基于期权理论的股票定价模型
简述merton模型的基本思路与求解思路
简述merton模型的基本思路与求解思路一、引言Merton模型是金融领域中的经典模型之一，它是基于随机过程理论和期权定价理论构建而成的。
该模型能够帮助企业或个人评估其违约风险，并根据这种风险来确定其债券和股票的定价。
本文将对Merton模型的基本思路和求解思路进行详细阐述。
二、Merton模型的基本思路Merton模型是由美国经济学家罗伯特·C·默顿于1974年提出的。
该模型主要用于评估企业或个人违约风险，进而确定其债券和股票的定价。
该模型假设企业或个人的资产遵循几何布朗运动，即资产价格随时间呈连续性变化，并且变化幅度服从正态分布。
在Merton模型中，企业或个人的资产可以分为两部分：有价值资产和无价值资产。
有价值资产是指能够为持有者带来收益的资产，如股票、债券等；无价值资产则是指不能为持有者带来收益的资产，如现金、短期债务等。
当企业或个人违约时，其有价值资产将被用来偿还债务。
因此，违约风险的大小取决于有价值资产与债务的比例。
当有价值资产低于债务时，企业或个人就会违约。
三、Merton模型的求解思路Merton模型可以通过期权定价理论来求解。
期权定价理论是指根据某个金融资产的价格，预测该资产在未来某个时间点的价格，并根据这种预测来确定期权的价格。
在Merton模型中，假设企业或个人发行了一种零息债券，到期日为T，面值为V。
如果企业或个人在到期日T前违约，则债券持有者将无法收回本金。
因此，在该模型中，债券持有者所面临的风险就是违约风险。
为了确定该零息债券的价格，需要先估计企业或个人违约的概率。
Merton模型假设企业或个人资产遵循几何布朗运动，并且有价值资产与无价值资产之间存在一定的关系。
因此，在该模型中，可以通过计算有价值资产与债务之间的比例来估计违约概率。
具体地说，假设企业或个人的有价值资产为A，无价值资产为B，债务为D，则有：A +B = S其中，S表示企业或个人的总资产。
布莱克斯科尔斯期权定价模型
•布莱克-斯科尔斯模型，简称BS模型，是一种为期权或权证等衍生性金融商品定价的数学模型，它是由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克率先提出来的，用这个模型没能推导出布莱克-舒尔斯公式，这个公式还能够估算出欧式期权的理论价格。
除此之外，B-S模型还有7个比较重要的假设，如下所示：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是不会发生改变
的；
3、市场是没有摩擦的，也就是没有税收和交易成本，所有证券完全可分
割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，也就是在期权到期前不可以进行实施。
6、没有任何无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者可以以无风险利率借贷。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程 风险中性定价原理在远期合约定价中的应用： ❖ 边界条件：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
二、布莱克-舒尔斯期权定价公式
❖ 股票价格服从对数正态分布，风险中性条件下以r取代μ，即：
❖ 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T 时刻）的期望值为：
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 几何布朗运动
❖ ：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 ❖ ：证券收益率单位时间的方差 ❖ ：证券价格的波动率（Volatility） ❖ ：遵循标准布朗运动
几何布朗运动的离散形式
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动的基本特征： ❖ 在短时间 后，证券价格比率的变化值
