北师大版相似三角形复习
北师大版初中总复习相似三角形
⑴基本性质：a cad bcb d =⇔= ⑵反比性质：ac b db da c =⇔=⑶更比性质：a c a b b dc d =⇔=或d c b a =⑷合比性质：a c a b c d b db d ++=⇔=⑸分比性质：a c abc db d b d --=⇔= ⑹合分比性质：()a c abcd c d a b b d a b c d ++=⇔=≠≠-- ⑺等比性质：312123kk a a a a b b b b ====121121k k a a a a b b b b +++⇒=+++ (其中k 为正整数，且b 1＋b 2＋b 3＋…＋b k ≠0)【例1】⑴已知a c b d =，则下列等式中不成立的是( )A ．b d a c =B ．a b c db d --= C ．a ca b c d =++(a ＋b ≠0且c ＋d ≠0) D ．a d ab c b +=+⑵设14a c e b d f ===，则a c e b d f +-=+-_______。
⑶已知457x y z ==，则x y y z +=+_______。
【例2】相似之成比例线段若a b b c a ckc a b +++===，则直线y kx k =+必经过第 __ 象限。
1．两条线段的比：选用同一长度单位量得的两条线段的长度的比，叫做这两条线段的比。
2．成比例线段：如果线段a 和b 的比等于线段c 和d 的比，那么线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，记作a c b d =或a ∶b ＝c ∶d 。
其中a ，c 叫做比的前项，b ，d 叫做比的后项，b ，c 叫做比例内项，a ，d 叫做比例外项，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。
3．比例中项：若a b b c =，则称b 是a ，c 的比例中项。
【例3】⑴下列a 、b 、c 、d 四条线段，不成比例线段的是( ) A ．a ＝2cm ，b ＝5cm ，c ＝5cm ，d ＝12.5cm B ．a ＝5cm ，b ＝3cm ，c ＝5mm ，d ＝3mm C ．a ＝5cm ，b ＝0.02m ，c ＝7.5cm ，d ＝0.3dm D ．a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝0.8cm ，d ＝12mm ⑵已知：线段AB ＝18cm ，点C 是AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC ＝______，BC ＝_______。
北师大版九年级上册数学《相似三角形判定定理的证明》图形的相似说课教学复习课件
探究
判定定理1是从三角形的三个
角来证明三角形相似，能不能从
三角形的角和边一起考虑，来证
明相似呢？
B
角和边！
A A'
C B' C'
思 考
已知：在△ABC 和△A ' B ' C ' 中,
A
A'
A A', A' B ' A'C '
AB
AC
D
E
求证:ΔABC∽ ΔA ' B ' C '
B
C B' C'
如果
AB AB
BC BC
AC , AC
那么，△ABC∽△A′B′C′.
B′
边
√ 边
边 A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
分析:在AB,AC上分别截AD=A'B',AE=A'C'，要证题 目结论，只需要证明ADE∽ABC.
根据预备定理，只要证明DE//BC，题意即证.
由AD=A'B',AE=A'C'及条件
A' B' AB
A' C ' AC
有：AADB
AE AC
思
能否由
AD AB
AE AC
推出DE//BC?
数学北师大版九年级上册相似三角形复习
活动4：渐入佳境
2.如图，已知△ABC∽△ADE， ∠AED=40°，∠B=80°，则 ∠A的度数为（ ） A．40° B．60° C．70° D．80°
活动4：渐入佳境
3.如图， ABCD中，G是BC延长线 上一点，AG交BD于E，与DC交于点F， 则图中相似三角形共有___ 对。
B E C F D G
A
活动4：渐入佳境
4.如图，在△ABC中，AD、BE是两条中线， 则S△DOE：S△AOB=（ ） A．1：2 C．1：3 B．2：3 D．1：4
S△DOB：S△AOB = ?
活动5：勇于尝试:
如图，△ABC为锐角三角形，AD是BC边 上的高，正方形EFGH的一边FG在BC上，顶点 E、H分别在AB、AC上，BC=40cm，AD=30cm． （1）求证：△AEH∽△ABC； （2）求这个正方形的边长．
D
A
G
B
F C
相似三角形的性质：
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例。
2、相似三角形的周长之比等于相似比，面积 之比等于相似比的平方。 3、相似三角形对应边上的高线、中线、对应 角平分线之比都等于相似比。
活动：渐入佳境
1.如图所示，△ABC∽△ACD，且AB=10cm， AC=8cm，则AD的长是（ ） A．6.4cm C．2cm B．6cm D．4cm
A
B C
相似三角形的判定：
相似三角形的判定1： 两角对应相等，两三角形相似。 相似三角形的判定2： 两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似。 相似三角形的判定3： 三边对应成比例，两三角形相似。
活动3：乘胜追击
如图，由边长为1的 25个小正方形组成的网 格上有一个△ABC，在网 格上有一个与△ABC相似 且面积最大的△DEF ，使 它的三个顶点都落在小 正方形的顶点上，你能 E 求出△DEF 的面积吗？
最新北师大 相似三角形_基本知识点+经典例题
相似三角形知识点知识点1 有关相似形的概念(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)．知识点2 比例线段的相关概念（1）如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。
（2）在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：ad c b=．②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫比例后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。
（3）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB．即12AC BC AB AC ==简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。
黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0）（1） 基本性质：①bc ad d c b a =⇔=::；②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d c b db a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d b da c=⇔=．（4）合、分比性质：a c abcd b d b d±±=⇔=．注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=dc d c b a b a ccd a a b d c b a 等等．（5）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nmf e d c b a ，那么b a n f d b m ec a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． 知识点4 比例线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由DE ∥BC 可得：ACAEAB AD EA EC AD BD EC AE DB AD ===或或注：①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
北师大版九年级上第四章相似三角形复习课件
6. 四边形ABCD是平行四边形,点E是 BC的延长线 上的一点,而CE:BC=1:3,则 △ADG和△EBG的周 长比3：4 ， 9：16 为面积比。
A
D
GF
B
CE
7. 举例说明三角形类似的一些应用． 例如用类似测物体的高度
测山高
测楼高
D
E 1.2m
A 1.6m B 8.4m C
8. 如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC＝120mm，高AD＝ 80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两 个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
3.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O, 则△DOE与△BOC的周长之比是__1_:_3___, 面积比是___1_:_9___.
