函数零点 热点应用
论文正文-浅谈函数的零点问题
学士学位论文题目浅谈函数的零点问题浅谈函数的零点问题摘要：浅谈函数零点问题实质上就是说，函数零点的存在性，零点唯一性，零点的个数问题及其应用的问题。
本文运用零点定理、罗尔定理及其推广和微分中值定理、介值定理等多个重要定理对函数零点存在性、唯一性、个数问题进行多方面的解答，结合典型例题分析、讨论并证明相关问题，得出解决此类问题的解决方法，使得今后在学习函数零点的过程中得到了简便、全面的答题策略。
关键词：函数零点定理 罗尔定理 唯一性 存在性 零点个数 一、预备知识1. 概念及定理函数零点定义：对于函数()y f x =，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点。
二、零点的存在性问题2.1 在数学学习中，函数零点的存在性问题始终都是人们研究的热点可课题。
可以用零点定理解决，也能用罗尔定理、函数最值、函数的幂级数展开式及微分中值定理解决此问题。
（1）零点定理 ：若函数在区间[,]a b 上的图像时连续不断的一条曲线，且满足()()0f a f b <，那么，函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，使得()0f c =。
这个c 也就是方程()0f x =的实根。
零点定理的证明：不妨设()0,()0.f a f b <> 令{|()0,[,]}.E x f x x a b =<∈由()0f a <知,E ≠∅ 且b 为E 的一个上界， 于是 根据确界存在原理， 存在sup [,]E a b ξ=∈ ，下证()0f ξ=（注意到()0,()0,f a f b ≠≠ 故此时必有(),a b ξ∈）事实上，()1若()0,f ξ<则[,)a b ξ∈。
由函数连续的局部保号性知存在0,σ>对()1,,()0x f x ξξσ∈+<存在11,sup x E x E ∈>,这与sup E 为E 的上界矛盾;()2若()0,f ξ>则(,].a b ξ∈仍由函数连续的局部保号性知存在0,σ>对()1,,()0x f x ξσξ∈->存在1x 为E 的一个上界，且1,x ξ< 这又与sup E 为E 的最小上界矛盾。
函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数()23xf x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式06x x ->的最小整数解为k ，则k ＝（ ） A ．8B ．7C ．5D ．6类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板 内 容使用场景一般函数类型解题模板 第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【变式演练4】（2022·重庆·三模）已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式演练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【变式演练6】（2022·北京·高三开学考试）已知函数()x af x a x a+=--，给出下列四个结论： ①存在a ，使得函数()f x 可能没有零点； ②存在a ，使得函数()f x 恰好有1个零点； ③存在a ，使得函数()f x 恰好有2个零点； ④存在a ，使得函数()f x 恰好有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______.方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程3()|log |3x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式演练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式演练8】（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）（多选）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()()1g x f f x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()g x 有4个零点 B ．当0a >时，()g x 有5个零点 C ．当0a <时，()g x 有1个零点D ．当0a <时，()g x 有2个零点【变式演练9】（2022·湖南师大附中三模）（已知）已知函数()[)[)1,0,1,21,1,2,3x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪-⎩对定义域内任意x ，都有()(2)f x f x =-，若函数()()=-g x f x k 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C 2D 21【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【反馈练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ）95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()()=x f x e ()2ln g x x =-A ．B ．C ．D ．【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知直线l 与曲线ln (01)y x x =<<相切于点00(,)M x y ，若OM l ⊥，则0x 所在的取值区间是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b c a <<6．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1x g x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））定义域在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨⎪--≥⎩，则关于x 的函数()()12g x f x =-的所有零点的和是（ ）A 21B ．122C ．122-D ．129．（2022·河南·高三开学考试（文））已知定义域为R 的偶函数()f x 的图像是连续不间断的曲线，且()0,1()1,2()2,3()3,4(2)()(1)f x f x f ++=，对任意的1x ，20[]2,x -∈，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则()f x 在区间[]100,100-上的零点个数为（ ） A ．100B ．102C ．200D ．20210．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ） A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个11．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()e 2x y f x -=--B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+12．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数()222,0,23,0lnx x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．313．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A ．120x x +>B ．120x x <C ．12ln 0xe x +=D ．12121x x x x -+<15．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）（多选）已知函数()1,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数判断正确的是（ ） A ．当0k <时，有1个零点； B ．当0k >时，有4个零点； C ．无论k 取何值，均有2个零点；D ．无论k 取何值，均有4个零点；16．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，对任意的,()0x ∈+∞，都有[]3()log 4f f x x -=，若0x 是方程()2()3f x f x '-=的一个解，且*0,(1),N x a a a ∈+∈，则实数a =_____． 17．（2022·重庆·高三阶段练习）函数||21()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是______．18．（2021·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数24,1()lg 1,1x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((9))f f -=__________，()f x 的零点个数为__________个．19．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题20．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()112 ()1421x x f x k -=-+-。
利用导数解决函数的零点问题
集 训
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(2)证明：f′(x)＝x＋1－a－ax＝(x＋1)(1－ax)(x＞0)，
课
外
①当 a≤0 时，f′(x)＞0 恒成立，所以 f(x)在(0，＋∞)上为增函
素 养
课
提
堂 数，不符合题意；
升
考
点 探
②当 a＞0 时，由 f′(x)＝0 得 x＝a，当 x＞a 时，f′(x)＞0，所以 课
课 外
素
(1)若 f(x)存在极值点为 1，求 a 的值；
养
课
提
堂 考
(2)若 f(x)存在两个不同的零点 x1，x2，求证：x1＋x2＞2.
升
点
探 究
[解]
(1)由已知得 f′(x)＝x＋1－a－ax，因为
f(x)存在极值点为
1，
课 后 限
时
所以 f′(1)＝0，即 2－2a＝0，a＝1，经检验符合题意，所以 a＝1.
提 升
点
探 究
0，可得 g′(x)在－1，π2有唯一零点，设为 α.则当 x∈(－1，α)时，g′
课 后 限
时
(x)＞0；当 x∈α，π2时，g′(x)＜0.
