【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：9.5(含答案)
【高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：10-4(含答案)
为“进口汽车 5 年关税达到要求 ”，所以 P(M)＝1－P( M )＝1－0.21＝ 0.79.
13．某战士射击一次，问： (1)若中靶的概率为 0.95，则不中靶的概率为多少？ (2)若命中 10 环的概率是 0.27，命中 9 环的概率为 0.21，命中 8 环的概率为 0.24， 则至少命中 8 环的概率为多少？不够 9 环的概率为多少？
(2)求 B1 和 C1 不全被选中的概率．
解析 (1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各 1 名，其一切可能的结果
组成的基本事件空间
Ω＝ {( A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，
(A1， B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)， (A2， B2，C1)，(A2， B2，C2)，(A2， B3， C1)，(A2，B3， C2)， (A3， B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2， C1)， (A3， B2，
＝
14，
化简，得 7n2－11n－6＝0，
3 解得 n＝2 或 n＝－ 7(舍去 )，故 n＝2.
15．现有 8 名奥运会志愿者，其中志愿者 A1，A2，A3 通晓日语， B1，B2，B3
通晓俄语， C1，C2 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各 1 名，
组成一个小组．
(1)求 A1 被选中的概率；
号球是红色球，其余为黑色球．若从中任意摸出一个球，记录它的颜色和号码后
再放回袋子里，然后再摸出一个球，记录它的颜色和号码，则两次摸出的球都是
红球，且至少有一个球的号码是偶数的概率是 ( )
1 A. 16
1 C.4
3 B.16
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：2.8(含答案)
第二章２．8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋5x－6的零点是()A．－2,3B．2,3C．2，－3 D．－2，－3答案 B解析由f(x)＝－x2＋5x－6＝0，得x＝2,3.即函数f(x)的零点．2．函数f(x)＝x3－x2－x＋1在[0,2]上()A．有两个零点B．有三个零点C．仅有一个零点D．无零点答案 C解析由于f(x)＝x3－x2－x＋1＝(x2－1)(x－1)令f(x)＝0得x＝－1,1，因此f(x)在[0,2]上仅有一个零点．3．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数零点的是()答案 B解析用二分法只能求变号零点的近似值，而B中的零点左右值同号．4．设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A．[0,1] B．[1,2]C．[－2，－1] D．[－1,0]答案 D解析函数f(x)在区间[a，b]上有零点，需要f(x)在此区间上的图象连续且两端点函数值异号，即f(a)f(b)≤0，把选择项中的各端点值代入验证可得答案D.5．(2010·天津，文)函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是()A．(－2,1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 C解析由f(x)＝0得e x＋x－2＝0，即e x＝2－x.∴原函数的零点就是函数y＝e x与y＝2－x图象交点的横坐标x0，显然0<x0<1.6．设x0是方程ln x＋x＝4的解，则x0属于区间()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)答案 C解析令f(x)＝ln x＋x－4，注意到函数在定义域上是增函数，f(2)＝ln2＋2－4＝ln2－2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝ln3－1>0，故函数在(2,3)上有唯一实数根．7.函数f(x)＝ln x－1x－1的零点的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 答案 C解析如图可知，y＝1x－1与y＝ln x的图象有两个交点．8．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是() A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析由题意可知f(－2)＝14－6＜0，f(－1)＝12－3＜0，f(0)＝1＞0，f(1)＞0，f(2)＞0，f(－1)·f(0)＜0，因此在区间(－1,0)上一定有零点．因此选B.二、填空题9.右图是用二分法求方程2x＋3x＝7在(1,2)内近似解的程序框图，要求解的精确度为0.01，则框图中(1)处应填________，(2)处应填________．答案f(a)·f(m)<0|a－b|<0.01或f(m)＝0解析由二分法求解过程及程序框图的运行过程可得出答案．10．若f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)＝0有三个零点，则这三个零点之和等于________．答案0解析由于方程f(x)＝0有三个根，且f(x)为偶函数，则一根为零，而另二根为互为相反数．11函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)内，则n＝________.答案 2解析求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln2，由于ln2<ln e＝1，所以f(2)<0，f(3)＝2＋ln3，由于ln3>1，所以f(3)>0，所以函数f(x)的零点位于区间(2,3)内，故n＝2.12．已知函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－log12x，h(x)＝log2x－x的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是________．答案x1<x2<x3解析令函数f(x)＝x＋2x＝0，因为2x恒大于零，故要使得x＋2x＝0，x必须小于零，即x1小于零；令g(x)＝x－log12x＝0，则x＝log12x，要使得log12x有意义，必须有x>0，又x＝log12x，从而0<x<1，即0<x2<1；令h(x)＝log2x－x＝0，得：log2x＝x ，则x >1，即x 3>1，从而x 1<x 2<x 3.三、解答题13．已知函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1仅有一个零点，求m 的取值范围，并求出零点．答案 m ＝－2，零点是x ＝0解析 解法一 令2x ＝t ，则t >0，则g (t )＝t 2＋mt ＋1＝0 仅有一正根，而g (0)＝1>0，故∴m ＝－2.解法二 令2x ＝t ，则t >0.原函数零点，即方程t 2＋mt ＋1＝0的根 ∴t 2＋1＝－mt∴－m ＝t 2＋1t ＝t ＋1t (t >0)有一个零点，即方程只有一根∵t ＋1t ≥2(当且仅当t ＝1t 即t ＝1时) ∴－m ＝2即m ＝－2时，只有一根．注：解法一侧重二次函数，解法二侧重于分离参数．14．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，当x ∈[－2,2]时，函数至少有一个零点，求a 的范围．答案 a ≤－7或a ≥2解析 (1)有一个零点，则f (－2)f (2)<0或f (－2)＝0或f (2)＝0∴a ≤－7或a >73 (2)有两个零点∴2≤a ≤73综合以上：a ≤－7或a ≥2.拓展练习·自助餐1．若x 0是方程(12)x ＝x 13的解，则x 0属于区间( )A ．(23，1)B ．(12，23)C ．(13，12)D ．(0，13)答案 C解析 结合图形(12)13>(13)13，(12)12<(12)13，∴x 0属于区间(13，12)．2．设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 答案 B解析 令f (x )＝x 3－(12)x －2，f (0)＝－4<0，f (1)＝－1<0，f (2)＝7>0，∴x 0∈(1,2)． 3．已知函数f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋a －2的一个零点比1大，另一个零点比1小，则( )A ．－1<a <1B ．a >1或a <－2C ．－2<a <1D ．a >2或a <－1 答案 C解析 由条件知f (1)<0，即a 2＋a －2<0， ∴－2<a <1.4．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 答案 B解析 由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0，故选B.5．如图是二次函数f (x )＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．(14，12)B ．(12，1) C ．(1,2) D ．(2,3) 答案 B解析 因为f (1)＝0，即b ＝a ＋1，又f (0)＝a >0，所以b >1，又对称轴为b2∈(0,1)，所以0<b <2，即1<b <2，又f ′(x )＝2x －b ，所以g (x )＝ln x ＋2x －b ，又g (1)＝2－b >0，g (12)＝ln 12＋1－b <0，所以函数g (x )的零点在区间(12，1)上，故选B.教师备选题1．设函数f (x )＝4sin (2x ＋1)－x ，则在下列区间中函数f (x )不存在零点的是( )A ．[－4，－2]B ．[－2,0]C ．[0,2]D ．[2,4] 答案 A解析 f (0)＝4sin 1>0，f (2)＝4sin 5－2，由于π<5<2π，所以sin 5<0，故f (2)<0，故函数f (x )在[0,2]上存在零点；由于f (－1)＝4sin(－1)＋1<0，故函数f (x )在[－1,0]上存在零点，也在[－2,0]上存在零点；令x ＝5π－24∈[2,4]，则f (5π－24)＝4sin 5π2－5π－24>0，而f(2)<0，所以函数在[2,4]上存在零点．综合各选项可知选A.2．(高考改编)已知f(x)＝e x－k－x，其中x∈R，当k>1时，判断函数f(x)在[k,2k]内有无零点．解f(k)·f(2k)＝(e k－k－k)·(e2k－k－2k)＝(1－k)·(e k－2k)．∵k>1，∴1－k<0.令g(k)＝e k－2k，g(1)＝e1－2>0，又g′(k)＝e k－2，当k>1时，g′(k)>e－2>0，∴k∈(1，＋∞)，g(k)为增函数．∴g(k)>g(1)>0.∴k>1时，e k－2k>0.∴f(k)·f(2k)<0.∴即函数f(x)当k>1时在[k,2k]内存在零点．3．已知三个函数f(x)＝2x＋x，g(x)＝x－2，h(x)＝log2x＋x的零点依次为a，b，c，则()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．c<a<b答案 B解析由于f(－1)＝12－1＝－12<0，f(0)＝1>0，故f(x)＝2x＋x的零点a∈(－1,0)．∵g(2)＝0，故g(x)的零点b＝2；h(12)＝－1＋12＝－12<0，h(1)＝1>0，故h(x)的零点c∈(12，1)，因此a<c<b.4．已知函数f(x)＝－x2＋2e x＋m－1，g(x)＝x＋e2x(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)试确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．答案(1)m≥2e(2)m>－e2＋2e＋12解析(1)解法一：∵g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)．因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．解法二：作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.解法三：解方程g(x)＝m，即x2－mx＋e2＝0(x>0)．(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点．作出g(x)＝x＋e2x(x>0)的图象如图．∵f(x)＝－x2＋2e x＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2，其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2，故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是m>－e2＋2e＋1.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.7(含答案)