A
D
E
O
B
C
4、 两类似三角形对应高之比为3∶4，周长之和为28cm， 则两个三角形周长分别为 12cm与16cm
5、 两类似三角形的类似比为3∶5，它们的面积和为 102cm2，则较大三角形的面积为 75cm2
C2
A
C
B
A2
C1 B2
A
A1 B1
C
B
4、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6， BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q 从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别 从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形类 似？
C
Q Q
B PP A
学以致用：
5.如图⊿ABC中，AB=8cm，BC=16cm ，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向 点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A 、B处同时出发，经过几秒钟后， ⊿PBQ与⊿ABC类似？
北师大版九年级数学上册第4章：相似三角形 复习
A．36° B．117° C．143°D．153°
知识梳理 2.如图，在△ABC中，AB＝9， AC＝6，D是AB边上的一点．若 △ABC∽△ACD，则AD的长
为（ C ）．
A．3 B．7 C. 4 D．12
知识梳理
3.如图，在 △ABC中，点D为AB边上的一点， 要使 △ABC∽ △AED成立，
（3）若AD＝4，AB＝6，求 AF的值．
反思升华
同学们，经过今天的学习，你收获了什么？
教师寄语
从错误中吸取教训， 从失败中取得进步，
完善完整知识网络， 我们将会成为最棒的一个！
作业：
A：完成助学126页5题，129页16,17题. B： 完成助学125页3,4题.
知识梳理
6.如图，在平行四边形ABCD中， 点E在边DC上，DE：EC＝3：1， 连接AE交BD于点F，则 △DEF的面积与△BAF的
面积之比为（ A ）
A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2
知识梳理
判定 相似三角形
性质
两角分别相等的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似.
三边对应成比例的两个三角形相似.
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例. 相似三角形的对应高线的比、对应角平分 线的比、对应中线的比、周长比都等于相 似比. 相似三角形的面积比等于相似比的平方.
应用提升 相似三角形的判定与性质应用
锐角三角形 ABC，过点E用直线 去截三角形 ，使截得 的三角形与三角形 ABC 相似
连接BF交DC与点E,若AB 4，AD 6，DF 2，
则EC __3_____.(5分）
方程思想
达标检测
3. 如 图 ， 四 边 形 ABCD 中 ， AC 平 分 ∠ DAB ， ∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点， （1）求证：AC2＝AB AD ；
北师大版 九年级上册 相似三角形复习课优质课件
AD k BE
(中考真题·河南)(1)问题发现 如图①，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接
AC，BD交于点M.填空： ①AC/BD的值为________；②∠AMB的度数为________；
(2)类比探究 如图②，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°， 连接AC交BD的延长线于点M.①AC/BD的值为____ ；②∠AMB的度数为_____；
B
B
D
E DD
D
C
E
A
C
A
用旋转的观念来解释
不变特征之旋转结构
01 旋转全等（也叫手拉手全等）
A D
E
①共顶点
B
C
△ABC 和△CDE 均是顶角为42°的等腰三角形
②顶角相等 ③等腰三角形
△ACE ≌△BCD “SAS”
不变特征之旋转结构
02 旋转放缩（也叫手拉手相似）
①共顶点
△ABC∽△ADE ，∠ DAE=∠ BAC
请仅就图2的情况给出证明.
归纳提升
我对自己说---收获 我对同学说---提醒 我对老师说---困惑
“旋转结构”——全等
B D
M
αα E
A
C
△ACB,△DCE为等腰三角 形，∠ACB=∠DCE
△ACD ≌△BCE
“旋转结构”——相似 E
Cα α
D
M
A
B
△ACB∽△DCE
△ACD ∽△BCE
AC Q²三者之间的数量关
系为
；
（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结
论仍然成立，请你利用图②给出证明过程.
