全国名校高考数学优质学案(附详解)专题2.2.2反证法
高中数学第二章推理与证明2.2.2反证法教学案新人教A版选修1-2
2．2.2 反证法预习课本P42～43，思考并完成下列问题(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？[新知初探]反证法的定义及证题的关键[点睛] 对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)反证法属于间接证明问题的方法．( )(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．( )(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．( )答案：(1)√ (2)× (3)√2．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用( )①结论的否定即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．②③ 答案：C3．如果两个实数之和为正数，则这两个数( )A ．一个是正数，一个是负数B ．两个都是正数C ．至少有一个正数D ．两个都是负数答案：C．________，假设的内容应是” 3b ＞3a ，那么b ＞a 如果“．用反证法证明4 3b≤3a 答案：用反证法证明否定性命题[典例] 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列．求证：a ，b ，c 不成等差数列．[证明] 假设a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ， 即a ＋c ＋2ac ＝4b .∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，即b ＝ac ， ∴a ＋c ＋2ac ＝4ac ，∴(a －c)2＝0，即a ＝ c. 从而a ＝b ＝c ，与a ，b ，c 不成等差数列矛盾， 故a ，b ，c 不成等差数列．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤[活学活用]已知f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)，证明方程f (x )＝0没有负数根．证明：假设x 0是f (x )＝0的负数根， 则x 0＜0且x 0≠－1，且ax 0＝－x0－2x0＋1，由0＜ax 0＜1⇒0＜－x0－2x0＋1＜1，解得12＜x 0＜2，这与x 0＜0矛盾，所以假设不成立，故方程f (x )＝0没有负数根.用反证法证明“至多”“至少”问题[典例] 已知a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a ＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a)2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a2＜0，(2a)2＋4×2a＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解． [一题多变]1．[变条件，变设问]将本题改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4(3－4a)＜0，(a －1)2－4a2＜0，4a2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a≥－1或a≤－32. 2．[变条件，变设问]将本题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a)2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a2≥0，(2a)2＋4×2a≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a2＋4a －3≥0，3a2＋2a －1≤0，a2＋2a≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a≤－32或a ≥12，－1≤a≤13，a≤－2或a≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R.3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．用反证法证明唯一性命题[典例] 求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明] 假设结论不成立，则有两种可能：无交点或不止一个交点．若直线a，b无交点，则a∥b或a，b是异面直线，与已知矛盾．若直线a，b不只有一个交点，则至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．[活学活用]求证：过直线外一点只有一条直线与它平行．证明：已知：直线b∥a，A∉a，A∈b，求证：直线b唯一．假设过点A还有一条直线b′∥a.根据平行公理，∵b∥a，∴b∥b′，与b∩b′＝A矛盾，∴假设不成立，原命题成立．层级一学业水平达标1．用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的序号顺序为( )A．①②③B．③①②D．②③①C．①③②解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设—归谬—结论”可知顺序应为③①②. 2．用反证法证明命题“如果a，b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为( )A．a，b都能被5整除B．a，b都不能被5整除C．a，b不都能被5整除D．a不能被5整除解析：选 B “至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”，故选B.3．用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( )A．三个内角中至少有一个钝角B．三个内角中至少有两个钝角C．三个内角都不是钝角D．三个内角都不是钝角或至少有两个钝角解析：选 B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两个”．4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( )B．一定是相交直线A．一定是异面直线D．不可能是相交直线C．不可能是平行直线解析：选C 假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故应选C.5．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( )B．