2015年考研数学三真题
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)答案
1)
lim
x0
cos x x2
1
1 2
（10）【答案】 2
【解析】因为 f (x) 连续，所以(x) 可导，所以(x) x2 f (t)dt 2x2 f (x2 ) ； 0
因为(1) 1，所以(1) 1 f (t)dt 1 0
又因为(1) 5 ，所以(1) 1 f (t)dt 2 f (1) 5 0
故 f (1) 2
（11）【答案】 1 dx 2 dy 33
【解析】当 x 0 ， y 0 时带入 ex2 y3z xyz 1，得 z 0 。 e 对 x2 y3z xyz 1求微分，得 d (ex2 y3z xyz) ex2 y3zd (x 2 y 3z) d (xyz)
4
sin 2
2tdt
2
u2t
2
sin 2
udu
2
2.
0
50
5 45
（17）【答案】(I)略(II) P 30 .
【解析】(I)由于利润函数 L(Q) R(Q) C(Q) PQ C(Q) ,两边对 Q 求导，得
dL P Q dP C(Q) P Q dP MC .
dQ
dQ
dQ
当且仅当
dL dQ
0 时，利润
L(Q)
最大，又由于
P Q
dQ dP
,所以
dP dQ
1
P Q
,
故当
P
MC
1
1
时，利润最大.
(II)由于 MC C(Q) 2Q 2(40 P) ,则 P dQ P 代入(I)中的定价 Q dP 40 P
模型，得
P
2(40 P) 1 40 P
,从而解得
2015数三考研真题答案
2015数三考研真题答案2015年的数学三科考研真题是许多考生备战考研的重要参考资料。
对于考生来说，解答这些真题不仅可以检验自己的数学水平，还可以帮助他们了解考试的难度和出题规律。
本文将对2015年数学三科考研真题进行解析，帮助考生更好地应对考试。
首先，我们来看看2015年数学三科考研真题的整体难度。
根据考生的反馈和专家的评价，这套真题整体难度适中，涵盖了数学三科的各个知识点。
有些题目需要考生具备较高的计算和推理能力，而有些题目则更注重对基本概念和定理的理解。
因此，考生在备考过程中应该注重对基础知识的掌握，同时也要提高自己的解题能力。
接下来，我们来具体分析一些考题。
第一道题目是关于极限的计算题。
这类题目在考研中经常出现，要求考生熟练掌握极限的计算方法和性质。
这道题目考察了对极限的定义和性质的理解，考生需要运用极限的四则运算法则和极限的性质进行计算，最后得出正确的结果。
第二道题目是关于微分方程的题目。
微分方程是数学三科的重要内容，也是考研中常考的知识点。
这道题目考察了对微分方程的解法和性质的理解。
考生需要根据给定的微分方程，运用分离变量的方法求解，并验证所得解是否符合初始条件。
这道题目要求考生具备较高的计算和推理能力，需要综合运用多个知识点进行解答。
第三道题目是关于线性代数的题目。
线性代数是数学三科的另一个重要内容，也是考研中常考的知识点。
这道题目考察了对矩阵的性质和运算规则的理解。
考生需要根据给定的矩阵，计算其特征值和特征向量，并判断矩阵是否可对角化。
这道题目要求考生熟练掌握矩阵的运算方法和性质，能够灵活运用矩阵的相关知识进行解答。
综上所述，2015年数学三科考研真题涵盖了数学三科的各个知识点，难度适中。
考生在备考过程中应该注重对基础知识的掌握，同时也要提高自己的解题能力。
通过解答这些真题，考生可以了解考试的难度和出题规律，为自己的备考提供参考。
希望本文对考生们的备考有所帮助，祝愿大家都能取得好成绩！。
数三15年真题答案解析
数三15年真题答案解析数学三如同其他高考科目，是考试成绩的重要组成部分。
对于考生来说，熟悉和掌握数学三的题型和解题方法，是提高分数的关键。
因此，深入研究数学三真题的答案解析，对于备考者来说是非常有价值的。
在本文中，将以数学三2015年真题为例，对其答案进行解析和探讨。
首先，我们来看一道选择题。
2015年数学三的选择题相对较多，这道题目是其中的一道。
题目如下：某班级进行了一次成绩测试，其中数学分数达到60分及格线的有90%的学生，达到80分的学生是及格学生的1/3，而达到90分的学生占及格学生的1/9。
那么，成绩在80分以上，不及格的学生占总人数的几分之几？解析：首先，我们假设班级总人数为x人。
根据题目条件，达到60分及格线的学生人数为0.9x人，达到80分的学生为及格学生的1/3，即0.9x/3=0.3x人，而达到90分的学生占及格学生的1/9，即0.9x/9=0.1x人。
将三个分数段的人数总和与总人数相减，即得不及格的学生人数为x-(0.9x+0.3x+0.1x)=0.2x人。
那么，成绩在80分以上，不及格的学生人数占总人数的比例为(0.3x+0.1x)/x=0.4，即40%。
所以，该题的正确答案是40%。
接下来，我们来看一道填空题。
2015年数学三的填空题横跨了各个知识点和难度等级。
下面是一道典型题目：下列集合不满足哪个关系？{0, 1} ⊂ {0, 1, 2, 3, 4}{0, 1} ⊃ {0, 1, 2}{0, 1} ⊆ {0, 1}{0, 1} ⊇ {0, 1}解析：题目要求我们找出不满足某一关系的集合。
对于第一、第三和第四个选项来说，集合中的元素完全一样，只是关系符号不同。
“⊆”表示子集关系，“⊇”表示超集关系，“⊂”表示真子集关系，“⊃”表示真超集关系。
因此，这三个选项中都不满足题目要求。
接着，我们来看第二个选项。
{0, 1} ⊃ {0, 1, 2}的意思是{0, 1, 2}是{0, 1}的真子集，即{0, 1, 2}中的元素都是{0, 1}中的元素，并且{0, 1, 2}中还有其他元素。
数3--15真题答案