专题4.4 相似三角形的性质-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题4.4 相似三角形的性质-重难点题型【北师大版】【题型1 相似三角形的性质（对应角相等问题）】【例1】（2020秋•岳阳期末）如图，AE 与BD 相交于点C ，已知AC ＝5，BC ＝3，EC ＝10，DC ＝6．求证：AB ∥DE ．【解题思路】根据已知条件证明△ACB ∽△ECD ，可得∠A ＝∠E ，进而可得结论．【解答过程】证明：∵AC EC =510=12，BC DC =36=12，∴AC EC =BC DC ，∵∠ACB ＝∠ECD ，∴△ACB ∽△ECD ，∴∠A ＝∠E ，∴AB ∥DE ．【变式1-1】（2020秋•德江县期末）如图，∠1＝∠2，AB AE =AC AD，求证：∠C ＝∠D ．【解题思路】根据∠1＝∠2可得∠BAC ＝∠EAD ，结合AB AE =AC AD，证明△BAC ∽△EAD ，再根据相似三角形的性质即可得到∠C ＝∠D ．【解答过程】证明：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠CAE ＝∠2+∠CAE ，∴∠BAC ＝∠EAD ，∵ABAE=ACAD，∴△BAC∽△EAD，∴∠C＝∠D．【变式1-2】（2020秋•遂川县期末）如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，D为平面上一动点，在运动过程上保持AD⊥BD于点D，将△BCD沿BD翻折得到△BED，在直线AD上取点F，作CF∥DE．（1）如图1，若AD与BC相交于点G，求证DGCG=BGAG；（2）猜想△CDF的形状，并说明理由．【解题思路】（1）证明△BDG∽△ACG即可得到结论；（2）先证明△CDG∽△ABG，可得∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，由翻折得∠BDE＝∠BDC ＝135°，进一步得到∠CDE＝90°，由CF∥DE，可得∠DCF＝∠CDE＝90°，即∠CFD＝45°，进而可得△CDF为等腰直角三角形．【解答过程】解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC，AD⊥BD，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，又∵∠BGD＝∠AGC，∴△BDG∽△ACG，∴DGCG=BGAG；（2）△CDF为等腰直角三角形，理由：由（1）得DGCG=BGAG．又∵∠CGD＝∠AGB，∴△CDG∽△ABG，∴∠ADC＝∠ABC＝45°，即∠BDC＝135°，由翻折得∠BDE＝∠BDC＝135°．∴∠CDE＝90°，∵CF∥DE，∴∠DCF＝∠CDE＝90°，∴∠CFD＝45°，∴∠CFD＝∠CDF＝45°，∴CF＝CD，∴△CDF为等腰直角三角形．【变式1-3】（2020秋•中方县期末）在锐角△ABC中，点D，E分别在AC、AB上，AG⊥BC与点G，AF ⊥DE于F，∠EAF＝∠GAC．（1）求证：△AEF∽△ACG．（2）求证：∠ADE＝∠B．（3）若AD＝3，AB＝5，求AFAG．【解题思路】（1）利用有两个角对应相等的三角形相似进行判定即可；（2）由（1）的结论可得∠AEF＝∠C，∠EAD＝∠CAB，可得△EAD∽△CAB，利用相似三角形的对应角相等，结论得证；（3）由△AEF∽△ACG可得AFAG=AEAC；由△EAD∽△CAB可得AEAC=ADAB；则AGAG=ADAB，结论可求．【解答过程】证明：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE于，∴∠AFE＝∠AGC＝90°．∵∠EAF＝∠GAC∴△AEF∽△ACG．（2）由（1）知△AEF∽△ACG，∴∠AEF＝∠C∵∠DAE＝∠BAC（公共角），∴△EAD∽△CAB．∴∠ADE＝∠B．解：（3）由（2）知：△ADE ∽△ABC ，∴AE AC =AD AB．由（1）知△AEF ∽△ACG ，∴AE AC =AF AG ．∴AF AG =AD AB．∵AD ＝3，AB ＝5，∴AF AG =35．【题型2 相似三角形的性质（对应边成比例问题）】【例2】（（2020秋•崇左期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，连接AE ，过点E 作EF ⊥AE 交DC 于点F ．若AB ＝4，BC ＝6，则DF 的长为（ ）A ．94B ．74CD ．1【解题思路】结合矩形的性质证明△BAE ∽△CEF 可求得CF 的长，再利用DF ＝CD ﹣DF 可求解．【解答过程】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴∠B ＝∠C ＝90°，CD ＝AB ＝4，∴∠BAE +∠AEB ＝90°，∵EF ⊥AE ，∴∠AEF ＝90°，∴∠AEB +∠CEF ＝90°，∴∠BAE ＝∠CEF ，∴△BAE ∽△CEF ，∴AB ：CE ＝BE ：CF ，∵E 是BC 的中点，BC ＝6，∴BE ＝CE ＝3，∵AB ＝4，∴4：3＝3：CF ，解得CF =94，∴DF ＝CD ﹣DF ＝4―94=74．故选：B ．【变式2-1】（2020秋•万荣县期末）如图，在△ABC 中，D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC ，若AE EC=23，DE =BC 的长为（ ）A B C D 【解题思路】由DE ∥BC ，得∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，故△ADE ∽△ABC ，进而推断出AE AC =DE BC．由AEEC =23，DE =BC ．【解答过程】解：∵DE ∥BC ，∴∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ．∴△ADE ∽△ABC ．∴AE AC =DE BC．