集 训
返 首 页
所以 g(x)在(－1，α)单调递增，在α，π2单调递减，故 g(x)在－1，π2
时
(ⅳ)当 x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)＞1，所以 f(x)＜0，从而 f(x)在(π，集
训
＋∞)没有零点．
综上，f(x)有且仅有 2 个零点．
返
首
页
课
外
素
根据参数确定函数零点的个数，解题的基本思想是“数 养
课
提
堂
升
微专题：选择、填空题中的零点问题
第1页共4页微专题：选择、填空题中的零点问题(第一课时) 【教学分析】函数的零点问题是高考的热点问题.常见考法有:①判断零点所在的区间;②判断函数零点的个数;③根据(初等)函数零点的个数求参数的取值(或范围);④以分段函数为载体的零点问题;⑤以复合函数为载体的零点问题;⑥结合函数基本性质综合考查零点对于前三种考法,大部分学生掌握得较好.但后三种还需加强训练,主要原因是学生的做图能力,分类讨论和转化等能力还比较欠缺. 基于此,本节课定位于重点解决分段函数为载体数的零点问题,力求通过这类问题的解决培养学生做图、转化、分类讨论等能力. 【教学过程】开场白：同学们好，很高兴与大家相逢在这里，很荣幸能与你们一起学习。
我们知道，零点是高考及模拟考试的热点，它可以出在选填题中，也可以出在大题中，难度可难可以简单，也可以做为压轴题，今天，我们一起来探讨分段函数的部份零点问题，从而巩固提升所学知识，我想我们一定能合作愉快！同学们先自行回顾基础知识，然后完成基本能力养成. 一、基础知识(1)零点的定义：对于函数y =f (x ),把使_____________的实数x 叫函数y =f (x )的零点。
(2)零点的存在性定理：零点的存在性定理：如果函数如果函数y =f (x )满足:①在区间[a ,b ]上的图像是连续不断的一条曲线;②f (a ).f (b )<0;则函数y =f (x )在(a ,b )上存在零点.(只能判断异号零点,只能判断有,不能判断有几个,逆命题不成立.) (3)确定函数零点的常用方法:①解方程;②利用零点的存在性定理;③数形结合转化为两个图像的交点问题(往往伴随零点、根和图像交点的转化及对方程的适当变形) 二、基本能力养成1.1.(2014•(2014•北京)已知函数()log 26f x x x =-,在下列区间中,包含f (x )零点的区间是() A .(0,1) B .(1,2) C .(2,4) D .(4,+∞) 2.2.(2015•(2015•湖北)f (x )=2sin xsin (x +2p)﹣x 2的零点个数为. 3.3.(2015•(2015•湖南)已知函数f (x )=|2x ﹣2|﹣b 有两个零点,则实数b 的取值范围是. 小结：1、存在性定理应用要注意准确计算和比较大小; 2、要有转化的意识（零点转为交点）;3、做图要注意关键点和关键的线; 4、结果书写要规范三、重难点突破例 1.1.(2016•(2016•山东)已知函数||,(),2≤24x x m f x x mx m x m ì=í-+>î,其中m ＞0,若存在实数b ,使得关于x 的方程f (x )=b 有三个不同的根,则m 的取值范围是. 变式1.1.(2015•(2015•北京改编)设函数,()()(),2142≥1xa x f x x a x a x ì-<=í--î,若f (x )恰有3个零点, 则实数a 的取值范围是______________ 小结：1、注意分段处理与总体把握; 2、分界点要注意实心和空心;3、二次函数要注意对称轴，零点和与y 轴的交点;4、参数不明确时要注意分类讨论，分类讨论时注意从特殊到一般的思想。
“知”如何到“用”——浅谈函数零点存在性定理的应用
解．故得 ｍ 的取值 范围为［一２，０］．
例 ４ 已知函数，（ ）： 的图像 在 点（１，，（１））处
，
＇ 、
的切线与 轴平行，是否存在区间ｌ‘，ｔ＋÷ ｌ（ｔ＞０）使 函数
厂（ ）在 此 区间上存在 极值 和零点？
．
解 易得 ａ＝１，函数 ，（ ）在 （０，１）上单调 递增 ，在 （１， ＋＊ ）上单调递减．故 由零点存在性定理 ，得 ，（ ）在 区间 （０，
１）存在唯一零点．故可得 ０＜ｔ＜１＜ ＋÷ 和．厂（ｔ）＜０，解得 Ｊ
１
１
丁 ＜ ＜＿ ．
点评 主要考查 同学们对复合 函数零点存 在性定 理 的
Ｃ．（一Ｏ０，一２）
Ｄ．（一。ｏ，一１）
分析 如果直接考虑 函数 的单 调性再应用 函数零 点存
在 性定理这一相关结论 ，得选 Ｃ．
例 ６ （２０１６年 全 国卷 Ｉ理科 数 学第 ２１题 ）已知 函数
厂（ ）＝（ 一２）ｅ ＋ａ（ｘ一１） 有两个零点．求 口的取值 范 围．
．
解 ① 当 口＝０时 ，不符 ；② 当 ｏ＞０时 ，若 ∈（一＊ ， １） （∞）＜０，若 Ｅ（１，＋。ｏ），厂（ ）＞０，．‘．ｆ（ ）在 （一＊ ， Ｉ）单调递 减 ，在 （１，＋ ）单 调递增．又 １）＝ 一ｅ， ２）＝
很好地应 用了方程 转化 为 函数 的零 点来求 解 ，但 是分 类是 对 问题 没有考虑清楚．解 ３是最 快最简 洁的办 法．对 于这类 问题笔者 又做 了如下拓展．
例 ２ 设 集合 Ａ＝｛（ ，Ｙ）ｌ ＋砌 一Ｙ＋２＝０｝，Ｂ＝ ｛（ ，ｙ）ＩＹ＝ ＋１，０≤ ≤２｝，Ａ ｎＢ≠ ，求实 数 ｍ 的取值
利用导数解决函数的零点问题
x－1，令g′(x)＝0，得x＝1，当13
集 训
≤x＜1时，g′(x)＜0；当1＜x≤3时，g′(x)＞0，
返
首
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课
外
∴g(x)的单调递减区间为
，单调递增区间为(1,3]，
素
养
课 堂
∴g(x)min＝g(1)＝1，∴函数f(x)在
上有两个零点，
提 升
考
点
1
ln 3
1 ln 3
课
探 究
＝3ln 3＋3，g(3)＝3－
养 提 升
堂
考 点 探
在0，π2上单调递增，在π2，π上单调递减．
课 后
究
又g(0)＝0，gπ2＞0，g(π)＝－2，
限 时 集
训
故g(x)在(0，π)存在唯一零点．
所以f′(x)在区间(0，π)存在唯一零点．
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首
页
(2)由题设知f(π)≥aπ，f(π)＝0，可得a≤0.