必要而不充分条件A．充分而不必要条件D．既不充分也不必要条件C．充要条件解析：选B ∵c＞d，∴－c＜－d，a＞b，∴a－c与b－d的大小无法比较．可采用反证法，当a－c＞b－d成立时，假设a≤b，∵－c＜－d，∴a－c＜b－d，与题设矛盾，∴a＞b.综上可知，“a＞b”是“a－c＞b－d”的必要不充分条件．6．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是________．答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数7．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为________．解析：“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以设为a≠1或b≠1.答案：a ≠1或b ≠18．和两条异面直线AB ，CD 都相交的两条直线AC ，BD 的位置关系是____________． 解析：假设AC 与BD 共面于平面α，则A ，C ，B ，D 都在平面α内，∴AB ⊂α，CD ⊂α，这与AB ，CD 异面相矛盾，故AC 与BD 异面．答案：异面不能为同一等差数列的三项．2，3，1．求证：9 ，d 是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为2，3，1证明：假设 为两个正整数，n ，m ，其中d n ＋3＝2md,－3＝1则 ．)m ＋n (3＝m 2＋n ，得d 由上面两式消去 为无理数，)m ＋n (3为有理数，而m 2＋n 因为 ，矛盾，因此假设不成立，)m ＋n (3≠m 2＋n 所以 不能为同一等差数列的三项．2，3，1即 10．已知函数f (x )在R 上是增函数，a ，b ∈R.(1)求证：如果a ＋b ≥0，那么f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )； (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论．解：(1)证明：当a ＋b ≥0时，a ≥－b 且b ≥－a .∵f (x )在R 上是增函数，∴f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )， ∴f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )．(2)(1)中命题的逆命题为“如果f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，那么a ＋b ≥0”，此命题成立．用反证法证明如下：假设a ＋b ＜0，则a ＜－b ，∴f (a )＜f (－b )．同理可得f (b )＜f (－a )．∴f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，这与f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )矛盾，故假设不成立，∴a ＋b ≥0成立，即(1)中命题的逆命题成立． 层级二 应试能力达标1．用反证法证明命题“关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)有且只有一个解”时，反设是关于x 的方程ax ＝b (a ≠0)( )A ．无解B ．有两解C ．至少有两解D ．无解或至少有两解 解析：选D “唯一”的否定是“至少两解或无解”．2．下列四个命题中错误的是( )A ．在△ABC 中，若∠A ＝90°，则∠B 一定是锐角不可能成等差数列11，13，17B. C ．在△ABC 中，若a ＞b ＞c ，则∠C ＞60° 是偶数n 为偶数，则2n 为整数且n ．若D 解析：选C 显然A 、B 、D 命题均真，C 项中若a ＞b ＞c ，则∠A ＞∠B ＞∠C ，若∠C ＞60°，则∠A ＞60°，∠B ＞60°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＞180°与∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°矛盾，故选C.)(1a＋c ，1c ＋b ，1b ＋a ，则0)，∞－∈(c ，b ，a ．设3 A ．都不大于－2 B ．都不小于－2C ．至少有一个不大于－2D ．至少有一个不小于－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1b ，但6＞－1a ＋c ＋1c ＋b ＋1b ＋a ，则2假设都大于－ C 解析：选，矛盾．6＝－2)－(＋2)－(＋2－≤⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1a 4．若△ABC 能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 解析：选 B 分△ABC 的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD (点D 在BC 上)，则∠ADB ＋∠ADC ＝π，若∠ADB 为钝角，则∠ADC 为锐角．而∠ADC ＞∠BAD ，∠ADC ＞时，π2＝BAC ∠＝ADC ∠＝ADB ∠符，只有当不可能相似，与已知不ACD △与BD A △，ABD ∠才符合题意．＞a 是常数，且b ，a 1(＋bn ＝n b ，2＋an ＝n a 的通项公式分别为}n b {，}n a {．已知数列5b )，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有________个．，*∈N n ，b ＞a ，由题意n b ＝n a 使得n 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在.n b ＝n a 使n 恒成立，所以不存在1＋bn ＞2＋an ，从而bn ＞an 则恒有 答案：0的一个排列，求证：7，…，,21是7a ，…，2a ，1a ．完成反证法证题的全过程．设6为偶数．7)－7a 2)…(－2a 1)(－1a (＝p 乘积 均为奇数．因奇数个奇数之和为奇7－7a ，…，2－2a ，1－1a 为奇数，则p 证明：假设数，故有奇数＝________＝________＝0. 但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．解析：据题目要求及解题步骤，均为奇数，7－7a ，…，2－2a ，1－1a ∵ 也为奇数．7)－7a (＋…＋2)－2a (＋1)－1a ∴( 为奇数．7)＋…＋2＋(1－)7a ＋…＋2a ＋1a (即 的一个排列，7，…，1,2是7a ，…，2a ，1a ∵又 ，0，故上式为7＋…＋2＋1＝7a ＋…＋2a ＋1a ∴ 7)－7a (＋…＋2)－2a (＋1)－1a (所以奇数＝ 0.