为：
❖ 因此： 方差为
❖ 即：
也具有正态分布特征，其均值为 ， ，标准差为
表示均值为m ，标准差为s的正态分布
布莱克舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
对几何布朗运动的理解：
❖ 但是，在一个较长的时间T后， 不再具有正态分 布的性质：这是百分比多期收益率的乘积问题。
三、BS定价公式的基本扩展 无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行 是不合理的，因此C=c 无收益资产美式看涨期权的定价公式是：
布莱克舒尔斯期权定价模型
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
三、BS定价公式的基本扩展
有收益资产欧式期权-1
在收益已知情况下，标的证券价格可以分解成两部分： 期权有效期内已知现金收益的现值部分 一个有风险部分
限售股估值方法
限售股估值方法一、概述在股票市场中，限售股是指上市公司发行的股票中，部分股票的流通受到限制，不能自由买卖。
这对于投资者来说，限制了其对这些股票的流动性和定价能力，因此需要对限售股进行估值。
本文将探讨限售股的估值方法。
二、常用估值方法2.1 基本估值方法基本估值方法是指通过对限售股的基本面进行分析，来判断其估值水平。
常用的基本估值方法包括：1.市盈率法：根据限售股的市盈率水平，与行业均值或同行业公司的市盈率进行比较，判断其是否被低估或高估。
2.市净率法：通过限售股的市净率与同行业公司的市净率进行比较，来判断其估值水平。
3.现金流量法：根据限售股的未来现金流量预测，计算其现金流折现值，从而得出估值水平。
2.2 相对估值方法相对估值方法是通过将限售股与其他标的资产进行比较，判断其估值水平。
常用的相对估值方法包括：1.市场对比法：将限售股的市值与同行业公司的市值进行比较，判断其估值是否合理。
2.基准指数法：将限售股的收益率与一个基准指数进行比较，来评估其估值水平。
3.市销率法：通过限售股的市销率与同行业公司的市销率进行比较，来判断其估值水平。
2.3 期权定价模型期权定价模型是一种基于期权理论的估值方法，可以用于限售股的估值。
常用的期权定价模型包括：1.Black-Scholes模型：该模型基于随机漫步和连续复利模型，可以对限售股的期权进行估值。
2.Binomial模型：该模型将时间段划分为若干个等长的子期间，在每个子期间内，期权的价格只有两个可能的状态，通过反复迭代计算，可以得出限售股的期权估值。
三、估值方法选择及应用3.1 选择合适的估值方法在选择估值方法时，需要综合考虑限售股的特点和市场环境。
不同的估值方法有其适用的场景和局限性，因此需要根据具体情况选择合适的方法。
3.2 应用估值方法的步骤无论使用哪种估值方法，都需要遵循一定的步骤，包括：1.数据收集：收集相关的限售股和市场数据。
2.数据分析：对收集到的数据进行分析，例如计算市盈率、市净率等指标。
期权定价的二叉树模型
03
二叉树模型在期权定价中 的应用
二叉树模型在欧式期权定价中的应用
欧式期权定义
二叉树模型原理
欧式期权是一种只能在到期日行权的期权。
二叉树模型是一种离散时间模型，通过构造 一个二叉树来模拟股票价格的演变过程。
模型参数
定价过程
包括无风险利率、股票波动率、期权行权价 等。
从到期日逆推至起始时间，考虑各种可能的 价格路径，计算期权的预期收益，并使用无 风险利率折现至起始时间。
与其他理论的结合
二叉树模型与其它金融理论的结合也是理论研究的一个重要方向，如将二叉 树模型与随机过程理论、博弈论等相结合，以提供更深入、更全面的分析框 架。
二叉树模型的应用研究进展
扩展到其他金融衍生品
二叉树模型在期权定价方面的应用已经非常成熟，研究者们正在将其应用于其他金融衍生品的定价，如期货、 掉期等。
案例一：某公司股票期权定价
背景介绍
某上市公司股票期权激励计划需要为期权定价，以确定向员工发 放的期权数量和行权价格。
模型应用