又∵AE EC =23，∴AE =23EC ．∴DE BC =23EC AE EC =23EC 23EC EC =25．∴BC =5DE 2=故选：A ．【变式2-2】（2021•岳麓区校级二模）如图，在正方形ABCD 中，点G 是对角线上一点，CG 的延长线交AB 于点E ，交DA 的延长线于点F ，连接AG ．（1）求证：AG＝CG；（2）若GE•GF＝9，求CG的长．【解题思路】（1）根据正方形的性质得到∠ADB＝∠CDB＝45°，AD＝CD，从而利用全等三角形的判定定理推出△ADG≌△CDG（SAS），进而利用全等三角形的性质进行证明即可；（2）根据正方形的性质得到AD∥CB，推出∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，利用全等三角形的性质得到∠DAG＝∠DCG，结合图形根据角之间的和差关系∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，推出∠BCF＝∠BAG，从而结合图形可利用相似三角形的判定定理得到△AEG∽△FAG，进而根据相似三角形的性质进行求解即可．【解答过程】（1）证明：∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ADB＝∠CDB＝45°，又AD＝CD，在△ADG和△CDG中，AD=CD∠ADG=∠CDG，DG=DG∴△ADG≌△CDG（SAS），∴AG＝CG；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥CB，∴∠FCB＝∠F，由（1）可知△ADG≌△CDG，∴∠DAG＝∠DCG，∴∠DAB﹣∠DAG＝∠DCB﹣∠DCG，即∠BCF＝∠BAG，∴∠EAG＝∠F，又∠EGA＝∠AGF，∴△AEG∽△FAG，∴GEGA=GAGF，即GA2＝GE•GF，∴GA＝3或GA＝﹣3（舍去），根据（1）中的结论AG＝CG，∴CG＝3．【变式2-3】（2021•滕州市一模）在矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝AD＝4，求CE的长．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠C＝∠D＝90°，根据翻折变换的性质得到∠D＝∠AFE＝90°，结合图形利用角之间的互余关系推出∠BAF＝∠EFC，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据矩形的性质及翻折变换的性质推出BC＝AD＝AF＝4，从而利用勾股定理求得BF＝2，进而结合线段之间的和差关系利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答过程】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，又△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴∠D＝∠AFE＝90°，∵∠BAF+∠AFB＝90°，∠EFC+∠AFB＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，∴△ABF∽△FCE；（2）解：∵AB＝AD＝4，∴BC＝AD＝AF＝4，在Rt△ABF中，BF==2，∴CF＝BC﹣BF＝4﹣2＝2，根据（1）中的结论△ABF∽△FCE，∴ABFC=BFCE，即2CE，解得CE故CE【题型3 相似三角形的性质（周长问题）】【例3】（2020春•罗定市月考）已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC的边长分别为3，4，5，△A′B′C′中最小的边长为7，求△A′B′C′的周长．【解题思路】先求出△ABC的周长，再根据相似三角形周长的比等于相似比列出比例式，计算即可求解．【解答过程】解：△ABC的周长为：3+4+5＝12，设△A′B′C′的周长为x，∵△ABC∽△A′B′C′，∴12x=37，解得x＝28．故答案为：28．【变式3-1】．（2020秋•北碚区校级期中）已知：△ABC∽△A1B1C1，相似比为3：4，AB：BC：CA＝2：3：4，△A1B1C1的周长是72cm，求△ABC的各边的长．【解题思路】根据题意，△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，可设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k，则根据△ABC与△A1B1C1的相似比为3：4，可用k表示出A1B1=83k，B1C1=123k，A1C1=163k，然后，根据△A1B1C1的周长是72cm，可得83k+123k+163k＝72，解得k＝6，代入即可求出△ABC的各边的长；【解答过程】解：∵△ABC中，AB：BC：CA＝2：3：4，∴可设AB＝2k，BC＝3k，AC＝4k，∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：4，∴A1B1=43AB=43×2k=83k，B1C1=43BC=43×3k=123k，A1C1=43AC=43×4k=163k，又∵△A1B1C1的周长是72cm，∴83k+123k+163k＝72，解得，k＝6．【变式3-2】（2020秋•泰兴市期末）如图，分别以△ABC的边AC和BC为腰向外作等腰直角△DAC和等腰直角△EBC，连接DE．（1）求证：△DAC∽△EBC；（2）求△ABC与△DEC的周长比．