第八章 8.7 第7课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．已知AB→＝(2,4,5)，CD →＝(3，x ，y )，若AB →∥CD →，则( )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝3，y ＝15D ．x ＝6，y ＝152 答案 D解析 ∵AB→∥CD →，∴32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152.2．已知A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)，则平面ABC 的一个单位法向量是( )A ．(33，33，－33)B ．(33，－33，33)C ．(－33，33，33)D ．(－33，－33，－33) 答案 D解析 AB→＝(－1,1,0)，AC →＝(－1,0,1)设平面ABC 的一个法向量n ＝(x ，y ，z ) ∴⎩⎨⎧－x ＋y ＝0－x ＋z ＝0 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，∴n ＝(1,1,1)单位法向量为：±n|n |＝±(33，33，33)．3．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1,4)确定的平面上，则a 等于( )A ．16B ．4C ．2D ．8 答案 A解析 P A →＝(－1，－3,2)，PB →＝(6，－1,4)．根据共面向量定理，设PC →＝xP A →＋yPB→(x 、y ∈R )，则 (2a －1，a ＋1,2)＝x (－1，－3,2)＋y (6，－1,4) ＝(－x ＋6y ，－3x －y,2x ＋4y )，∴⎩⎨⎧2a －1＝－x ＋6y ，a ＋1＝－3x －y ，2＝2x ＋4y ，解得x ＝－7，y ＝4，a ＝16.4．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM ( )A ．是AC 和MN 的公垂线B ．垂直于AC ，但不垂直于MN C ．垂直于MN ，但不垂直于ACD ．与AC 、MC 都不垂直 答案 A解析 建立空间直角坐标系，通过向量运算可得． 5．(2011·中山模拟)△ABC 的顶点分别为A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5 B.41 C ．4 D ．2 5 答案 A解析 设AD →＝λAC →，D (x ，y ，z )，∴由AC →·BD→＝0，得λ＝－45，∴BD→＝(－4，95，125)，∴|BD →|＝5. 6．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在A 1D 、AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝13AC ，则( )A ．EF 至多与A 1D 、AC 之一垂直B ．EF 是A 1D ，AC 的公垂线 C ．EF 与BD 1相交 D ．EF 与BD 1异面 答案 B解析 设AB ＝1，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系．则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，13，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)，A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→＝(－1，－1，1)，EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·EF →＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .7．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2,4 D ．4，407，－15 答案 B解析 ∵AB →⊥BC →，∴AB →·BC →＝0，即3＋5－2z ＝0，得z ＝4，又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC→＝(3,1,4)，则⎩⎨⎧x －1＋5y ＋6＝0，3x －1＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝407，y ＝－157.二、填空题8．设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．答案 垂直解析 由已知a ，b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β.9．若|a |=17，b ＝(1,2，－2)，c ＝(2,3,6)，且a ⊥b ，a ⊥c ，则a ＝________.答案 (－185，2，15)或(185，－2，－15) 解析 设a ＝(x ，y ，z )， ∵a ⊥b ，∴x ＋2y －2z ＝0.① ∵a ⊥c ，∴2x ＋3y ＋6z ＝0.② ∵|a |＝17.∴x 2＋y 2＋z 2＝17.③ ∴联立①②得x ＝－18z ，y ＝10z ，代入③得425z 2＝17，z ＝±15.∴a ＝(－185，2，15)或(185，－2，－15)．10．设a ＝(1,2,0)，b ＝(1,0,1)，则“c ＝(23，－13，－23)”是“c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量”的________．(将正确的序号填上)．①充要条件②充分不必要条件 ③必要不充分条件④既非充分条件也非必要条件 答案 ②解析 当c ＝(23，－13，－23)时，c ⊥a ，c ⊥b 且c 为单位向量，反之则不成立． 三、解答题11．棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，在棱DD 1上是否存在一点P 使B 1D ⊥平面P AC?解析以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系设存在点P (0,0，z )，AP →＝(－a,0，z )，AC →＝(－a ，a,0)，DB 1→＝(a ，a ，a )． ∵B 1D ⊥平面P AC ， ∴DB 1→·AP →＝0，DB 1→·AC →＝0. ∴－a 2＋az ＝0.∴z ＝a ，即点P 与D 1重合．∴存在一点P ，即点P 与D 1重合时，DB 1⊥平面P AC . 12.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .解析 如图所示，以D 为原点，直线DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，CP ＝a ，则P (0,1，a )、A 1(1,0,1)、B 1(1,1,1)、E (12，1,0)、C 1(0,1,1)，∴A 1B 1→＝(0,1,0)，A 1P →＝ (－1,1，a －1)，DE →＝(12，1,0)，DC 1→＝(0,1,1)． 设平面A 1B 1P 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1B 1→＝0， n 1·A 1P →＝0即⎩⎨⎧y 1＝0，－x 1＋y 1＋(a －1)z 1＝0.令z 1＝1，得x 1＝a －1， ∴n 1＝(a －1,0,1)．设平面C 1DE 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DE →＝0，n 2·DC 1→＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋y 2＝0，y 2＋z 2＝0.令x 2＝－2，y 2＝1，z 2＝－1，∴n 2＝(－2,1，－1)． ∵面A 1B 1P ⊥面C 1DE ，∴n 1·n 2＝0⇒－2(a －1)－1＝0，得a ＝12.∴当P 为C 1C 的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .13．已知在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，2AB ＝2AD ＝CD ，侧面P AD 是正三角形且垂直于底面ABCD ，E 是PC 的中点．(1)求证：BE ⊥平面PCD ；(2)在PB 上是否存在一点F ，使AF ∥平面BDE?解析 (1)证明 以AD 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝AD ＝2，则有B (1,2,0)，C (－1,4,0)，D (－1,0,0)，P (0,0，3)，E (－12，2，32)， ∴BE→＝(－32，0，32)，PC →＝(－1,4，－3)， CD→＝(0，－4,0)，∴BE →·PC →＝(－32，0，32)·(－1,4，－3)＝0， BE →·CD→＝(－32，0，32)·(0，－4,0)＝0.即BE ⊥PC ，BE ⊥CD .又PC ∩CD ＝C ，∴BE ⊥平面PCD .(2)解析 设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，∵n ⊥BE →，n ⊥DE →，∴n ·BE →＝0，n ·DE →＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋32z ＝012x ＋2y ＋32z ＝0，令y ＝－1，则x ＝1，z ＝ 3.∴平面BDE 的一个法向量为(1，－1，3)．取PB 中点F ，则有F (12，1， 32)．又A (1,0,0)，∴AF→＝(－12，1，32)，∵AF →·n ＝(－12，1，32)·(1，－1，3)＝－12－1＋32＝0， ∴AF →⊥n .又n 是平面BDE 的法向量，且AF ⊄平面BDE ， ∴AF ∥平面BDE .故存在PB 中点F 使AF ∥平面BDE . 14.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，CE ⊥AC ，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G ，因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形．所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE .(2)因为正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，且CE ⊥AC ，所以CE ⊥平面ABCD .如图，以C 为原点，建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，A (2，2，0)，B (0，2，0)，D (2，0,0)，E (0,0,1)，F (22，22，1)．所以CF →＝(22， 22，1)，BE →＝(0，－2，1)，DE →＝(－2，0,1)．所以CF →·BE →＝0－1＋1＝0，CF →·DE →＝－1＋0＋1＝0.所以CF ⊥BE ，CF ⊥DE ，所以CF ⊥平面BDE .拓展练习·自主餐1．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC .证明：A 1C ⊥平面BED .解析 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D —xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)． DE→＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)， A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)．因为A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE→＝0， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE .又DB ∩DE ＝D ，所以A 1C ⊥平面BED .2．如图，在五面体ABCDEF 中，F A ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .证明：平面AMD ⊥平面CDE .解析 方法一 因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .取AD 中点为P ，连接MP ，则MP ⊥CE .又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .方法二 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，E (0,1,1)，F (0,0,1)，M (12，1，12)．由AM →＝(12，1，12)，CE →＝(－1,0,1)，AD →＝(0,2,0)，可得CE →·AM →＝0，CE →·AD→＝0.因此，CE ⊥AM ，CE ⊥AD .又AM ∩AD ＝A ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .3．如图，已知直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝1＋3，过A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，G 、F 分别为AD 、CE 的中点，现将△ADE 沿AE 折叠，使得DE ⊥EC .(1)求证：BC⊥平面CDE；(2)求证：FG∥平面BCD；(3)在线段AE上找一点R，使得平面BDR⊥平面DCB，并说明理由．解析(1)证明：由已知得DE⊥AE，DE⊥EC，∵AE∩EC＝E，AE、EC⊂平面ABCE，∴DE⊥平面ABCE，∴DE⊥BC.又BC⊥CE，CE∩DE＝E，∴BC⊥平面CDE.(2)证明：取AB中点H，连接GH、FH，如右图，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥平面BCD，FH∥平面BCD，∴平面FHG∥平面BCD，∴GF∥平面BCD.(3)分析可知，R点满足3AR＝RE时，平面BDR⊥平面DCB.证明：取BD中点Q，连接DR、BR、CR、CQ、RQ，如下图．容易计算CD＝2，BR＝52，CR＝132，DR＝212，CQ＝2，在△BDR中，∵BR＝52，DR＝212，BD＝22，可知RQ＝52，∴在△CRQ中，CQ2＋RQ2＝CR2，∴CQ⊥RQ.又在△CBD中，CD＝CB，Q为BD中点，∴CQ⊥BD，∴CQ⊥平面BDR，∴平面BDC⊥平面BDR.(说明：若设AR＝x，通过分析，利用平面BDC⊥平面BDR推算出x＝12亦可，不必再作证明．)4．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M、N分别是A1B1、AB的中点．(1)求证：C1M⊥平面A1ABB1；(2)求证：A1B⊥AM；(3)求证：平面AMC1∥平面NB1C；(4)求A1B与B1C所成的角．思路分析(1)考虑使用线面垂直的判定定理；(2)利用三垂线定理或逆定理；(3)利用两平面平行的判定定理；(4)由于题目中未给出相关的线段长，因此该角一定是特殊角，从90°，60°，45°，30°入手考虑．解析(1)方法一：由直棱柱性质可得AA1⊥平面A1B1C1，又∵C1M⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥MC1.又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1中点，∴C1M⊥A1B1.又A1B1∩A1A＝A1，∴C1M⊥平面A1B1.方法二：由直棱柱性质得：面AA1B1B⊥平面A1B1C1，交线为A1B1，又∵C1A1＝C1B1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1于M.由面面垂直的性质定理可得C1M⊥面AA1B1B.(2)由(1)知C1M⊥平面A1ABB1，∴C1A在侧面AA1B1B上的射影为MA.∵AC1⊥A1B，∴A1B⊥AM.(3)方法一：由棱柱性质知AA1B1B是矩形，M、N分别是A1B1、AB的中点，∴AN綊B1M.∴AMB1N是平行四边形．∴AM∥B1N.连结MN，在矩形AA1B1B中有MB1綊BN，∴BB1MN是平行四边形．∴BB1綊MN.又由BB1綊CC1，知MN綊CC1.∴MNCC1是平行四边形．∴C1M綊CN.又C1M∩AM＝M，CN∩NB1＝N，∴平面AMC1∥平面NB1C.方法二：由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，A1B⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥A1B.又∵A1B⊥AC1，而AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AMC1.同理，可以证明A1B⊥平面B1NC.