主要是野生“果子狸”。 材料二：2008年5月12日汶川地震后，让人悚然动容的除了可歌可泣的中国人民众志成城互帮互助的感人场面外，还有为挽救废 墟下的生命而累得倒地就睡的搜救犬，和留恋家园始终不愿离开地震废墟的忠诚小狗。 材料三：2009年1月9日，洞庭湖一带再次出现已经绝迹了109年的野生麋鹿27头。麋鹿属于国家一级保护动物，是典型的湿地动物，它们好合群，在水畔生活，善游泳，喜欢以嫩草和其他水生植物为食。 麋鹿的出现说明洞庭湖的自然
2019版九年级上册初三数学北师大版全套课件第4章图形的相似第9课时相似三角形判定定理的证明
变式练习
3.如图,在△ABC中,P为AB上一点,有下列四个条 件: (1)∠ACP=∠B; (2)∠APC=∠ACB; (3) (4)AB•CP=AP•CB. 其中能满足△APC和△ACB相似的条件有( )C A.1个B.2个C.3个D.4个
巩固提高
例4:如图,点P是不等边△ABC的边BC上的一点, 点D在边AB或AC上,若由点P、D截得的小三角形 与△ABC相似,那么D点的位置最多有( ) A.2C处B.3处 C.4处D.5处
21m²
巩固提高
11.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=16cm,动点P从 点A开始沿AB边运动,速度为2/s;如果P、Q两动 点同时运动,那么何时△QBP与△ABC相似？
解:设经过t秒时, 以△QBC与△ABC相似, 则AP=2t,BP=8-2t,BQ=4t, ∵∠PBQ=∠ABC,
巩固提高
4.如图,在直角梯形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,点P为 AB边上一动点,若△PAD与△PBC是相似三角形, 则满足条件的点P的个数是( )C A.1个B.2个 C.3个D.4个
巩固提高
5.如图,四边形ABCD是平行四边形,则图中与 △DEF相似的三角形共有( B ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
第四章 图形的相似
第9课时 *相似三角形判定定理的证明
精典范例(变式练习) 巩固提高
精典范例
例1:下列命题中,是真命题的为( ) D A.锐角三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似
变式练习
1.下面两个三角形一定相似的是( )D A.两个等腰三角形 B.两个直角三角形 C.两个钝角三角形 D.两个等边三角形
2019年秋北师大版九年级上册数学课件：22.2.4相似三角形的判定定理3
BC 3.5
CA 3
DE EF FD . AB BC CA
∴ △ABC∽ △DEF.
新知探究
方法归纳
判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角 形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等， 计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
新知探究
已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
解：公路AB与CD平行.
∵
AB
14
2
，AD
28
2 .
BD 21 3 BC 42 3
BD 21 2 DC 31.5 3 .
28 D
A
31.5
21
14
42
B
C
AB AD BD BD BC DC .
∴ ∠ABD=∠BDC.
∴ △ABD∽△BDC.
∴ AB∥DC.
随堂小测
4.已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线.求证：
解：△ ABC与△ A′B′C′的顶点都在格 点上，根据勾股定理，得
AB 2, AC 2, BC 10;
B AC
AB 5, AC 10, BC 5;
A′
AB AC BC 2 10 . B′
C′
AB AC BC 10 5
∴ △ ABC与△ A′B′C′相似.
九年级数学沪科版·上册
第二十二章 相似形
22.2.4 相似三角形的判定定理3
授课人：XXXX
教学目标
1.掌握相似三角形的判定定理3；（重点） 2.能熟练运用相似三角形的判定定理3．（难点）
复习导入
问题1：判定两个三角形相似我们学过了哪些方法? ⑴定义法:两个角分别相等，两边成比例且夹角相等的两个三
2019届九年级数学上册 第四章 图形的相似 7 相似三角形的性质课件(新版)北师大版
解：(1)∵△ABC∽△A′B′C′，AA′BB′＝21，AB 边上的中线 CD＝4 cm， ∴CC′DD′＝12，∴C′D′＝4×2＝8(cm)， ∴A′B′边上的中线 C′D′的长为 8 cm. (2)∵△ABC∽△A′B′C′，AA′BB′＝21，△ABC 的周长为 20 cm， ∴CC△△AA′BB′CC′＝12，∴C△A′B′C′＝20×2＝40(cm)， ∴△A′B′C′的周长为 40 cm.
