双分数随机利率下缺口期权定价模型_金宇寰
随机利率下一种改进的几何型重置期权定价
随机利率下一种改进的几何型重置期权定价刘邵容;蔡秋娥;刘冬元【摘要】通过将有效期内股价的几何平均值作为期权结算价格,创建了一种改进的几何型重置期权模型,当利率随机时,利用等价鞅方法,推导了该期权模型在Ornstein-Uhlenback过程下的定价公式.%Through using the geometric average of the stock price instead of the option's settle price,a new geometric reset option has been designed,assuming that the interest rate is stochastic and the stock price obeys the Ornstein-Uhlenback process,in view of the martingale method,the pricing formula of the new option has been gotten.【期刊名称】《南华大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2017(031)001【总页数】5页(P68-71,76)【关键词】重置期权;亚式期权;O-U过程;随机利率【作者】刘邵容;蔡秋娥;刘冬元【作者单位】南华大学数理学院,中国衡阳 421001;南华大学数理学院,中国衡阳421001;南华大学数理学院,中国衡阳 421001【正文语种】中文【中图分类】F830.9;O211.63rate重置期权是一种路径依赖型的奇异期权，Gray和Whaley在1997年就开始研究了重置期权，探讨了关于熊市重设型认售权证的定价问题[1]；后来 W.Cheng和S.Zhang对多点重置期权进行了定价[2]；Deng Guohe在随机利率和跳扩散模型下对多点重置期权进行了研究[3]；李松芹等研究了重置期权在possion跳过程下的定价公式[4].对于重置期权的这些研究，都是以标的资产的到期价格作为结算价格，期权持有者为了经济利益，可能对股票价格进行短期操纵，而当遇到“熊市”时，又会给投资者带来一定经济损失，从而打击投资者的积极性.考虑到亚式期权的到期收益与资产价格某种平均值相关,结合文献[5]的思想，在标准重置期权的基础上，对其收益结构进行了改进,创设出一种几何型的重置期权,并推导了这种改进的重置期权的定价公式.1.1 股票价格模型假定金融市场完备、无套利，且在金融市场中有一种基本风险资产(股票)，其价格过程S(t)满足如下模型：dS(t)=S(t)[μ(t)dt-alnS(t)dt+其中：WP(t)为测度P下的标准布朗运动，μ(t)为平均回报率，σ(t)为收益波动率，a为非负常数.我们称式(1)为指数O-U过程模型.令,令,当时，存在唯一等价鞅制度Q，满足在测度Q下在S*(t)为鞅过程，设，根据Girsanov定理可知，WQ(t)是测度Q下的标准布朗运动，由Ito公式解式(1)得}.1.2 利率模型介绍假设利率r(t)服从hull-White利率模型，即在风险中性测度Q下，r(t)满足如下的随机微分方程：其中：a(t),b(t),θ(t)为可积的确定函数，在测度Q下B(t)为标准布朗运动，且B(t)与WQ(t)相互独立.由式(2)可得：令,上式可化解为：定义1(标准重置期权) 设期权的敲定价格为K，到期时刻为T，τ(0<τ≤T)为事先约定的重置时间，令ST表示股票在到期日T的价格，则重置看涨期权在到期日T的收益为：标准重置看涨期权在约定的重置时间τ,若Sτ<K，则重置期权的敲定价格为Sτ，否则不重置期权的敲定价格，而是维持期权原来的敲定价格K.