2015年考研数学（三）试题答案速查一、选择题（1）D （2）C （3）B （4）C （5）D （6）A （7）C （8）B 二、填空题（9）12− （10）2 （11）1(d 2d )3x y −+ （12）2e 2e x x −+（13）21 （14）21三、解答题 （15）111,,23a b k =−=−=−. （16）π245−. （17）（Ⅰ）略.（Ⅱ）30p =. （18）8()4f x x=−. （19）（Ⅰ）略.（Ⅱ）121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ （20）（Ⅰ）0a =.（Ⅱ）312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X .（21）（Ⅰ）4,5a b ==.（Ⅱ）1231100101,010011005−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭P P AP .（22）（Ⅰ）2217{}(1),2,3,88n P Y n n n −⎛⎫⎛⎫==−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（Ⅱ）16EY =.（23）（Ⅰ）21X θ=−其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）12min{,,,}n X X X θ=.2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）参考答案一、选择题：1～8小题,每小题4分,共32分．下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）【答案】D ．【解答】数列收敛，那么它的任意子列都收敛于相同的极限．所以A,C 正确．D 明显是部分子列收敛，并不代表所有子列都收敛于相同的极限，所以D 选项不正确，故选择D ． （2）【答案】C ．【解答】拐点出现在二阶导数等于0的点或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号，因此，由)(x f ''的图形可得，曲线)(x f y =存在两个拐点，故选C ． （3）【答案】B ．【解答】如图所示，在极坐标下该区域要分成两部分1π{(,)0,02sin },4D r r θθθ= 2ππ{(,),02cos }42D r r θθθ=． 所以(,)d d Df x y x y ⎰⎰ππ2sin 2cos 42π04(cos ,sin )d d (cos ,sin )d d f r r r r f r r r r θθθθθθθθ=+⎰⎰⎰⎰,故选B ．（4）【答案】C ．【解答】A 为正项级数，因为131331lim 1<=++∞→nn n n n ，所以A 收敛． B 3211)~n n +，故B 选项也是收敛的．而 ∑∞=+−1ln 1)1(n n n ∑∑∞=∞=+−=11ln 1ln )1(n n n n n ，根据莱布尼茨判别法可知∑∞=−1ln )1(n nn 收敛，由∑∞=∞→⇒+∞=1ln 11ln 1lim n n nnn 发散．故选C ．x对于选项D ，利用正项级数的比值审敛法，1(1)!1(1)lim lim 1!1nn n n nn n n n n en +→∞→∞++⎛⎫==< ⎪+⎝⎭，收敛． （5）【答案】D ．【解答】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−⎝⎭⎝⎭A b . 由()(,)3r r =<A A b 得12,12a a d d ====或且或，故选D ． （6）【答案】A ．【解答】由题意知T200010001⎛⎫⎪= ⎪⎪−⎝⎭P AP ，又100001010⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪−⎝⎭Q P PC ，T T T 200()010001⎛⎫⎪==− ⎪ ⎪⎝⎭Q AQ C P AP C ，故选择A ．（7）【答案】C .【解答】由于,AB A AB B ⊂⊂，所以()(),()()P AB P A P AB P B ，故()()()2P A P B P AB +，因此选C ．（8）【答案】B ．【解答】根据样本方差212)(11∑=−−=ni i X X n S 的性质)1(2θθ−==m DX ES ，从而 )1()1()1(])([221θθ−−=−=−∑=m n ES n X X E ni i ，故选择B ．二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）【答案】12−. 【解答】211cos lim )1cos 1ln(lim cos ln lim 202020−=−=−+=→→→x x x x x x x x x .（10）【答案】2. 【解答】由22()()d ()d x x x xf t t x f t t ϕ==⎰⎰，得2220()()d 2()x 'x f t t x f x ϕ=+⎰，再由(1)1(1)5,ϕϕ'==，得1()d 1f t t =⎰，解得(1)2f =．（11）【答案】1(d 2d )3x y −+.【解答】当00x ,y ==时解得0z =，对该式两边分别对,x y 求偏导得，2323(3e )e x y z x y z zxy yz x++++∂+=−−∂， 2323(3e )2e x y z x y z zxy xz y++++∂+=−−∂，将)0,0,0(带入得(0,0)d z =1(d 2d )3x y −+． （12）【答案】2e2e xx −+.【解答】由题可知特征方程为220λλ+−=，特征根121,2λλ==−，所以通解为212e e x x y C C −=+，再有0)0(,3)0(='=y y ，得122,1C C ==，所以2()e 2e x x y x −=+．（13）【答案】21.【解答】由矩阵A 的特征值为2，-2，1，可知矩阵B 的特征值分别为3，7，1，由行列式与特征值的关系可得，37121=⨯⨯=B ． （14）【答案】21. 【解答】由已知可得)1,0(~),1,1(~N Y N X ,且,X Y 相互独立，故{0}{(1)0}P XY Y P X Y −<=−< {10,0}{10,0}P X Y P X Y =−><+−<>11{10}{0}{10}{0}[{1}{1}]22P X P Y P X P Y P X P X =−><+−<>=>+<=.三、解答题：15～23小题,共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分） 解：由题可知极限3ln(1)sin lim1x x a x bx xkx →+++=．