2019/7/13
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(2)如果两个相似三角形对应角平分线的比是 2∶3，那么它们对应高的比是
_2_∶___3_.
【点悟】 相似三角形对应中线的比、对应的比、对应角平分线的比等于相似 比．
如图，已知△ABC∽△DEF，BG，EH 分别是△ABC 和△DEF 的角平 分线，BC＝6 cm，EF＝4 cm，BG＝4.8 cm.求 EH 的长．
5．如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，BC 上的点，且 DE∥AC，若 S△BDE∶S△CDE
＝1∶3，则 S△DOE∶S△AOC 的值为( D )
A．13
B．14
C．19
D．116
【 解 析 】 ∵S△BDE∶S△CDE ＝ 1∶3 ， ∴BE∶EC ＝ 1∶3 ， ∴BE∶BC ＝ 1∶4.∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，且DACE＝BBCE＝41，∴S△DOE∶S△AOC＝DACE2 ＝116.
4．若两个相似三角形的周长比为 2∶3，则它们的面积比是_4__∶__9_．
2019年秋九年级北师大版数学上册课件：第四章 6.利用相似三角形测高(共16张PPT)
(如图)，然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶 部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点之间的距离为3 m，小 芳的目高为1.5 m，利用她所测数据，则旗杆的高为( ) A．20 m B．20.5 m C．21 m D．21.5 m
D
＝1.8 m，则窗口底边离地面的高BC＝____m.
第四章 图形的相似
6．利用相似三角形测高
九年级上册·数学·北师版
上面所用的三种测量方法都是通过构造_________三角形来求 得旗杆的高度．
相似
利用光照下的影子或标杆测高
B
1 ． ( 5 分 ) ( 2 0 1 8 ·临 沂 ) 如 图 ， 利 用 标 杆 B E 测 量 建 筑 物 的 C.
又∵∠C＝∠C，∴△EAC∽△POC，
∴ AC ＝EA＝1.6＝1，∴AC＝1OA，
OA＋AC PO 8 5
4
同理可得 BD＝1OB，∴AC－BD＝1(OA－OB)＝1AB＝3.5 (m)，
4
4
4
∴影长 BD 比 AC 缩短了 3.5 m.
由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F 的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行15 m到 达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部 C处，已知小明同学的身高是1.7 m，两个路灯的高度都是8.5 m，求AC的长．
标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的
高是( )
A．9.3 m
B．10.5 m
C．12.4 m
D．14 m
DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条边DF＝50 cm，EF＝
北师大版九年级数学第四章探索相似三角形相似的条件
探索相似三角形相似的条件【学习目标】1.相似三角形的概念.2.相似三角形的三个判定定理.3.黄金分割.4. 进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【要点梳理】要点一、相似三角形的概念相似三角形：三个角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.要点进阶：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的三个判定定理定理：两角分别相等的两个三角形相似.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.三边成比例的两个三角形相似.要点进阶：（1）要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.（2）此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：要点四、黄金分割1.定义：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC两段,如果AC BCAB AC,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点进阶：512AC AB-=≈0.618AB(0.618是黄金分割的近似值，512-是黄金分割的准确值).2.作一条线段的黄金分割点：如图，已知线段AB，按照如下方法作图：（1）经过点B作BD⊥AB，使BD=21AB.（2）连接AD，在DA上截取DE=DB.（3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点.要点进阶：一条线段的黄金分割点有两个.【典型例题】类型一、相似三角形的概念例1、买西瓜为什么挑大个？思驰是一个好奇心很强的女孩，凡事都喜欢问个为什么．一天，思驰跟爸爸上街买西瓜．见爸爸选中的全是大个西瓜，她的小脑袋瓜又转开了：买西瓜为什么挑大个？“你这个沈老师的得意门生，能用学过的数学知识解决吗？”，爸爸“将”了思驰一军．回到学校，思驰就找来远兮一起商量．两人便开始了一番精彩对话．思驰：西瓜可以近似看成球体，可以应用球的体积公式．远兮：大西瓜和小西瓜的皮厚几乎相等．思驰：人们买瓜是为了吃瓤．远兮：瓤的体积在整个西瓜体积中占的比越大越好．思驰：两者的体积比如何求呢？经过一段时间的商讨，她们提出了解决方案：设瓜瓤（视为球体）的半径为r，瓜皮厚度为a，则瓤和整个瓜的体积比为：3333343()4()()3r r rr a r ar aππ==+++＜1当a一定时，r值越大，（3()rr a+的值越接近于1，即西瓜越大，瓤与整个瓜的体积比越接近于1．思驰把解决方案讲给父亲听后，父亲充满了赞许之意，但父亲同时又提出了：你能用你正在学习的相似图形知识解决问题吗？等你学完图形的相似这一章后，我相信你还能找出新的方法的．问题：你认为生活中还有哪些与它类似的情形？类型二、相似三角形的三个判定定理例2.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．举一反三【变式】如图，已知在△ABC与△DEF中，∠C=54°，∠A=47°，∠F=54°，∠E=79°，求证：△ABC∽△DEF．