在标准重置期权的基础上，我们以到时间T为止的股票价格的几何平均值GT，作为期权的重置标准，则可以得到一种新的重置看涨期权，具体定义如下：定义2(改进的几何型重置期权) 设期权的敲定价格为K，令表示到时间T为止的股票价格的几何平均值，则改进的几何型重置看涨期权在到期日T的收益为：改进的几何型重置看涨期权的经济解释为：若在[0,T]内标的资产价格的几何平均值小于K，则重置期权的敲定价为GT，在到期日当ST>GT时，期权的到期收益为ST-GT；否则不重置该期权的敲定价，即期权的敲定价格还是K，当ST>K时，期权的到期收益为ST-K.3.1 相关引理与预备知识引理1 设为X1与X2的相关系数，有：其中v.当股票的价格S(t)服从指数O-U过程模型(1)，利率过程r(t)满足随机微分方程(2)时，我们令,根据B(t)与WQ(t)在测度Q下的独立性，易知，Xi,Yj(i,j=1,2)为相互独立的服从正态分布的随机变量，即：Cov(Xi,Yj)=0，且:,,则：即}.令lnS(t)dt}表示到时间T为止的股票价格的几何平均值，则在测度Q下，有：3.2 改进的几何型重置期权定价定理1 当股票的价格S(t)服从指数O-U过程模型(1)，利率过程r(t)满足随机微分方程(2)时，期权的敲定价格为K，到期日为T的改进的几何型重置期权在t=0时的价格为：其中：证明：根据风险中性定价原理，改进的几何型重置看涨期权在t=0时的公平价格为：记,,则：V(0,T)=V1+V2，下面分别来推导V1,V2.先计算第一部分V1：其中,].考虑V1的执行条件：X2+Y2<d1⟺Z1<d1因为Xi,Yj(i,j=1,2)为测度Q下相互独立的服从正态分布的随机变量，因而Zi(i=1,2)也服从正态分布，即有,,且：根据引理1，可以得到：记,则,且,下面来计算第二部分V2.其中,].同样，我们考虑V2的执行条件：GT≥K⟺X2+Y2≥d1⟺Z1≥d1ST≥K⟺其中，同样根据引理1，可以得到：综合以上，V(0,T)=V11-V12+V21-V22，证毕.【相关文献】[1] GRAY S F,WHALEY R E.Reset put option Valuation risk characteristics and an application[J].Australian Journal of Management,1999,24(1):1-20.[2] CHENG W,ZHANG S.The analytics of reset option[J].Journal of Derivatives,2000,8(1):59-71.[3] DENG G H.Pricing reset options with multiple reset features under stochastic interest rate and jump diffusion model[C].Proceedings of the 29th Chinese Control Conference,2010:29-31.[4] 李松芹,张寄洲.跳扩散模型下重置期权的定价[J].高等学校计算数学学报,2005,27(增刊1):182-187.[5] 刘邵容，王恒太.O-U过程模型下一种改进的亚式再装期权定价[J].经济数学,2014,31(1):117-120.[6] 易小兰，张庆华，闫理坦.带泊松跳分数市场的欧式幂期权定价[J].苏州科技学院学报,2015,29(2):173-178.[7] 孙玉东，师义民，谭伟.