而，原式2333330()()236limx x x x x a x o x bx x o x kx →⎡⎤⎡⎤+−+++−+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=23330(1)()()23lim x a aa xb x x o x kx →++−++=． 要使得该极限值为1，必有10,0,23a a a b k +=−==，所以111,,23a b k =−=−=−．解：由条件可知积分区域关于y 轴对称，所以由二重积分的对称性可知，d d 0Dxy x y =⎰⎰，所以2()d d d d DDx x y x y x x y +=⎰⎰⎰⎰． 而π222402d d 2sin 2cos d 5Dx x t t t ⋅−⎰⎰⎰π22021π2π22sin d 522545u t u u =−=⋅−=−⎰．（17）（本题满分10分）解：（Ⅰ）由于利润函数()()()()L Q R Q C Q pQ C Q =−=−,两边对Q 求导得d d d ()d d d L p pp Q C Q p Q MC Q Q Q'=+−=+− 当且仅当d 0d L Q = 时，利润最大，又由于d d p pQ Qη=−⋅，所以d 1d p p Q Q η=−⋅， 故当11MCp η=−时，利润最大． （Ⅱ）由于d ()22(40),d 40p Q pMC C Q Q p Q P pη'===−=−⋅=−则带入（I ）中的定价模型，2(40)401p p p P−=−−，得30p =.（18）（本题满分10分）解：设)(x f 在点))(,(00x f x 的切线方程为))(()(000x x x f x f y −'=−． 令0y =，得000(),()f x x x f x =−+'由条件知000()1()42()f x f x f x ⋅='， 可得218y y '=,18xC y =−+.又(0)2f =,有12C =，因此8(),4f x x I x =∈−.解：（I ）[]0()()()()()()limh u x h v x h u x v x u x v x h→++−'=000()()()()()()()()lim()()()()()()()()lim lim h h h u x h v x h u x h v x u x h v x u x v x hu x h v x h u x h v x u x h v x u x v x h h→→→++−+++−=++−++−=+()()()().u x v x u x v x ''=+（II ）由题意知121212()()()()()()()()()().n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++（20）(本题满分11分)解：（I ）由3=A O ，得31011001a a a a=−==A ，故可得0a =．（II ）由条件22−−+=X XA AX AXA E ，可知222()()()()A −−−=−−=X E AX E A E A X E A E ．所以 1212121()()[()()]()−−−−=−−=−−=−−X E A E A E A E A E A A ．因为 2011111112−⎛⎫ ⎪−−=− ⎪ ⎪−−⎝⎭E A A ，利用初等变换可得 21312()111211−−⎛⎫⎪−−=− ⎪ ⎪−⎝⎭E A A ，所以 312111211−⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭X ．（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）因为,A B 相似，所以()()tr tr =A B 且=A B ，即31123a b a b +=++⎧⎨−=⎩①② 联合①②两式，解得45a b =⎧⎨=⎩． （Ⅱ）因为,A B 相似，所以21200(1)(5)031b λλλλλλλ−−=−=−=−−−−E A E B ， 得矩阵A 的特征值为11λ=（二重），25λ=.当11λ=时，解方程组()−=0E A x ，得基础解系为T T12(2,1,0),(3,0,1)==−ξξ， 当25λ=时，解方程组(5)−=0E A x ，得基础解系为T3(1,1,1)=−−ξ．令可逆矩阵123231(,,)101011−−⎛⎫⎪==− ⎪⎪⎝⎭P ξξξ,使得1100010005−⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P AP ．（22）（本题满分11分）解：（Ⅰ）记p 为观测值大于3的概率，则31{3}2ln 2d 8x p P X x +∞−=>==⎰． 从而Y 的概率分布，,3,2,8781)1()1(}{22211=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛−=−==−−−n n p p p C n Y P n n n（Ⅱ）22227228171(1)(1)888n n n n x EY n n n n x−∞∞−===⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=− ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑.记11,)1()(221<<−−=∑∞=−x xn n x S n n ，则321)1(2)(x x x S n n −="⎪⎭⎫⎝⎛=∑∞=， 322212)1(2)1()1()(x xx n n x xn n x S n n n n −=−=−=∑∑∞=−∞=−，3222223)1(2)1()1()(x x xn n xx n n x S n n n n−=−=−=∑∑∞=−∞=， 所以xx S x S x S x S −=+−=12)()(2)()(321， 故 16)87(==S EY .（23）（本题满分11分） 解：（Ⅰ）由-1()d 2EX xf x x X θ+∞∞+===⎰，解得21X θ=−． 所以θ的矩估计量为21X θ=−，其中11ni i X X n ==∑.（Ⅱ）设12,,n x x x 为样本观测值，则似然函数);()(1θθ∏==ni i x f L .当1i x θ时，1()1nL θθ⎛⎫= ⎪−⎝⎭，可得ln ()ln(1)L n θθ=−−，所以，d ln ()d 1L nθθθ=−，关于θ单调增加． 故θ的最大似然估计量12min{,,,}n X X X θ=.。