课
探 究
交点的个数，或者两个相关函数图象交点的个数，基本步骤是“先
后 限
时
数后形”．
集
训
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课
外
素
m
养
课
设函数f(x)＝ln x＋ x ，m∈R.
提 升
堂
考 点
(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；
课
探
究
(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－3x零点的个数．
后 限 时
集
训
提 升
考
点
所以lg x＜1，解得0＜x＜10.
课
探
后
究
所以原不等式的解集为(0,10)．
2019年高考数学命题热点解析理科专题4【函数的零点与方程的根的解题方法】
2019年高考数学命题热点解析理科专题4【函数的零点与方程的根的解题方法】本专题特别注意：一．命题类型：1.零点与整数解；2.二分法；3.分段函数的零点；4.零点范围问题；5.零点个数问题；6.零点与参数；7.零点与框图；8.二次函数零点分布问题；9.抽象函数零点问题；10.复合函数零点问题；11.函数零点与导数；12.零点有关的创新试题。
二．【学习目标】1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数．2．利用函数的零点求解参数的取值范围【知识要点】1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________．(3)函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y ＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y ＝f(x)＝ax2＋bx ＋c(a>0)零点的分布⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎪⎨⎪⎧f(m)<0⎩⎪⎨⎪⎧⎩⎨⎧⎩⎪⎨⎪⎧或（一）零点与整数解；例1．已知函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为，，，则下列说法中正确的是( ) A ．函数f(x)在区间内一定有零点 B ．函数f(x)在区间或 内有零点，或零点是 C ．函数f(x)在内无零点 D ．函数f(x)在区间 或内有零点 【答案】B【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间内一定有零点，不对，因为有可能在这个区间之外之内，C. 函数f(x)在内无零点，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间或内有零点，这个也是不确定的。
高中数学求零点个数例题
高中数学求零点个数例题①解方程：通过解方程 f(x)=0 得到零点；②数形结合：这是经常用到的分析方法，特别是选填题中得到广泛应用；③零点存在定理：用零点存在定理来确定某区间是否有零点，这是解答题中的重要方法；④求零点个数：求零点个数时，就要判断每个单调区间，同时还要判断个单调区间的零点存在性.而具体解答题的过程中，我们也会遇到函数较复杂，先将复杂问题转化为简单问题，再选择合适的方法来求零点.我们来看一个具体的例子.【例1】（2018全国2卷文数21-2）已知函数f(x)=\frac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)，证明： f(x) 只有一个零点.【分析】 f(x) 是一个含参的三次函数，貌似是一个三次函数求零点个数问题，但是带着参数问题就变复杂了，所以这个时候可以转化一下，分离参数为求： a=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)} 的解个数问题.进一步转化为函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.【解析】因为 x^2+x+1>0 恒成立.所以 f(x) 零点个数等价于函数函数g(x)=\frac{x^3}{3(x^2+x+1)}-a的零点个数问题.先判断 g(x) 单调性，用导数法：g'(x)=\frac{3x^2(x^2+x+1)-x^3(2x+1)}{3(x^2+x+1)^2}=\frac{x^2(x^2+2x+3)}{3(x^2+x+ 1)^2}\geq0 ,当且仅当 x=0 时 g'(x)=0 ,g(x) 单调递增.所以 g(x) 至多有一个零点，从而 f(x)至多有一个零点.又因为 f(3a+1)=\frac{1}{3}>0 , f(3a-1)=-6a^2+2a-\frac{1}{3}=-6(a-\frac{1}{6})^2-\frac{1}{6}<0 ,所以 f(x) 恰有一个零点.【小结】分离参数读者们应该还好理解，为什么要选择f(3a+1),f(3a-1) 就是一脸懵了.这属于找点的内容（内点定理），我们后面专门花章节来讲解这个内容.我们还是先理解零点存在定理的应用.本节我们重点讲解求零点个数问题的求法，近年高考也是热点题型，也是我们零点问题将面临的重点问题.【例2】（2019全国2卷理数20-1改编）已知函数f(x)=lnx-\frac{x+1}{x-1} ,求 f(x) 的零点个数.【分析】求零点个数问题，我们要求函数的单调区间，然后判断每一个单调区间的零点存在性.【解析】 f(x) 定义域为 (0,1)\cup(1,+\infty) ，而f(x)=lnx-1-\frac{2}{x-1} ,由和差法： y=lnx 和 y=-\frac{1}{x-1} 在(0,1)\cup(1,+\infty)上都是单调递增了，所以 f(x) 在(0,1)\cup(1,+\infty)单调递增；在 (0,1) 上 f(x) 单调递增，当 \frac{1}{3}<x<1 时，f(x)>f(\frac{1}{3})=\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-1-ln3>\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，当 0<x<\frac{1}{e^2} 时，f(x)<f(\frac{1}{e^2})=\frac{2}{1-\frac{1}{e^2}}-3<\frac{2}{1-\frac{1}{3}}-3=0 ，由零点存在定理和单调性， f(x) 在 (0,1) 有唯一零点，在 (1,+\infty) 上 f(x) 单调递增，当 1<x<3 时， f(x)<f(3)=ln3-2<0 ,当 x>e^2 时， f(x)>f(e^2)=1-\frac{2}{e^2-1}>1-\frac{2}{3-1}=0 ,所以 f(x) 在 (1,+\infty)有唯一零点.