分数布朗运动环境下亚式期权定价的新方法[J].工程数学学报,2012,23(1):27-31.[8] 卢炜迪，韩月才.双指数链式平方期权的定价研究[J].数学的实践与认识，2015，45(18):15-19.[9] 张翠娥,徐云.随机利率下服从O-U过程的二元期权定价[J].数学理论与运用,2012,23(1):27-31.[10] 周清,李超.分数利率模型下几何平均亚式期权的定价公式[J].应用数学学报,2014，37(4):662-675.[11] JUN D,KU H.Pricing chained options with cured barriers[J].MathematicsFinance,2013,23(4):763-776.。
金融学十大模型
金融学十大模型金融学是研究资金在时间和空间上的配置和交换的学科，它关注的是资源的配置和风险的管理。
在金融学中，有许多重要的模型被广泛应用于理论研究和实际应用。
本文将介绍金融学领域里的十大模型，并分别进行详细的解析。
1. 资本资产定价模型（CAPM）资本资产定价模型是描述资本市场证券价格与其预期收益之间关系的理论模型。
它将资产的预期收益与市场风险相关联，通过风险溢酬来衡量资产的预期收益。
2. 期权定价模型（Black-Scholes模型）期权定价模型是用来计算期权价格的数学模型。
Black-Scholes模型是最为著名的期权定价模型之一，它通过考虑股票价格、期权行权价格、波动率、无风险利率等因素，来估计期权的公平价格。
3. 资本结构理论（Modigliani-Miller定理）资本结构理论是研究公司资本结构选择和公司价值之间关系的模型。
Modigliani-Miller定理指出，在没有税收和破产成本的情况下，公司的价值与其资本结构无关。
4. 有效市场假说（EMH）有效市场假说认为市场价格已经充分反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据获得超额收益。
EMH对于投资者的决策和资产定价具有重要的指导意义。
5. 金融工程模型（Black-Scholes-Merton模型）金融工程模型是应用数学和计量经济学方法来研究金融市场的模型。
Black-Scholes-Merton模型是其中最为著名的模型之一，它被广泛应用于期权定价、风险管理和金融衍生品的设计与定价等领域。
6. 信息传播模型（Diffusion Model）信息传播模型用于解释市场中信息的传播和价格的形成过程。
它假设市场参与者根据自身的信息和观点进行交易，通过交易行为将信息传递给其他参与者，从而影响市场价格的变动。
7. 多因素模型（Multi-Factor Model）多因素模型是用来解释资产收益率与市场因素和其他因素之间关系的模型。
它考虑了多个因素对资产收益率的影响，有助于投资者理解资产价格波动的原因。
基于两个相关资产的亚式期权定价研究
基于两个相关资产的亚式期权定价研究作者：贾念念谢嘉欣来源：《时代金融》2019年第06期摘要：本文研究具有浮动敲定价格的亚式期权，应用物理概率测度和公平保费原理的理论，求出亚式期权的期权定价公式。
假设房价波动遵循非齐次泊松跳跃扩散过程，期权敲定价格满足公式，得到亚式期权的定价公式及亚式看涨期权的平价公式。
关键词：亚式期权定价公平保费非齐次泊松跳跃扩散一、问题介绍近几十年来，金融衍生市场发展迅速，期权作为一种金融衍生产品，其定价模型依赖于原生资产价格的演化模型。
随着市场需求复杂程度的提高，金融机构推出交易方式、交易价格更灵便的新型期权。
本文研究的是新型期权中的一种强路径依赖期权，即亚式期权的定价问题。