＝7)＋…＋2＋(1－)7a ＋…＋2a ＋1a (＝ 7)－7a (＋…＋2)－2a (＋1)－1a (：答案 7)＋…＋2＋(1－)7a ＋…＋2a ＋1a ( .14不能都大于a )c －(1，c )b －(1，b )a －(1：求证，∈(0,1)c ，b ，a 已知．7 .14都大于a )c －(1，c )b －(1，b )a －(1证明：假设 因为0＜a ＜1,0＜b ＜1,0＜c ＜1，所以1－a ＞0.由基本不等式， .12＝14＞(1－a)b ≥(1－a)＋b2得.12＞(1－c)＋a 2，12＞(1－b)＋c 2同理， 将这三个不等式两边分别相加，得(1－a )＋b 2，12＋12＋12＞(1－c)＋a 2＋(1－b)＋c 2＋，这是不成立的，32＞32即 .14不能都大于a )c －(1，c )b －(1，b )a －(1故}n b {；数列≥1)n 0(＜1＋n a n a ，2(1＋an)1－an ＋1＝3(1＋an ＋1)1－an ，12＝1a 满足：}n a {．已知数列8．≥1)n (2n a －2n ＋1a ＝n b 满足： 的通项公式；}n b {，}n a {求数列(1) 中的任意三项不可能成等差数列．}n b {证明：数列(2)．)2n a －(123＝2n ＋1a －1由题意可知，(1)解： .n c 23＝1＋n c ，则2n a －1＝n c 令 －n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34＝n c 的等比数列，即23，公比为34＝1c 是首项为}n c {，则数列34＝21a －1＝1c 又，1.1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34－1＝2n a ⇒1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34＝2n a －1故 ，0＜1＋n a n a ，0＞12＝1a 又 .1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －11－n 1)－(＝n a 故 .1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14＝1－n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·34－1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－34·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＝2n a －2n ＋1a ＝n b (2)用反证法证明．是}n b {按某种顺序成等差数列，由于数列)t ＜s ＜r (t b ，s b ，r b 存在三项}n b {假设数列成立．t b ＋r b ＝s b 2，则只可能有t b ＞s b ＞r b 的等比数列，于是有23，公比为14首项为 ，1－t ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14＋1－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14＝1－s ⎝ ⎛⎭⎪⎫23·14∴2· .s－t 3r －s 2·2＝r－t 2＋r－t 3，化简得r－121－t 3两边同乘以 由于r ＜s ＜t ，∴上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾．故中任意三项不可能成等差数列．}n b {数列(时间： 120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的))(的推理过程是”上是偶函数R 在2x ＝)x (f 函数“根据偶函数定义可推得．1 A ．归纳推理B ．类比推理C ．演绎推理D ．非以上答案 解析：选C 根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理，故选C. 2．自然数是整数，4是自然数，所以4是整数．以上三段论推理( )A ．正确B ．推理形式不正确C ．两个“自然数”概念不一致D ．“两个整数”概念不一致解析：选A 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的．3．设a ，b ，c 都是非零实数，则关于a ，bc ，ac ，－b 四个数，有以下说法： ①四个数可能都是正数；②四个数可能都是负数；③四个数中既有正数又有负数．则说法中正确的个数有( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B 可用反证法推出①，②不正确，因此③正确．4．下列推理正确的是( )y a log ＋x a log ＝)y ＋x (a log 则有，类比)y ＋x (a log 与)c ＋b (a 把．A B ．把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yya＋x a ＝y＋x a则有，类比y＋x a与)c ＋b (a 把．C D ．把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则有(xy )z ＝x (yz ) 解析：选D (xy )z ＝x (yz )是乘法的结合律，正确．5．已知“整数对”按如下规律排列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第70个“整数对”为( )A ．(3,9)B ．(4,8)C ．(3,10)D ．(4,9) 解析：选D 因为1＋2＋…＋11＝66，所以第67个“整数对”是(1,12)，第68个“整数对”是(2,11)，第69个“整数对”是(3,10)，第70个“整数对”是(4,9)，故选D..5>3＋2求证：．6 ，都是正数5和3＋2证明：因为 ，5>3＋2所以为了证明 ，>562＋5展开得，2)5>(2)3＋2(只需证明 成立．5>3＋2所以不等式，此式显然成立，0>62即 上述证明过程应用了( )A ．综合法B ．分析法C ．综合法、分析法配合使用D ．间接证法 解析：选 B 证明过程中的“为了证明……”，“只需证明……”这样的语句是分析法所特有的，是分析法的证明模式．}n a {则，2＝5a ，为等差数列}n a {若.92＝9b …3b 2b 1b 则，2＝5b ，为等比数列}n b {已知．7的类似结论为( )92＝9a …3a 2a 1a ．A92＝9a ＋…＋2a ＋1a ．B2×9＝9a …2a 1a ．C 2×9＝9a ＋…＋2a ＋1a ．D ．成立D 易知.5a 2＝…＝8a ＋2a ＝9a ＋1a 有，由等差数列性质 D 选：解析 )}(1＋n a ＋n a {则数列，是等比数列}n a {若数列．8 A ．一定是等比数列 B ．一定是等差数列C ．可能是等比数列也可能是等差数列D ．一定不是等比数列na {，时1－≠q 当∴．)q ＋(1n a ＝1＋n a ＋n a 则，q 的公比为}n a {设等比数列 C 解析：选一定是等比数列；}1＋n a ＋ 此时为等差数列．