【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠EBC＝90°，∠ACD＝∠BCE＝45°，从而根据相似三角形的判定定理证明即可；（2）根据相似三角形的性质得到ACDC =BCEC，结合图形由角之间的和差关系推出∠BCA＝∠ECD，从而得到△ABC∽△DEC，利用等腰直角三角形的性质推出ACDC【解答过程】证明：（1）∵△DAC和△EBC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠EBC＝90°，∠ACD＝∠BCE＝45°，∴△DAC∽△EBC；（2）根据（1）中的结论△DAC∽△EBC，∴ACDC=BCEC，又∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE﹣∠ACE＝∠ACD﹣∠ACE，即∠BCA＝∠ECD，∴△ABC∽△DEC，∴C△ABCC△DEC=ACDC，∵△ADC是等腰直角三角形，∴AC DC∴△ABC 与△DEC 【变式3-3】（2020秋•东莞市校级月考）如图，△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2．△OAB 与△OCD 的面积分别是S 1与S 2，周长分别是C 1与C 2．则下列说法正确的是（ ）A ．OA OD =32B ．OB CD =32C ．C 1C 2=32D ．S 1S 2=32【解题思路】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，一一判断即可．【解答过程】解：∵△OAB ∽△OCD ，OA ：OC ＝3：2，∴C 1C 2=OA OC =32，S 1S 2=（OA OC ）2=94，∴选项C 正确，选项D 错误，∵无法确定OA OD ，OB CD的值，故选项A ，B 错误，故选：C ．【题型4 相似三角形的性质（面积问题）】【例4】（2021春•海阳市期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 与BD 分别是△ABC 的内角∠BAC ，∠ABC 的平分线，过点A 作AE ⊥AD 交BD 的延长线于点E ，△ABC ∽△EDA ．（1）求∠ABC 的度数；（2）求S△ABC S△EDA 的值．【解题思路】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠1+∠2的度数，根据三角形外角性质即可得出∠3的度数，最后根据相似三角形的对应角相等，即可得出结论；（2）过A 作AF ⊥DE 于点F ，设AF ＝a ，易得DE ＝2a ，DF ＝a ，AD ，BF =+a ，依据勾股定理即可得到AB 2＝AF 2+BF 2＝（a 2，最后根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵AD 与BD 分别是△ABC 的内角∠BAC ，∠ABC 的平分线，∴∠1=12∠ABC ，∠2=12∠BAC ，∵∠C ＝90°，∴∠1+∠2=12（∠ABC +∠BAC ）=12×90°＝45°，∴∠3＝∠1+∠2＝45°，∵△ABC ∽△EDA ，∴∠ABC ＝∠3＝45°；（2）过A 作AF ⊥DE 于点F ，∵∠3＝45°，AE ⊥AD ，∴△ADE 是等腰直角三角形，设AF ＝a ，则DE ＝2a ，DF ＝a ，Rt △ADF 中，AD ，∵2∠1＝2∠2＝45°，∴∠1＝∠2，∴AD ＝BD =，∴BF =+a ，在Rt △ABF 中，AB 2＝AF 2+BF 2＝a 2++a ）2＝（a 2，∵△ABC ∽△EDA ，∴S △ABCS △EDA =AB 2ED 2=(2a )【变式4-1】（2020秋•道里区期末）如图，△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，则S △ADES 四边形BEDC 的值为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．14【解题思路】根据相似三角形的性质解答即可．【解答过程】解：∵△ABC ∽△ADE ，且BC ＝2DE ，∴S △ADE S △ABC =(ED BC )2=14，∴S △ADES 四边形BEDC =141=13，故选：B ．【变式4-2】（2020•河北模拟）如图，在等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，图中所有三角形均相似，其中最小的三角形面积为1，△ABC 的面积为44，则四边形DBCE 的面积是（ ）A ．22B ．24C ．26D ．28【解题思路】利用△AFH ∽△ADE 得到S △AFH S △ADE =（FH DE ）2=916，所以S △AFH ＝9x ，S △ADE ＝16x ，则16x ﹣9x ＝7，解得x ＝1，从而得到S △ADE ＝16，然后计算两个三角形的面积差得到四边形DBCE 的面积．【解答过程】解：如图，由题意根据题意得△AFH ∽△ADE ，所有三角形均相似，可得FH ：DE ＝3：4，∴S △AFH S △ADE =（FH DE ）2=916，设S △AFH ＝9x ，则S △ADE ＝16x ，∴16x ﹣9x ＝7，解得x ＝1，∴S △ADE ＝16，∴四边形DBCE 的面积＝44﹣16＝28．故选：D ．【变式4-3】（2020秋•德江县期末）如图，在▱ABCD 中，E 是AB 的中点，EC 交BD 于点F ，那么S △BEF ：S △BCF ＝（ ）A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．2：3【解题思路】由矩形性质可证明△BEF ∽△DCF ，从而可得BE CD =EF CF =12，由于△BEF 与△BCF 等高，故S △BEF ：S △BCF ＝1：2．【解答过程】解：∵四边形ABCD 为矩形，E 为AB 中点，∴AB ∥CD ，BE =12AB =12CD ，∴△BEF ∽△DCF ，∴BE CD =EF CF =12，∵△BEF 与△BCF 等高，∴S △BEF ：S △BCF =EF CF =12．故选：A ．【题型5 相似三角形的性质（多结论问题）】【例5】（2021•大埔县模拟）如图，正方形ABCD 的边长是3，BP ＝CQ ，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ ⊥DP ；②OA 2＝OE •OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（ ）A ．