∴平面AMC1∥平面B1NC.(4)方法一：由(2)知A1B⊥AM，又由已知A1B⊥AC1，AM∩AC1＝A，∴A1B⊥平面AMC1又∵平面AMC1∥平面NB1C.∴A1B⊥平面NB1C.又B1C⊂平面NB1C，∴A1B⊥B1C.∴A1B与B1C所成的角为90°.方法二：由棱柱性质有面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，又CA＝CB＝C1A1，N为AB的中点，∴CN⊥AB.∴CN⊥面AA1B1B.∴CB1在侧面AA1B1B上的射影是NB1.又由(2)知A1B⊥AM，由(3)知B1N∥AM，∴A1B⊥B1N.由三垂线定理知B1C⊥A1B.∴A1B与B1C所成的角为90°.教师备选题1．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；解析(1)解法一设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG，GH，又H为BC的中点，∴GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH.而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.2．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB＝AE，F A＝FE，∠AEF＝45°.(1)求证：EF⊥平面BCE；(2)设线段CD的中点为P，在直线AE上是否存在一点M，使得PM∥平面BCE？若存在，请指出点M的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．解析 解法一：(1)如图，因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC ⊥AB ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，所以BC ⊥平面ABEF .所以BC ⊥EF .因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以∠AEB ＝45°.又因为∠AEF ＝45°，所以∠FEB ＝45°＋45°＝90°，即EF ⊥BE .因为BC ⊂平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE . (2)存在点M ，当M 为线段AE 的中点时，PM ∥平面BCE .取BE 的中点N ，连接CN 、MN ，则MN 綊12AB 綊PC ，所以四边形PMNC 为平行四边形，所以PM ∥CN .因为CN 在平面BCE 内，PM 不在平面BCE 内，所以PM ∥平面BCE .解法二：(1)因为△ABE 为等腰直角三角形，AB ＝AE ，所以AE ⊥AB . 又因为平面ABEF ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABEF ，平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB .∴AE ⊥平面ABCD ，所以AE ⊥AD .因此，AD 、AB 、AE 两两垂直．以A 为坐标原点，建立如下图所示的直角坐标系A －xyz .不妨设AB ＝1，则AE ＝1，B (0,1,0)，D (1,0,0)，E (0,0,1)，C (1,1,0)．因为F A ＝FE ，∠AEF ＝45°，所以∠AFE ＝90°，从而F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，12.所以EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12，BE →＝(0，－1,1)，BC →＝(1,0,0).EF →·BE→＝0＋12－12＝0，EF →·BC →＝0.所以EF ⊥BE ，EF ⊥BC .因为BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ，所以EF ⊥平面BCE . (2)存在点M ，当M 为AE 中点时，PM ∥平面BCE .M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0.从而PM→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12，于是PM →·EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，12·⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，－12＝0. 所以PM ⊥FE ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥ 平面BCE .。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：7.3(含答案)
第七章 7.3第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1．点(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则( ) A ．a ＜－7或a ＞24 B ．－7＜a ＜24 C ．a ＝－7或a ＝24 D ．以上都不对 答案 B解析 ∵(3,1)和(－4,6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧．∴(9－2＋a )·(－12－12＋a )<0即(a ＋7)(a －24)<0 ∴－7<a <24.选B. 2．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14答案 B解析 令x ＋y ＝u ，x －y ＝v ，于是集合B 转化为不等式组⎩⎨⎧u ≤1，u ＋v ≥0，u －v ≥0的平面区域，如图，平面区域的面积为12×2×1＝1.3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为( )A ．3，－11B ．－3，－11C ．11，－3D ．11,3 答案 A解析 本题可以采取较为简单的方法，由于三条直线围成的平面区域是三角形，根据题意可知目标函数z ＝3x －4y 的最值一定在直线的交点处取得．三条直线的交点分别为A (0,2)，B (3,5)，C (5,3)，代入目标函数可得z ＝3x －4y 的最大值为3，在C 点处取得；最小值为－11，在B 点处取得，故选A.4．已知x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≥xx ＋y ≤2x ≥a，且z ＝2x ＋y 的最大值是最小值的3倍，则a ＝( )A ．0 B.13 C.23 D ．1 答案 B解析 依题意可知a <1.作出可行域如图所示，z ＝2x ＋y 在A 点和B 点处分别取得最小值和最大值．由⎩⎨⎧ x ＝a y ＝x 得A (a ，a )，由⎩⎨⎧x ＋y ＝2y ＝x得B (1,1)．∴z max ＝3，z min ＝3a .∴a ＝13.5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1x －2y ＋1≤0x ＋y ≤m，如果目标函数z ＝yx 的最大值为2，则实数m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 B解析 可作可行域如图所示，目标函数z ＝yx 可以看作是可行域中一点与原点连线的斜率，显然目标函数的图象过点A 和点O 时，目标函数z ＝yx 取得最大值2.此时x ＝1，y ＝2，∴m ＝1＋2＝3，故选B.6．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤xx ＋2y ≤4y ≥12x ＋m，且z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值为2，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．(－∞，0]C ．(－∞，43]D ．(0，43] 答案 B解析 画出可行域如图所示，由题知z ＝(x ＋1)2＋(y －1)2，过点(－1,1)作直线y ＝x 的垂线，垂足为原点O ，点(－1,1)与点O 之间距离的平方恰好为2，说明点O一定在可行域内，则直线y ＝12x ＋m 在y 轴上的截距m ≤0，故选B.7．给出平面区域如图所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为( )A.14B.35C ．4 D.53 答案 B解析 －a ＝k AC ＝－35⇒a ＝35.8．已知方程ax 2＋bx －1＝0(a ，b ∈R 且a >0)有两个实数根，其中一个根在区间(1,2)内，则a －b 的取值范围为( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(－∞，1)D ．(－1,1) 答案 A解析 令f (x )＝ax 2＋bx －1，由方程f (x )＝0有一根在(1,2)并结合二次函数图象可知满足：f (1)f (2)＝(a ＋b －1)(4a ＋2b －1)<0⇔⎩⎨⎧a ＋b －1>0，4a ＋2b －1<0，a >0或⎩⎨⎧a ＋b －1<0，4a ＋2b －1>0，a >0.作出满足不等式的(a ，b )所对应的可行域，据线性规划知识可知对目标函数z ＝a －b ，当a ＝0，b ＝1时取得最小值－1.9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )A ．2000元B ．2200元C ．2400元D ．2800元 答案 B解析 设需用甲型货车x 辆，乙型货车y 辆，由题目条件可得约束条件为⎩⎨⎧2x ＋y ≥100≤x ≤40≤y ≤8，目标函数z ＝400x ＋300y ，画图可知，当平移直线400x ＋300y ＝0至经过点(4,2)时，z 取得最小值2200元，故选B.二、填空题10．在区域M ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫0<x <20<y <4内随机撒一粒黄豆，落在区域N ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y <4y >x x >0}内的概率是________．答案 12解析 作出可行域，可知区域M 的面积为8，区域N 的面积为4.故黄豆落在区域N 的概率为48＝12.11．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ≥1y ≤2x －y ≤0表示的平面区域的外接圆的方程为________ .答案 (x －32)2＋(y －32)2＝12解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知△ABC 为等腰直角三角形．从而可得A (2,2)，B (1,1)，因此△ABC 的外接圆的圆心为(32，32)，半径为(2－1)2＋(－1)22＝22.所以所求外接圆的方程为(x －32)2＋(y －32)2＝12.三、解答题12．家具公司做书桌和椅子，需木工和漆工两道程序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工时，漆工平均每两个小时漆一把椅子，一个小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，根据以上条件，安排生产多少把椅子，多少张书桌，能获得最多利润？答案 200 900解析 设生产x 把椅子，y 张书桌，获得利润为z 元，则⎩⎨⎧4x ＋8y ≤8000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0.即⎩⎨⎧x ＋2y ≤2000，2x ＋y ≤1300，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝15x ＋20y .由线性规划知识，作可行域易知x ＝200，y ＝900时，z 取得最大值．13．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c22(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为多少？(百万元)．答案 15解析 可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥00.5x ＋0.7y ≥1.9x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z min ＝3×1＋6×2＝15.14．某公司计划2010年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0. 2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？解析 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元．由题意得⎩⎨⎧x ＋y ≤300500x ＋200y ≤90000x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3000x ＋2000y .二元一次不等式组等价于⎩⎨⎧x ＋y ≤3005x ＋2y ≤900x ≥0，y ≥0，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图． 作直线l ：3000x ＋2000y ＝0， 即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎨⎧x ＋y ＝3005x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)，∴z ＝3000x ＋2000y ＝700000(元)，即在甲、乙两个电视台的广告时间分别为100分钟、200分钟时，收益最大，最大为700000元．教师备选题1．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中的任意点A 与Ω2中的任意点B ，|AB |的最小值等于( )A.285 B ．4 C.125 D ．2 答案 B解析 平面区域Ω1如图中阴影部分所示，由于平面区域Ω2与Ω1关于直线3x －4y －9＝0对称，因此|AB |的最小值即为Ω1中的点A 到直线3x －4y －9＝0的距离的最小值的2倍．由图可知，当点A 与点M (1,1)重合时，Ω1中的点A 到直线3x －4y －9＝0的距离取到最小值|3－4－9|5＝2，故|AB |的最小值为2×2＝4.2．已知实系数一元二次方程x 2＋ (1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1、x 2，并且0<x 1<2，x 2>2，则ba －1的取值范围是( )A ．(－1，－13)B ．(－3，－13]C ．(－3，－12)D ．(－3，－12] 答案 C解析 令f (x )＝x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1， ∵0<x 1<2<x 2，∴⎩⎨⎧ f (0)>0，f ()<0，即⎩⎨⎧a ＋b ＋1>0，3a ＋b ＋7<0. 可行域如图，A (－3,2)；又b a －1的几何意义是(a ，b )与B (1,0)两点连线的斜率， k AB ＝2－3－1＝－12，3a ＋b ＋7＝0的斜率为－3，∴b a －1∈(－3，－12)． 3．已知向量m ＝(a －2b ，a )，n ＝(a ＋2b,3b )，且m ，n 的夹角为钝角，则在aOb 平面上，点(a ，b )所在的区域是( )答案 A解析 ∵m 、n 的夹角为钝角， ∴m ·n <0⇒(a －2b ，a )·(a ＋2b,3b )＝a 2－4b 2＋3ab ＝(a ＋4b )(a －b )<0⎩⎨⎧ a ＋4b >0，a －b <0或⎩⎨⎧a ＋4b <0，a －b >0，故选A.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.6(含答案)