亚式期权已经被广泛的应用于金融市场中，但是其定价问题仍然没有得到很好的解决，主要原因是其需满足市场无套利及市场的完备性。
如果市场存在套利机会或者不完备，那么亚式期权无法用传统的Black-Scholes公式进行定价。
1998年Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg第一次提出期权的精算定价方法，在没有以上市场假设的前提下，给出了精确的欧式期权定价公式，证明了房价波动满足几何布朗运动，同时求出精算定价和Black-Scholes定价。
然而由于他们没有假设市场无套利，所以其公式被广泛的应用于完备的市场，而对于无套利的不完备市场仍不可适用。
亚式期权是一种新型期权，由标准期权衍生而来，按执行价格类型可分为固定执行价格和浮动执行价格。
本文只解决具有浮动执行价格的亚式期权定价问题，引入精算思想，假设房屋波动价格满足非齐次的泊松跳跃扩散过程，两资产的浮动价格遵循一个过程相关模型，得出亚式看涨期权表达式及其平价公式。
二、精算定价模型由精算定价满足公平保费原则，多方期权、期权有效期内的短期收益将承担一些潜在风险，这些风险除了保险费外，还有期权的附加费用，我们将期权定价问题转换为期权承担的风险测度大小问题。
基于分数维Ho—Lee随机利率模型的具有违约风险的期权定价
资产价格为常值而利率 随机运动 的条件 下给 出了期权 的定价 公式． 但 是我们 知道 市场往往 不 以 我们 的假设条件为依据进行运动， 实 际的市场运作 中无论是标 的资产价格还 是利 率都不一定是 稳定 的．因此， 考虑在利率和 标的资产价格 都是随机运动 的情 况下 的期权定价 公式是必要且重 要 的． 但是 ， 在 这种 情况下 由于市场的复杂性大大加强 了， 关于金融期权等金 融衍生物 的定 价也
中图分类号： ０２ １ １ ． ６ ３ ； Ｆ ２ ２ ４ ． ７ ； Ｆ ８ ３ ０ ． ９ １
文献标识码： Ａ
文章编号： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ４ — ０ ４ ０ ６ — ０ １ １
§ １ 引 言
自１ ９ 世 纪７ ０ 年代 以来， 金 融市场的产 品结 构发生 了本质 的变 化， 各种金融衍生产 品得到 了
的欧式期权 、交换期权 的定价公式进行 了推 导； 田萍 ， 张屹 山等【 ５ 】 利用Ｈ ｏ － Ｌ ｅ ｅ￣ ｌ Ｖ ａ ｓ ｉ ｃ ｅ ｋ 模型 的 简化形 式推 导 出了Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 假 设下的随机利率欧式期权定价 公式 ； 黄文礼， 陶祥兴等 【 ６ 】 就分 数维Ｖ ａ ｓ ｉ ｃ ｅ ｋ ￣ ］ 率模 型下利用风险对冲技术和 随机分析方法对 欧式期权 定价公式进行 了研究． 但 是上述这些研 究都没有考虑期权 的违约风险， 与实 际的市场有一定 的差距． 随 着对冲风 险的需要 ， 许 多场外交 易期权制金 融机构或机 构投资者 之问进行交 易．由于场
外期权 上不存在像清算公 司那样的第三方担 保， 因此 大多数场外期权 实际上 都是具有违约风 险 的．Ｊ ｏ ｈ ｎ ｓ ｏ ｎ 等［ ７ ］ 称这种期权为脆 弱期权， 他们是 首先引入 违约风险来给期权 定价 的先驱． 另外 ， 也有 一些学者研究 了具有违 约风险的期权定 价问题 ： Ｈ ｕ ｌ ｌ 等【 ８ 】 不仅 给出脆弱期权 的定价 公式， 而 且用数 值方法 比较 了脆 弱欧式期权 、美 式期权 与标准 期权的定价 ； Ｊ ａ ｒ ｒ ｏ ｗ 等【 ９ Ｊ 允许 无风险期 限