1B ．3C ．2D ．0【解题思路】由四边形ABCD 是正方形，得到AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P ＝∠Q ，根据余角的性质得到AQ ⊥DP ；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO 2＝OD •OP ，由OD ≠OE ，得到OA 2≠OE •OP ；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF ＝BE ，DF ＝CE ，于是得到S △ADF ﹣S △DFO ＝S △DCE ﹣S △DOF ，即S △AOD ＝S 四边形OECF ；故③正确．【解答过程】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝BC ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，∵BP ＝CQ ，∴AP ＝BQ ，在△DAP 与△ABQ 中，AD =AB ∠DAP =∠ABQ AP =BQ，∴△DAP ≌△ABQ （SAS ），∴∠P ＝∠Q ，∵∠Q +∠QAB ＝90°，∴∠P +∠QAB ＝90°，∴∠AOP ＝90°，∴AQ ⊥DP ，故结论①正确；∵∠DOA ＝∠AOP ＝90°，∠ADO +∠P ＝∠ADO +∠DAO ＝90°，∴∠DAO ＝∠P ，∴△DAO ∽△APO ，∴AO OD =OP OA，∴AO 2＝OD •OP ，∵AE ＞AB ，∴AE ＞AD ，∴OD ≠OE ，∴OA 2≠OE •OP ；故结论②错误；在△CQF 与△BPE 中，∠FCQ =∠EBP CQ =BP ∠Q =∠P，∴△CQF ≌△BPE （ASA ），∴CF ＝BE ，∴DF ＝CE ，在△ADF 与△DCE 中，AD =CD ∠ADC =∠DCE DF =CE，∴△ADF ≌△DCE （SAS ），∴S △ADF ＝S △DCE ，∴S △ADF ﹣S △DFO ＝S △DCE ﹣S △DOF ，即S △AOD ＝S 四边形OECF ；故结论③正确；故选：C ．【变式5-1】（2021春•淮阳区校级期末）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝2BC ．AE 平分∠BAD ，交CD 于点E ，点F 为AB 边的中点，AE 与DF 交于点M ，BD 与EP 交于点N ，连接MN ．则下列结论：①四边形ADEF 是菱形；②与△BFN 全等的三角形有5个；③S 四边形BCEN ＝7S △FMN ；④当FM ＝FN 时，∠BAD ＝60°．其中正确的是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【解题思路】①根据四边形ABCD 是平行四边形，可得：AD ＝BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，再由AE 平分∠BAD ，可得出∠AED ＝∠DAE ，进而推出AF ＝DE ，即可运用菱形的判定方法证得结论；②根据题目条件可证明△BFN ≌△DEN （AAS ），其它三角形均不能证明；③根据题目条件可得出S △FMN ＝S △DMN =12S △BFN ，再由S 菱形BCEF ＝4S △BFN ，进而得出S 四边形BCEN ＝3S △BFN ，即可判断结论③错误；④由FM ＝FN 可得出DF ＝AF ＝AD ，即△ADF 是等边三角形，可判定结论④正确．【解答过程】解：①∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∵点F 为AB 边的中点，∴AF=12 AB，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAE，∴∠AED＝∠DAE，∴AD＝DE，∴BC＝DE，∵AB＝2BC．∴BC=12 AB，∴AF＝DE，∵AF∥DE，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AD＝DE，∴四边形ADEF是菱形，故①正确；②∵AB∥CD，∴∠FBN＝∠EDN，∵DE＝AF＝BF，∠BNF＝∠DNE，∴△BFN≌△DEN（AAS），能够确定与△BFN全等的三角形只有1个，故②错误；③∵△BFN≌△DEN，∴FN＝EN，BN＝DN，∵四边形ADEF是菱形，∴DM＝FM，∴S△FMN ＝S△DMN=12S△BFN，同理可证：四边形BCEF是菱形，∴S菱形BCEF ＝4S△BFN，∴S四边形BCEN ＝3S△BFN，∵S △BFN ＝2S △FMN ，∴S 四边形BCEN ＝6S △FMN ，故③错误；④当FM ＝FN 时，∵FN ＝EN ，EF ＝AF ，∴AF ＝2FM ，∵DF ＝2FM ，∴DF ＝AF ＝AD ，∴△ADF 是等边三角形，∴∠BAD ＝60°，故④正确；故选：B ．【变式5-2】（2020秋•松桃县期末）如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （∠ABC 和∠AED 是直角），连接BE ，CD 交于点P ，CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①△BAE ∽△CAD ；②∠BPC ＝45°；③MP •MD ＝MA •ME ；④2CB 2＝CP •CM ，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解题思路】①由等腰Rt △ABC 和等腰Rt △ADE 三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明△PME ∽△AMD 即可；④2CB 2转化为AC 2，证明△ACP ∽△MCA 问题可证．