第四章 4.6第6课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1、下列函数中、周期为π、且在[π4、π2]上为减函数的是( ) A 、y ＝sin(2x ＋π2) B 、y ＝cos(2x ＋π2) C 、y ＝sin(x ＋π2) D 、y ＝cos(x ＋π2) 答案 A解析 对于选项A 、注意到y ＝sin(2x ＋π2)＝cos2x 的周期为π、且在[π4、π2]上是减函数、故选A.2、函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是( )A 、(－π4、π4)B 、(0、π2)C 、(π4、3π4)D 、(π2、π) 答案 D解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x 、∴递增区间为2kπ＋π≤2x ≤2kπ＋2π∴kπ＋π2≤x ≤kπ＋π∴k ＝0时、π2≤x ≤π.选D.3、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0、ω>0)在x ＝π4处取得最小值、则( ) A 、f (x ＋π4)一定是偶函数 B 、f (x ＋π4)一定是奇函数C 、f (x －π4)一定是偶函数 D 、f (x －π4)一定是奇函数 答案 A解析 f (x ＋π4)是f (x )向左平移π4个单位得到的f (x )图象关于x ＝π4对称、则f (x ＋π4)图象关于x ＝0对称、故f (x ＋π4)为偶函数、4、定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数、若f (x )的最小正周期为π、且当x ∈[－π2、0)时、f (x )＝sin x 、则f (－5π3)的值为( )A 、－12 B.12C 、－32 D.32 答案 D解析 据题意、由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π3)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32.5、函数y ＝－x cos x 的部分图象是( )答案 D分析 方法一 由函数y ＝－x cos x 是奇函数、知图象关于原点对称、又由当x ∈[0、π2]时、cos x ≥0、有－x cos x ≤0.当x ∈[－π2、0]时、cos x ≥0、有－x cos x ≥0.∴应选D.方法二 特殊值法、由f (±π2)＝0、∵f (π4)＝－π4·cos π4<0、由图象可排除A 、B 、又∵f (－π4)＝π4·cos π4>0、排除C 、故选D.6、关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①∀φ∈R 、f (x ＋2π)＝f (x )； ②∃φ∈R 、f (x ＋1)＝f (x )；③∀φ∈R 、f (x )都不是偶函数； ④∃φ∈R 、使f (x )是奇函数、 其中假命题的序号是( ) A 、①③ B 、①④ C 、②④ D 、②③ 答案 A解析 对命题①、取φ＝π时、f (x ＋2π)≠f (x )、命题①错误；如取φ＝2π、则f (x ＋1)＝f (x )、命题②正确；对于命题③、φ＝0时f (x )＝f (－x )、则命题③错误；如取φ＝π、则f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sin πx 、命题④正确、二、填空题7、设函数y ＝2sin(2x ＋π3)的图象关于点P (x 0,0)成中心对称、若x 0∈[－π2、0]则x 0＝______答案 －π6解析 因为图象的对称中心是其与x 轴的交点、所以由y ＝2sin(2x ＋π3)＝0、x 0∈[－π2、0]、得x 0＝－π6.8、函数f (x )＝sin (2x －π4)－22sin 2 x 的最小正周期是________、 答案 π解析 f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x ＝22sin 2x －22cos 2x －22×1－cos 2x 2＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2、故该函数的最小正周期为2π2＝π.9、设函数f (x )＝sin(3x ＋φ)(0<φ<π)、若函数f (x )＋f ′(x )是奇函数、则φ＝________.答案 2π3解析 由题意得f ′(x )＝3cos(3x ＋φ)、f (x )＋f ′(x )＝2sin(3x ＋φ＋π3)是奇函数、因此φ＋π3＝kπ(其中k ∈Z )、φ＝kπ－π3、又0<φ<π、所以φ＝2π3.10、若函数y ＝f (x )同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)图象关于直线x ＝π3对称；(3)在区间[－π6、π3]上是增函数、则y ＝f (x )的解析式可以是______、答案 y ＝cos(2x －23π)、11、已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同、若x ∈[0、π2]、则f (x )的取值范围是________、答案 [－23、3]解析 ∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同、所以f (x )与g (x )的最小正周期相等、∵ω＞0、∴ω＝2、∴f (x )＝3sin(2x －π6)、∵0≤x ≤π2、∴－π6≤2x －π6≤5π6、∴－12≤sin(2x －π6)≤1、∴－32≤3sin(2x －π6)≤3、即f (x )的取值范围为[－32、3]、12、将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图象、仅向右平移4π3、或仅向左平移2π3、所得到的函数图象均关于原点对称、则ω＝________.答案 12解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半、即有T 2＝4π3－(－2π3)＝2π、T ＝4π、即2πω＝4π、ω＝12.三、解答题13、已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x－1(x∈R)、(1)求函数f(x)的周期、对称轴方程；(2)求函数f(x)的单调增区间、解析f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋π6)、(1)f(x)的周期T＝π、函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋π6(k∈Z)、(2)由2kπ－π2≤2x＋π6≤2kπ＋π2(k∈Z)、得kx－π3≤x≤kπ＋π6(k∈Z)、∴函数f(x)的单调增区间为[kπ－π3、kπ＋π6](k∈Z)、14、已知函数f(x)＝3(sin2x－cos2x)－2sin x cos x.(1)求f(x)的最小正周期；(2)设x∈[－π3、π3]、求f(x)的值域和单调递增区间、解析(1)∵f(x)＝－3(cos2x－sin2x)－2sin x cos x＝－3cos2x－sin2x＝－2sin(2x＋π3)、∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵x∈[－π3、π3]、∴－π3≤2x＋π3≤π、∴－32≤sin(2x＋π3)≤1.∴f(x)的值域为[－2、3]、∵当y＝sin(2x＋π3)单调递减时、f(x)单调递增、∴π2≤2x＋π3≤π、即π12≤x≤π3.故f(x)的单调递增区间为[π12、π3]、15、已知向量m＝(sin w x、－3cos w x)、n＝(sin w x、cos(w x＋π2))(w>0)、若函数f(x)＝m·n的最小正周期为π.(1)求w的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位、再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍、纵坐标不变、得到函数y＝g(x)的图象、求函数y＝g(x)的单调递减区间、解析(1)由题意得f(x)＝m·n＝sin2w x－3cos w x cos(w x＋π2)＝sin2w x＋3cos w x sin w x＝1－cos2w x2＋32sin2w x＝32sin2w x－12cos2w x＋12＝sin(2w x－π6)＋12.因为函数f(x)的最小正周期为π、且w >0、所以2π2w＝π、解得w＝1.(2)将函数y＝f(x)的图象向左平移π12个单位、得到函数y＝f(x＋π12)的图象、再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍、纵坐标不变、得到函数y＝f(x4＋π12)即函数y ＝g(x)的图象、由(1)知f(x)＝sin(2x－π6)＋12、所以g(x)＝f(x4＋π12)＝sin[2(x4＋π12)－π6]＋12＝sinx2＋12.令2kπ＋π2≤x2≤2kπ＋3π2(k∈Z)、解得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π(k∈Z)、因此函数y＝g(x)的单调递减区间为[4kπ＋π、4kπ＋3π](k∈Z)、拓展练习·自助餐1、已知函数y＝2sin(w x＋θ)为偶函数(0<θ<π)、其图象与直线y＝2的某两个交点横坐标为x1、x2、若|x2－x1|的最小值为π、则()A、w＝2、θ＝π2B、w＝－12、θ＝π2C、w＝12、θ＝π4D、w＝2、θ＝π4答案 A解析∵y＝2sin(w x＋θ)为偶函数、∴θ＝π2.∵图象与直线y＝2的两个交点横坐标为x1、x2、|x2－x1|min＝π、即T＝π.2、将函数y＝sin(2x＋π3)的图象沿x轴方向平移|a|个单位后所得的图象关于点(－π12、0)中心对称、则a的值可能为()A、－π12B、－π6C.π12 D.π6答案 C3、已知函数y＝sin πx3在区间[0、t]上至少取得2次最大值、则正整数t的最小值是()A、6B、7C、8D、9答案 C解析周期T＝2ππ3＝6.由题意、T＋T4≤t、得t≥7.5.故选C.4、动点A(x、y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转、12秒旋转一周、已知时间t ＝0时、点A 的坐标是(12、32)、则当0≤t ≤12时、动点A 的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A 、[0,1]B 、[1,7]C 、[7,12]D 、[0,1]和[7,12] 答案 D解析 由已知可得该函数的最小正周期为T ＝12、则ω＝2πT ＝π6、又当t ＝0时、A 的坐标为(12、32)、∴此函数为y ＝sin(π6t ＋π3)、t ∈[0,12]、可解得此函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]、5、已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)当x ∈[－π6、π3]时、f (x )－3≥m 恒成立、试确定m 的取值范围、解 (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1.因此函数f (x )的最小正周期为2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )、得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )、故函数f (x )的单调递减区间为[π6＋k π、2π3＋k π](k ∈Z )、(2)当x ∈[－π6、π3]时、2x ＋π6∈[－π6、5π6]、所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2、因此0≤f (x )≤3. 因为f (x )－3≥m 恒成立、所以m ≤f (x )min －3＝0－3＝－3. 故m 的取值范围是(－∞、－3]、。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：4.8(含答案)