例3、如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE的长为多少？举一反三【变式】如图，在△ABC于△ADE中,AB AEBC ED，要使△ABC于△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是___________．例4、如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．（1）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；（2）P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似（要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由）举一反三【变式】如图，已知每个小正方形的边长均为1，△ABC与△DEF的顶点都在小正方形的顶点上，那么△DEF与△ABC相似的是（）类型三、黄金分割例5.折纸与证明---用纸折出黄金分割点：第一步：如图（1），先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF；再折出矩形BCFE的对角线BF．第二步：如图（2），将AB边折到BF上，得到折痕BG，试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG＞GD）举一反三：【变式】如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B′，因而EB′=EB．类似地，在AB上折出点B″使AB″=AB′．这时B″就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．【巩固练习】一、选择题1. 如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（）A．1个B． 2个 C．3个D． 4个2．在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，下列条件中不能判定△AED∽△ABC是（）A．∠ADE=∠C B．∠AED=∠B C. AD ACAE AB= D.AD DEAC BC=3．如图，平行四边形ABCD中，F是CD上一点，BF交AD的延长线于G，则图中的相似三角形对数共有（）A．8对 B． 6对 C．4对D． 2对4．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC相似的个数有（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个5.如图，已知点P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示以PA为边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形的面积，那么S1（）S2．A.>B.=C.<D.无法确定6.有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有a cb d ．②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项．③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，那么AC是AB与BC的比例中项．④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=-1．其中正确的判断有（）.A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题7．如图，添加一个条件：，使△ADE∽△ACB，（写出一个即可）8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有条．9．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是边AB上一点，若△APD与△BPC相似，则满足条件的点P有个．10．如图，点D、E、F在△ABC三边上，EF、DG相交于点H，∠ABC=∠EFC=70°，∠ACB=60°，∠DGB=50°，图中与△GFH相似的三角形的个数是．11．如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l∥AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．12.如图所示，顶角A为36°的第一个黄金三角形△ABC的腰AB=1，底边与腰之比为K，三角形△BCD为第二个黄金三角形，依此类推，第2008个黄金三角形的周长为____________．三、解答题13. 如图，点P在平行四边形ABCD的CD边上，连接BP并延长与AD的延长线交于点Q．（1）求证：△DQP∽△CBP；（2）当△DQP≌△CBP，且AB=8时，求DP的长．14如图，已知△ABC 中，AB=，AC=，BC=6，点M 为AB 的中点，在线段AC 上取点N ，使△AMN 与△ABC 相似，求MN 的长．15.如图1，点C 将线段AB 分成两部分，如果AC BCAB AC=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S 1，S 2，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线．（1）研究小组猜想：在△ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图2），则直线CD 是△ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线DF ∥CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图3），则直线EF 也是△ABC 的黄金分割线．请你说明理由．（4）如图4，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作EF ∥AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．。
探索三角形相似的条件及证明(解析版)-九年级数学(北师大版)