【解答过程】解：由已知得：AC =，AD ，∴AC AB =AD AE，∵∠BAC ＝∠EAD ，∴∠BAE ＝∠CAD ，∴△BAE ∽△CAD ，∴①正确；如图：设BE 与AC 相交于点O ，则∠AOB＝∠POC，∵△BAE∽△CAD，∴∠ABE＝∠ACD，∴∠BPC＝∠BAC＝45°，∴②正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，∵∠PME＝∠AMD，∴MPMA=MEMD，∴MP•MD＝MA•ME，∴③正确；由③MP•MD＝MA•ME，∠PMA＝∠DME，∴△PMA∽△EMD，∴∠APD＝∠AED＝90°，∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠EAD＝90°，∠ACP＝∠MCA，∴△CAP∽△CMA，∴AC2＝CP•CM，∵AC=，∴2CB2＝CP•CM，∴④正确，故选：D．【变式5-3】（2021春•龙泉驿区期末）如图，Rt△ABC中，CD⊥AB于D，下列结论中：①∠1＝∠A；②∠2+∠B＝90°；③CD2＝AD•BD；④BC2＝BD•AD，一定成立的有（ ）个．A．1B．2C．3D．4【解题思路】由题意根据直角三角形的判定及相似三角形的判定方法，对各选项﹣﹣分析可得出答案．对于①，根据∠1+∠2＝90°，2+∠A＝90°，可得结论．对于③，由所给条件，结合夹角相等，易证得△CDA∽△BDC，至此③也就可作出判断了．对于②，由∠B＝∠2，但∠2+∠B不一定等于90°．对于④，△CDB∽△ACB，根据形似三角形的性质得CBAB =DBCB，进而得出④不正确．【解答过程】解：∵Rt△ABC中∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ACB＝∠ADC＝∠CDB＝90°，∴∠2+∠A＝90°，∴∠1＝∠A，故①正确；∠2＝B，但是∠2+∠B不一定等于90°，故②错误；∵∠1＝∠A，∠CDB＝∠ADC＝90°，∴△CDB∽△ADC，则CD：AD＝BD：CD，即CD²＝AD•BD，故③正确；∵∠1＝∠A，∠B＝∠B，∴△CDB∽△ACB，则BC：AB＝BD：BC，即BC²＝BD•AB≠BD•AD，故④错误；所以一定成立的是：①③，故选：B ．【题型6 相似三角形的性质（常见辅助线问题）】【例6】（2020秋•开江县期末）如图，△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD ＝CE ，AD 与BE 相交于点F ．若AF ＝7，DF ＝1，则△ABC 的边长等于（ ）A B C +D +【解题思路】先由△ABC 是等边三角形证明△ABD ≌△BCE ，由此得∠BAD ＝∠CBE ，再证明△ABD ∽△BFD ，由此得AD BD =BD DF，即BD 2＝AD •DF ＝（AF +DF ）•DF ＝8，BD ＝D 作DG ⊥AB 于G ，用勾股定理求出AG 、BG 即可．【解答过程】解：∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠BCE ，在△ABD 与△BCE 中，AB =BC ∠ABC =∠BAC =∠C =60°BD =CE，∴△ABD ≌△BCE （SAS ），∠BAD ＝∠CBE ，∵∠BDA ＝∠FDB ，∴△ABD ∽△BFD ，∴AD BD =BD DF，∴BD 2＝AD •DF ＝（AF +DF ）•DF ＝8，∴BD ＝如图，过点D 作DG ⊥AB 于G ，∵∠DBG ＝30°，∴BG =12BD∴DG =∴AG∴AB =故选：C ．【变式6-1】（2020秋•天长市期末）如图，已知△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是四个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且AB ＝4，BC ＝2，连接AI 交FG 于点Q ，则QI 的值为（ ）A ．4B ．103C ．3D ．83【解题思路】过点A 作AM ⊥BC 于点M ，根据题意得到BC ＝CE ＝EG ＝GI ＝2，BM ＝MC =12BC ＝1，AB ＝AC ＝4，从而利用勾股定理求得AM =AI ＝8，再根据同位角相等推出FG ∥AC ，从而得到△IQG ∽△IAC ，进而利用相似三角形的性质进行求解即可．【解答过程】解：如下图所示，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，∵△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是四个全等的等腰三角形，AB ＝4，BC ＝2，∴BC＝CE＝EG＝GI＝2，BM＝MC=12BC＝1，AB＝AC＝4，∴AM=又MI＝BI﹣BM＝7，∴AI=8，∵∠ACB＝∠FGE，∴FG∥AC，∴△IQG∽△IAC，∴QIAI=GICI，即QI8=13，解得QI=8 3，故选：D．【变式6-2】（2021•利辛县二模）如图1，在正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且BC＝3CE，F 为CD的中点，EF的延长线交AD于点G，连接BG．（1）求AGDG的值；（2）求证：BG＝EG；（3）如图2，M为AB的中点，DM交BG于点N，连接CN，求证：CN∥GE．【解题思路】（1）根据已知条件，利用ASA证明△GDF≌△ECF，可得DG＝CE，再由BC＝3CE，得CE=13BC＝DG，AG=23BC，即可得出答案；（2）过点G作GH⊥BC于H，利用SAS证明△ABG≌△HGE，即可证得结论；（3）过点M作MT∥AD交BG于T，利用AAS证明△MNT≌△DNG，进而得出BNBG=BCBE=34，可证△CBN∽△EBG，得出∠BCN＝∠BEG，可得CN∥EG．【解答过程】解：（1）∵F为CD的中点，∴DF＝CF，∵四边形ABCD为正方形，∴AD∥BC，∴∠GDF＝∠ECF＝90°．又∵∠DFG＝∠CFE．∴△GDF≌△ECF（ASA），∴DG＝CE．