根据二叉树模型，预测股票价格的上涨和下跌幅度，并计算期权 的内在价值和时间价值。
结论分析
根据计算结果，确定期权的行权价格和数量，实现了员工激励与公 司发展的双赢。
案例二：某交易所债券期权定价
调整利率和波动率
根据市场数据和实际情况，调整利率和波动率的参数，可以提 高模型的拟合度。
模型的选择与比较
1 2
基于误差
比较不同模型的预测误差，选择误差最小的模 型。
基于风险
比较不同模型的风险指标，选择风险最小的模 型。
3
基于解释性
选择更具有解释性的模型，以便更好地理解市 场行为和风险。
05
投资分析BlackScholes期权定价模型
st xt , a(st ,t) st ,b(st ,t) st dst stdt stdwt
省略下标t，变换后得到几何布朗运动方程
ds dt dw
s
证券的预期回报与其价格无关。
（13.6）
2024/6/27
11
▪ ITO定理：假设某随机变量x的变动过程可由ITO 过程表示为（省略下标t）
价格波动率σ和无风险利率r有关，它们全都是客观
变量。因此，无论投资者的风险偏好如何，都不会 对f的值产生影响。
在对衍生证券定价时，可以采用风险中性定价，即 所有证券的预期收益率都等于无风险利率r。
只要标的资产服从几何布朗运动，都可以采用B-S微
分方程求出价格f。
2024/6/27
22
13.4 几何布朗运动与对数正态分布
2024/6/27
4
wt t t
（13.1）
这里，wt wt wt1,t iidN (0,1)
2. 在两个不重叠的时段Δt和Δs, Δwt和Δws是独立的， 这个条件也是Markov过程的条件，即增量独立！
cov(wt , ws ) 0
（13.2）
其中，wt wt wt1, ws ws ws1
Ct St N (d1) Xer N (d2 )
其中，d1
ln(St
/
X
)
(r
2
/
2)
d2 d1 t [0,T ], T t
2024/6/27
27
B-S买权定价公式推导
▪ （1）设当前时刻为t，到期时刻T，若股票 价格服从几何布朗运动，若已经当前时刻t 的 值股 为票价格为St,则T时刻的股票价格的期望
2024/6/27
期权定价的二叉树模型介绍
计算期权的价值
计算期权的现值
根据预期收益和折现率，我们可以计算出期权的现值。 看涨期权的现值是每个节点的股票价格与执行价格的差 值与风险中性概率的乘积之和；看跌期权的现值是每个 节点的执行价格与股票价格的差值与风险中性概率的乘 积之和。
校准二叉树模型参数
为了使模型的预测结果与实际期权价格一致，我们需要 校准模型参数。通常，我们使用历史数据来估计参数， 例如股票价格的波动率和无风险利率。
建立二叉树
以时间步长为单位，从最后一个时间步长开始，依 次向前建立二叉树，每个节点代表一个时间步长。
确定初始股票价格
确定股票的当前价格
通常以市场价格为基础确定初始股票价格 。
考虑股息
如果股票在期权有效期内发放股息，需要 在每个时间步长上调整股票价格。
确定无风险利率与时间步长
要点一
确定无风险利率
无风险利率是投资者在相同风险水平下可以获得的最低 回报率。
05
二叉树模型的结果分析
模拟结果展示
假设一个股票价格变动模型，通过二叉树模型模拟股 票价格的涨跌情况，并计算期权的价值。
根据不同的利率和波动率等参数设置，模拟不同的股 票价格路径，从而得到期权价格的模拟结果。
结果分析与比较
将模拟结果与实际期权价格进行比较，分析二叉树模型 定价的准确性。
对比不同参数设置下的模拟结果，分析利率和波动率等 因素对期权价格的影响。
期权定价的二叉树模型介绍
2023-11-06
目 录
• 引言 • 二叉树模型基本原理 • 构建二叉树模型 • 计算期权价值 • 二叉树模型的结果分析 • 二叉树模型在金融实践中的应用 • 结论与展望
01
引言
研究背景与意义
股票价格的期权定价模型分析
股票价格的期权定价模型分析1.2 早期模型 1.2.1 期权的含义期权，简单地说就是一个订货，我们用一个例子来说明。
甲希望在一年以后购得某品牌新上市的手机A，甲认为该手机新上市时会以8000元出售，超过了甲的承受范围，同时，有乙认为，该手机新上市时会以6000元出售，那么这时甲乙同意签署一份合同（即期权），且甲向乙支付期权费用，该合同规定，当手机上市时，甲有权利以7000元的价格从乙处购买手机A，但是甲不具备买入的义务。
