初中数学重点梳理：抽屉原理

抽屉原理知识定位抽屉原理也叫鸽笼原理，是由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，就能很快使问题得到解决．知识梳理知识梳理1.抽屉原理1、抽屉原理1把n+1个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有2个东西。

2、抽屉原理2把m 个东西，任意地分放到n 个抽屉里，那么必有一个抽屉里至少有k 个东西。

其中n m n m n m n m k n m n m k 表示，的倍数时不是当或的倍数时是当⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡==)(1)(的整数部分。

上述原理称为抽屉原理。

抽屉原理虽然简单、浅显，却是解决很多存在性问题的有力工具。

利用抽屉原理解题的一般步骤是：(1)构造抽屉，指出东西；(2)将东西放入抽屉，或从抽屉里取出；(3)说明理由，得出结论。

例题精讲【试题来源】【题目】某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？【答案】6【解析】我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m （2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于{}n m个 ∵=3662000536617 ∴{}3662000＝6 【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。

【答案】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。

∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。

【解析】我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。

∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。

【答案】9【解析】我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。

设至少应取出x 个，用｛4x ｝表示不小于4x 的最小整数，那么 ｛4x ｝＝3， ∴2＜4x ≤3， 即8＜x ≤12， 最小整数值是9。

至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。

【答案】取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形，∴至少有2个点放在同一个三角形内，而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。

【解析】取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1， ∵5个点放入4个三角形，∴至少有2个点放在同一个三角形内，而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】观察一个正方体，最多能同时看到几个面？【答案】3【解析】从某一顶点看过去，能同时看到3 个面。

下面我们说明最多也只能看到3个面。

若不然，看到至少4个面，那么必然有两个面相对（抽屉原理！），而这是不可能的。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知一个圆。

经过圆心任意作1003条直径，它们与圆共有2006个交点，在每个交点处分别填写从1到501中的一个整数(可重复填写)。

证明：一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

【答案】证明：直径两端的数都在1到501之间，所以直径两端的数的和≥2，且≤1002.所以，这种和只有1001种。

而直径有1003条，1003>1001，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

【解析】直径两端的数都在1到501之间，所以它们两端的数的和在2到1002之间,则可构造1001只抽屉，而东西有1003个，因而得到证明。

证明：直径两端的数都在1到501之间，所以直径两端的数的和≥2，且≤1002.所以，这种和只有1001种。

而直径有1003条，1003>1001，所以一定可以找到两条直径，它们两端的数的和相等。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】令营组织1987名营员去游览故宫、景山公园、北海公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，至少有几个人游览的地方完全相同？试证明你的结论。

【答案】332【解析】去一处的可能有3种(故宫、景山公园、北海公园)，去两处的可能也有3种(故宫与景山公园、北海公园与故宫、景山公园与北海公园)，由于每人最少去一处，最多去两处游览，所以游览方案共有6种。

因此，1987个人中至少有1987[]13326+=个人游览的地方完全相同。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】从自然数1，2，3，…99，100这100个数中随意取出51个数来，求证：其中一定有两个数，它们中的一个是另一个的倍数.【答案】设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；…………第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；第二十六个抽屉里放进数：51.…………第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.【解析】分析：设法制造抽屉，使它们符合如下条件：（1）不超过50个；（2）每个抽屉的里的数（除仅有的一个外），其中一个数是另一个数的倍数。

一个自然的想法是从数的质因数表示形式入手。

解：设第一个抽屉里放进数：1，1×2，1×22，1×23，1×24，1×25，1×26；第二个抽屉时放进数：3，3×2，3×22，3×23，3×24，3×25；第三个抽屉里放进数：5，5×2，5×22，5×23，5×24；…………第二十五个抽屉里放进数：49，49×2；第二十六个抽屉里放进数：51.…………第五十个抽屉里放进数：99.那么随意取出51个数中，必有两个数同属一个抽屉，其中一个数是另一个数的倍数.【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在边长分别为2和4的矩形中任取9个点(任三点不共线)，证明至少存在三点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1。

在边长分别为2和4的矩形中任取9个点(任三点不共线)，证明至少存在三点，以它们为顶点的三角形的面积不大于1。

【答案】将已知矩形分为4个全等的小矩形，则由抽屉原理，任取9个点中至少有3个点在一个小矩形中。

由于这个小矩形的面积等于2，故以这3个点为顶点的三角形面积不超过该小矩形面积的一半1，问题得证。

【解析】分析：矩形中任一三角形的面积不超过该矩形面积的一半，而已知矩形面积为8，故若将该矩形分为4个等面积的小矩形，则小矩形的面积为2，其内的任一三角形的面积不超过1，因而只须将已知矩形分为4个等积的小矩形，证明其中至少有一份含有9个点中的3个点即可。

证明：将已知矩形分为4个全等的小矩形，则由抽屉原理，任取9个点中至少有3个点在一个小矩形中。

由于这个小矩形的面积等于2，故以这3个点为顶点的三角形面积不超过该小矩形面积的一半1，问题得证。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】任选6人，试证其中必有3人，他们互相认识或都不认识.【答案】我们用A,B,C,D,E,F六个点表示这6个人，如果两人认识就把这两点连成红线，如果不认识就连成蓝线，那么我们的结论就是：一定存在一个红色三角形或蓝色三角形。

FD CE从6个点中任意取一点，不妨设为A,在连接其余五点的五条线段中，至少有5[]132+=条同色，不妨设其中的AB,AC,AD为红色。

这时，在线段BC,BD,CD中，如果有一条为红色（比如BC），那么我们就得到了红色三角形ABC，否则，BC,BD,CD 都是蓝色，则三角形BCD就是一个蓝色三角形。

【解析】我们用A,B,C,D,E,F六个点表示这6个人，如果两人认识就把这两点连成红线，如果不认识就连成蓝线，那么我们的结论就是：一定存在一个红色三角形或蓝色三角形。

FD CE从6个点中任意取一点，不妨设为A,在连接其余五点的五条线段中，至少有5[]132+=条同色，不妨设其中的AB,AC,AD为红色。

这时，在线段BC,BD,CD中，如果有一条为红色（比如BC），那么我们就得到了红色三角形ABC，否则，BC,BD,CD 都是蓝色，则三角形BCD就是一个蓝色三角形。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】11名学生到老师家借书，老师的书房中有A、B、C、D四种书可借，每个学生每次最多可以借2本书，但至少借一本，证明：一定有2个学生所借的书类型相同。

【答案】2【解析】分析可知，学生借书的选择共有AB、AC、AD、BC、BD、CD和A、B、C、D共6+4=10（种），从每个学生借书类型尽可能不同的最不利情况考虑，根据11÷10=1……1，1+1=2（个），故一定有两个学生所借书的类型相同。

【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在面积为1的平行四边形内有任意五点，则一定存在三点，以这三点为顶点的三角形面积不大于1【答案】2【解析】【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设a1，a2，…，a n是1，2，…，n的某种排列，且n是奇数，求证：(a1-1)( a2-2)…(a n-n)必是偶数。

【答案】【解析】【知识点】抽屉原理【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】在边长为1的正三角形内任取10个点，证明其中至少有两点，它们的距离不超过13。