，0＝1＋n a ＋n a ，时1＝－q 当 9．已知a ＋b ＋c ＝0，则ab ＋bc ＋ca 的值( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．不小于0D ．不大于0 cb ＋ac ＋ab ∴，0＝bc 2＋ac 2＋ab 2＋2c ＋2b ＋2a ∴，0＝c ＋b ＋a ∵法一： D 解析：选≤0.a2＋b2＋c22＝－ 法二：令c ＝0，若b ＝0，则ab ＋bc ＋ac ＝0，否则a ，b 异号，∴ab ＋bc ＋ac ＝ab <0，排除A 、B 、C ，选D.，都成立*N ∈n 对一切c ＋)b －na (n 3＝1－n ×3n ＋…＋34×3＋23×3＋2×3＋1已知．10那么a ，b ，c 的值为( )14＝c ＝b ，12＝a ．A14＝c ＝b ＝a ．B14＝c ＝b ，0＝a ．Cc ，b ，a ．不存在这样的D 解析：选A 令n ＝1,2,3， ⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＋c ＝1，92a －b ＋c ＝7，273a －b ＋c ＝34.得 .14＝c ＝b ，12＝a 所以 的表达n S 可归纳猜想出，)*N ∈n (n a 2n ＝n S ，1＝1a 且，n S 项和n 的前}n a {已知数列．11式为( )2nn ＋1＝n S ．A3n －1n ＋1＝n S ．B2n ＋1n ＋2＝n S ．C2nn ＋2＝n S ．D＝3a ∴，3a 23＝3a ＋13＋1；又43＝2S ，13＝2a ∴，2a 22＝2a ＋1a 得，1＝1a 由 A 解析：选；64＝32＝3S ，16 .85＝4S ，110＝4a 得，4a 16＝4a ＋16＋13＋1又 .2nn ＋1＝n S 可以猜想85＝4S ，64＝3S ，43＝2S ，22＝1S 由 ＝1＋n x 且对任意的自然数均有，5＝0x 满足}n x {数列，定义如下表)x (f 设函数．12)(＝2 016x 则，)n x (fx 1 2 3 4 5 f (x )4 1 35 2A.1 C ．4D ．5 ＝5x ，5＝(4)f ＝4x ，4＝(1)f ＝3x ，1＝(2)f ＝2x ，2＝(5)f ＝)0x (f ＝1x D 解析：选 D.故应选，5＝4x ＝2 016x 所以，的数列4是周期为}n x {数列，…，2＝(5)f 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中的横线上) 13．已知x ，y ∈R ，且x ＋y <2，则x ，y 中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为________．解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x ，y 都大于1”． 答案：x ，y 都大于1．________的大小关系是n ，m 则，a ＋b 2lg ＝n ，a ＋b 2lg＝m ，>0b ，>0a 已知．14 ⇒b ＋a >ab 2＋b ＋a ⇒>0ab ⇒>0ab 解析： ⇒a ＋b >b ＋a ⇒2)a ＋b >(2)b ＋a ( a＋b 2.a ＋b 2>lg a ＋b 2lg ⇒a ＋b 2>答案：m >n＝4＋415，383＝3＋38，232＝2＋23已知．15 ，的值b ，a 由以上规律可推测出，均为正实数b ，a ，ab6＝6＋a b，…，4154则a ＋b ＝________.1－26＝b ，a b6＝6＋a b解析：由题意归纳推理得 ＝35，a ＝6.∴a ＋b ＝6＋35＝41.答案：4116．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠其中一个的某，的正方体a 有两个棱长为，类比到空间.a24部分的面积恒为顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． .a38易得两个正方体重叠部分的体积为，)特殊化(解析：解法的类比 a38答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：；lg a ＋lg b2≥a ＋b 2lg 则，>0b ，a 如果(1) 2.＋3>210＋(2)6 ，ab ≥a ＋b2有，时>0b ，a 当(1)证明： ，ab ≥lg a ＋b 2lg ∴ .lg a ＋lg b 2＝ab lg 12≥a ＋b 2lg ∴ ，2＋3>210＋6 要证(2) ，22)＋3>(22)10＋6(只要证 ，这是显然成立的，48>2602即 所以，原不等式成立．．…)，1,2＝n (2an1＋an＝1＋n a ，≠11a ，>01a 若)分12本小题满分(．18 ；n a ≠1＋n a 求证：(1) 不要求(n a 观察并归纳出这个数列的通项公式，的值5a ，4a ，3a ，2a 写出，12＝1a 令(2)证明)．，n a ＝2an1＋an即，n a ＝1＋n a 证明：若(1)解： 1.或0＝n a 解得，1或0＝1a ＝2a ＝…＝1－n a ＝n a 从而 ，相矛盾≠11a ，>01a 这与题设 不成立．n a ＝1＋n a 所以 成立．n a ≠1＋n a 故 .2n －12n －1＋1＝n a 由此猜想：，1617＝5a ，89＝4a ，45＝3a ，23＝2a ，12＝1a 由题意得(2) 19．(本小题满分12分)下列推理是否正确？若不正确，指出错误之处．(1)求证：四边形的内角和等于360°.证明：设四边形ABCD 是矩形，则它的四个角都是直角，有∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四边形的内角和为360°. 也是无理数．3＋2试证：，都是无理数 3 和 2 已知(2) 必3＋2所以，而无理数与无理数之和是无理数，都是无理数3和2证明：依题设是无理数．5＋x 2＋2x 的方程x 用反证法证明：关于，2)<0＋m 1)(＋m (2满足不等式m 已知实数(3)无实根．0＝2m － ＜2)＋m 1)(＋m (2满足不等式m 有实根．由已知实数0＝2m －5＋x 2＋2x 证明：假设方程－∵，4)－2m 4(＝Δ的判别式0＝2m －5＋x 2＋2x 的方程x 而关于，12－＜m ＜2解得－，0无实根．0＝2m －5＋x 2＋2x 的方程x 即关于，<0Δ∴，4＜2m ＜14∴，12－<m 2< 解：(1)犯了偷换论题的错误，在证明过程中，把论题中的四边形改为矩形．(2)使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”，这个论据是假的，因为两个无理数的和不一定是无理数，因此原题的真实性仍无法判定．(3)利用反证法进行证明时，要把假设作为条件进行推理，得出矛盾，本题在证明过程中并没有用到假设的结论，也没有推出矛盾，所以不是反证法．.23＋9＝3S ，2＋1＝1a ，n S 项和为n 的前}n a {等差数列)分12本小题满分(．