第20讲探索三角形相似的条件及证明1.相似三角形的概念.2.相似三角形的判定定理.3.进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.二、相似三角形的判定定理1．判定定理（一）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.2．判定定理（二）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.3．判定定理（三）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.（简述为：三边对应成比例，两个三角形相似）要点：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.4.直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
（简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似）考点1：利用两角相等证明相似例1．已知：如图所示，,AC BD 相交于点O ，连接,AB CD ，且ABD ACD ∠=∠，求证：AOB DOC ∽△△．【答案】见解析【分析】根据AA 判断两个三角形相似．【解析】证明：∵ABD ACD ∠=∠， AOB COD ∠=∠，∴AOB DOC ∽△△．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．例2．如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，点D 在AC 边上，DE AC ⊥交BC 于点E ．求证：CDE CBA ∽△△．【答案】证明见解析【分析】由DE AC ⊥，∠B =90°可得出CDE B ∠=∠，再由公共角相等，即可证得CDE CBA ∽△△．【解析】∵DE AC ⊥，∠B =90°，∴90CDE B ∠=∠=︒．又∵∠C =∠C ，∴CDE CBA ∽△△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，常用的判定两个三角形相似的方法有1、定义法：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似．2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形和原三角形相似．3、两角分别相等的两个三角形相似．4、两边成比例且夹角相等的两个三角形例5AB AD BD例求证：△【答案】见解析【分析】根据两个角相等的两个三角形相似进行证明即可．⊥于D．【解析】证明：∵CD AB∴90∠=∠=︒，ADC ACB∵A A∠=∠，∴ACD ABC△∽△．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定定理，准确运用进行推理证明．例5．如图，Rt ABC∆中，CD是斜边AB上的高．求证：（1）ACD ABC△∽△；（2）CBD ABC△△．∽【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【解析】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．例例（1）如果ACP B ∠=∠，ACP △与 AP AC例ABC △【答案】见解析【分析】根据已知线段长度求出【解析】证明：在∵8,3,AB AD ==∴824AB AE ==，例【答案】详见解析【分析】由题中线段长度得出【解析】证明：∵8,BC AC =∴48224AC BC CD AC ====．∴BC AC AC CD=．∵C C ∠=∠，∴ABC DAC ∽．例（1）AB例1AD AE DE例【答案】①与⑤相似，因为三边成比例；其余三角形都不相似，理由见解析．例例于G，AD(1)求证：ABE DCG(2)ABD△，ABE【答案】(1)见解析(2)ADG，AFE，ACD【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可；（2）根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．【解析】（1）解：证明：如下图，∵90∠=︒，ABC∴1+3=90∠∠︒，又∵DG AD ⊥，∴3490∠+∠=︒，∴14∠=∠∵BF AC ⊥，∴590BAC ∠+∠=︒，∵90ABC ∠=︒，∴90C BAC ∠+∠=︒∴5C=∠∠∴~ABE DCG ．（2）∵AD 平分∠BAC ，∴∠1=∠2，又90ABC ∠=︒，BF AC ⊥，DG AD ⊥，∴∠ABC =∠ADG =∠AFB =90°，∴ABD ADG △AFE ，∴∠3=∠AGD =∠AEF ，∴∠ADC =∠CGD =∠AEB ，又根据直角三角形两锐角互余可得∠5=∠C ，∴ABE DCG ACD故答案为：ADG ，AFE ，ACD ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．考点5：添加一个条件证明相似例15．如图，已知AC ，BD 相交于点O ，若补充一个条件后，便可得到AOB DOC ∽△△，则要补充的条件可以是_______．（填一个即可）【答案】A D ∠=∠（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定解答即可．【解析】解：补充条件A D ∠=∠即可；例_________【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角【解析】解：PAC CAB ∠=∠ ∴当ACP B ∠=∠时，APC V 故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用例17．在△ABC 和△时，△ABC 与△DEF 相似．【答案】2cm 或4.5cm【分析】由于两相似三角形的对应边不能确定，故应分△例相似的是（例例【点睛】本题考查了相似三角形的判定，注意：有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．考点6：判断三角形相似例21．如图，已知MNP △．下列四个三角形，与MNP △相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定条件分别判断即可；【解析】根据图形可知，MN MP =，75P N ∠=∠=︒，∴180757530M ∠=︒-︒-︒=︒，∴根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可得C 中的图形与MNP △相似；故选C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定条件，结合三角形内角和定理计算是解题的关键．