第四章 4.8第8课时一、选择题1．从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β之间的关系是( )A ．α>βB ．α＝βC ．α＋β＝90°D ．α＋β＝180°答案 B2．如图，在河岸AC 测量河的宽度BC ，图中所标的数据a ，b ，c ，α，β是可供测量的数据．下面给出的四组数据中，对测量河宽较适宜的是( )A ．c 和aB ．c 和bC ．c 和βD ．b 和α答案 D3．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，现测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10 km B. 3 km C ．10 5 km D ．107 km答案 D 解析 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km)．4．某人在山外一点测得山顶的仰角为42°，沿水平面退后30米，又测得山顶的仰角为39°，则山高为(sin42°≈0.6691，sin39°≈0.6293，sin3°≈0.0523)( )A ．180米B ．214米C ．242米D ．266米答案 C解析∵∠BCA＝42°，∠BDA＝39°，∴∠DBC＝3°.在△BDC中，DC＝30，DCsin3°＝BCsin39°，∴BC＝30·sin39°sin3°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.5．在200 m高的山顶上，测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为()A.4003m B.40033m C.20033m D.2003m答案 A解析在Rt△BAC中∠ABC＝30°，AB＝200，∴BC＝ABcos30°＝40033，∵∠EBD＝30°，∠EBC＝60°，∴∠DBC＝30°，∠BDC＝120°，在△BDC中，DCsin30°＝BCsin120°，∴DC＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m)．6．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为________千米．()A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°答案 C解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos160°＝1＋1－2×1×1cos(180°－20°)＝2＋2cos20°＝4cos210°，∴BD＝2cos10°.二、填空题7．(2010·潍坊质检)已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A船到灯塔C的距离为2 km，B船在灯塔C北偏西40°处，A、B两船间的距离为3 km，则B船到灯塔C的距离为____km.答案6－1解析如图，由题意可得，∠ACB＝120°，AC＝2，AB＝3.设BC＝x，则由余弦定理可得：AB2＝BC2＋AC2－2BC·AC cos120°，即32＝x2＋22－2×2x cos120°，整理得x2＋2x＝5，解得x＝6－1.8．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案17500解析连接OC，在△OCD中，OD＝100，CD＝150，∠CDO＝60°，由余弦定理得：OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17500.9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗．答案0.6解析在△BCD中，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，CD＝106，由正弦定理，得BC＝CD sin45°sin30°＝203；在Rt△ABC中，AB＝BC sin60°＝203×32＝30(米)．所以升旗速度v＝ABt＝3050＝0.6(米/秒)．三、解答题10．如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为126n mile，在A处看灯塔C在货轮的北偏西30°，距离为83n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°.求：(1)A处与D处的距离；(2)灯塔C与D处的距离．解析(1)在△ABD中，∠ADB＝60°，∴∠B＝45°，由正弦定理得ADsin∠B＝ABsin∠ADB，即AD＝AB sin∠Bsin∠ADB＝126×2232＝24(n mile)．(2)在△ACD中，∵AC＝83，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos∠CAD＝242＋(83)2－2×24×83cos30°＝192.即CD＝83≈14(n mile)．因此A处与D处的距离为24 n mile，灯塔C与D处的距离约为14 n mile.11.如图，港口B在港口O正东方120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向、港口B北偏西30°方向上．一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/时的速度驶离港口O.一艘快船从港口B出发，以60海里/时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去，现两船同时出发，补给物资的装船时间要1小时，问快艇驶离港口B后最少要经过多少时间才能和考察船相遇？解析设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上点D处与考察船相遇，连结CD，则快艇沿线段BC、CD航行．在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60 3.∴快艇从港口B到小岛C需要1小时．在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2)．由余弦定理，得CD2＝OD2＋OC2－2OD·OC·cos∠COD.∴602(x－2)2＝(20x)2＋(603)2－2·20x·603·cos30°.解得x＝3或x＝38.∵x>1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后最少要经过3小时才能和考察船相遇．12.如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距203海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？答案救援船到达D点需要1小时．解析由题意知AB＝5(3＋3)海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB ＝ABsin∠ADB，∴DB＝AB·sin∠DABsin∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°cos60°＋cos45°sin60°＝53(3＋1)3＋12＝103(海里)，又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD＝30(海里)，则需要的时间t＝3030＝1(小时)．答：救援船到达D点需要1小时．注：如果认定△DBC为直角三角形，根据勾股定理正确求得CD，同样给分．教师备选题1.(南京第一次调研)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A，B，灯塔B位于灯塔A的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A的北偏西75°方向，与A相距32海里的D处；乙船位于灯塔B的北偏西60°方向，与B相距5海里的C处．则两艘轮船之间的距离为________海里．答案13解析连接AC，∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴AC＝5；在△ACD中，AD＝32，AC＝5，∠DAC＝45°，由余弦定理得CD＝13.2．甲船在A处观察乙船在它的北偏东60°的B处，此时两船相距a海里，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的3倍，则甲船以什么方式前进才能追赶上乙船？此时乙船行驶了多少海里？解析如图所示，AC 为甲船的航行路线，BC 为乙船的航行路线，设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船，在C 点处追上，若乙船行驶的速度是v ，则甲船行驶的速度是3v ，由于甲、乙两船到达C 点的时间相等，都为t ，则BC ＝v t ，AC ＝3v t .∠ABC ＝120°.由余弦定理可知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋a v t .所以2v 2t 2－a v t －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a 2v (舍去)．所以BC ＝a ，∠CAB ＝30°，θ＝30°.即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船，此时乙船已行驶a 海里．3．某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；(3)是否存在v ，使得小艇以v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v 的取值范围；若不存在，请说明理由．解析 (1)设相遇时小艇的航行距离为S 海里，则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°)＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300，故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．(2)设小艇与轮船在B 处相遇，如图所示．由题意可得：(v t )2＝202＋(30t )2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，化简得：v 2＝400t 2－600t ＋900＝400(1t －34)2＋675.由于0<t ≤12，即1t ≥2，所以当1t ＝2时，v 取得最小值1013，即小艇航行速度的最小值为1013海里/小时．(3)由(2)知v 2＝400t 2－600t ＋900，设1t ＝u (u >0)，于是400u 2－600u ＋900－v 2＝0.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即：⎩⎨⎧6002－1600(900－v 2)>0，900－v 2>0，解得153<u <30. 所以v 的取值范围是(153，30)．4.店铺：奋斗的资料 https:///shop/view_shop.htm?tracelog=twddp&user_number_id=2160821148 如图，某小区准备绿化一块直径为BC 的半圆形空地，△ABC 外的地方种草，△ABC 的内接正方形PQRS 为一水池，其余地方种花．若BC ＝a ，∠ABC ＝θ，设△ABC 的面积为S 1，正方形PQRS 的面积为S 2，将比值S 1S 2称为“规划合理度”． (1)试用a ，θ表示S 1和S 2.(2)当a 为定值，θ＝15°，求“规划合理度”的值．解析 (1)如题图，在Rt △ABC 中，AC ＝a sin θ，AB ＝a cos θ，S 1＝12a 2sin θcos θ＝14a 2sin2θ，设正方形的边长为x ，则BQ ＝x cot θ，RC ＝x tan θ，∴x cot θ＋x ＋x tan θ＝a .∴x ＝a cot θ＋tan θ＋1＝a sin2θ2＋sin2θ， S 2＝(a cot θ＋tan θ＋1)2＝(a sin2θ2＋sin2θ)2. (2)θ＝15°时，S 1＝14a 2sin30°＝18a 2，S 2＝(a sin30°2＋sin30°)2＝a 225，∴S 1S 2＝258。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：8.8(含答案)
第八章 8.8 第8课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1、如图所示、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中、AA 1⊥底面ABC 、AB ＝BC ＝AA 1、∠ABC ＝90°、点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点、则直线EF 和BC 1所成的角是( )A 、45°B 、60°C 、90°D 、120° 答案 B解析 以BC 为x 轴、BA 为y 轴、BB 1为z 轴、建立空间直角坐标系、 设AB ＝BC ＝AA 1＝2、则C 1(2,0,2)、E (0,1,0)、F (0,0,1)、 则EF→＝(0、－1,1)、BC 1→＝(2,0,2) ∴EF →·BC 1→＝2、记EF →、BC 1→所成为θ 则cos θ＝22×22＝12.∴EF 和BC 1所成角为60°.2、在直角坐标系中、A (－2,3)、B (3、－2)、沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角、则AB 的长度为( )A. 2 B 、211 C 、3 2 D 、4 2 答案 B解析 设A 、B 在x 轴上的射影分别为C 、D 、则AC ＝3、BD ＝2、CD ＝5、又AB →＝AC →＋CD →＋DB →、AC →、DB →所夹的角为60°易求得|AB →|＝(AC →＋CD →＋DB →)2＝211.3、如右图所示、在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、O 是底面ABCD 的中心、E 、F 分别是CC 1、AD 的中点、那么异面直线OE 和FD 1所成的角的余弦值等于( )A.105B.155C.45D.23 答案 B解析 本题考查空间向量的运算、设正方体的边长为2、建立如右图所示的坐标系、O (1,1,0)、E (0,2,1)、F (1,0,0)、D 1(0,0,2)、∴FD 1→＝(－1,0,2)、OE →＝(－1,1,1)、∴cos <FD 1→、OE →> ＝FD 1→·OE →|FD 1→|·|OE →|＝1＋0＋25·3＝155.4、已知二面角α—l —β的大小为60°、m 、n 为异面直线、且m ⊥α、n ⊥β、由m 、n 所成的角为( )A 、30°B 、60°C 、90°D 、120° 答案 B解析 画出图形可得B 正确、 5.如图所示、平面α⊥平面β、A ∈α、B ∈β、AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线、垂足为A ′、B ′、则AB:A ′B ′等于( )A 、2:1B 、3:1C 、3:2D 、4:3 答案 A解析 在Rt △ABB ′中、AB ′＝AB ·sin π4＝22AB .在Rt △ABA ′中、AA ′＝AB ·sin π6＝12AB .在Rt △AA ′B ′中、A ′B ′＝AB ′2－AA ′2＝12AB . ∴AB :A ′B ′＝2:1. 6.如图所示、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1、若E 、F 分别是BC 、DD 1的中点、则B 1到平面ABF 的距离为( )A.33B.55C.53D.255 答案 D解析 建立如图所示的空间直角坐标系、则A (1,0,1)、B 1(1,1,0)、设F (0,0、12)、E (12、1,1)、B (1,1,1)AB →＝(0,1,0)、B 1E →＝(－12、0,1)、AF →＝(－1,0、－12)、∵AF →·B 1E →＝(－1,0、－12)·(－12、0,1)＝0、 ∴AF →⊥B 1E →、又AB →⊥B 1E →、∴B 1E →⊥平面ABF 、平面ABF 的法向量为B 1E →＝(－12、0,1)、AB 1→＝(0,1、－1)、 B 1到平面ABF 的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB 1→·B 1E →|B 1E →|＝255. 7、等腰Rt △ABC 中、AB ＝BC ＝1、M 为AC 中点、沿BM 把它折成二面角、折后A 与C 的距离为1、则二面角C —BM —A 的大小为( )A 、30°B 、60°C 、90°D 、120° 答案 C解析 如图、由AB ＝BC ＝1、 ∠ABC ＝90°、得AC ＝ 2.∵M 为AC 中点、∴MC ＝AM ＝22、 且CM ⊥BM 、AM ⊥BM .∴∠CMA 为二面角C －BM －A 的平面角、∵AC ＝1、MC ＝MA ＝22、∴∠CMA ＝90°.8、已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、AB ＝BC ＝4、CC 1＝2、则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32B.52C.105D.1010 答案 C解析 连结A 1C 1交B 1D 1于O 点、由已知条件得C 1O ⊥B 1D 1、且平面BDD 1B 1⊥平面A 1B 1C 1D 1、所以C 1O ⊥平面BDD 1B 1.