20 ；n S 项和n 与前n a 的通项}n a {求数列(1) ，)*N ∈n (Sn n＝n b 设(2) 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．}n b {求证：数列 ⎩⎨⎧a1＝2＋1，3a1＋3d ＝9＋32，由已知得(1)解： ∴d ＝2.．)2＋n (n ＝n S ，2＋1－n 2＝n a 故.2＋n ＝Snn＝n b 得(1)由(2) ，r b p b ＝2q b 则，成等比数列)互不相等r ，q ，p (r b ，q b ，p b 中存在三项}n b {假设数列 ，)2＋r )(2＋p (＝2)2＋q (即 ，0＝2)r －p －q (2＋)pr －2q (∴ ⎩⎪⎨⎪⎧q2－pr ＝0，2q －p －r ＝0，∴，*N ∈r ，q ，p ∵ 0.＝2)r －p (，pr ＝2⎝⎛⎭⎪⎫p ＋r 2∴ ∴p ＝r ，与p ≠r 矛盾．中任意不同的三项都不可能成等比数列．}n b {数列∴ ＋5° 2sin ，32＝150° 2sin ＋90° 2sin ＋30° 2sin 已知：)分12本小题满分(．21都成立α请你写出对任意角度，述两等式的规律通过观察上，32＝125° 2sin ＋65° 2sin 的一般性的命题，并给予证明．解：一般形式为：.32＝120°)＋α(2sin ＋60°)＋α(2sin ＋α2sin ＋1－cos 2α＋120°2＋1－cos 2α2证明：左边＝ 1－cos 2α＋240°2]240°)＋αcos(2＋120°)＋αcos(2＋αcos 2[12－32＝ sin －cos 240°αcos 2＋sin 120°αsin 2－cos 120°αcos 2＋α(cos 212－32＝2αsin 240°)＝右边．32＝αsin 232＋αcos 212－αsin 232－αcos 212－αcos 212－32＝ 也正确32＝60°)＋α(2sin ＋α2sin ＋60°)－α(2sin 将一般形式写成 22．(本小题满分12分)根据要求证明下列各题：；2≤|a|＋|b||a ＋b|求证：，b ⊥a 且，b ，a 用分析法证明：已知非零向量(1) 不可能是一个等差数列中的三项．3，2，1用反证法证明：(2).2≤|a|＋|b||a ＋b|要证，0＝b ·a ⇔b ⊥a (1)证明： ，|b ＋a |2|≤ b |＋|a |只需证 ，)2b ＋b ·a 2＋2a ≤2(2|b |＋|b ||a 2|＋2|a |只需证 ，2b 2＋2a ≤22|b |＋|b ||a 2|＋2|a |只需证 ，≥02|)b |－|a (|即，|≥0b ||a 2|－2|b |＋2|a |只需证 上式显然成立，故原不等式得证．∈k ，n ，m (项k ，n ，m 且分别是第，是某一个等差数列中的三项3，2，1假设(2)，)*N ，2n －mk －m＝1－2即，3－1k －m ＝2－1n －m ＝d 则数列的公差 ，为有理数2n －mk －m所以，Z ∈)m －k (，Z ∈)m －n (所以，*N ∈k ，n ，m 因为 是无理数相矛盾．1－2这与，是有理数1－2所以 不可能是一个等差数列的三项．3，2，1所以，故假设不成立。
【金版学案】高中数学人教A版选修1-2练习：2.2.2反证法(含答案解析)
第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明反证法A 级基础稳固一、选择题1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，要把以下哪些作为条件使用()①结论的否认即假定；②原命题的条件；③公义、定理、定义等；④原命题的结论．A．①② B ．①②④C．①②③D．②③分析：由反证法的定义知，可把①②③作为条件使用，而④原命题的结论是不可以够作为条件使用的．答案： C2．(2014·东卷山)用反证法证明命题：“设a，b 为实数，则方程x2＋ ax＋ b＝ 0 起码有一个实根”时，要做的假定是()A．方程x2＋ax＋ b＝ 0 没有实根B．方程x2＋ ax＋ b＝ 0 至多有一个实根C．方程x2＋ ax＋ b＝ 0 至多有两个实根D．方程x2＋ax＋ b＝ 0 恰巧有两个实根分析：“方程 x2＋ ax＋ b＝ 0 起码有一个实根”的反面是“方程x2＋ax＋b＝0没有实根．”答案： A3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC 、BD也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A 、B 、C、D四点共面，所以AB 、CD共面，这与AB 、CD是异面直线矛盾；②所以假定错误，即直线AC 、BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为()A．①②③ B ．③①②C．①③②D．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.答案： B4． (1) 已知p3＋q3＝ 2，求证p＋ q≤2，用反证法证明时，可假定p＋ q≥2，(2)已知 a，b∈ R，|a|＋ |b|<1，求证方程 x2＋ ax＋b＝ 0 的两根的绝对值都小于 1.用反证法证明时可假定方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假定 |x1|≥1，以下结论正确的选项是()A． (1)与 (2) 的假定都错误B． (1) 与 (2) 的假定都正确C． (1) 的假定正确； (2)的假定错误D． (1)的假定错误；(2)的假定正确分析： (1) 的假定应为p＋ q>2 ；(2) 的假定正确．答案： D5．设实数a、 b、 c 知足 a＋ b＋ c＝ 1，则 a， b，c 中起码有一个数不小于()1A． 0 B.31C.2D． 1分析：假定a， b， c 都小于1，则 a＋b＋ c<1，与 a＋ b＋ c＝1 矛盾，选项 B 正确．3答案： B二、填空题6．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b?α，直线c?β，b∩ a＝A，c∥ a，求证：b与c 是异面直线，若利用反证法证明，则应假定________．分析：∵空间中两直线的地点关系有 3 种：异面、平行、订交，∴应假定 b 与c 平行或订交．答案： b 与c 平行或订交7．达成反证法证题的全过程．设a1， a2，， a7是 1， 2，， 7 的一个摆列，求证：乘积 p＝ (a1－ 1)(a2－ 2)(a7－ 7)为偶数．证明：假定p 为奇数，则a1－ 1， a2－ 2，，a7－ 7均为奇数．因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝ 0.但0≠奇数，这一矛盾说明p 为偶数．分析：由假定p 为奇数可知 (a1－1) ，(a2－2) ，， (a7－ 7)均为奇数，故 (a1－ 1)＋ (a2－ 2)＋＋ (a7－ 7)＝(a1＋ a2＋ a7)－ (1＋ 2＋＋ 7)＝ 0 为偶数．答案： (a1－1) ＋ (a2－ 2)＋＋ (a7－7)8．