∵BC＝3CE，∴CE=13BC＝DG，∴AG＝AD﹣DG＝BC﹣CE＝BC―13BC=23BC，∴AGDG=23BC13BC=2；（2）过点G作GH⊥BC于H，∴CH＝DG＝CE=13 BC，∴EH＝CH+CE=23 BC，在△ABG和△HGE中，AG=EH=23BC∠A=∠GHE=90°AB=GH，∴△ABG≌△HGE（SAS），∴BG＝EG；（3）过点M作MT∥AD交BG于T，∵M为AB的中点，∴MT=12AG＝DG，∵AD∥MT，∴∠NMT＝∠NDG，在△MNT和△DNG中，∠MNT=∠DNG∠NMT=∠NDGMT=DG，∴△MNT≌△DNG（AAS），∴NT＝NG，∴BG＝4NG，∴BNBG=34，∵BC＝3CE，∴BCBE=34，∴BNBG=BCBE，∵∠CBN＝∠EBG，∴△CBN∽△EBG，∴∠BCN＝∠BEG，∴CN∥EG．【变式6-3】（2020秋•潜山市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，点D在边BC 上，以点D为圆心，BD为半径画弧交边AB于点E，过点E作EF⊥AB交边AC于点F，射线ED交射线AC于点G．（1）求证：△EFG∽△AEG；（2）设FG＝x，△EFG的面积为y，求y关于x的函数解析式．【解题思路】（1）由ED＝EB得到∠B＝∠DEB，再根据等角的余角相等得到∠A＝∠FEG，加上公共角∠G，则可判断△EFG∽△AEG；（2）过E点作EH⊥AC于H，如图，先证明△AEF∽△ACB得到EFAE =BCAC=12，再利用△EFG∽△AEG得到FGEG=GEGA=EFAE=12，则EG＝2x，GA＝4x，AF＝3x，在Rt△AEF中利用勾股定理可求出EF=5x，AE，接着利用面积法求出EH=65x，然后根据三角形面积公式得到y关于x的函数解析式．【解答过程】（1）证明：∵ED＝EB，∴∠B＝∠DEB，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵EF⊥AB，∴∠FBE＝90°，∴∠DEB+∠FEG＝90°，∴∠A＝∠FEG，∵∠EGF＝∠AGE，∴△EFG∽△AEG；（2）解：过E点作EH⊥AC于H，如图，∵∠AEF＝∠ACB，∠EAF＝∠CAB，∴△AEF∽△ACB，∴EFBC=AEAC，∴EFAE=BCAC=24=12，∵△EFG∽△AEG，∴FGEG=GEGA=EFAE=12，∵FG＝x，∴EG＝2x，GA＝4x，∴AF＝3x，在Rt△AEF中，∵EF2+AE2＝AF2，∴EF2+4EF2＝（3x）2，解得EF=5x，∴AE，∵12EH•AF=12EF•AE，∴EH553x =65x，∴△EFG的面积=12•FG•EH=12•65x•x=35x2，即y关于x的函数解析式为y=35x2．。
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C
P
Q
C
P
Q
A
M1
BA
M2 B
灵感 智慧
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， PQ ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点 Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得 △PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说 明理由；若存在，请求出PQ 的长。
C P NQ
A
M3
B
C
知识源于悟
如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2 ：3， S △ABC=25，求S四边形BDEF
A
D
E
B
C
F
灵感 智慧
例：如图，在ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， PQ ∥AB，点P在AC上（与点A、C不重合），点 Q在BC上。试问：在AB上是否存在点M，使得 △PQM 为等腰直角三角形？若不存在，请简要说 明理由；若存在，请求出PQ 的长。
回顾与反思?
添加一个条件，使△AOB∽ △ DOC
A
B
角： ∠B= ∠ C或∠ A= ∠ D O
边：AB ∥ CD
AO：OD=BO ：CO
C
D
“X” 型
回顾与反思?
A
若△ABC∽△ADE， 你可以得出什么结论？
D
B
“A” 型
角： ∠ADE= ∠ B ∠ AED= ∠C
E 边：AB ∥ CD
AD ? AE ? DE ..
?
EC
.
DB EC AB AC
面积： S ? ADE ? ?? DE ?? 2 .
S ? ABC
? BC ?
知识源于悟
如图，DE∥BC ，D是AB的中点，
A
DC 、BE 相交于点 G 。
求 (1) DE =1:2
BC
D
G
B
E
(2) C? GED =1:4
C? GBC
共有 ____5__ 对。（全等除外）
B E
C
G
F
A
D
学以致用
3、如图，在△ ABC 中，∠BAC=90 °，AB=6，BC=12, 点P从A点出发向 B以1m/s 的速度移动，点 Q从B点出发向 C点以2m/s 的速度移动，如果 P、Q分别从A、B两地同 时出发，几秒后△ PBQ 与原三角形相似？
C
Q Q
B PP A
尝试
4、在正方形方格中 , △ABC的顶点A、
B、C在单位正方形的顶点上 ，请在
图中画一个 △A1B1C1 使 △ A1B1C1 ∽△ABC （相似比不为 1），
且点都在单位正方形 A 的顶点上 .
C B
小结 拓展
1.梳理有关相似三角形的知 识 2.通过这节课你增长了 ….
回味无穷
学以致用
1、如图，在 ABCD中，E是BC上一点， BE：EC=1 ：2，AE与BD相交于F，则 BF：FD=__1_:_3___，S △ADF : S △EBF =__1_:9___
A
D
F
B
E
C
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
9
学以致用
2、如图， ABCD 中，G是BC延长线上一点， AG 交BD于 E，与 DC 交于点 F ，则图中相似三角形