综上， f(x) 在定义域上有两个零点.【例3】（2019全国1卷文数20-1改编）已知函数h(x)=cosx+xsinx-1 ,证明： h(x) 在区间 (0,\pi) 存在唯一零点.【分析】让我确定零点个数，需要结合单调区间和零点存在定理来证明.【解析】给定了定义域区间为 (0,\pi) ,用导数法判断单调性： h'(x)=xcosx ，判正负区间： h'(x) 正负区间同 y=cosx ，易知在(0,\frac{\pi}{2}) 上 h'(x)>0,h(x) 单调递增；在(\frac{\pi}{2},\pi) 上， h'(x)<0,h(x) 单调递减.而 h(0)=0,h(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}-1>0，h(\pi)=-2<0 ,由零点存在定理和单调性，所以在(0,\frac{\pi}{2})上 h(x) 无零点，在 (\frac{\pi}{2},\pi) 上有唯一零点.得证.【例4】（2015全国1卷文书21-1）设函数 f(x)=e^{2x}-alnx .讨论 f(x) 的导函数 f'(x) 零点的个数.【分析】先求出 f'(x) 及定义域，通过判断 f'(x) 单调性和零点存在性来确定零点个数.【解析】 f'(x)=2e^{2x}-\frac{a}{x}(x>0) .①当 a\leq0 时，显然 f'(x)>0 恒成立，无零点.②当 a>0 时，判断 f'(x) 的单调性，用和差法：y=2e^{2x},y=-\frac{a}{x} 都是在 (0,+\infty) 上的单调递增函数，所以 f'(x) 单调递增.当 x>max(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)>2e^2-2e^2=0 ,当 x<min(1,\frac{a}{2e^2}) 时， f'(x)<2e^2-2e^2=0 ,所以此时 f'(x) 有唯一零点，综上，当 a\leq0 ， f'(x) 无零点，当 a>0 时，有唯一零点.【例5】（2015广东理数19-2）设 a>1 ，函数f(x)=(1+x^2)e^x-a .证明 :f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【分析】还是求零点个数问题，用单调性+存在性来求解.【解析】 f(x) 的单调性，用求导法：f'(x)=e^x(x+1)^2\geq0 ，当且仅当 x=-1 时， f'(x)=0 ，所以 f(x) 是定义域上的单调递增函数.当 x>lna 时， f(x)>f(lna)>0 .当 -\sqrt{e-1}<x<-1 时，f(x)<\frac{e}{e}-a<0 ,由零点存在性定理及单调性，得证：:f(x) 在 (-\infty,+\infty) 上仅有一个零点.【总结】通过上面五题，是否明白求解零点个数问题的基本方法，如果遇到复杂函数，分参转化为新函数的零点个数问题不失为一种思路；具体求解过程，先判断函数的单调性，再确定每个单调区间函数的零点存在性.但是对于开区间上零点的存在，往往很难通过取点来确定函数值的符号，我们也不容易用极限的思想来解释。
备战高考数学二轮专题复习 专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件 文 新人教版
第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行 距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】 关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅 读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、 细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式， 然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本 题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的 大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试 确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶， 总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的 取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
第3讲 │ 要点热点探究
高一零点问题的解题方法
从近几年高考试题看;函数的零点、方程的根的问题是高考的热点;题型主要以选择题、填空题为主;难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．1函数零点的定义对于函数y＝fx x∈D;把使fx＝0成立的实数x叫做函数y＝fx x∈D的零点．2零点存在性定理函数零点的判定若函数y＝fx在闭区间a;b上的图像是连续曲线;并且在区间端点的函数值符号相反;即fa·fb＜0;则在区间a;b内;函数y＝fx至少有一个零点;即相应方程fx＝0在区间a;b内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝fx在区间a;b上的图象是连续不断的一条曲线;并且有fa·fb＜0;那么;函数y＝fx在区间a;b内有零点;即存在c∈a;b;使得fc＝0;这个c 也就是方程fx＝0的根．提醒此定理只能判断出零点存在;不能确定零点的个数．3几个等价关系函数y＝fx有零点方程fx＝0有实数根函数y＝fx的图象与函数y＝0即x 轴有交点．推广：函数y＝fx－gx有零点方程fx－gx＝0有实数根函数y＝fx－gx的图象与y＝0即x轴有交点．推广的变形：函数y＝fx－gx有零点方程fx＝gx有实数根函数y＝fx的图象与y＝gx有交点．1．函数的零点是函数y＝fx与x轴的交点吗是否任意函数都有零点提示：函数的零点不是函数y＝fx与x轴的交点;而是y＝fx与x轴交点的横坐标;也就是说函数的零点不是一个点;而是一个实数；并非任意函数都有零点;只有fx＝0有根的函数y＝fx才有零点．2．若函数y＝fx在区间a;b内有零点;一定有fa·fb<0吗提示：不一定;如图所示;fa·fb>0．3．若函数y＝fx在区间a;b内;有fa·fb<0成立;那么y＝fx在a;b内存在唯一的零点吗提示：不一定;可能有多个．4二次函数y＝ax2＋bx＋c a>0的图象与零点的关系价转化为主要考点;涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．2015·温州十校联考设fx＝ln x＋x－2;则函数fx的零点所在的区间为A．