已知数列 {a n} ，{b n} 的通项公式分别为 a n＝an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得a n＝ b n，由题意a>b， n∈ N*，则恒有an>bn，进而an＋ 2>bn＋ 1 恒建立，所以不存在n 使a n＝ b n.答案： 0三、解答题9．用反证法证明：过已知直线a 外一点 A 有且只有一条直线b 与已知直线 a 平行．证明：由两条直线平行的定义可知，过点A 起码有一条直线与直线a 平行．假定过点A 还有一条直线b ′与已知直线a 平行，即b ∩b ′＝ A ，b ′∥ a.因为 b ∥ a ，由平行公义知 b ′∥ b.这与假定 b ∩b ′＝A 矛盾，所以假定错误，原命题建立．10．已知 a ， b ， c ， d ∈ R ，且 a ＋ b ＝ c ＋ d ＝ 1， ac ＋bd>1 ，求证： a ， b ， c ， d 中起码有一个是负数．证明：假定 a ， b ， c ， d 都是非负数．因为 a ＋ b ＝ c ＋ d ＝ 1∴ (a ＋ b)(c ＋ d)＝ 1又因为 (a ＋ b)(c ＋ d)＝ ac ＋ bd ＋ ad ＋ bc ≥ac ＋bd ，所以 ac ＋ bd ≤1.这与已知 ac ＋ bd>1 矛盾，所以假定不建立．所以 a ， b ， c ，d 中起码有一个是负数．B 级 能力提高1．设 a ， b ， c 大于 0，则 1， b ＋1， c ＋ 1的值 ()3 个数： a ＋ bcaA ．都大于 2B ．起码有一个不大于 2C ．都小于 2D ．起码有一个不小于2分析：假定 a ＋1， b ＋ 1，c ＋1都小于 2bc a111<2则 a ＋ <2， b ＋<2， c ＋bc a∴ a ＋1＋ b ＋ 1＋ c ＋ 1<6，①bc a 又 a ，b ， c 大于 0所以 a ＋1a ≥ 2，b ＋1b ≥ 2，c ＋ 1c ≥ 2.∴ a ＋1＋ b ＋ 1＋ c ＋ 1≥ 6.②b c a故①与②式矛盾，假定不建立所以 a ＋ 1， b ＋1， c ＋ 1起码有一个不小于 2.b c a 答案： D2．设 a ，b 是两个实数， 给出以下条件： ① a ＋ b ＝ 1；② a ＋ b ＝2；③ a ＋ b>2；④a 2＋ b 2>2.此中能推出“a，b 中起码有一个大于1”的条件是________(填序号)．分析：明显①、②不可以推出，③中a＋ b>2 能推出“a， b 中起码有一个大于1”不然a≤1，且 b≤1，则 a＋ b≤2与 a＋ b>2 矛盾．④中取 a＝－ 2， b＝0，推不出．答案：③3．求证： 1、3、2 不可以为同一等差数列的三项．证明：假定1，3，2 是数列 {a n}(n ∈N * )中某三项，不如设为 a n＝ 1， a m＝3，a p＝2， (n， m， p 互不相等 )由等差数列定义可有a m －an＝ a p－anm－n p－ n即3－1＝1，则 3－ 1＝m－n m－ n p－ n p－ n.因为 m，n， p 是互不相等的正整数，所以m－n必为有理数，而3－ 1 是无理数，两者不会相等．p－ n所以假定不建立，结论正确．。
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案
2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。
高中数学优质教案 反证法
2.2.2 反证法一、教学目标1、知识目标：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力.2、能力目标：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题.3、情感、态度与价值观目标：在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；渗透事物之间都是相互对立、相互矛盾、相互转化的辩证唯物主义思想.在学习和生活中遇到困难的时候，要学会换个角度思考问题，也许会使问题出现转机.二、教学重点.难点重点：1、理解反证法的概念，2、体会反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤，3、用反证法证明简单的命题.难点：理解“反证法”证明得出“矛盾的所在”即矛盾依据.三、学情分析反证过程中的批判思想更有助于学生正确的认识客观世界.在教学过程中，我们要重视培养学生利用反证法对客观世界的认识提出自己的问题，这正是反证法教学所要教给学生的，应该具有的数学能力，也是培养学生数学素质与数学素养的很好教学机会.四、教学方法探析归纳，讲练结合五、教学过程教学过程：复习：综合法与分析法综合法与分析法各有其特点.从需求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效.就表达过程而论，分析法叙述烦琐，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰.也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表述.因此，在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来运用，先以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程.分析归纳，抽象概括通过对这两个个问题的解答，有学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.（2）步骤反证法证题的基本步骤：1．假设原命题的结论不成立；（假设）2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法.反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种).用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个.归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.知识应用，深化理解例1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.【设计意图】：能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障(1)互补的两个角不能都大于90°.(2)△ABC中,最多有一个钝角(3)c b a ,,中至少有一个是正数例2：已知三个正数a ，b ， c 成等比数列，但不成等差数列， 求证：c b a ,,不成等差数列.【设计意图】：本例是否定性命题，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例例3:用反证法证明关于x 的方程0)1(,0344222=+-+=+-+a x a x a ax x ，0222=-+a ax x ，当23-≤a 或1-≥a 时，至少有一个方程有实数根. 