2015考研数学试题及答案
2015考研数学试题及答案一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分）1. 极限的定义是：A. 函数在某点的极限B. 函数在某点的导数C. 函数在某点的积分D. 函数在某点的连续性答案：A2. 以下哪个函数是偶函数？A. f(x) = x^2 + 1B. f(x) = x^3 - 1C. f(x) = x^2 - xD. f(x) = x^3 + x答案：A3. 以下哪个函数是周期函数？A. f(x) = e^xB. f(x) = sin(x)C. f(x) = ln(x)D. f(x) = x^2答案：B4. 以下哪个选项是正确的不定积分？A. ∫x dx = x^2 + CB. ∫x^2 dx = x^3 + CC. ∫e^x dx = e^x + CD. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C答案：C5. 以下哪个选项是正确的二阶导数？B. f''(x) = 2x + 1C. f''(x) = 2x^2D. f''(x) = 2答案：D6. 以下哪个选项是正确的泰勒级数展开？A. e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + ...B. sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ...C. cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - ...D. ln(1+x) = x - x^2/2 + x^3/3 - ...答案：A7. 以下哪个选项是正确的多元函数偏导数？A. ∂f/∂x = 2xB. ∂f/∂y = 2yD. ∂f/∂x = 2x + 3y答案：D8. 以下哪个选项是正确的二重积分？A. ∬R f(x, y) dx dy = ∫∫R f(x, y) dx dyB. ∬R f(x, y) dx dy = ∫∫R f(y, x) dy dxC. ∬R f(x, y) dx dy = ∫∫R f(x, y) dy dxD. ∬R f(x, y) dx dy = ∫∫R f(y, x) dx dy答案：A二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）9. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是_________。
中国测绘科学研究院考研网：2015年考研数学真题及答案
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第二部分模拟试题及详解全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（一）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（二）全国硕士研究生招生考试考研数学三模拟试题及详解（三）第一部分历年真题及详解解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数的（）。
A．跳跃间断点B．可去间断点C．无穷间断点D．振荡间断点【答案】B查看答案【考点】函数间断点的类型【解析】首先利用间断点的定义确定该点为间断点，然后利用如下的间断点的类型进行判断。
第一类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与均存在，则称x＝x0为函数f（x）的第一类间断点，其中：①跳跃型间断点：②可去型间断点：第二类间断点：x＝x0为函数f（x）的间断点，且与之中至少有一个不存在，则称x＝x0为函数f（x）的第二类间断点，其中：①无穷型间断点：与至少有一个为∞；②振荡型间断点：或为振荡型，极限不存在。
考研数学三(线性代数)历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析)
考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．[2015年]设A，B为n阶矩阵，记r(X)为矩阵X的秩，(X，Y)分别表示分块矩阵，则( )．A．r(A，AB)=r(A)B．r(A，BA)=r(A)C．r(A，B)=max{r(A)，r(B)}D．r(A，B)=r(ATBT)正确答案：A解析：解一易知r(A，AB)≥r(A)．又由分块矩阵的乘法，可知(A，AB)=A(E，B)，因此r(A，AB)≤min{r(A)，r(E，B)}，从而r(A，AB)≤r(A) 所以r(A，AB)=r(A)，故选项(A)正确．解二排除法对选项(B)，取则r(A)=1，r(A，BA)=2．对选项(C)，取则r(A)=r(B)=1，r(A，B)=2．对选项(D)，取则r(A，B)=1，r(AT，BT)=2．知识模块：线性代数2．[2003年] 设三阶矩阵若A的伴随矩阵的秩等于1，则必有( )．A．a=b或a+2b=0B．a=b或a+2b≠0C．a≠b且a+2b=0D．a≠b且a+2b≠0正确答案：C解析：解一因秩(A*)=1，由A与其伴随矩阵A*的秩的关系知，秩(A)=n －1=3－1=2．因为使秩(A)=2，必有|A|=0，且即a≠b，故a≠b且a+2b=0．仅(C)入选．解二由|A|=(a+2b)(a－b)2=0，得到a+2b=0或a=b．但当a=b时，秩(A)=1≠2，故a+2b=0且a≠b．仅(C)入选．知识模块：线性代数3．[2005年] 设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B－C为( )．