例22．如图，在三角形纸片ABC 中，9AB =，6AC =，12BC =，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC 相似的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．【解析】解：在三角形纸片ABC 中，AB ＝9，AC ＝6，BC ＝12．例A．例正确的有（A．1个B．2个【答案】C【分析】①由题意得出AD CD BD AD=明△ABC与△ADC相似，得出②不符合题意；证出∠ADC=∠BAC=90°，可得出③符合题意；根据论．例到DCF(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【解析】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅ ，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠ ，BDG DEG ∴ ∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠ ，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．例26．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；(2)如图2，若ACD ∠的平分线CE 交AD 于点F ，交AB 的延长线于点E ，连结DE ．①证明：BCD AED △∽△；∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，一、单选题1．（2018·浙江杭州·中考真题）如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是．．．．A．∠ABP=∠CC．AP AB=AB AC【答案】D【解析】解：A．当∠ABP=又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此选项错误；B．当∠APB=∠ABC时，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，又∵∠A =∠A ，∴△ABP ∽△ACB ，故此选项错误；D ．无法得到△ABP ∽△ACB ，故此选项正确．故选：D ．二、填空题三、解答题4．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，E 是边AC 上一点，且BE BC =，过点A 作BE 的垂线，交BE 的延长线于点D ，求证：ADE ABC △△∽．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【解析】解：若选①BD B D CD C D''=''，一、单选题1．下列能判定ABC A B 'V :VA．AB∥CD①55A ∠=︒905535B \Ð=°-°=°35D Ð=°Q ，A．AB CDC ．90ABC DBC ∠+∠=︒D ．::AB BC BD CD=【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合平行线的性质可判断A ；结合角平分线的定义可判断B ；结合直角三角形两个锐角互余可判断C ；D 选项没有条件可判断ABC 和BCD △相似．【解析】∵AB CD ，∴ABC BCD ∠=∠，∵90ACB D ∠=∠=︒，∴ABC BCD △∽△，故A 能判断，不符合题意；∵BC 平分ABD ∠，∴ABC CBD ∠=∠．∵90ACB D ∠=∠=︒，∴C ABC BD ∽△△，故B 能判断，不符合题意；∵90ABC DBC ∠+∠=︒∴90ABD Ð=°，∴90ABC CBD Ð+Ð=°．∵90ABC CAB ∠+∠=︒，∴CAB CBD ∠=∠．∵ABC BCD △∽△，故C 能判断，不符合题意；∵::AB BC BD CD =，结合题意没有满足使ABC 和BCD △相似的条件，∴不能判断，符合题意．故选D ．【点睛】本题主要考查三角形相似的判定．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．7．含60︒角的直角三角板6)0(ABC A ∠=︒与含45︒角的直角三角板BCD 如图放置，它们的斜边AC 与斜边BD 相交于点E ．下列结论正确的是（）A ．ABE CDE ∽B ．ABE BCE△∽△C ．BCE DCE△∽△D ．ABC DCB∽△△【答案】A 【分析】根据相似三角形的判定方法，进行判断即可．【解析】解：由图可知：90ABC BCD ∠=∠=︒，∴AB CD ，∴,ABE CDE BAE DCE ∠=∠∠=∠，∴ABE CDE ∽；故选A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．8．张老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是（）已知：如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE BC ∥，DF AC ∥．求证：ADE DBF ∽．证明：①又∵DF AC ∥，②∵DE BC ∥，③∴∠=∠A BDF ，④∴ADE B ∠=∠，⑤∴ADE DBF ∽．A ．③②④①⑤B ．②④①③⑤C ．③①④②⑤D ．②③④①⑤【答案】B 【分析】由DE BC ∥，DF AC ∥，得出ADE B ∠=∠，∠=∠A BDF ，证出ADE DBF ∽．【解析】证明：②∵DE BC ∥，④∴ADE B ∠=∠，①又∵DF AC ∥，③∴∠=∠A BDF ，⑤∴ADE DBF ∽．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质；关键是证明三角形相似．9．如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（）A ．ACD ABC△△∽B ．ADE ACG ∽ C ．ACE ABG∽△△D ．ADE CGE∽△△【答案】D 【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽ ，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【解析】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽ ，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△，故C 正确，不符合题意；在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意．