这是最简单的期权模型，我们也可以规定将“买入”改为“卖出”，不变的只是支付期权费用的人是有权利而无义务的。
1.2.2 期权定价模型的发展股市有风险，投资需谨慎。
正是这种风险显示了期权的价格，长久以来，人们一直致力于研究如何用各种不确定因素估计标的资产的风险。
早在20世纪初，法国数学家路易斯在他的《投机理论》中就提出了对绝对的布朗运动的股票价格（股价的变动也是一个随机过程，其变化过程可以用布朗运动来模拟）的估值模型，站在买方的角度上进行统计，其期权价值主要是：(1-1) , 因为理论并未关注到正值货币的1964年，波内斯提出了在固定对数分布下的股票收益，给出了以下定价公式：(1-2) 此处，α表示股票预期收益率。
二十世纪中期，萨缪尔森寻找到欧式买方期权的定价方式，思考到需要具备较高预期收益率β，此主要公式为：(1-3) 通过观察（1-2）（1-3）可知，波内斯模型就是萨缪尔森模型在α=β 时的特殊情况[3-7,11]。
这些理论,为Black-Scholes定价理论的发展寻找到正确方向,还对日后的各项定价理论的发展起到了决定性的作用。
第二章现代期权定价模型2.1 Black-Scholes模型二十世纪七十年代，Black等专家指出Black-Scholes模型(此后叫做B-S模型），另外，Merton在很多方面做出了重要推广。
上述学者在股价服从对数正态分布的假设基础上，使用相关观点，推测得到不需要红利的欧式期权定价模型：(2-1) 其中：我们已经知道，在清算日，买入期权的支付为，我们只要求出的期望，我们就可以通过利率贴现，求出现在的期权价格，即：(2-2) 因此突破口在于计算出。
Black-Scholes期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型Black-Scholes期权定价模型是一种能用来计算股票期权价格的数学模型。
它是由费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯于20世纪70年代初提出的，因此得名。
该模型的基本假设是市场条件持续稳定，且不存在利率和股票价格变动的趋势。
此外，它还假设股票价格服从几何布朗运动，即价格的波动是随机的。
根据这些假设，Black-Scholes模型将股票价格与利率、期权行权价、到期时间以及波动率等因素联系起来，以计算期权的合理价格。
Black-Scholes模型的公式为：C = S_0 * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)其中，C为期权的价格，S_0为股票的当前价格，N(d1)和N(d2)分别为标准正态分布函数的值，X为期权的行权价，r为无风险利率，T为期权的到期时间。
d1和d2是通过一系列数学计算得出的。
利用Black-Scholes模型，投资者可以根据个人的风险偏好和市场条件来评估一个期权的合理价格。
它对市场参与者来说是一种有用的工具，因为它能够帮助他们理解和衡量期权的价值。
然而，Black-Scholes模型也存在一些局限性。
首先，它假设市场条件持续稳定，而实际上市场是非常复杂和动态的。
其次，它假设股票价格服从几何布朗运动，这在现实中并不总是成立。
另外，模型中的波动率是一个固定的参数，而实际上波动率是随着时间和市场条件的变化而变化的。
因此，在使用Black-Scholes模型时，投资者需要慎重考虑其局限性，并结合其他因素和分析来作出投资决策。
此外，人们也一直在尝试改进这个模型，以更好地适应实际市场的复杂性和动态性。
Black-Scholes期权定价模型是金融领域中最著名的定价模型之一。
它提供了一个基于几何布朗运动的股票价格模型，可以计算欧式期权的合理价格。
该模型的公式给出了欧式期权的理论价格，而不考虑市场上的任何其他因素。
Black-Scholes模型的創始人费希尔·布莱克和默顿·斯科尔斯在1973年发布了这一模型，并以此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