A．EB．－EC．AD．－A正确答案：A解析：解一仅(A)入选．由B=E+AB得到(E－A)B=E，两边左乘(E－A)－1得到B=(E－A)－1．由C=A+CA得到C(E－A)=A，两边右乘(E－A)－1，得到C=A(E—A)－1，则B－C=(E－A)－1－A(E－A)－1=(E－A)(E－A)－1=E．解二由B=E+AB，C=A+CA，有B－AB=E，C－CA=A．于是(E－A)B=E，C(E－A)=A，①则E—A与B可逆，且互为逆矩阵．于是有B(E －A)=E，②则由式②一式①，得到B(E－A)－C(E－A)=(B－C)(E－A)=E —A，即B－C=E．仅(A)入选．知识模块：线性代数4．[2006年] 设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B 的第1列的－1倍加到第2列得C，记则( )．A．C=P－1APB．C=PAP－1C．C=PTAPD．C=PAPT正确答案：B解析：将单位矩阵E的第2行加到第1行即得初等矩阵P，由初等矩阵与初等变换的关系有B=PA．令矩阵则E的第1列的－1倍加到第2列即得矩阵Q．于是有C=BQ，从而有C=PAQ，由于则C=PAQ=PAP－1．仅(B)入选．知识模块：线性代数5．[2011年] 设A为三阶矩阵，将A的第2列加到第1列得到矩阵B，再交换B的第2行与第3行得到单位矩阵，记则A=( )．A．P1P2B．P1－1P2C．P2P1D．P2P1－1正确答案：D解析：解一由题设有B=AP1，P2B=E，即P2B=P2AP1=E．又因P2，P1可逆，且P2-1=P2，故A=P2-1EP1-1=P2EP1-1=P2P1-1．仅(D)入选．解二由命题2．2．5．1知，对A所进行的初等变换可表示为P2AP1而P2AP1=P2(AP1)=P2B=E，故A=P2-1P1-1=P2P1-1．仅(D)入选．注：命题2．2．5．1(初等变换与初等矩阵左、右乘的关系) 每一次初等变换都对应一个初等矩阵，且对矩阵A施行一次初等行(列)变换相当于左(右)乘相应的初等矩阵．知识模块：线性代数6．[2009年] 设A，P为三阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则QTAQ为( )．A． B． C． D． 正确答案：A解析：解一因Q=[α1+α2，α2，α3]=[α1，α2，α3]=PE21(1)，利用命题2．2．5．2(1)及题设，得到解二仅(A)入选．故注：命题2．2．5．2 (1)初等矩阵的转置矩阵的性质：EiT(k)=Ei(k)，EijT=Eij，EijT(k)=Eij(k)．知识模块：线性代数7．[2012年] 设A为三阶矩阵，P为三阶可逆矩阵，且若P=[α1，α2，α3]，Q=[α1+α2，α2，α3]，则Q－1AQ=( )．A． B． C． D． 正确答案：B解析：解一因故于是解二用初等矩阵表示Q得到Q=PE12(1)．由E12-1(1)=E12(-1)得到知识模块：线性代数8．[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．A．λ1≠0B．λ2≠0C．λ1=0D．λ2=0正确答案：B解析：解一首先注意α1，α2线性无关．在推导α1，A(α1+α2)线性无关的条件时要用到它．设k1α1+k2A(α1+α2)=0，则k1α1+k2λ1α1+k2λ2α2=0，(k1+k2λ1)α1+k2λ2α2=0．因α1，α2线性无关，故k1+k2λ1=0，k2λ2=0．当λ2≠0时，有k2=0，从而k1=0．于是当λ2≠0时，α1，A(α1+α2)线性无关．反之，若α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2线性无关，则必有λ2≠0．因为如果λ2=0，则α1与A(α1+α2)=λ1α1线性相关与题设矛盾．综上所述，仅(B)入选．解二因向量组α1，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2可看成线性无关向量α1，α2的线性组合，且[α1，A(α1+α2)]=[α1，λ1α1+λ2α2]=[α1，α2] 由命题2．3．2．2知，向量组α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是的秩等于2，而秩故仅(B)入选．(注：命题2．3．2．2 设向量组α1，α2，…，αs线性无关，β1，β2，…，βs为该向量组的线性组合：即其中A=[aij]s×t称为线性表示的系数矩阵．或则向量组β1，β2，…，βt线性无关线性表示的系数矩阵A=[aij]s×t或矩阵K=AT 的秩为t．) 知识模块：线性代数9．[2010年] 设向量组(I)：α1，α2，…，αr可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示．下列命题中正确的是( )．A．若向量组(I)线性无关，则r≤sB．若向量组(I)线性相关，则r>sC．若向量组(Ⅱ)线性无关，则r≤sD．若向量组(Ⅱ)线性相关，则r>s正确答案：A解析：仅(A)入选．因向量组(I)可由向量组(Ⅱ)线性表示，故秩(I)≤秩(Ⅱ)=秩([β1，β2，…，βs)≤s．若向量组I线性无关，则秩(I)=秩([α1，α2，…，αr])=r，故r=秩([α1，α2，…，αr])≤秩([β1，β2，…，βs])≤s．知识模块：线性代数填空题10．[2013年] 设A=(aij)是三阶非零矩阵，|A|为A的行列式，Aij为aij 的代数余子式，若aij+Aij=0(i，j=1，2，3)，则|A|=___________．正确答案：－1解析：因aij=－Aij，则(aij)=(－Aij)，(aij)T=(－Aij)T=－(Aij)，故AT=－A*，从而|A|=|AT|=|－A*|=(－1)3|A|3－1=－|A|2，即|A|2+|A|=|A|(|A|+1)=0，故|A|=0或|A|=－1．若|A|=0，则由|A|=ai1Ai1+ai2Ai2+ai3Ai3=(ai12+ai22+ai32)=0(i=1，2，3)得到aij=0(i，j=1，2，3)，即矩阵A为零矩阵，这与题设矛盾．