0;1 B．1;2C．2;3 D．3;4解析法一：∵f1＝ln 1＋1－2＝－1＜0;f2＝ln 2＞0;∴f1·f2＜0;∵函数fx＝ln x＋x－2的图象是连续的;∴函数fx的零点所在的区间是1;2．法二：函数fx的零点所在的区间转化为函数gx＝ln x;hx＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围;如图所示;可知fx的零点所在的区间为1;2．答案B2．2015·西安五校联考函数y＝ln x＋1与y＝错误!的图象交点的横坐标所在区间为A．0;1 B．1;2C．2;3 D．3;4解析函数y＝ln x＋1与y＝错误!的图象交点的横坐标;即为函数fx＝ln x＋1－错误!的零点;∵fx在0;＋∞上为增函数;且f1＝ln 2－1＜0;f2＝ln 3－错误!＞0;∴fx的零点所在区间为1;2．答案B3．函数fx＝3x－7＋ln x的零点位于区间n;n＋1n∈N内;则n＝________．解析求函数fx＝3x－7＋ln x的零点;可以大致估算两个相邻自然数的函数值;如f2＝－1＋ln 2;由于ln 2＜ln e＝1;所以f2＜0;f3＝2＋ln 3;由于ln 3＞1;所以f3＞0;所以函数fx的零点位于区间2;3内;故n＝2．答案24．2015·长沙模拟若a＜b＜c;则函数fx＝x－ax－b＋x－bx－c＋x－cx－a的两个零点分别位于区间A．a;b和b;c内B．－∞;a和a;b内C．b;c和c;＋∞内D．－∞;a和c;＋∞内解析本题考查零点的存在性定理．依题意得fa＝a－ba－c＞0;fb＝b－cb－a＜0;fc＝c－bc－a＞0;因此由零点的存在性定理知fx的零点位于区间a;b和b;c内．答案A5．2014·高考湖北卷已知fx是定义在R上的奇函数;当x≥0时;fx＝x2－3x;则函数gx＝fx－x＋3的零点的集合为A．{1;3} B．{－3;－1;1;3}C．{2－错误!;1;3} D．{－2－错误!;1;3}解析令x＜0;则－x＞0;所以fx＝－f－x＝－－x2－3－x＝－x2－3x．求函数gx＝fx－x＋3的零点等价于求方程fx＝－3＋x的解．当x≥0时;x2－3x＝－3＋x;解得x1＝3;x2＝1；当x＜0时;－x2－3x＝－3＋x;解得x3＝－2－错误!．答案D确定函数fx零点所在区间的方法1解方程法：当对应方程fx＝0易解时;可先解方程;再看解得的根是否落在给定区间上．2利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝fx在区间a;b上的图象是否连续;再看是否有fa·fb＜0．若有;则函数y＝fx在区间a;b内必有零点．3数形结合法：通过画函数图象;观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数fx＝错误!－log2x;在下列区间中;包含fx零点的区间是A．0;1 B．1;2 C．2;4 D．4;＋∞解析因为f1＝6－log21＝6＞0;f2＝3－log22＝2＞0;f4＝错误!－log24＝－错误!＜0;所以函数fx的零点所在区间为2;4．答案C2．方程log3x＋x＝3的根所在的区间为A．0;1 B．1;2 C．2;3 D．3;4解析法一：方程log3x＋x＝3的根即是函数fx＝log3x＋x－3的零点;由于f2＝log32＋2－3＝log32－1<0;f3＝log33＋3－3＝1>0且函数fx在0;＋∞上为单调增函数．∴函数fx的零点即方程log3x＋x＝3的根所在区间为2;3．法二：方程log3x＋x＝3的根所在区间即是函数y1＝log3x与y2＝3－x交点横坐标所在区间;两函数图象如图所示．由图知方程log3x＋x＝3的根所在区间为2;3．答案C3．2015·武汉调研设a1;a2;a3均为正数;λ1＜λ2＜λ3;则函数fx＝错误!＋错误!＋错误!的两个零点分别位于区间A．－∞;λ1和λ1;λ2内B．λ1;λ2和λ2;λ3内C．λ2;λ3和λ3;＋∞内D．－∞;λ1和λ3;＋∞内解析本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x∈λ1;λ2时;函数图象连续;且x→λ1;fx→＋∞;x→λ2;fx→－∞;所以函数fx在λ1;λ2上一定存在零点；同理当x∈λ2;λ3时;函数图象连续;且x→λ2;fx→＋∞;x→λ3;fx→－∞;所以函数fx 在λ2;λ3上一定存在零点;故选B．答案B考向二、判断函数零点个数1．已知函数fx＝错误!满足f0＝1;且f0＋2f－1＝0;那么函数gx＝fx＋x的零点个数为________．解析∵f0＝1;∴c＝1;又∵f0＋2f－1＝0;∴f－1＝－1－b＋1＝－错误!;∴b＝错误!．∴当x＞0时;gx＝2x－2＝0有唯一解x＝1；当x≤0时;gx＝－x2＋错误!x＋1;令gx＝0得x＝－错误!或x＝2舍去;综上可知;gx＝fx＋x有2个零点．答案22．2013·高考天津卷函数fx＝2x|log0.5x|－1的零点个数为A．1 B．2C．3 D．4解析由fx＝2x|log0.5x|－1＝0;可得|log0．5x|＝错误!x．设gx＝|log0.5x|;hx＝错误!x;在同一坐标系下分别画出函数gx;hx的图象;可以发现两个函数图象一定有2个交点;因此函数fx有2个零点．答案B3．2015·高考天津卷已知函数fx＝错误!函数gx＝3－f2－x;则函数y＝fx－gx 的零点个数为A．2 B．3C．4 D．5解析分别画出函数fx;gx的草图;观察发现有2个交点．答案A4．若定义在R上的偶函数fx满足fx＋2＝fx;且当x∈0;1时;fx＝x;则函数y＝fx－log3|x|的零点个数是________．解析由题意知;fx是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝fx及y＝|x|的图象;如下：观察图象可以发现它们有4个交点;即函数y＝fx－log3|x|有4 log3个零点．答案4判断函数零点个数的方法1解方程法：令fx＝0;如果能求出解;则有几个解就有几个零点．2零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a;b上是连续不断的曲线;且fa·fb＜0;还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性、周期性、对称性才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．3数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象;看其交点的个数;其中交点的横坐标有几个不同的值;就有几个不同的零点．1．2015·淄博期末函数fx＝x－ln x＋1－1的零点个数是________．