新型随机波动率模型下的VIX期权定价
延安大学学报（自然科学版） ＪｏｕｒｎａｌｏｆＹａｎａｎＵｎｉｖｅｒｓｉＤＯＩ：１０．１３８７６／Ｊ．ｃｎｋｉ．ｙｄｎｓｅ．２０１８．０１．０３１
Ｖｏｌ．３７ Ｎｏ．１ Ｍａｒ．２０１８
新型随机波动率模型下的 ＶＩＸ期权定价
过程。ｄＮｔ跳跃项是标准的泊松过程，Ｊ表示跳跃的 幅度，是一个随机变量，服从正态分布。
２ ＶＩＸ期权定价
定理 １ 在（１．３）中的对数均值回复随机波动
率跳模型下，ＶＩＸ看涨期权价格可以表示为： ＣＴｔ（Ｋ）＝ｅｘｐ｛－Ｔ ｔｒｓｄｓ｝［ＦＴ ｔ·Ｄ１ －Ｋ·Ｄ２］
（２．１）
其中 Ｄ１和 Ｄ２为：
{ { } Ｄｊ＝１２
＋π１０∞
Ｒｅ
Ψｊ（ｓ）ｅ－ｉｓｌｎＫ ｉｓ
ｄｓ，ｊ＝１，２
Ψ１（ｔ；ｓ）＝ΨΨ（（ｔｔ；；ｓ－－ｉｉ）），Ψ２（ｔ；ｓ）＝Ψ（ｔ；ｓ）
（２．２）
证明：满足（１．３）的动态过程，在鞅测度下利用
鞅测度变换可以得到：
{ } Ｃ（Ｔ－ｔ，ＶＩＸｔ，Ｋ）＝ｅｘｐ －Ｔ ｔｒｓｄｓ ·
[ ] ＥＱｔ （ＶＩＸＴ－Ｋ）＋ ＝
３２
过程。 １．３ 对数均值回复随机波动率跳模型
在鞅测度下，对数均值回复随机波动率跳模型 下 ＶＩＸ遵循：
{ｄｌｎＶＩＸｔ＝ｋ（θｔ－ｌｎＶＩＸｔ）ｄｔ＋槡ＶｔｄＷｔ＋ＪｄＮｔ （１３）
ｄＶｔ＝ｋｖ（θｖ－Ｖｔ）ｄｔ＋σｖ槡ＶｔｄＺｔ
其中 ｋ表示均值回复速度，θｔ表示 ＶＩＸ对数的
长期均值，槡Ｖｔ是 ＶＩＸ随机波动过程且服从平方根
（２．４）
为了计算 Ｄ１ 和 Ｄ２，则 ｌｎＶＩＸＴ 的条件特征函数 为：
Ψ１（ｔ；ｓ）＝ＥＱ ｔ１［ｅｉｓｌｎＶＩＸＴ］＝
基于分数布朗运动的亚式期权定价
文化视野基于分数布朗运动的亚式期权定价潘 娣 安徽三联学院基础部摘要：给出了分数布朗运动下的几何平均亚式期权定价的数学模型，通过热传导方程得到了亚式期权价值的解析表达式。
利用数值算例讨论了：赫斯特指数、无风险利率及敲定价格对期权价值的影响.关键词：亚式期权；分数布朗运动；数值算例中图分类号：F830 9；O211 文献识别码：A 文章编号：1001-828X(2017)010-0405-02引言期权是指以确定的价格在确定的时间购买或出售确定数量的其标的资产的权利。
在期权合约中，确定的价格为敲定价格，确定日期为到期日。
而看涨期权指在一定的时间以确定的价格购买某项资产的权利，看跌期权则表示卖出该资产的权利。
1973年，Black, Scholes[1]和Merton[2]推导出了古典的Black-Scholes模型，他们设金融衍生产品价值V(S t,t)满足如下的方程这里S t表示股票在t时刻的价格，σ为波动率，r为市场中的无风险利率。
在模型求解中，结合了终值条件V(S T,T)=max(S T-K,0)，其中D为执行价格，T为到期日，那么得到欧式看涨期权价值的解析表达式[1](1.2)其中N(x)为累积标准正态分布函数。
Fama[3]在1965年指出,资产价格具有长期依赖性,由于分数布朗运动是连续的高斯过程，有长期依赖性，所以它能够更精确的描述出金融资产的变化。
Rogers[4]发现分数布朗运动路径积分理论下的市场存在着套利机会。
2003年，Hu和Oksendal[5]推导出了分数Girsanov公式(情形)和分数公式，并验证了此积分对应的市场没有套利机会。
亚式期权是一张期权合约，它在到期日的收益依赖于整个期权有效期内的资产价格的平均值，这种路径依赖型期权不仅减少了价格变动所带来的影响，也可以准确的反映股票价格变化的趋势，根据计算亚式期权价格方法的不同，可以分为算术平均亚式期权和几何平均亚式期权，根据到期日收益的不同，可以分为固定敲定价格和浮动敲定价格两类。