故|A|=－1．知识模块：线性代数11．[2007年] 设矩阵则A3的秩为__________．正确答案：1解析：解一由矩阵乘法直接计算得到由于A3中非零子式的最高阶数为1，由矩阵的秩的定义知，秩(A3)=1．解二A3的秩等于1．设其中αi(i=1，2，3，4)为A的行向量，则知识模块：线性代数12．[2017年] 矩阵α1，α2，α3为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为___________．正确答案：2解析：解(Aα1，Aα2，Aα3)=A(α1，α2，α3)，因为α1，α2，α3线性无关，所以(α1，α2，α3)可逆，从而秩[Aα1，Aα2，Aα3]=秩(A)．由得，秩(A)=2，故向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为2．知识模块：线性代数13．[2002年] 设三阶矩阵三维列向量α=[a，1，1]T，已知Aα与α线性相关，则a=_______．正确答案：－1解析：解一因α=[a，1，1]T，Aα=[a，2a+3，3a+4]T，故[*]得a=－1．解二两个向量Aα与α线性相关[*]这两个向量中至少有一个向量可由另一个向量线性表出．即存在数k≠0，使Aα=kα(或α=μAα)，亦即k为特征值，α为A的属于特征值k的特征向量．由Aα=kα得到[*]得a=－1，k=1．知识模块：线性代数14．[2005年] 设行向量组[2，1，1，1]，[2，1，a，a]，[3，2，1，a]，[4，3，2，1]线性相关，且a≠1，则a=___________．正确答案：1／2解析：解一设所给的4个行向量依次为α1，α2，α3，α4，且令A=[α1T，α2T，α3T，α4T]．因4个四维向量线性相关的充要条件是其行列式等于零，故由|A|=|α1T，α2T，α3T，α4T|=(1－a)(1－2a)=0，得到a=1或a=1／2．因a≠1，故a=1／2．解二用初等行变换求之．对AT作初等行变换，化为阶梯形矩阵，得到由于所给向量组线性相关，秩(AT)可经初等列变换化为矩阵15．求a；正确答案：由题设条件可知矩阵A与B等价，则r(A)=r(B)．因为所以因此a=2. 涉及知识点：线性代数16．求满足AP=B的可逆矩阵P．正确答案：设矩阵对增广矩阵作初等变换可得解得所以又因P可逆，因此即k2≠k3．故其中k1，k2，k3为任意常数，且k2≠k3．涉及知识点：线性代数[2014年] 设E为三阶单位矩阵．17．求方程组AX=0的一个基础解系；正确答案：为求AX=0的一个基础解系，只需用初等行变换将A化为含最高阶单位矩阵的矩阵：由基础解系的简便求法即可得到AX=0的一个基础解系只含一个解向量α，且α=[－1，2，3，1]T．涉及知识点：线性代数18．求满足AB=E的所有矩阵B．正确答案：因A不可逆，需用元素法求出满足AB=E的所有矩阵．由AB=E，A为3×4矩阵，E为3×3矩阵，则B必为4×3矩阵，设其元素为xij则B=(xij)4×3，即因而得到下述三个线性方程组：对上述三方程组的增广矩阵用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵：由基础解系和特解的简便求法即得方程组①的一个特解η1及对应的齐次线性方程组的一个基础解系α分别为：η1=[2，－1，－1，0]T，α=[－1，2，3，1]T 于是该方程组的通解为X1=[x11，x21，x31，x41]T=Y1+η1=k1α+η1=[－k1+2，2k1－1，3k1－1，k1]T．同样由可得方程组②的通解为X2=[x12，x22，x32，x42]T=Y2+η2=k2α+η2=k2[－1，2，3，1]T+[6，－3，－4，0]T=[－k2+6，2k2－3，3k2－4，k2]T．由可得方程组③的通解为X3=[x13，x23，x33，x43]T=Y3+η3+=k2=k3α+η3=k3[－1，2，3，1]T+[－1，1，1，0]T=[－k3－1，2k3+1，3k3+1，k3]T 综上得到，涉及知识点：线性代数19．[2013年] 设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC－CA=B，并求所有矩阵C．正确答案：设则由AC－CA=B得到四元非齐次线性方程组：存在矩阵C使AC－CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵用初等行变换化为阶梯形矩阵：当a≠－1或b≠0时，因秩()≠秩(G)，方程组无解．当a=－1且b=0时，秩()=秩(G)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为：α1=[1，a，1，0]T=[1，－1，1，0]T，α2=[1，0，1，0]T则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为X=c1[1，－1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+1，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=－c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为其中c1,c2任意常数．涉及知识点：线性代数[2004年] 设α1=[1，2，0]T，α2=[1，a+2，－3a]T，α3=[－1，－b－2，a+2b]T，β=[1，3，－3]T．试讨论当a，b为何值时，20．β不能由α1，α2，α3线性表示；正确答案：设有数k1，k2，k3，使得k1α1+k2α2+k3α3=β．①记A=[α1，α2，α3]．对矩阵[A|β]施以初等行变换，有由于系数矩阵A 的秩取决于a及a－b是否为零，下面采用如下的二分法，分三种情况讨论．当a=0，b为任意常数时，有可知秩(A)≠秩([A|β])，故方程组①无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．涉及知识点：线性代数21．