故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键．10．如图，在平面直角坐标系中，A （0，4），B （2，0），点C 在第一象限，若以A 、B 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似（不包括全等），则点C 的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【分析】根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理即可得出结论．【解析】解：如图①，1OAB BAC ∠=∠，1AOB ABC ∠=∠时，1AOB ABC ∆∆∽．如图②，AO BC ∥，2BA AC ⊥，则2ABC OAB ∠=∠，故2AOB BAC ∆∆∽；如图③，3AC OB ∥，390ABC ∠=︒，则ABO CAB ∠=∠，故AOB ∆∽△3C BA ；如图④，490AOB BAC ∠=∠=︒，4ABO ABC ∠=∠，则AOB ∆∽△4C AB ．故选：D ．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，解题的关键是熟知有两组角对应相等的两个三角形相似．二、填空题11．如图，已知ADE C ∠=∠，则AED ∽_______，理由是______．【答案】ABC 两角分别对应相等的两个三角形相似【分析】结合相似三角形的判定即可求解．【解析】解：=,A A ADE ∠∠∠= AED ABC ∴∆∆∽（两角分别对应相等的两个三角形相似）故答案是：①ABC ；②两角分别对应相等的两个三角形相似．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，属于基础知识理解题型，难度不大．相似三角形的判定可以和全等三角形的判定类比学习；全等强调边相等，而相似强调边成比例．12．如图，D 是ABC ∆的边AB 上一点，【答案】,B ACB∠∠【分析】运用“两角对应相等，两三角形相似【解析】若∠1=ADC ∆∽ACB ∆.【点睛】本题考查了有两角对应相等的三角形相似13．ABC ∆的边长分别为【答案】BC kCD=或BAC∠=【分析】根据相似三角形的判定定理即可进行解答．【解析】解：添加BC k CD=，【答案】①②③【分析】根据相似三角形的判定定理逐个排查即可．【解析】解：∵A A∠=∠,AED∠17．如图，在ABC 中，EF GH IJ BC P P P ，则图中相似三角形共有______对．【答案】6【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，可知图中△AEF 、△AGH 、△AIJ 和△ABC 任意两个三角形都相似．【解析】解：在△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，∴△AEF ，△AGH ，△AIJ ，△ABC 中的任意两个三角形都相似．∴相似三角形共有6对．故答案为：6.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟记平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似是解题关键．18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD 中，对角线BD 是它的相似对角线，∠ABC =70°，BD 平分∠ABC ，那么∠ADC =____________度【答案】145【分析】先画出示意图，由相似三角形的判定可知，在△ABD 和△DBC 中，已知∠ABD=∠CBD ，所以需另一组对应角相等，若∠A=∠C ，则△ABD 与△DBC 全等不符合题意，所以必定有∠A=∠BDC,再根据四边形的内角和为360°列式求解.【解析】解：根据题意画出示意图，已知∠ABD=∠CBD ，△ABD 与△DBC 相似，但不全等，∴∠A=∠BDC ，∠ADB=∠C.又∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，∴2∠ADB+2∠BDC+∠ABC=360°，∴∠ADB+∠BDC=145°，即∠ADC=145°.【点睛】对于新定义问题，读懂题意是关键.三、解答题【答案】ABC 和A B C ''' '相似，理由见解析【分析】根据三角形相似的判定计算判定即可．【解析】ABC 和A B C ''' 相似．理由如下：∵50A ∠=︒，60B B '∠=∠=︒，∴18070C B A ∠=︒-∠-∠=︒，∵70C '∠=︒，∴70C C '∠=∠=︒，∴ABC A B C '''∽△△．（1）求证：ADEV∽ABC （2）求EC的长度．【答案】证明见解析．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD ⊥BC ，然后求出∠ADB=∠CEB=90°，再根据两组角对应相等的两个三角形相似证明．【解析】∵在△ABC 中，AB=AC ，BD=CD ，∴AD ⊥BC ．又∵CE ⊥AB ，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B ，∴△ABD ∽△CBE ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，正确找到相似的条件是解题的关键．24．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90A ∠=︒，BD DC ⊥．求证：ABD △∽DCB △．【答案】见解析.【分析】由平行线的性质得到∠ADB ＝∠DBC ，结合∠A ＝∠BDC ＝90°，从而可得到△ABD ∽△DCB ．【解析】∵AD BC ∥，∴ADB DBC ∠=∠，∵BD DC ⊥，∴=90BDC ∠︒，∵90A ∠=︒，∴A BDC ∠=∠，∴ABD △∽DCB △．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握：一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，这两个三角形相似.∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，。