【设计意图】：本例是“至少”“至多”等存在性问题.从正面证明，需要分成多种情形讨论，而从反面证明，只要研究一种或少数几种情形.故考虑采用反证法.例4、求证：方程32=x中有且只有一个根.【设计意图】：本题是证明唯一性问题.需要证明两个方面，一是存在性；二是唯一性.当证明的结论中含“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式时，由于假设结论易导出矛盾，故采用反证法证明其唯一性往往比较简单.六、当堂检测1．否定下列命题的结论：（1） 在⊿ABC 中如果AB=AC ，那么∠B=∠C. .（2） 如果点P 在⊙O 外，则d>r （d 为P 到O 的距离，r 为半径）（3） 在⊿ABC 中，至少有两个角是锐角.（4） 在⊿ABC 中，至多有只有一个直角.2．选择题：证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（）A．三角形中至少有一个直角或钝角B．三角形中至少有两个直角或钝角C．三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（）A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°设计意图：目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律.七、课堂小结1.知识建构2.能力提高3.课堂体验八、课时练与测九、教学反思。
2021_2020学年高中数学第2章推理与证明2.2.2反证法学案新人教A版选修2_2
2.2.2 反证法学习目标核心素养1．了解反证法是间接证明的一种根本方法．(重点、易混点)2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．(重点、难点) 通过反证法的学习，培养学生的逻辑推理的核心素养.反证法的定义及证题的关键思考1：反证法的实质是什么？[提示] 反证法的实质就是否认结论，推出矛盾，从而证明原结论是正确的．思考2：有人说反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理，这种说法对吗？为什么？[提示] 反证法是间接证明中的一种方法，其证明过程是逻辑非常严密的演绎推理．1．“a<b〞的反面应是( )A．a≠b B．a>bC．a＝b D．a＝b或a>b[答案] D2．用反证法证明“如果a＞b，那么3a＞3b〞，假设的内容应是________．[答案] 3a≤3b3．用反证法证明“一个三角形不能有两个直角〞有三个步骤：①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾，故假设错误．②所以一个三角形不能有两个直角．③假设△ABC中有两个直角，不妨设∠A＝90°，∠B＝90°.上述步骤的正确顺序为________．③①②[由反证法的一般步骤可知，正确的顺序应为③①②.]4．应用反证法推出矛盾的推导过程中，以下选项中可以作为条件使用的有________．(填序号)①结论的反设；②条件；③定义、公理、定理等；④原结论．①②③ [反证法的“归谬〞是反证法的核心，其含义是：从命题结论的假设(即把“反设〞作为一个新的条件)及原命题的条件出发，引用一系列论据进展正确推理，推出与条件、定义、定理、公理等相矛盾的结果．]用反证法证明否认性命题【例1】三个正数a，b，c成等比数列，但不成等差数列．求证：a，b，c不成等差数列．[证明] 假设a，b，c成等差数列，那么a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，即b＝ac，∴a＋c＋2ac＝4ac，∴(a－c)2＝0，即a＝c.从而a＝b＝c，与a，b，c不成等差数列矛盾，故a，b，c不成等差数列．1．用反证法证明否认性命题的适用类型结论中含有“不〞“不是〞“不可能〞“不存在〞等词语的命题称为否认性命题，此类问题的正面比拟模糊，而反面比拟具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤1．设SA，SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点，求证：AC与平面SOB不垂直．[证明] 假设AC⊥平面SOB，如图，∵直线SO在平面SOB内，∴SO⊥AC.∵SO⊥底面圆O，∴SO⊥AB.∴SO⊥平面SAB.∴平面SAB∥底面圆O.这显然出现矛盾，所以假设不成立，即AC与平面SOB不垂直．用反证法证明唯一性命题【例2】求证方程2x＝3有且只有一个根．[证明] ∵2x＝3，∴x＝log23，这说明方程2x＝3有根．下面用反证法证明方程2x＝3的根是唯一的：假设方程2x＝3至少有两个根b1，b2(b1≠b2)，那么2b1＝3,2b2＝3，两式相除得2b1－b2＝1.假设b1－b2>0，那么2b1－b2>1，这与2b1－b2＝1相矛盾．假设b1－b2<0，那么2b1－b2<1，这也与2b1－b2＝1相矛盾．∴b1－b2＝0，那么b1＝b2.∴假设不成立，从而原命题得证．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有〞“当且仅当〞“唯一存在〞“只有一个〞等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；假设结论的反面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个〞的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．2．求证：两条相交直线有且只有一个交点．[证明] 假设结论不成立，那么有两种可能：无交点或不止一个交点．假设直线a，b无交点，那么a∥b或a，b是异面直线，与矛盾．假设直线a，b不只有一个交点，那么至少有两个交点A和B，这样同时经过点A，B就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线〞相矛盾．综上所述，两条相交直线有且只有一个交点．用反证法证明“至多〞“至少〞问题[探究问题]1．你能阐述一下“至少有一个、至多有一个、至少有n 个〞等量词的含义吗？ [提示]量词 含义至少有一个 有n 个，其中n ≥1至多有一个 有0或1个 至少有n 个大于等于n 个2.在反证法证明中，你能说出 “至少有一个、至多有一个、至少有n 个〞等量词的反设词吗？[提示]量词 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 至少有n 个至多有n －1个【例3】 a ≥－1，求证三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，那么三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.∴－32＜a ＜－1，这与a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．1．