β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表示式；正确答案：当a≠0，且a≠b时，秩(A)=秩([A|β])=3，故方程组①有唯一解．由得到唯一解为k1=1－1／a，k2=1／a，k3=0，且β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，其表示式为β=(1－1／a)α1+α2／a．涉及知识点：线性代数22．β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式．正确答案：当a≠0且a－b=0，即a=b≠0时，对[A|β]施以初等行变换，有可知秩(A)=秩([A|β])=2，故方程组①有无穷多解．其一基础解系只含一个解向量α=[0，1，1]T，其一个特解为η=[1－1／a，1／a，0]，故以k1，k2，k3为未知数的方程组①的通解为[k1，k2，k3=η+cα=[1－1／a，1／a，0]T+c[0，1，1]T=[1－1／a，1／a+c，c]T(c为任意常数)．于是β可由α1，α2，α3线性表示，其一般表示式为β=k1α1+k2α2+k3α3=(1－1／a)α1+(1／a+c)α2+cα3 (c 为任意常数)．由上式易知，由于c为任意常数，β由α1，α2，α3线性表出的一般表达式，常归结为求关于未知数k1，k2，k3的方程组β=k1α1+k2α2+k3β3的通解．涉及知识点：线性代数[2008年] 设A为三阶矩阵，α1，α2为A的分别属于特征值一1，1的特征向量，向量α3满足Aα3=α2+α3．23．证明α1，α2，α3线性无关；正确答案：证一用向量组线性无关的定义证明．为利用题设条件Aα3=α2+α3易想到需用A同时左乘定义等式两边．设k1α1+k2α2+k3α3=0．①由题设，有Aα1=一α1，Aα2=α2，Aα3=α2+α3．用A左乘式①两边，得到k1Aα1+k2Aα2+k3Aα3=一k1α1+k2α2+k3α2+k3α3=0．②本题中隐含了α1与α2线性无关，因为它们是属于不同特征值的特征向量．下面利用这一点证明k1=k2=k3=0．由式①一式②得到2k1α1一k2α2=0．因α1，α2为A的属于不同特征值的特征向量，故α1，α2线性无关．因而k1=k3=0，将其代入式①得到k2α2=0，又因α≠0，故k2=0．于是α1，α2，α3线性无关．证二用反证法证之．假设α1，α2，α3线性相关，由证一知，α1与α2线性无关，故α3可由α1，α2线性表出，不妨设α3=l1α1+l2α2，其中l1，l2不全为零(若l1，l2同时为零，则α3=0，由Aα3=α2+α3得到α2=0，这与α2为特征向量矛盾)．因Aα1=一α1，Aα2=α2，故Aα3=α2+α3=α2+l1α1+l2α2．又一l1α1+l2α2=α2+l1α1+l2α2，即α2+2l1α1=0，则α1与α2线性相关．这与α1，α2线性无关矛盾．故α1，α2，α3线性无关．涉及知识点：线性代数24．令P=[α1，α2，α3]，求P-1AP．正确答案：因α1，α2，α3线性无关，故P可逆．所以涉及知识点：线性代数[2011年] 设向量组α1=[1，0，1]T，α2=[0，1，1]T，α3=[1，3，5]T不能由向量组β1=[1，1，1]T，β2=[1，2，3]T，β3=[3，4，a]T线性表示．25．求a的值；正确答案：解一因α1，α2，α3不能用β1，β2，β3线性表示，故秩([α1，α2，α3])＞秩([β1，β2，β3])，而|α1，α2，α3|==1≠0，故秩([α1，α2，α3])=3，秩([β1，β2，β3])＜3，所以解二4个三维向量β1，β2，β3，αi(i=1，2，3)必线性相关．若β1，β2，β3线性无关，则αi 必可表示成β1，β2，β3的线性组合．这与题设矛盾，故β1，β2，β3线性相关．于是|β1，β2，β3|=a－5=0，即a=5．解三将下列向量组用初等行变换化为行阶梯形矩阵：易知秩([α1，α2，α3])=3．因α1，α2，α3不能由β1，β2，β3线性表出，故秩([β1，β2，β3])＜3．因而所以a=5．涉及知识点：线性代数26．将β1，β2，β3用α1，α2，α3线性表示．正确答案：解一由上题的解三知，当a=5时，经初等行变换得到故β1=2α1+4α2－α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2－2α3．解二设[β1，β2，β3]=[α1，α2，α3]G．则因而即β1=2α1+4α2－α3，β2=α1+2α2，β3=5α1+10α2－2α3．涉及知识点：线性代数27．[2006年] 四维向量组α1=[1+a，1，1，1]T，α2=[2，2+a，2，2]T，α3=[3，3，3+a，3]T，α4=[4，4，4，4+a]T．问a为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?在α1，α2，α3，α4线性相关时求其一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．正确答案：解一若α1，α2，α3，α4线性相关，即|α1，α2，α3，α4|=0，而|α1，α2，α3，α4|=a3(a+10)，于是当a=0或－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．当a=0时，α1是α1，α2，α3，α4的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a=－10时，用初等行变换求其极大无关组．显然β1，β2，β3为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β4=－β1－β2－β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，且α4=－α1－α2－α3．解二设A=[α1，α2，α3，α4]，对A进行初等行变换，得到当a=0时，A的秩等于1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a≠0时，再对B施以初等行变换，得到如果a≠－10，C的秩为4，从而A的秩也为4，故α1，α2，α3，α4线性无关．如果a=－10，C的秩为3，从而A的秩也为3，故α1，α2，α3，α4线性相关．由于v2，v3，v4为v1，v2，v3，v4的一个极大线性无关组，且v1=－v2－v3－v4，因矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的关系，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α1的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4．涉及知识点：线性代数。