解析函数fx＝x－ln x＋1－1的零点个数;即为函数y＝ln x＋1与y＝x－1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y＝ln x＋1与y＝x－1的图象;如图;由图可知函数fx＝x－ln x＋1－1的零点个数是2．答案22．若定义在R上的函数fx满足fx＋2＝fx;且x∈－1;1时;fx＝1－x2;函数gx＝错误!则方程fx－gx＝0在区间－5;5上的解的个数为A．5 B．7C．8 D．10解析依题意得;函数fx是以2为周期的函数;在同一坐标系下画出函数y＝fx与函数y＝gx的图象;结合图象得;当x∈－5;5时;它们的图象的公共点共有8个;即方程fx－gx＝0在区间－5;5上的解的个数为8．答案C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．2014·合肥检测若函数fx＝ax2－x－1有且仅有一个零点;则实数a的取值为A．0 B．－错误!C．0或－错误!D．2解析当a＝0时;函数fx＝－x－1为一次函数;则－1是函数的零点;即函数仅有一个零点；当a≠0时;函数fx＝ax2－x－1为二次函数;并且仅有一个零点;则一元二次方程ax2－x－1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a＝0;解得a＝－错误!．综上;当a ＝0或a＝－错误!时;函数仅有一个零点．答案C2．2014·洛阳模拟已知方程|x2－a|－x＋2＝0a＞0有两个不等的实数根;则实数a的取值范围是A．0;4 B．4;＋∞C．0;2 D．2;＋∞解析依题意;知方程|x2－a|＝x－2有两个不等的实数根;即函数y＝|x2－a|的图象与函数y＝x－2的图象有两个不同交点．如图;则错误!＞2;即a＞4．答案B3．已知函数fx＝log2x－错误!x;若实数x0是方程fx＝0的解;且0<x1<x0;则fx1的值为A．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零解析在同一坐标系中作出y＝log2x和y＝错误!x的图象;由图象知fx1＜0．答案A4．2014·高考江苏卷已知fx是定义在R上且周期为3的函数;当x∈0;3时;fx ＝错误!．若函数y＝fx－a在区间－3;4上有10个零点互不相同;则实数a的取值范围是________．解析当x∈0;3时;fx＝错误!＝错误!;由fx是周期为3的函数;作出fx在－3;4上的图象;如图．函数y＝fx－a在区间－3;4上有互不相同的10个零点;即函数y＝fx;x∈－3;4与y＝a的图象有10个不同交点;在坐标系中作出函数fx在一个周期内的图象如图;可知当0＜a＜错误!时满足题意．答案错误!5．2015·湖北八校联考已知x∈R;符号x表示不超过x的最大整数;若函数fx＝错误!－ax≠0有且仅有3个零点;则a的取值范围是A．错误!∪错误!B．错误!∪错误!C．错误!∪错误!D．错误!∪错误!解析当0＜x＜1时;fx＝错误!－a＝－a；当1≤x＜2时;fx＝错误!－a＝错误!－a；当2≤x＜3时;fx＝错误!－a＝错误!－a；…．fx＝错误!－a的图象是把y＝错误!的图象进行纵向平移而得到的;画出y＝错误!的图象;如图所示;通过数形结合可知a ∈错误!∪错误!．答案A已知函数有零点方程有根求参数取值范围常用的方法：1直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式;再通过解不等式确定参数范围．2分离参数法：先将参数分离;转化成求函数值域问题加以解决．3数形结合法：先对解析式变形;在同一平面直角坐标系中;画出函数的图象;然后数形结合求解．1．2015·莱芜一模已知函数fx＝错误!则函数fx的零点为A．错误!;0 B．－2;0C．错误!D．0解析当x≤1时;由fx＝2x－1＝0;解得x＝0；当x＞1时;由fx＝1＋log2x＝0;解得x＝错误!;又因为x＞1;所以此时方程无解．综上;函数fx的零点只有0．解析D2．已知函数fx＝错误!若函数gx＝fx－m有3个零点;则实数m的取值范围是________．解析画出fx＝错误!的图象;如图．由函数gx＝fx－m有3个零点;结合图象得：0＜m＜1;即m∈0;1．答案0;13．已知函数fx＝错误!有三个不同的零点;则实数a的取值范围是________．解析要使函数fx有三个不同的零点;则当x≤0时;方程2x－a＝0;即2x＝a必有一根;此时0＜a≤1；当x>0时;方程x2－3ax＋a＝0有两个不等实根;即方程x2－3ax＋a ＝0有2个不等正实根;于是错误!∴a＞错误!;故错误!＜a≤1．答案错误!必记结论有关函数零点的结论1若连续不断的函数fx在定义域上是单调函数;则fx至多有一个零点．2连续不断的函数;其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．3连续不断的函数图象通过零点时;函数值可能变号;也可能不变号．1．2015·高考安徽卷下列函数中;既是偶函数又存在零点的是A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解析y＝cos x是偶函数;且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数;但不存在零点．答案A2．函数fx＝2x－错误!－a的一个零点在区间1;2内;则实数a的取值范围是A．1;3 B．1;2C．0;3 D．0;2解析由题意知f1·f2＜0;即aa－3＜0;∴0＜a＜3．答案C3．2016·东城期末函数fx＝e x＋错误!x－2的零点所在的区间是A．错误!B．错误!C．1;2 D．2;3解析∵f错误!＝错误!－错误!＜错误!－错误!＜0;f1＝e－错误!＞0;∴零点在区间错误!上．答案B4．2014·昆明三中、玉溪一中统考若函数fx＝3ax＋1－2a在区间－1;1内存在一个零点;则a的取值范围是A．错误!B．－∞;－1∪错误!C．错误!D．－∞;－1解析当a＝0时;fx＝1与x轴无交点;不合题意;所以a≠0；函数fx＝3ax＋1－2a 在区间－1;1内是单调函数;所以f－1·f1＜0;即5a－1a＋1＞0;解得a＜－1或a＞错误!．答案B5．fx是R上的偶函数;fx＋2＝fx;当0≤x≤1时;fx＝x2;则函数y＝fx－|log5x|的零点个数为A．4 B．5 C．8 D．10解析由零点的定义可得fx＝|log5x|;两个函数图象如图;总共有5个交点;所以共有5个零点．答案B6．2014·开封模拟偶函数fx满足fx－1＝fx＋1;且当x∈0;1时;fx＝－x＋1;则关于x的方程fx＝lg x＋1在x∈0;9上解的个数是A．7 B．8 C．9 D．10解析依题意得fx＋2＝fx;所以函数fx是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝fx的图象与y＝lg x＋1的图象如图所示;观察图象可知;这两个函数的图像在区间0;9上的公共点共有9个;因此;当x∈0;9时;方程fx＝lg x＋1的解的个数是9．