连结BO 、则BO 为BC 1在平面BDD 1B 1上的射影、∠C 1BO 即为所求、OC 1＝12A 1C 1＝12AC ＝22、BC 1＝42＋22＝2 5.通过计算得sin ∠C 1BO ＝OC 1BC 1＝105.9、正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63 答案 D解析 B B 1与平面ACD 1所成的角等于DD 1与平面ACD 1所成的角、在三棱锥D －ACD 1中、由三条侧棱两两垂直得点D 在底面ACD 1内的射影为等边三角形ACD 1的垂心即中心H 、连接D 1H 、DH 、则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成的角、设正方体棱长为a 、则cos ∠DD 1H ＝63a a ＝63、故选D二、填空题10、正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2、底面的边长为3、E 是SA 的中点、则异面直线BE 和SC 所成的角等于________、答案 60°解析 建立如图所示空间直角坐标系、由于AB ＝3、SA ＝2、可以求得SO ＝22.B (32、32、0)、A (32、－32、0)、 C (－32、32、0)、S (0,0、22)、 由于E 为SA 的中点、∴E (34、－34、24)、 ∴BE→＝(－34、－334、24)、SC →＝(－32、32、－22)、 ∵BE →·SC→＝－1、|BE →|＝2、|SC →|＝ 2. ∴cos BE →、SC →＝－12×2＝－12、BE →、SC →＝120°.∴异面直线BE 与SC 所成的角为60°. 三、解答题11、已知：正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中、底面边长为22、侧棱长为4、E 、F 分别为棱AB 、BC 的中点、(1)求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1； (2)求点D 1到平面B 1EF 的距离、 (1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系、则D (0,0,0)、 B (22、22、0)、E (22、2、0)、 F (2、22、0)、D 1(0,0,4)、 B 1(22、22、4)、EF→＝(－2、2、0)、DB →＝(22、22、0)、DD 1→＝(0,0,4)、 ∴EF →·DB →＝0、EF →·DD 1→＝0. ∴EF ⊥DB 、EF ⊥DD 1、DD 1∩BD ＝D 、 ∴EF ⊥平面BDD 1B 1.又EF ⊂平面B 1EF 、∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.(2)解析 由(1)知D 1B 1→＝(22、22、0)、EF →＝(－2、2、0)、B 1E →＝(0、－2、－4) 设平面B 1EF 的法向量为n 、且n ＝(x 、y 、z )则n ⊥EF →、n ⊥B 1E →即n ·EF →＝(x 、y 、z )·(－2、2、0)＝－2x ＋2y ＝0、 n ·B 1E →＝(x 、y 、z )·(0、－2、－4)＝－2y －4z ＝0、令x ＝1、则y ＝1、z ＝－24、∴n ＝(1,1、－24)、∴D 1到平面B 1EF 的距离d ＝|D 1B 1→·n ||n |＝|22＋22|12＋12＋(－24)2＝161717.12、如图、在五面体ABCDEF 中、四边形ADEF 是正方形、F A ⊥平面ABCD 、BC ∥AD 、CD ＝1、AD ＝22、∠BAD ＝∠CDA ＝45°.(1)求异面直线CE 与AF 所成角的余弦值； (2)证明：CD ⊥平面ABF ；(3)求二面角B －EF －A 的正切值、 解析 (1)因为四边形ADEF 是正方形、所以F A ∥ED .故∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角、因为F A ⊥平面ABCD 、所以F A ⊥CD 、故ED ⊥CD .在Rt △CDE 中、CD ＝1、ED ＝22、CE ＝CD 2＋ED 2＝3、故cos ∠CED ＝EDCE ＝223.所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为223. (2)过点B 作BG ∥CD 、交AD 于点G 、则∠BGA ＝∠CDA ＝45°.由∠BAD ＝45°、可得BG ⊥AB .从而CD ⊥AB .又CD ⊥F A 、F A ∩AB ＝A 、所以CD ⊥平面ABF .(3)由(2)及已知、可得AG ＝ 2.即G 为AD 的中点、取EF 的中点N 、连接GN .则GN ⊥EF .因为BC ∥AD 、所以BC ∥EF .过点N 作NM ⊥EF 、交BC 于M 、则∠GNM 为二面角B －EF －A 的平面角、连接GM 、可得AD ⊥平面GNM 、故AD ⊥GM .从而BC ⊥GM .由已知、可得GM ＝22.由NG ∥F A 、F A ⊥GM 、得NG ⊥GM .在Rt △NGM 中、tan ∠GNM ＝GM NG ＝14.所以二面角B －EF －A 的正切值为14. 13.如图、在三棱锥P －ABC 中、P A ⊥底面ABC 、P A ＝AB 、∠ABC ＝60°、∠BCA ＝90°、点D 、E 分别在棱PB 、PC 上、且DE ∥BC .(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时、求AD 与平面P AC 所成的角的余弦值； (Ⅲ)是否存在点E 使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由、 解析解法一 (Ⅰ)∵P A ⊥底面ABC 、 ∴P A ⊥BC .又∠BCA ＝90°、∴AC ⊥BC 、∴BC ⊥平面P AC 、 (Ⅱ)∵D 为PB 的中点、DE ∥BC 、∴DE ＝12BC .又由(Ⅰ)知、BC ⊥平面P AC 、 ∴DE ⊥平面P AC 、垂足为点E 、∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角、 ∵P A ⊥底面ABC 、∴P A ⊥AB .又P A ＝AB 、∴△ABP 为等腰直角三角形、∴AD ＝12AB .在Rt △ABC 中、∠ABC ＝60°.∴BC ＝12AB 、∴Rt △ADE 中、sin DAE ＝DE AD ＝BC 2AD ＝24、∴cos ∠DAE ＝144. (Ⅲ)∵DE ∥BC 、又由(Ⅰ)知、BC ⊥平面P AC 、 ∴DE ⊥平面P AC .又∵AE ⊂平面P AC 、PE ⊂平面P AC 、 ∴DE ⊥AE 、DE ⊥PE 、∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角、 ∵P A ⊥底面ABC 、∴P A ⊥AC 、∴∠P AC ＝90°、∴在棱PC 上存在一点E 、使得AE ⊥PC . 这时、∠AEP ＝90°.故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角、解法二 如图、以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz .设P A ＝a 、由已知可得A (0,0,0)、B (－12a 、32a,0)、C (0、32a,0)、P (0,0、a )、(Ⅰ)∵AP→＝(0,0、a )、BC →＝(12a,0,0)、 ∴BC →·AP →＝0、∴BC ⊥AP . 又∵∠BCA ＝90°、∴BC ⊥AC 、 ∴BC ⊥平面P AC .(Ⅱ)∵D 为PB 的中点、DE ∥BC 、 ∴E 为PC 的中点、∴D (－14a 、34a 、12a )、E (0、34a 、12a )、 又由(Ⅰ)知、BC ⊥平面P AC 、 ∴DE ⊥平面P AC 、垂足为点E 、∴∠DAE 是AD 与平面P AC 所成的角、 ∵AD→＝(－14a 、34a 、12a )、AE →＝(0、34a 、12a )、 ∴cos DAE ＝AD →·AE →|AD →|·|AE →|＝144.(Ⅲ)同解法一、 14.已知等腰直角三角形RBC 、其中∠RBC ＝90°、RB ＝BC ＝2.点A 、D 分别是RB 、RC 的中点、现将△RAD 沿着边AD 折起到△P AD 位置、(1)求证：BC ⊥PB ；(2)求二面角A －CD －P 的余弦值、 解析 (1)∵点A 、D 分别是RB 、RC 的中点、∴AD ∥BC 且AD ＝12BC .∴∠P AD ＝∠RAD ＝∠RBC ＝90°、 ∴P A ⊥AD 又P A ⊥AB 、DA ∩AB ＝A ∴P A ⊥面ABCD 、∴P A ⊥BC∵BC ⊥AB 、P A ∩AB ＝A 、∴BC ⊥平面P AB . ∵PB ⊂平面P AB 、∴BC ⊥PB .(2)法一：取RD 的中点F 、连结AF 、PF . ∵RA ＝AD ＝1、∴AF ⊥RC .又由(1)知P A ⊥面ABCD 、而RC ⊂平面ABCD 、 ∴P A ⊥RC .∵AF ∩P A ＝A 、 ∴RC ⊥平面P AF .∴∠AFP 是二面角A －CD －P 的平面角、在Rt △RAD 中、AF ＝12RD ＝12RA 2＋AD 2＝22、在Rt △P AF 中、PF ＝P A 2＋AF 2＝62、∴cos ∠AFP ＝AF PF ＝2262＝33.∴二面角A －CD －P 的余弦值是33.法二：建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz 、则D (－1,0,0)、C (－2,1,0)、P (0,0,1)、∴DC→＝(－1,1,0)、DP →＝(1,0,1)、设平面PCD 的法向量为n ＝(x 、y 、z )、则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝－x ＋y ＝0n ·DP →＝x ＋z ＝0、令x ＝1、得y ＝1、z ＝－1、∴n ＝(1,1、－1)、显然、P A →是平面ACD 的一个法向量P A →＝(0,0、－1)、∴cos 〈n 、P A →〉＝|n ·P A →||n |·P A →|＝13×1＝33∴二面角A －CD －P 的余弦值是33. 15.如图、在五棱锥P －ABCDE 中、P A ⊥平面ABCDE 、AB ∥CD 、AC ∥ED 、AE ∥BC 、∠ABC ＝45°、AB ＝22、BC ＝2AE ＝4、三角形P AB 是等腰三角形、(1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ；(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； (3)求四棱锥P －ACDE 的体积、解析 (1)证明：在ΔABC 中、因为∠ABC ＝45°、BC ＝4、AB ＝22、所以AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos 45°＝8、因此AC ＝22、故BC 2＝AC 2＋AB 2 所以∠BAC ＝90°.又P A ⊥平面ABCDE 、AB ∥CD 、 所以CD ⊥P A 、CD ⊥AC 、又P A 、AC ⊂平面P AC 、且P A ∩AC ＝A 、 所以CD ⊥平面P AC 、又CD ⊂平面PCD 、 所以平面PCD ⊥平面P AC .(2)解法一：因为ΔP AB 是等腰三角形、 所以P A ＝AB ＝22、 因此PB ＝P A 2＋AB 2＝4. 又AB ∥CD 、所以点B 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离、 由于CD ⊥平面P AC 、在Rt ΔP AC 中、P A ＝22、AC ＝22、 所以PC ＝4、故PC 边上的高为2、此即为点A 到平面PCD 的距离、 设直线PB 与平面PCD 所成的角为θ、则sin θ＝h PB ＝24＝12、又θ∈[0、π2]、所以θ＝π6.解法二：由(1)知AB 、AC 、AP 两两相互垂直、分别以AB 、AC 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系、由于ΔP AB 是等腰三角形、所以P A ＝AB ＝22、 又AC ＝22、因此A (0,0,0)、B (22、0,0)、 C (0,22、0)、P (0,0,22)、 因为AC ∥ED 、CD ⊥AC 、所以四边形ACDE 是直角梯形、 因为AE ＝2、∠ABC ＝45°、AE ∥BC 、所以∠BAE ＝135°、 因此∠CAE ＝45°、故CD ＝AE ·sin 45°＝2×22＝2、 所以D (－2、22、0)、 因此C P →＝(0、－22、22)、C D →＝(－2、0,0)、 设m ＝(x 、y 、z )是平面PCD 的一个法向量、则m ·CP →＝0、m ·CD →＝0、解得x ＝0、y ＝z 、 取y ＝1、得m ＝(0,1,1)、 又BP →＝(－22、0,22)、设θ表示向量BP →与平面PCD 的法向量m 所成的角、则cos θ＝m ·BP →|m ||BP →|＝12、所以θ＝π3、因此直线PB 与平面PCD 所成的角为π6. (3)因为AC ∥ED 、CD ⊥AC 、 所以四边形ACDE 是直角梯形、 因为AE ＝2、∠ABC ＝45°、AE ∥BC 、 所以∠BAE ＝135°、因此∠CAE ＝45°、故CD ＝AE ·sin 45°＝2×22＝2、ED ＝AC －AE ·cos 45°＝22－2×22＝2、所以S 四边形ACDE ＝2＋222×2＝3.又P A ⊥平面ABCDE 、所以V P －ACDE ＝13×3×22＝2 2.拓展练习·自助餐1.以等腰Rt △ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕、将△ABC 折起(如图)、使折起后的△ABC 恰好为等边三角形、M 为高AD 的中点、则直线AB 与CM 所成角的余弦值为( )A.22B.66C.1010 D 、－1010 答案 C 解析设直角边AB ＝AC ＝2、则BC ＝2 2. 取BD 中点N 、连结MN 、则MN ∥AB 、所以∠NMC 即为所求、∵MN ＝12AB ＝1、MC ＝102＝NC 、在△NCM 中、由余弦定理可得cos ∠NMC ＝1010.2、在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中、各棱长相等、侧棱垂直于底面、点D 是侧面BB 1C 1C 的中心、则AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小是( )A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 答案 C解析 如图是三棱柱ABC －A 1B 1C 1、不妨设各棱长为1.