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2015年全国硕士研究生入学统一考试
数学三真题
一、选择题：8~1题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项
符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）设}nx｛是数列，下列命题中不正确的是（ ）
（A）axxaxnnnnnn212limlim,lim则
（B）axxnnnn212limlim,则axnnlim
（C）axxaxnnnnnn312limlim,lim则
(D) axxnnnn313limlim,则axnnlim
（2）设函数)(xf在),(内连续，其中二阶导数)(xf的图形如图所示，则曲线
)(xfy
的拐点的个数为（ ）
（A）0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
（3）设}2,2),{(2222yyxxyxyxD，函数),(yxf在D上连续，则
Ddxdyyxf),(
（ ）
（A）cos2040)sin,cos(rdrrrfdsin2024)sin,cos(rdrrrfd
（B）sin2040)sin,cos(rdrrrfdcos2024)sin,cos(rdrrrfd
（C）10112),(2xxdyyxfdx
（D）1022),(2xxxdyyxfdx
（4）下列级数中发散的是（ ）
（A）13nnn （B）)11ln(11nnn
（C）1ln1)1(nnn （D）1!nnnn
（5）设矩阵221,4121111ddbaaA，若集合}2,1{，则线性方程组bAx有无穷
多解的充分必要条件为（ ）
（A）da, （B）da,
（C）da, （D）da,
（6）设二次型),,(321xxxf在正交变换PYX下的标准形为2322212yyy，其中
),,(321eeeP。若),,(231eeeQ，则二次型),,(321xxxf
在正交变换QYX下的标
准形为（ ）
（A）2322212yyy （B）2322212yyy
（C）2322212yyy （D）2322212yyy
（7）若A,B为任意两个随机事件，则（ ）
（A）)()()(BPAPABP (B) )()()(BPAPABP
(C) 2)()()(BPAPABP (D) 2)()()(BPAPABP
（8）设总体
nxxxmBX,,,),,(~21
为来自该总体的简单随机样本，X为样本均值，则
])([21XXE
n
i
i
( )
(A))1()1(nm （B）)1()1(mn
(C）)1()1)(1(mn (D) )1(mn
二、填空题：14~9小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。
(9) 2coslnlimxxx
（10）设)(xf连续，20)()(xdttxfx，若5)1(,1)1(，则)1(f
（11）若函数),(yxzz由方程132xyzezyx确定，则)0,0(dz
（12）设函数)(xyy是微分方程02yyy的解，且在0x处)(xy取得极值3，
则)(xy
（13）若3阶矩阵A的特征值1,2,2，EAAB2,其中E为3阶单位矩阵，则行列式
B
（14）设二维随机变量),(YX服从正态分布）；，；，（01101N，则}0{YXYP
三、解答题：23~15小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
设函数3)(,sin)1ln()(kxxgxbxxaxxf，若)()(xgxf与在0x是等价
无穷小，求kba,,的值。
（16）（本题满分10分）
计算二重积分},2),{(,)(222xyyxyxDdxdyyxxD其中
（17）（本题满分10分）
为了实现利润最大化，厂商需要对某商品确定其定价模型，设Q为该商品的需求量，P为
价格，MC为边际成本，为需求弹性)0(
（I）证明定价模型为11MCP
(II)若该商品的成本函数为21600)(QQC,需求函数PQ40，试由（I）中的定价
模型确定此商品的价格
（18）（本题满分10分）
设函数)(xf在定义域I的导数大于零，若对任意的Ix0,曲线)(xfy在点
))(,(00xfx处的切线与0xx直线
及x轴所围成区域的面积恒为4，且20）（f，求)(xf
的表达式。
（19）（本题满分10分）
（I）设函数)(),(xvxu可导，利用导数定义证明)()()()(])()([xvxuxvxuxvxu
（II）设函数
)(,),(),(21xuxuxun可导，)()()()(21xuxuxuxf
n
，写出)(xf的求
导公式。
（20）（本题满分11分）
设矩阵OAaaaA3101101且
（I）求a的值；
（II）若矩阵EEAXAAXXAXX,22满足为3阶单位矩阵，求X
（21）（本题满分11分）
设矩阵aA21331320相似于矩阵13000021bB
（I）求ba,的值
（II）求可逆矩阵P,使APP1为对角阵。
（22）（本题满分11分）
设随机变量X的概率密度为
0,00,2ln2)(x
x
xf
x
对X进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数
（I）求Y的概率分布；
(II) 求EY
（23）（本题满分11分）
设总体X的概率密度为
其它,01,11)(x
xf
其中为未知参数，
nXXX,,,21
为来自该总体的简单随即样本。
（I）求的矩估计量；
（II）求的最大似然估计量