指数函数图像和性质及经典例题

指数函数图像和性质及经典例题
【基础知识回顾】
一、指数公式部分
有理指数幂的运算性质
（1）ra·srraa ),,0(Qsra；
（2）rssraa)( ),,0(Qsra；
（3）srraaab)( ),0,0(Qrba．
正数的分数指数幂的意义
)1,,,0(*nNnmaaa
n
m
n

m

)1,,,0(11*nNnmaaaa
n
m
n

m

n
m

二、指数函数
1.指数函数的概念:一般地，函数)1a,0a(ayx且叫做指数函数，其中x是自变量，函数
的定义域为R．
2.指数函数的图象和性质
1．在同一坐标系中画出下列函数的图象：
（1）x)31(y （2）x)21(y

（3）x2y （4）x3y
（5）x5y
图象特征 函数性质
1a 1a0 1a
1a0

向x、y轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R
图象关于原点和y轴不对称 非奇非偶函数
函数图象都在x轴上方 函数的值域为R+
函数图象都过定点（0，1）
1a0

自左向右看， 自左向右看， 增函数 减函数
图象逐渐上升 图象逐渐下降
在第一象限内的图象纵坐标都大
于1

在第一象限内的

图象纵坐标都小
于1
1a,0xx 1a,0xx

在第二象限内的图象纵坐标都小
于1

在第二象限内的

图象纵坐标都大
于1
1a,0xx 1a,0xx

图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一
值后减小速度较
慢；
【指数函数性质应用经典例题】
例1．
设a是实数，

2

()()21xfxaxR


，试证明：对于任意,()afx在R上为增函数．

证明：设1212,,xxRxx，则
12
()()fxfx
12

22

()()2121xxaa



21
22
2121xx

12
12
2(22)(21)(21)xxxx




，

由于指数函数2xy在R上是增函数，
且12xx，
所以1222xx
即12220xx，
又由20x，
得1120x，2120x，
∴12()()0fxfx
即12()()fxfx，
所以，对于任意,()afx在R上为增函数．
例2.已知函数
2()1xxfxax



(1)a

，

求证：（1）函数()fx在(1,)上为增函数；（2）方程()0fx没有负数根．
证明：（1）设
12
1xx
，

则1212121222()()11xxxxfxfxaaxx

1212
1212
1212

223()11(1)(1)xxxxxxxxaaaaxxxx




，

∵121xx，∴110x，210x，120xx， ∴12123()0(1)(1)xxxx；
∵
12
1xx，且1a，∴12xxaa，∴120xxaa，

∴
12
()()0fxfx，即12()()fxfx，∴函数()fx在(1,)上为增函数；

（2）假设0x是方程()0fx的负数根，且01x，则000201xxax，

即00000023(1)31111xxxaxxx， ①
当010x时，0011x，∴0331x，∴03121x，而由1a知
0
1xa
，

∴①式不成立；
当01x时，010x，∴0301x，∴03111x，而
0
0xa
，

∴①式不成立．
综上所述，方程()0fx没有负数根．
针对性练习
1. 已知函数f(x)=ax＋b的图象过点(1，3)，且它的反函数f－1(x)的图象过(2，0)点，
试确定f(x)的解析式．

2. 已知,32121xx求3212323xxxx的值．
3. 求函数y=3322xx的定义域、值域和单调区间．
4. 若函数y=a2x＋b＋1(a＞0且a≠1，b为实数)的图象恒过定点(1，2)，求b的值．
5. 设0≤x≤2，求函数y=1224221aaxx的最大值和最小值．
针对性练习答案
1解析： 由已知f(1)=3，即a＋b=3 ①
又反函数f－1(x)的图象过(2，0)点
即f(x)的图象过(0，2)点．即f(0)=2
∴1＋b=2
∴b=1代入①可得a=2
因此f(x)=2x＋1

2解析：由,9)(22121xx
可得x＋x－1=7

∵27)(32121xx
∴23121212333xxxxxx=27
∴2323xx =18，
故原式=2
3解析：(1)定义域显然为(－∞，＋∞)．
(2)uyxxxxfu3.4)1(423)(22是u的增函数，
当x=1时，ymax=f(1)=81，
而y=3223xx＞0．
∴]81,0(,3304即值域为u．
(3) 当x≤1 时，u=f(x)为增函数，
u
y3
是u的增函数，由x↑→u↑→y↑

∴即原函数单调增区间为(－∞，1］；
当x＞1时，u=f(x)为减函数，
u
y3
是u的增函数， 由x↑→u↓→y↓

∴即原函数单调减区间为［1，＋∞).
4解析：∵x=－2b时，y=a0＋1=2
∴y=a2x＋b＋1的图象恒过定点(－2b，2)
∴－2b=1，
即b=－2
5解析：设2x=t，
∵０≤x≤2，
∴1≤t≤4
原式化为：y=21(t－a)2＋1

当a≤1时，ymin=942,2322max2aayaa；
当1＜a≤25时，ymin=1，ymax=2322aa；
当a≥4时，ymin=232,9422max2aayaa．