取BC 的中点E 、连接AE 、DE 、∵CC 1⊥底面ABC 、∴侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC 、又E 为BC 的中点、且△ABC 为正三角形、∴AE ⊥BC 、由两平面垂直的性质定理知、AE ⊥平面BB 1C 1C 、∴∠ADE 的大小就是AD 与平面BB 1C 1C 所成角的大小、容易计算∠ADE ＝60°.3、如图、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、P 为棱AB 上一点、过P 点在空间作直线l 、使l 与面ABCD 和ABC 1D 1均成30°角、则这样的直线的条数为( )A 、1B 、2C 、3D 、4 答案 B解析 由于二面角C 1－AB －C 的大小为45°、所以可在二面角内过棱上一点P 作两条直线、均能与平面ABCD 和ABC 1D 1成30°角、4、P 是二面角α－AB －β棱上的一点、分别在α、β平面上引射线PM 、PN 、如果∠BPM ＝∠BPN ＝45°、∠MPN ＝60°、那么二面角α－AB －β的大小为________、答案 90°解析 不妨设PM ＝a 、PN ＝b 、作ME ⊥AB 于E 、NF ⊥AB 于F 、如图： ∵∠EPM ＝∠EPN ＝45°、∴PE ＝22a 、PF ＝22b 、∴EM →·FN →＝(PM →－PE →)·(PN→－PF →) ＝PM →·PN →－PM →·PF →－PE →·PN →＋PE →·PF→ ＝ab cos60°－a ×22b cos45°－22ab cos45°＋22a ×22b ＝ab 2－ab 2－ab 2＋ab2＝0、 ∴EM →⊥FN →、∴二面角α－AB －β的大小为90°. 另外、本题也可不用向量法、由二面角的定义求解、 5.如右图所示、ABCD 是直角梯形、∠ABC ＝90°、SA ⊥底面ABCD 、SA ＝AB ＝BC ＝1、AD ＝12.求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值、解析 以A 为坐标原点、BA 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 建立如图所示的空间直角坐标系、则S (0,0,1)、C (－1,1,0)、D (0、12、0)、∴SC→＝(－1,1、－1)、SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，－1.设平面SCD 的法向量为n ＝(x 、y 、z )、∵n ⊥SC→、n ⊥SD →、 ∴n ·SC →＝0、n ·SD →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y －z ＝0，y 2－z ＝0.解得x ＝z 、y ＝2z .令z ＝1、则n ＝(1,2,1)、又∵平面SAB 的法向量为AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0、 ∴cos 〈n 、AD →〉＝n ·AD →|n |·|AD →|＝0＋1＋06×12＝63.由题意知、二面角为锐角、所以二面角的大小等于两法向量的夹角、∴所求二面角的大小为arccos 63. 6.如图、在平行四边形ABCD 中、AB ＝2BC 、∠ABC ＝120°、E 为线段AB 的中点、将△ADE 沿直线DE 翻折成△A ′DE 、使平面A ′DE ⊥平面BCD 、F 为线段A ′C 的中点、(1)求证：BF ∥平面A ′DE ；(2)设M 为线段DE 的中点、求直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值、解析(1)取A ′D 的中点G 、连结GF 、GE 、由条件易知FG ∥CD 、FG ＝12CD 、BE ∥CD 、BE ＝12CD 、所以FG ∥BE 、FG ＝BE 、故四边形BEGF 为平行四边形、 所以BF ∥EG .因为EG ⊂平面A ′DE 、BF ⊄平面A ′DE 、 所以BF ∥平面A ′DE .(2)在平行四边形ABCD 中、设BC ＝a 、则AB ＝CD ＝2a 、AD ＝AE ＝EB ＝a 、连CE 、因为∠ABC ＝120°、在△BCE 中、可得CE ＝3a 、在△ADE 中、可得DE ＝a 、 在△CDE 中、因为CD 2＝CE 2＋DE 2、所以CE ⊥DE 、 在正三角形A ′DE 中、M 为DE 中点、所以A ′M ⊥DE . 由平面A ′DE ⊥平面BCD 、可知A ′M ⊥平面BCD 、A ′M ⊥CE .取A ′E 的中点N 、连结NM 、NF 、所以NF ⊥DE 、NF ⊥A ′M . 因为DE 交A ′M 于M 、所以NF ⊥平面A ′DE 、 则∠FMN 为直线FM 与平面A ′DE 所成角、在Rt △FMN 中、NF ＝32a 、MN ＝12a 、FM ＝a 、则cos ∠FMN ＝12、所以直线FM 与平面A ′DE 所成角的余弦值为12. 7.如图、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中、E 、F 分别是棱BC 、CC 1上的点、CF ＝AB ＝2CE 、AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；(3)求二面角A 1－ED －F 的正弦值、解析 如图所示、建立空间直角坐标系、点A 为坐标原点、设AB ＝1、依题意得D (0,2,0)、F (1,2,1)、A 1(0,0,4)、E (1、32、0)、(1)易得EF →＝(0、12、1)、A 1D →＝(0,2、－4)、 于是cos EF →、A 1D →＝EF →·A 1D →|EF →||A 1D →|＝－35.所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为35.(2)连接ED 、易知AF →＝(1,2,1)、EA 1→＝(－1、－32、4)、ED →＝(－1、12、0)、于是AF →·EA 1→＝0、AF →·ED→＝0.因此、AF ⊥EA 1、AF ⊥ED .又EA 1∩ED ＝E 、 所以AF ⊥平面A 1ED .(3)设平面EFD 的一个法向量为u ＝(x 、y 、z )、则⎩⎪⎨⎪⎧u ·EF →＝0，u ·ED →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12y ＋z ＝0，－x ＋12y ＝0.不妨令x ＝1、可得u ＝(1,2、－1)、由(2)可知、AF →为平面A 1ED 的一个法向量、 于是cos <u 、AF →>＝u ·AF →|u ||AF →|＝23、从而sin <u 、AF→>＝53.所以二面角A 1－ED －F 的正弦值为53.教师备选题1、将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角、点C 到达C 1点、这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( )A 、－34B 、－34 C.34 D.34 答案 D解析 如图、设正方形边长为1、则BC ＝BC 1＝1.∵AD ∥BC 、∴∠CBC 1就是异面直线AD 与BC 1所成的角、在△BC 1C 中、CC 1＝22、使用余弦定理、即可得出cos ∠CBC 1＝34.2、如图所示、已知四面体顶点A (2,3,1)、B (4,1、－2)、C (6,3,7)和D (－5、－4,8)、求从顶点D 所引的四面体的高h ＝________.答案 11解析 由题意知AB→＝(2、－2、－3)、AC→＝(4,0,6)、DA →＝(7,7、－7)、 设平面ABC 的法向量为n ＝(x 、y 、z )、则由AB →·n ＝0及AC →·n ＝0得⎩⎨⎧2x －2y －3z ＝04x ＋6z ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32z ，y ＝－3z . 令z ＝2、则有n ＝(－3、－6,2)、又∵DA →·n ＝(7,7、－7)·(－3、－6,2)＝－77.而|n |＝7、∴h ＝|DA →·n ||n |＝11. 3.如图所示、ABCD —EFGH 为边长等于1的正方体、若点P 在正方体的内部且满足AP →＝34AB →＋12AD →＋23AE →.则点P 到直线AB 的距离为________、答案 56 解析建立空间坐标系、则B (0,1,0)、D (－1,0,0)、A (0,0,0)、E (0,0,1)、 AP→＝34AB →＋12AD →＋23AE → ＝(－12、34、23)、P 点到AB 的距离为(－12)2＋(23)2＝56.。
【2015高考复习参考】高三数学(理)配套黄金练习：11-3(含答案)
第十一章 11.3 第3课时高考数学（理）黄金配套练习一、选择题1、某单位有职工750人、其中青年职工350人、中年职工250人、老年职工150人、为了了解该单位职工的健康情况、用分层抽样的方法从中抽取样本、若样本中的青年职工为7人、则样本容量为( )A 、7B 、15C 、25D 、35答案 B解析 设样本容量为n 、则依题意有350750×n ＝7、n ＝15、选B.2、某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品、产品的数量之比依次为3∶4∶7、现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本、样本中A 型号产品有15件、那么样本容量n 为( )A 、50B 、60C 、70D 、80答案 C解析 由分层抽样方法得33＋4＋7×n ＝15、解之得n ＝70、故选C. 3、某高中在校学生2000人、高一级与高二级人数相同并都比高三级多1人、为了响应“阳光体育运动”号召、学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动、每其中a ∶b ∶c ＝2∶3∶5、全校参与登山的人数占总人数的25、为了了解学生对本次活动的满意程度、从中抽取了一个200人的样本进行调查、则高二级参与跑步的学生中应抽取( )A 、36人B 、60人C 、24人D 、30人答案 A解析 ∵登山占总数的25、故跑步的占总数的35、又跑步中高二级占32＋3＋5＝310. ∴高二级跑步的占总人数的35×310＝950.由950＝x 200得x ＝36、故选A.4、问题：①某社区有500个家庭、其中高收入家庭125户、中等收入家庭280户、低收入家庭95户、为了了解社会购买力的某项指标、要从中抽出一个容量为100的样本；②从10名学生中抽出3个参加座谈会、方法一：Ⅰ简单随机抽样法；Ⅱ系统抽样法；Ⅲ分层抽样法、问题与方法配对正确的是()A、①Ⅲ、②ⅠB、①Ⅰ、②ⅡC、①Ⅱ、②ⅢD、①Ⅲ、②Ⅱ答案 A解析①因为社会购买力与家庭收入有关、因此要采用分层抽样法；②从10名学生中抽取3名、样本和总体都比较少、适合采用简单随机抽样法、5、从2010名学生中选取50名学生参加全国数学联赛、若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2010人中剔除10人、剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取、则每人入选的概率()A、不全相等B、均不相等C、都相等、且为502010D、都相等、且为502000答案 C6、将参加夏令营的600名学生编号为：001,002、…、600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本、且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区、从001到300在第Ⅰ营区、从301到495在第Ⅱ营区、从496到600在第Ⅲ营区、三个营区被抽中的人数依次为()A、26,16,8B、25,17,8C、25,16,9D、24,17,9答案 B解析依题意及系统抽样的意义可知、将这600名学生按编号依次分成50组、每一组各有12名学生、第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)、令3＋12(k－1)≤300得k≤1034、因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12(k－1)≤495得1034<k≤42、因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42－25＝17.结合各选项知、选B.7、某中学开学后从高一年级的学生中随机抽取90名学生进行家庭情况调查、经过一段时间后再次从这个年级随机抽取100名学生进行学情调查、发现有20名同学上次被抽到过、估计这个学校高一年级的学生人数为()A、180B、400C、450D、2000答案 C解析90x＝20100、∴x＝450.故选C.8、某初级中学有学生270人、其中七年级108人、八、九年级各81人、现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查、考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案、使用简单随机抽样和分层抽样时、将学生按七、八、九年级依次统一编号为1、2、…、270；使用系统抽样时、将学生统一随机编号为1、2、…、270、并将整个编号依次分为10段、如果抽得号码有下列四种情况：①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；②5,9,100,107,111,121,180,190,200,265；③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270；关于上述样本的下列结论中、正确的是()A、②、③都不能为系统抽样B、②、④都不能为分层抽样C、①、④都可能为系统抽样D、①、③都可能为分层抽样答案 D解析对于系统抽样、应在1～27、28～54、55～81、82～108、109～135、136～162、163～189、190～216、217～243、244～270中各抽取1个号；对于分层抽样、应在1～108中抽取4个号、109～189中抽取3个号、190～270中抽取3个号、点评虽然三种抽样的方式、方法不同、但最终每个个体被抽取是等可能的、这正说明了三种抽样方法的科学性和可可行性、要根据不同的研究对象和不同的要求、采取不同的抽样方法、9、衡水中学为了提高学生的数学素养、开设了《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》三门选修课程、供高二学生选修、已知高二年级共有学生600人、他们每人都参加且只参加一门课程的选修、为了了解学生对选修课的学习情况、现用分层抽样的方法从中抽取30名学生进行座谈、据统计、参加《数学史选讲》、《对称与群》、《球面上的几何》的人数依次组成一个公差为－40的等差数列、则应抽取参加《数学史选讲》的学生的人数为()A、8B、10C、12D、16答案 C解析根据题意可得、参加《数学史选讲》的学生人数为240人、抽取比例是30600＝120、故应该抽取240×120＝12人、二、填空题10、将一个总数为A、B、C三层、其个体数之比为5∶3∶2。
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第九章 9.5第5课时 高考数学（理）黄金配套练习 一、选择题
1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点分别为F1、F2、b＝4、离心率为35.过F1
的直线交椭圆于A、B两点、则△ABF2的周长为( ) A．10 B．12 C．16 D．20 答案 D
解析 如图、由椭圆的定义知△ABF2的周长为4a、又e＝ca＝35、即c＝35a、 ∴a2－c2＝1625a2＝b2＝16、∴a＝5、△ABF2的周长为20. 2．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上、长轴长是短轴长的2倍、则m的值是( ) A.14 B.12 C．2 D．4 答案 A
解析 长轴长为2a＝2m、短轴长为2、∴2m＝4.