模糊随机环境下的期权定价
湖南师范大学 自然科学学报
Ｊ ｕｎ ｌｏ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｆＨｕ ａ ｒ ｌＵ ｉｅ ｔ ｏ ｒａ ｆＮａｕａ ｉｎｅ ｏ ｎ ｎＮｏｍａ ｎｖ ｍｉ Ｓ ｙ
Ｖ０ ． Ｎｏ ２ Ｊ３３ ．
第３ ３卷 第 ２期
Ｊ ｎ ，０ ０ ｕ ．２ １
模 糊 随机 环 境 下 的 期 权 定 价
ｓ ＵＮ ｎ Ｌｉ
（ｃ ｏｌ ｆ ｐｌ ｄＭ ｔｅ ａｃ ， ｕｎｄｎ ｎｖｒｉ ｆ ｅｈｏｏｙ Ｇ ａｇｈｕ５ ０９ ，ｈｎ ） Ｓｈｏ ｏ Ａ ｐｉ ａｈｍ ｔｓ Ｇ ａｇｏｇＵ ｉｅ ｔ ｏ ｃｎｌ ， ｕ ｎｚｏ １０ ０ Ｃ ｉａ ｅ ｉ ｓｙ Ｔ ｇ
Ａｂｓｒ ｃ Ｏｗｉ ｇ ｔ ｈｅ ｖ ｇ ｅ ｆｕ ｔ ａｉｎ ｏ ｎ ｎ ｉｌｍａｋ ｔ ｒｍ ｉ ｏ ｔｍｅ，ｔ ａ ａ ｔｒ ｆｏ ｔ ｎ ｐ ｉ ｔａ ｔ ｎ ｏ ｔ ａ ｕ ｌ ｃｕ ｔｏ ｆｆ ａ ｃａ ｒ ｅ ｓｆｏ ｔｍｅ ｔ ｉ ｉ ｈｅ ｐ ｒ ｍｅ ｅ ｓｏ ｐ ｉ ｒ— ｏ ｃｎ ｄ ｌｍａ ｃ ｕ ｍｐｒ ｃｓ ｌ ．Ｉ ｈ ｓｃ ｓ ｉ ｇ ｍｏ ｅ ｙ ｏ ｃ ｒｉ ｅ ｉｅｙ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ，ｂ ｔ ｕ ｚ ｏ ｉ ｎ ｔ ｃ ａ ｔｃ ｐ ｏ ｅ ｓａ ｅ ｉ ｔｏ ｕ ｅ ｏｈ ｆ ｚ ｙ ｌｇｃ ａ ｄ ｓｏ ｈ ｓｉ ｒ ｃ ｓ ｒ ｎ ｒ ｄ ｃ ｄ．Ｕｓｎ ｔ— ｉ ｇ ｓｏ ｃ ａ ｔｃ ｐｒｃ ｓ ｅ ｃ ｉ ｓｔ ｅ ｄ ｎ ｍｉｓ ｏ ｈ ｎ ｅ ｌｉ ｇ ａ ｓ ｔｓｏ ｋ ｐ ｉｅ ａ ｄ ｉ ｅ ｅ ｔｒ ｔ ｈ ｓｉ ｏ ｅ ｓｄ ｓ ｒｂｅ ｈ ｙ ａ ｃ ｆｔ ｅ ｕ ｄ ｒｙ ｎ ｓ ｅ ｔｃ ｒｃ ｎ ｎｔｒｓ ａｅ，ｔ ｅ ｕ ｃ ｒａｎ ｖ ｒｉｎ ｏ ｈ ｎ ｅｔ ｉ ｅ ｓｏ ｆ ｈ ａ ｋ— ｃ ｏｅ ｄ ｌｉ ｂ ａｎ ｄ ｂ ｓｕ ｎ ｈ ｔｔ ｅ ｓｏ ｋ ｐ ｉ ｅ，ｔ ｎ ｅ ｅ ｔｒｔ ｔ ｅ Ｂｌ ｃ Ｓ ｈ ｌ ｓｍｏ ｅ ｓｏ ｔｉ ｅ ｙ ａ ｓ ｍｉ ｇｔ ａ ｈ ｔｃ ｒｃ ｈｅ ｉｔ ｒｓ ａｅ，ａ ｄ ｔｅ ｖ ｌｔ ｉ ｒ ｕｚｙ ｎ ｏａ ｉ ｔ ａ ｅｆ ｚ ｈ ｌｙ
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
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22
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2024/6/27
4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
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B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
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具有随机利率和波动率的复合期权定价