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基于期权理论的股票定价模型
摘要：传统的股利回现模型对股票定价不能精确确定投资者的收益率和未来支付的现金股利。
股票具有期权的特性，公司的股票实质上是基于公司价值的看涨期权，该期权的执行价格就是公司债券到期时的还本付息的金额，于是可以用期权定价模型来进行股票定价。
该法不需要估计未来现金股利和投资者的语气收益率，在一定程度上客服了传统股票定价方法的缺陷。
关键字：股票定价期权二叉树模型 B-S模型
第1章绪论
自股票产生400多年以来，股票价值就一直是困惑投资者的最大难题。
股票价值之谜就如同哥德巴赫猜想一样，历经数百年，吸引了无数的人类精英去探索，但至今仍是不得其解。
许多的经济学家和管理学家试图寻找到一个数学模型来确定股票价值，从而为股票市场的正常运行提供依据，但至今为止，这样的模型仍是一个不解之谜。
无数的股票投资者苦恼于股票的神秘，他们往往不得不凭猜测压赌注，到头来也往往是血本无归。
更有一些别有用心的人，利用股票价值的神秘感，在股市上兴风作浪，趁火打劫。
股票的价值体现在他的未来回报，其评估过程也是一个“从过去预测未来，从未来计算现在”的过程。
由于时空的限制，我们无法穿越时间的隧道，准确预知未来。
所以我们只能在黑暗中摸索股票价值。
我们只能利用科学知识和技术手段，从历史的蛛丝马迹中去分析推测并演算出股票现在的价值。
第2章基于期权理论的股票定价模型
2.1期权的定义及期权定价模型
期权（option）是又称为选择权，是指买方向卖方支付期权费（指权利金）后拥有的在未来一段时间内（指美式期权）或未来某一特定日期（指欧式期权）以事先规定好的价格（指履约价格）向卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但不负有必须买进或卖出的义务（即期权买方拥有选择是否行使买入或卖出的权利，而期权卖方都必须无条件服从买方的选择并履行成交时的允诺）。
由此可见，期权是一种交易双方签订的、按约定价格、约定时间、买卖特定数量的商品或有价证券合约。
与其他一般合约不同的是，期权购买人在合约规定的交割时间有权选择是否执行这一合约，而期权出售人则必须服从购买人的选择。
即：期权交易是一种权利买卖。
期权分为看涨期权（call option）和看跌期权（put option）。
看涨期权是持有者有权在约定时间按约定价格向期权出售人购买特定数量的商品或有价证券，而不管这种商品或有价证券到时价格发生如何的变动，而出售者必须履行合约，按照约定的价格出售资产。
与此相反，卖进看跌期权，购买人就有权利在期权的有效期内，按约定价格向出售人出售约定数量的商品或者有价证券，而不论此期间他们的价格如何变动。
期权定价模型（OPM）由布莱克与斯科尔斯在20世纪70年代提出。
该模型认为，只有股价的当前值与未来的预测有关；变量过去的历史与演变方式与未来的预测不相关。
模型表明，期权价格的决定非常2复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
2.2传统股票定价的缺陷
传统股票定价思路是将与其的未来现金流量按预期报酬率进行折现、即股票的价值是预期的所有未来股息现金流量折现值之和。
公司股票价值的计算可表示为
其中，V e是公司股票的内在价值，D t是在t年末预期收到的股利，K e是股票的期望收益率，包括无风险利率和风险补偿率。
若假定预期的股利以固定的增长率g增长，在k>g的条件下，上式可简化为：
其中，D n是已付的最近一期股息，D t是未付的本期股息。
传统的股票估价模型的缺陷在于：V e的大小对g非常敏感，而g的估价明显是不可能太准确的，根据传统的股票估价模型计算出来的股票市场价格不具有参考意义。
可见，传统的股票估价模型有严重的缺陷。
2.3基于期权理论的股票定价模型的优缺点
与传统的股票定价模型相比，基于期权利用的股票定价模型不需要预测公司未来的现金股利以及增长方式，在一定程度上克服了传统定价方法的缺陷。