答案C7．2014·南宁模拟已知函数fx＝ln x＋3x－8的零点x0∈a;b;且b－a＝1;a;b∈N;则a＋b＝________．解析∵f2＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0;f3＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0;且函数fx＝ln x＋3x－8在0;＋∞上为增函数;∴x0∈2;3;即a＝2;b＝3．∴a＋b＝5．答案58．已知函数y＝fx x∈R满足f－x＋2＝f－x;当x∈－1;1时;fx＝|x|;则y＝fx 与y＝log7x的交点的个数为________．解析因为f－x＋2＝f－x;所以y＝fx为周期函数;其周期为2．在同一直角坐标系中;画出函数y＝fx和y＝log7x的图象如图;当x＝7时;f7＝1;log77＝1;故y＝fx与y＝log7x共有6个交点．答案69．若函数y＝fxx∈R 满足fx＋2＝fx且x∈－1;1时;fx＝1－x2；函数gx＝lg|x|;则函数y＝fx与y＝gx的图象在区间－5;5内的交点个数共有________个．解析函数y＝fx以2为周期;y＝gx是偶函数;画出图象可知有8个交点．答案810．2015·高考湖南卷已知函数fx＝错误!若存在实数b;使函数gx＝fx－b有两个零点;则a的取值范围是________．解析令φx＝x3x≤a;hx＝x2x＞a;函数gx＝fx－b有两个零点;即函数y＝fx的图象与直线y＝b有两个交点;结合图象图略可得a＜0或φa＞ha;即a＜0或a3＞a2;解得a＜0或a＞1;故a∈－∞;0∪1;＋∞．答案－∞;0∪1;＋∞1．2014·高考山东卷已知函数fx＝|x－2|＋1;gx＝kx．若方程fx＝gx有两个不相等的实根;则实数k的取值范围是A．错误!B．错误! C．1;2 D．2;＋∞解析先作出函数fx＝|x－2|＋1的图象;如图所示;当直线gx＝kx与直线AB平行时斜率为1;当直线gx＝kx过A点时斜率为错误!;故fx＝gx有两个不相等的实根时;k的范围为错误!．答案B2．若函数fx＝a x－x－aa＞0且a≠1有两个零点;则实数a的取值范围是A．2;＋∞ B．错误! C．1;＋∞ D．0;1解析函数fx＝a x－x－aa＞0且a≠1有两个零点;就是函数y＝a x a＞0且a≠1与函数y＝x＋aa＞0且a≠1的图象有两个交点;由图1知;当0＜a＜1时;两函数的图象只有一个交点;不符合题意；由图2知;当a＞1时;因为函数y＝a x a＞1的图象与y轴交于点0;1;而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点0;1的上方;所以两函数的图象一定有两个交点;所以实数a的取值范围是a＞1．答案C3．2015·高考天津卷已知函数fx＝错误!函数gx＝b－f2－x;其中b∈R．若函数y＝fx－gx恰有4个零点;则b的取值范围是A．错误!B．错误! C．错误!D．错误!解析函数y＝fx－gx恰有4个零点;即方程fx－gx＝0;即b＝fx＋f2－x有4个不同的实数根;即直线y＝b与函数y＝fx＋f2－x的图象有4个不同的交点．又y＝fx＋f2－x＝错误!作出该函数的图象如图所示;由图可得;当错误!＜b＜2时;直线y＝b与函数y＝fx＋f2－x有4个交点．答案D4．已知函数fx满足fx＋1＝错误!;当x∈0;1时;fx＝x;若在区间－1;1内;函数gx＝fx－mx－m有两个零点;则实数m的取值范围是A．错误!B．错误! C．错误!D．错误!解析当x∈－1;0时;x＋1∈0;1．因为函数fx＋1＝错误!;所以fx＝错误!－1＝错误!－1＝－错误!.即fx＝错误!函数gx＝fx－mx－m在区间－1;1内有两个零点等价于方程fx＝mx＋1在区间－1;1内有两个根;令y＝mx＋1;在同一坐标系中画出函数y＝fx和y＝mx＋1的部分图象图略;可知当m∈错误!时;函数gx＝fx－mx－m有两个零点．答案A5．2014·高考天津卷已知函数fx＝错误!若函数y＝fx－a|x|恰有4个零点;则实数a的取值范围为________．解析画出函数fx的图象如图所示．函数y＝fx－a|x|有4个零点;即函数y1＝a|x|的图象与函数fx的图象有4个交点根据图象知需a＞0．当a＝2时;函数fx的图象与函数y1＝a|x|的图象有3个交点．故a＜2．当y1＝a|x|x≤0与y＝|x2＋5x＋4|相切时;在整个定义域内;fx的图象与y1＝a|x|的图象有5个交点;此时;由错误!得x2＋5－ax＋4＝0．由Δ＝0得5－a2－16＝0;解得a＝1;或a＝9舍去;则当1＜a＜2时;两个函数图象有4个交点．故实数a的取值范围是1＜a＜2．答案1;2考向四、二分法1定义：对于在区间a;b上连续不断且fa·fb＜0的函数y＝fx;通过不断地把函数fx的零点所在的区间一分为二;使区间的两个端点逐步逼近零点;进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2给定精确度ε;用二分法求函数fx零点近似值的步骤如下：①确定区间a;b;验证fa·fb<0;给定精确度ε；②求区间a;b的中点c；③计算fc；ⅰ若fc＝0;则c就是函数的零点；ⅱ若fa·fc＜0;则令b＝c此时零点x0∈a;c；ⅲ若fc·fb＜0;则令a＝c此时零点x0∈c;b．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|<ε;则得到零点近似值a或b；否则重复②③④．1．教材习题改编下列函数图象与x轴均有交点;其中不能用二分法求图中函数零点的是A B C D解析由图象可知;选项C所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的;故不能用二分法求解．解析C2．教材习题改编用二分法求函数y＝fx在区间2;4上的近似解;验证f2·f4＜0;给定精确度ε＝0.01;取区间2;4的中点x1＝错误!＝3;计算得f2·fx1＜0;则此时零点x0所在的区间为A．2;4 B．3;4C．2;3 D．2．5;3解析∵f2·f4＜0;f2·f3＜0;∴f3·f4＞0;∴零点x0所在的区间为2;3．解析C3．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解精确度0.001时;如果我们选取初始区间1.4;1.5;则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．解析设至少需要计算n次;由题意知错误!＜0．001;即2n＞100;由26＝64;27＝128知n＝7．解析7。
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函数零点 热点应用
函数零点是课标教材的一个重要概念，是近年课标高考命题的热点.下面撷取2009年高
考题或2010年高考模拟题，来复习归纳函数零点问题的几类热点题型.