(变条件)将此题改为：以下三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，如何求实数a 的取值范围？[解] 假设三个方程都没有实根，那么⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0，即－32＜a ＜－1，故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥－1或a ≤－32. 2．(变条件)将例题条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围． [解] 假设三个方程都有实数根，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈.所以三个方程中至多有2个方程有实数根时，实数a 的取值范围为R .当命题中出现“至少……〞“至多……〞“不都……〞“都不……〞“没有……〞“唯一〞等指示性词语时，宜用反证法.提醒：对于此类问题，需仔细体会“至少有一个〞“至多有一个〞等字眼的含义，弄清结论的否认是什么，防止出现证明遗漏的错误.用反证法证题要把握三点：(1)必须先否认结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不全面的．(2)反证法必须从否认结论进展推理，且必须根据这一条件进展论证，否那么，仅否认结论，不从结论的反面出发进展论证，就不是反证法．(3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的．1．用反证法证明“三角形中最多只有一个内角为钝角〞，以下假设中正确的选项是( )A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角C[“最多只有一个〞的否认是“至少有两个〞，应选C.]2．如果两个实数之和为正数，那么这两个数( )A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数C[假设两个数分别为x1，x2，且x1≤0，x2≤0，那么x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.]3．平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c 是异面直线，假设利用反证法证明，那么应假设________．b与c平行或相交[∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．]4. 设数列{a n}是公比为q的等比数列，S n是它的前n项和．求证：数列{S n}不是等比数列．[证明] 假设数列{S n}是等比数列，那么S22＝S1S3，即a21(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾．所以数列{S n}不是等比数列．。
苏教版高中数学选修(2-2)课件2.2.2反证法
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
(2)应用反证法的情形
(1)直接证明困难; (2)需分成很多类进行讨论． （3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” “否定”类命题； （4）结论为 “唯一”类命题；
间接证明（例题选讲）
例1.求证:若一个整数的平方是偶数,则这个数也是偶 数. 证: 假设这个数是奇数,可以设为 2k+1, 则有 而 不是偶数
这与原命题条件矛盾.
所以假设不成立，原命题成立。
例2 已知a≠0，证明x的方程ax=b有且只有 一个根。
例3 已知： 求证： （ 1） （ 2） 中至少有一个不小于 .
间接证明（练习）
2.设函数
，求证：
中至少有一个不小于1.
反证法的思维方法：
正难则反
间接证明（基本概念）
反证法的过程包括以下三个步骤： （1） 反设——假设命题的结论不成立，即假定 原命题的反面为真； （2） 归谬——从反设和已知条件出发，经过一 系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； （3） 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从 而肯定原结论成立.
注:(1)归缪矛盾：
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2.2.2间接证明
间接证明（问题情境）
间接证明（基本概念）
间接证明是不同于直接证明的又一类
证明方法. 反证法是一种常用的间接证明方法.
否定结论 导致矛盾 否定命题不成立 合理的推理 原结论成立
反证法：
ห้องสมุดไป่ตู้
假设命题结论的反面成立，经过正确的 推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而 证明原命题成立,这样的的证明方法叫反 证法。
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2.反证法一般应用于证明“结论含有否定词、 至多、至少、唯一性”的问题.
课后作业
《学案》与《习案》.
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0， 则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
课堂练习
1. 用反证法证明命题“若a2＋b2＋c2＝0， 则a＝b＝c＝0”时，第一步应假设 ( D A. a≠b≠c≠0 B. abc≠0 C. a≠0，b≠0，c≠0 D. a≠0或b≠0或c≠0 )
例题讲解
例1. 已知a 0，证明x的方程ax b
有且只有一个根.
例题讲解
例2. 已知直线a，b 和平面，如果
a ，b ，且a // b，求证a // .
b
a
新课讲授
注 意：
反证法的关键是在正确的推理下得 出矛盾. 这个矛盾可以是与已知条件矛 盾，或与假设矛盾，或与定义、定理、 公理、事实矛盾等.
全国名校高考数学优质学案（附详解）专题
2.2.2 反ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法
复习引入
思 考：
将9个球分别染成红色或者白色，那么 无论怎样染，至少有5个球是同色的. 你能证明这个结论吗？
新课讲授
反证法定义： 一般地，假设原命题不成立（即在原 命题的条件下，结论不成立），经过正确 的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错 误，从而证明了原命题成立，这样的证明 方法叫做反证法.
课堂练习
2. 在△ABC中，若∠C是直角，则
∠B 一定是锐角.
3. 求证： 2 ， 3 ， 5 不可能成 等差数列.
课堂练习
4. 已知a，b，c均为实数，且
a x 2y
2
2
，b y 2 z
2
3
，
6 求证：a，b，c中至少有一个大于0.
c z 2x
2
.
课堂小结