但在使用期权定价模型的过程中，要对公司的未来价值进行预测，也具有一定的不确定性。
可见，基于期权理论的股票定价模型并不是对传统定价模型的一种否定，而是对股票定价模型的充实和丰富，是一种定价思维方式的转变，在实际应用过程中，可以将传统定价模型和基于期权理论的定价模型二者进行对照和修改。
2.4基于期权理论的股票定价模型
2.4.1 二叉树模型
1.二叉树模型基本理论
看涨期权价格计算的二叉树模型为：
其中，是看涨期权到期价值max(s o u j d n-j-X,0)出现的概率，s o u j d n-j为标的资产到期价值的可能值，X为约定价格。
上式可简写为：
其中，PV()中的数值按照风险调整后的利率折现，ρi为到期股票总价值
max(s o u j d n-j-X,0)的概率，Si为公司到期的第i种可能的价值（i=1,2,3,…），X为公司债券总价值。
2、二叉树模型的优缺点
二叉树定价模型优点在于直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。
较B-S模型复杂的推导过程，人们更乐于接受二叉树定价模型。
二叉树定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上（下）波动的概率和幅度是不变的。
该模型将考察期的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出正股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。
对于美式权证，由于可以提前行权，每一节点上权证的理论价格应为权证行权收益和贴现计算出的权证价格两者较大者。
当其无精确的定价公式，不可能求出解的表达式，而且数学推导和求解过程在金融界较难接受和掌握。
2.4.2 Black-Scholes模型
B-S期权模型是目前最具有权威性的资产定价模型之一，它主要是对标的资产的价格按几何布朗运动，服从对数正态分布的期权进行定价，符合股价特征。
1、Black-Scholes模型的基本理论
B-S定价模型：
其中，N(d1)，N（d2）分别是d1和d2的正态分布函数值，V是欧式看涨期权的价格，S是股票市场价格，K为执行价格，r为无风险利率（连续复利计算），为股票收益率标准差，T为期权有效期。
若以S i表示在第i期末的股票价格，t表示以年为单位的每期时间长度，观察n期，则包括当前价格总共可得n+1个观察值，令U i=ln(S i/S i-1)(i=1,2,…,n)。
2、B-S模型的优缺点
在B-S估价模型中，只有股价的当前值与未来的预测有关，变量过去地历史与未来预测无关。
不需要预测公司未来的现金股利以及增长方式，在一
定程度上客服了传统定价方法的缺陷。
该模型表明，期权价格的决定非常复杂，合约期限、股票现价、无风险资产的利率水平以及交割价格等都会影响期权价格。
其推导计算极其繁琐，难以为人们接受。
2.4.3 两个模型的比较
二叉树模型和B-S模型是两种互补的方法。
二叉树定价模型推导相对简单，更适合说明期权定价的基本概念。
虽然二叉树模型是假设在给定时间间隔内，价格运动具有两个运动方向（上涨和下跌），但是由于可以把一个给定的时间段细分为更小的时间单位，所以二叉树定价模型适用于处理更为复杂的期权。
随着价格变动数目的增加，二叉树定价模型的分布函数趋向于正态分布，于是就和B-S定价模型相一致。
可见，二叉树定价模型是简化了期权定价的计算并增加了直观性。
第3章总结
基于期权理论的股票定价模型不需要预测公司未来的现金股利及增长方式，克服了传统定价模型的缺陷。
但是在用期权模型对公司的未来价值进行预测时，也具有一定的不确定性。
由此可见，基于期权理论的股票定价模型并不是对传统定价模型的否定，而是对股票定价模型的充实和丰富，是一种定价思维方式的转变。
参考文献：
【1】股票定价模型.袁明哲.经济科学出版社
【2】期权期货和衍生证券.John C.Hull.华夏出版社
【3】股票定价理论中期权定价思想的运用.张选民.财经理论与实践
【4】企业的股票定价问题研究.肖俭明.百度。