∴m＝14. 3．已知方程x23＋k＋y22－k＝1表示椭圆、则k的取值范围为( ) A．k>－3且k≠－12 B．－3C．k>2 D．k<－3 答案 B
解析 只需满足： 3＋k>02－k>03＋k≠2－k. 4．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任一点到两焦点的距离分别为d1、d2、焦距为2c.若d1,2c、d2成等差数列、则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22
C.32 D.34 答案 A 解析 由d1＋d2＝2a＝4c、
∴e＝ca＝12. 5．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1、则椭圆长轴的最小值为( ) A．1 B.2 C．2 D．22 答案 D
解析 三角形的面积S＝12·2c·b＝bc＝1、 ∴a2＝b2＋c2≥2bc＝2.∴a≥2.∴2a≥22.选D.
6．设e是椭圆x24＋y2k＝1的离心率、且e∈(12、1)、则实数k的取值范围是( )
A．(0,3) B．(3、163) C．(0,3)∪(163、＋∞) D．(0,2) 答案 C 解析 当k>4时、c＝k－4、由条件知14163； 当0由条件知14<4－k4<1、解得07．若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列、则该椭圆的离心率是( )
A.45 B.35
C.25 D.15 答案 B 解析 由题意有2a＋2c＝2(2b)、即a＋c＝2b、又c2＝a2－b2、消去b整理得
5c2＝3a2－2ac、即5e2＋2e－3＝0、∴e＝35或e＝－1(舍去)．
8．已知椭圆x24＋y23＝1的左顶点为A1、右焦点为F2、点P为该椭圆上一动点、则当PF2→·PA1→的最小值时|PA1→＋PF2→|取值为( ) A．0 B．3 C．4 D．5 答案 B 解析 由已知得a＝2、b＝3、c＝1、所以F2(1,0)、A1(－2,0)、设P(x、y)、
则PF2→·PA1→＝(1－x、－y)·(－2－x、－y)＝(1－x)(－2－x)＋y2.又点P(x、y)在椭圆上、所以y2＝3－34x2、代入上式、 得PF2→·PA1→＝14x2＋x＋1＝14 (x＋2)2、 又x∈[－2,2]、 ∴x＝－2时、PF2→·PA1→取得最小值． 所以P(－2,0)、求得|PF2→＋PA1→|＝3. 二、填空题
9．已知点M(3、0)、椭圆x24＋y2＝1与直线y＝k(x＋3)交于点A、B、则△ABM的周长为______________． 答案 8
解析 直线y＝k(x＋3)过定点N(－3、0)、而M、N恰为椭圆x24＋y2＝1的两个焦点、由椭圆定义知△ABM的周长为4a＝4×2＝8. 10．已知中心在原点、长轴在x轴上、一焦点与短轴两端点连线互相垂直、焦点与长轴上较近顶点的距离为4(2－1)、则此椭圆方程是________．
答案 x232＋y216＝1
解析 由题意、得 a－c＝2－，b＝c，a2＝b2＋c2，解得 a＝42，b＝4， 所以椭圆方程为x232＋y216＝1. 11.
如图、F1和F2分别是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的两个焦点、A和B是以O为圆心、以|OF1|为半径的圆与该椭圆的两个交点、且△F2AB是等边三角形、则椭圆的离心率为________． 答案 3－1 解析 依题意知∠F1AF2＝90°、∠AF2F1＝30°、
∴|AF1|＝12|F1F2|＝c、|AF2|＝3c.
由椭圆的定义得|AF2|＋|AF1|＝2a、(3＋1)c＝2a⇒e＝ca＝3－1. 12．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2、且|F1F2|＝2c、点A在椭圆上、AF1→·F1F2→＝0、AF1→·AF2→＝c2、则椭圆的离心率e等于________． 答案 5－12 解析 不妨设A在x轴上方、由AF1→·F1F2→＝0知：A－c，b2a、AF1→＝0，－b2a、AF2→＝2c，－b2a、∴AF1→·AF2→＝0＋b4a2＝c2、∴b4＝a2c2、(a2－c2)2＝a2c2、∴c4－3a2c2
＋a4＝0、c2＝3－52a2、∴e2＝3－52、∴e＝5－12. 13．已知F1、F2是椭圆的两个焦点、满足MF1→·MF2→＝0的点M总在椭圆内部、则椭圆离心率的取值范围是________．
答案 (0、22)
解析 依题意得、 c0三、解答题 14.
如图所示：已知圆C：(x＋1)2＋y2＝8、定点A(1,0)、M为圆上一动点、点P在AM上、点N在CM上、且满足AM→＝2AP→、NP→·AM→＝0、点N的轨迹为曲线E、求曲线E的方程．
解析 ∵AM→＝2AP→、NP→·AM→＝0、 ∴NP为AM的垂直平分线、 ∴|NA|＝|NM|、又|CN|＋|NM|＝22、 ∴|CN|＋|NA|＝22>2. ∴动点N的轨迹为以点C(－1,0)、A(1,0)为焦点的椭圆、且2a＝22、2c＝2、∴a＝2、c＝1.
∴曲线E的方程为x22＋y2＝1. 15．已知椭圆C的中心在原点、一个焦点为F(－2,0)、且长轴长与短轴长的比是23. (1)求椭圆C的方程；
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上、点P是椭圆上任意一点．当|MP→|最小时、点P恰好落在椭圆的右顶点、求实数m的取值范围．
解析 (1)设椭圆C的方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．
由题意、得 a2＝b2＋c2，a:b＝2:3，c＝2， 解得a2＝16、b2＝12. 所以椭圆C的方程为x216＋y212＝1.
(2)设P(x、y)为椭圆上的动点、由于椭圆方程为x216＋y212＝1、故－4≤x≤4. 因为MP→＝(x－m、y)、 所以|MP→|2＝(x－m)2＋y2＝(x－m)2＋12·(1－x216)＝14x2－2mx＋m2＋12＝14(x－4m)2＋12－3m2. 因为当|MP→|最小时、点P恰好落在椭圆的右顶点、 即当x＝4时、|MP→|2取得最小值、而x∈[－4,4]、 故有4m≥4、解得m≥1. 又点M在椭圆的长轴上、所以－4≤m≤4. 故实数m的取值范围是[1,4]．
16．已知椭圆E经过点A(2,3)、对称轴为坐标轴、焦点F1、F2在x轴上、离心率e＝12. (1)求椭圆E的方程； (2)求∠F1AF2的角平分线所在直线l的方程；
解析 (1)设椭圆E的方程为x2a2＋y2b2＝1、
由e＝12、即ca＝12、得a＝2c、得b2＝a2－c2＝3c2. ∴椭圆方程可化为x24c2＋y23c2＝1. 将A(2,3)代入上式、得1c2＋3c2＝1、解得c＝2、 ∴椭圆E的方程为x216＋y212＝1. (2)由(1)知F1(－2,0)、F2(2,0)、所以直线AF1的方程为：y＝34(x＋2)、即3x－4y＋6＝0、直线AF2的方程为：x＝2. 由点A在椭圆E上的位置知、直线l的斜率为正数．
设P(x、y)为l上任一点、则|3x－4y＋6|5＝|x－2|. 若3x－4y＋6＝5x－10、得x＋2y－8＝0(因其斜率为负、舍去)． 于是、由3x－4y＋6＝－5x＋10、 得2x－y－1＝0、 所以直线l的方程为：2x－y－1＝0. 拓展练习·自助餐 1．椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0,2)、那么k等于( ) A．－1 B．1 C.5 D．－5 答案 B
解析 化为标准方程：x2＋y25k＝1.∵焦点为(0,2)、∴焦点在y轴、且c＝－2、
∴5k＝4＋1、∴k＝1. 2．椭圆x225＋y29＝1上一点M到焦点F1的距离为2、N是MF1的中点．则|ON|等于( ) A．2 B．4
C．8 D.32 答案 B 解析 |ON|＝12|MF2|＝12(2a－|MF1|)＝12(10－2)＝4、故选B. 3．设椭圆的两个焦点分别为F1、F2、过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P、若F1PF2为等腰直角三角形、则椭圆的离心率为( )
A.22 B.2－12 C．2－2 D.2－1 答案 D 解析 数形结合：令F1F2＝1、则|PF2|＝1、|PF1|＝2.
∴e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝12＋1＝2－1
4．(09·江西)已知F1、F2为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦点；M为椭圆上一点、MF1垂直于x轴、且∠F1MF2＝60°、则椭圆的离心率为( ) A.12 B.22
C.33 D.32 答案 C 解析 解法一 ∵|F1F2|＝2c、MF1⊥x轴、
∴|MF1|＝233c、|MF2|＝433c.
∴2a＝|MF1|＋|MF2|＝23c.∴e＝2c2a＝33. 解法二 由F1(－c,0)、将x＝－c代入x2a2＋y2b2＝1、