2015年考研数学三真题及解析

y = f ( x) 的拐点个数为 ( )
(A) 0
【答案】(C)
(B) 1
(C) 2
(D) 3
【解析】根据拐点的必要条件，拐点可能是 f ′′(x) 不存在的点或 f ′′(x) = 0 的点处产生。所以
y = f (x) 有三个点可能是拐点，根据拐点的定义，即凹凸性改变的点；二阶导函数 f ′′(x) 符号发
(B) 2 y12 + y22 − y32
(C) 2 y12 − y22 − y32
(D) 2 y12 + y22 + y32
【答案】(A)
【解析】由 x = Py ，故 f = xT Ax = yT (PT AP) y = 2 y12 + y22 − y32 .且
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
1 ln(1+ 1 ) :
n
n
1
∞
3 ，根据 P 级数收敛准则，知
n2
n=1
1 ln(1+ 1 ) 收敛；
n
n
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ C， ∞ (= −1)n +1
∞ (−1)n + ∞
1
∞ (−1)n
∞
，根据莱布尼茨判别法知
收敛，
1
发散，
=n 1 l= n n n 1= ln n n 1 ln n
n=1 ln n
π
4 dθ
0
2cosθ f (r cosθ , r sinθ )rdr +
0
π
2 π
dθ
2sinθ f (r cosθ , r sinθ )rdr
0
4
∫ ∫ ∫ ∫ (B)
π
4 dθ
0
2sinθ f (r cosθ , r sinθ )rdr +
0
π
2 π
dθ
2 cosθ 0
f (r cosθ , r sinθ )rdr
lni= →m∞ x2n+1
a
(B) 若= lni→m∞ x2n
lni= →m∞ x2n+1
a,
则
lim
n→∞
xn
=a
(C)
若
lim
n→∞
xn
= a ,则
= lni→m∞ x3n
lni= →m∞ x3n+1
a
(D) 若= lni→m∞ x3n
lni= →m∞ x3n+1
a ,则 lim n→∞
xn
=
≤
θ
≤
π 2
,
0
≤
r
≤
2 cosθ
π
2sinθ
π
2 cosθ
所以 ∫∫ f (x, y)dxdy
∫ ∫ 4 dθ
0
0
∫ ∫ f (r cosθ , r sinθ )rdr +
2 π
dθ
0
f (r cosθ , r sinθ )rdr ，选
D
4
B。 (4) 下列级数中发散的是( )
(A)
∑∞ n
n=1 3n
a
【答案】(D) 【解析】考查数列极限与子列极限的关系。 数列收敛，那么它的任何无穷子列均收敛，所以 A 与 C 正确；一个数列存在多个无穷子列并集包 含原数列所有项，且这些子列均收敛于同一个值，则原数列是收敛的。B 正确，D 错,故选 D
(2) 设函数 f ( x) 在 (−∞, +∞) 内连续,其 2 阶导函数 f ′′( x) 的图形如右图所示,则曲线
2015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题
一、选择题:1 : 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要
求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.
(1)设{xn} 是数列,下列命题中不正确的是
()
(A)
若
lim
n→∞
xn
= a ,则
= lni→m∞ x2n
(6) 设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) 在正交变换 x = Py 下的标准形为 2 y12 + y22 − y32 ，其 中
P = (e1, e2 , e3) ，若=Q (e1, −e3, e2 ) 则 f = (x1, x2 , x3) 在正交变换 x = Qy 下的标准形
为( )
(A) 2 y12 − y22 + y32
n=1 ln n
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
∑∞ (−1)n +1
所以根据级数收敛定义知，
发散；D 为正项级数，因为
n=1 ln n
(n +1)!
lim
(n
+
1)
n
+1
=
n→∞ n!
nn
lim
n→∞
(n
+ 1) ! n!
(n
nn + 1)
n+1=
lim
n→∞
n
n +
1
n=
1 < 1，所以根据正项级数的比值判别法 e
4
∫ ∫ 1
x
(C) 2 dx
f ( x, y) dy
0
1− 1− x2
∫ ∫ ( ) 1
2 x− x2
(D) 2 dx
f x, y dy
0
x
【答案】(B)
【解析】根据图可得，在极坐标系下该二重积分要分成两个积分区域
= D1
(r,θ )
0
≤θ
≤
π 4
,0
≤
r
≤
2sinθ= D2
(r,θ )
π 4
(B)
∞
∑
n=1
1 n
ln(1 +
1 n
)
(C)
∞
∑
n=2
(−1)n + ln n
1
(D)
∞
∑
n=1
n! nn
【答案】(C)
n +1
【解析】A 为正项级数，因为 lim n→∞
3n+1 = n
3n
lim n +1= n→∞ 3n
∑ 1
3
<
1
，所以根据正项级数的比值判别法
∞ n=1
n 3n
∑ 收敛；B 为正项级数，因为
∑∞ n!
n=1 nn 收敛，所以选 C。
1
(5)设矩阵
A
=
1
1
1 2 4
{ 1
a a2
,
b
=
1
d
d
2
.若集合
Ω
=
1,
2}
，则线性方程组
Ax
=
b
有无
穷多解的充分必要条件为：
()
பைடு நூலகம்
(A) a ∉ Ω, d ∉ Ω
(B) a ∉ Ω, d ∈ Ω
(C) a ∈ Ω, d ∉ Ω
(D) a ∈ Ω, d ∈ Ω
生改变的点即为拐点。所以从图可知，拐点个数为 2，故选 C.
{ } (3) 设=D ( x, y) x2 + y2 ≤ 2x, x2 + y2 ≤ 2 y ,函数 f ( x, y) 在 D 上连续,则
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
∫∫ f ( x, y)dxdy =
()
D
∫ ∫ ∫ ∫ (A)
【答案】(D)
1 1 1 1 1 1
1
1
【解析】 ( A,b=) 1 2 a
d
→
0
1
a −1
d −1
1 4 a2 d 2 0 0 (a −1)(a − 2) (d −1)(d − 2) ，
由= r( A) r( A,b) < 3 ，故 a = 1或 a = 2 ，同时 d = 1或 d = 2 。故选（D）
2 0 0
PT
AP
=
0
1
0
0 0 −1 .
1 0 0 Q P= 0 0 1 PC
0 −1 0
2 0 0
QT = AQ
CT (PT AP= )C
0
−1
0
0 0 1
所以 f = xT Ax = yT (QT AQ) y = 2 y12 − y22 + y32 。选（A）