� � 其中， 为标准维纳过程， （ � ） 是 时刻公司的瞬时期望 � 收益率， （ ） 是 时 刻公司收益 的波动率， （ ） 和� （ ） 都 是随 � � � 时间而变化的 假设公司股票可视作公司价值的期 权， 根据伊滕引理， 股票均衡价格遵循下述偏微分方程： � = （ ） - （ ）� - 0 5 （ 2 2 � � ） 2 � � �
报
2006 年
， 清算后， 剩余价值将支 付给公 司股东 .如果 公司价 值低于债 券面值， 则 公司股 （2 ）
票分文不值 .因而， （1 ） 式的边界） 式的约束条件下， （1） 式的解为： （ ，） = （ （ ） ） ( -� ) （ ） ） � � （ （ ） ） 1 （3）
中图分类号： F 830 .91
复合期权即是期权的期权， 它暗示了一系列复合 （增长） 机会的价值， 现已广泛 应用于企业 投资决策 . 许多实 物投资， 如研 发、 战略并购、 网络信息技术等， 其决策不仅依据其预期的 直接现 金流， 而且依 据其可 能的未 来成长 机会 （如新 技术突破 与创 新、 新 市场渠道的开辟等） ； 这类投资不应被视为独立期权 ， 而 应视为 前后项 目相互 关联的复 合期权， 前 一环节 的投资 很可能 是后一环节的先决条件 . 1 97 9 年 ， G 在B （简称 B 公式） 的期权 定价 公式框 架下 对复 合期权 的定 价进行 了研 究， 其步骤 主要 分两
2
（1）
收稿日期： 20 0 6- 0 5 - 0 8 作者简介： 张学超 （197 � 1- ） ， 男， 汉族， 山东高密人， 上海交 通大学博士研究生， 研究 向： 战略投资
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其中， （） 表示无风险收益率 . 在 时刻， 如果公司价值大于债券面 值 = 根据 （ ， 0）
第五讲 期权定价理论I,二叉树模型
问题1）的求解： Δ值使资产组合无风险意味着什么？ 高价出现时资产组合的价值=低价出现时资产组 合的价值 高价出现时，资产组合的价值：22Δ-1 低价出现时，资产组合的价值：18Δ 两者相等时，资产组合无风险，即Δ=0.25 因此，无风险资产组合为：持有0.25份股票+卖 空1份看涨期权 此时，两种情况下，资产组合的价值为多少？
因此，在期初节点A，美式看跌期权不提前执行 的价值为： f=e-0.05×1(0.6282×1.4147+0.3718×12) =5.0894 提前执行的收益为2，因此，不应执行。故节点 A美式看跌期权的价格为5.0894。 在相同条件下，美式看跌期权的价格要高于欧式 看跌期权。 思考：利用第一节例子，计算美式看涨期权的价 格。
两步二叉树模型的一般化情况：
记每步时长为Δt，那么单步二叉树模型下的期权价格 为： f=e-rΔt[pfu +(1-p)fd] 其中，p=(erΔt-d)/(u-d)。由此可以计算出期初和第一步 到期时各个节点的期权价值： fu=e-rΔt[pfuu+(1-p)fud] fd=e-rΔt[pfud+(1-p)fdd] f=e-rΔt[pfu+(1-p)fd] 把fu和fd代入f可得： f=e-2rΔt[ p2 fuu+2p(1-p)fud+(1-p)2 fdd] 因此，期权的价格为期权预期收益以无风险利率进行 贴现的现值。 想象一下，三步二叉树模型下期权的定价问题。
（七）Δ
回忆：Δ是什么？ Δ=(fu–fd)/(S0u-S0d) 什么意思？ Δ为期权价格变化与标的股票价格的变化之比； Δ为我们针对每个期权空头而持有的股票数量， 目的是构建一个无风险资产组合。 Δ对冲（delta hedging）通常是指构建一个无风险 对冲。看涨期权的Δ为正，看跌期权的Δ为负。 计算图11.1和11.7中的Δ。