一、判断函数零点的存在性
例1.（2010届山东命题研究冲刺卷）已知函数f(x)=2x3-4x2-3x+1=0在区间长度为1
的条件下，则下列叙述不正确的是（ ）
A.函数在区间(-1，1)内有零点 B.函数在区间(0，1)内有零点
C.函数在区间(1，2)内有零点 D.函数在区间(2，3)内有零点
解析：根据选项提供的区间来看，需要计算f(-1)、f(0)、f(1)、f(2)、f(3)的值，
然后再看相邻两个函数值之间符号关系，进而确定函数零点.
因为f(-1)=-2＜0，f(0)=1＞0，f(1)=-4＜0，f(2)=-5＜0，f(3)=10＞0，
所以f(-1)∙f(0)＜0，f(0)∙f(1)＜0，f(2)∙f(3)＜0，
又因为一个三次方程最多有三个实根，
所以函数f(x)=2x3-4x2-3x+1=0在(-1，0)，(0，1)，(2，3)内各有一个零点.
故选C.
点评：由于本题所涉及的函数在各个区间上的单调性不容易判断，因此上面的解法通过
将函数的可能存在的零点找全，来确定零点的唯一性，不失为解决不易判断单调性的函数零
点问题的好方法.
二、判断函数零点的大致区间
例2.（2009年高考天津卷理4.）设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x)（ ）
A.在区间（，1）、（1，e）内均有零点
B.在区间（，1）、（1，e）内均无零点
C.在区间（，1）内有零点，在区间（1，e）内无零点
D.在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点
答：D 提示：因为f()∙f(1)=(×-ln)∙(-ln1) =×(+1)>0，因此f(x)在区间
（，1）内无零点.又f(1)∙f(e)=(×1-ln1)∙(×e-ln1)=<0，因此f(x) 在区间（1，e）
内有零点.故选D.点评：确定函数y=f(x)零点（方程f(x)=0的根）所在的区间，只要判断
[a,b]的端点值的乘积是否具备f(a)∙f(b)＜0，并且看函数y=f(x)在[a，b]上的图象是否是
连续不断的曲线.这里说“若f(a)∙f(b)＜0，则在[a，b]内，函数y=f(x)至少有一个零点”，
指出了零点的存在性，并不能判断具体有多少个零点.
三、求函数零点
例3.（2010届陕西省宝鸡市高三模拟（一））若函数f(x)=ax+b有一个零点为1，则函
数g(x)=bx2-ax的零点是 .
解析：由题意得a+b=0，所以b=-a.由g(x)=bx2-ax=a(-x2-x)=0解得x=0，-1，即函数
g(x)=bx2-ax的零点是0，-1.
点评：函数的零点就是相应方程的解.因此，求函数零点就是转化为求相应方程的解.
注意的是，函数零点是数值，不要混淆为点的坐标.
四、求函数零点的个数
例4.（2010届100所名校示范模拟卷）函数f(x)=的零点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.无数
解析：令f(x)==0，即lg（x-2009）=0，所以x-2009=1，解得x=2010.又
由，得x＞2009，x≠2010，所以函数f(x)的定义域为{x|x＞2009，且x≠2010}.
因此函数f(x)=的没有零点. 故选A.
点评：直接求函数零点的个数，切不可忽视函数的定义域.
例5.（2010届安徽省合肥市高三第一次质量检测）函数f(x)=的
零点个数为（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
解析：依题意，在考虑x>0时可画出y=lnx与y=x2-2x的图象，可知两个函数的图象有
两个交点，当x≤0时，函数f(x)=2x+1与x轴只有一个交点，所以函数f(x)有3个零点.
故选D.
点评：利用函数图象求函数零点的个数是常用的直观方法.
五、判断函数零点间的关系
例6.（2010届福建省福州市高三模拟）已知三个函数f(x)=2x+x，g(x)=x-2，h(x)=log2x+x
的零点依次为a，b，c，则（ ）
A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜a＜b
解析：由于f(-1)=-1=-<0，f(0)=1>0，故f(x)=2x+x的零点a∈(-1，0)；因为g(2)=0，
故g(x)的零点b=2；h()=-1+=-<0，h(1)=1>0，故h(x)的零点c∈(，1)，因此a＜c＜b.
故选B.
点评：根据零点定理，选取合适的数据，找到零点a，b，c所在的区间即可判断它们的
关系.本题也可以转化利用函数零点与相应函数图象交点的横坐标的关系，作出函数图象直
观判断.
六、求参数的值或取值范围
例7.（2009年高考山东卷理14.）若函数f(x)=ax-x-a有两个零点，则a的取值范围
是（ ）
A.(1，+∞) B.(0，1) C.(0，+∞) D.Φ
解析：令f(x)=0，即ax-x-a=0，则得ax=x+a。
当a＞1时，在同一直角坐标系内作出函数y=ax，y=a+x的图象，如图1，
y y=ax
y=x+a
1
O 1 x
图1
由图观察得原方程有两个解，从而排除D。
当0＜a＜1时，在同一坐标系内作出函数y=ax，y=a+x的图象，如图2，
y=ax y
y=x+a
1
O 1 x
图2
由图观察得原方程只有一个解，从而排除B.
又当a=1时，原方程为1-x-1=0，解得x=0，只有一解，从而排除C.
故选A。
点评：本题是一道逆向思维型问题，是将函数f(x)的零点转换为两个函数图象的交点，
通过作出函数的图象判断求得的.解决此类逆向问题的“三步曲”是：①先移项使之分解为
两个简单函数；②在同一坐标系内作出这两个函数的图象；③两图象交点的个数即对应已知
函数零点的个数.