随机过程第二章复习题及其解答基本概念
随机过程第二章
§2.1 基本概念
一、实际背景
在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特 定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不 断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过 程. Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得 { X ( t ), a t b},
当T=(1,2, … ,n,…),
时间序列
随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的
一般化,是随机变量X(t), t T 的集合. 用 E表示随机过程X T X t , t T 的值域,称E为 过程的状态空间. Ex.5 设(Ω,F, P)是对应于抛均匀硬币的概
率空间: Ω ω1 ,ω2 ,
Байду номын сангаас
tn ) P X (t1 ) x1 , X (t2 ) x2 ,
X (t n ) xn ，
称为随机变量 X (t ), t T 的n维分布函数
FX ( x1 , x2 ,
tn ) ti T 称为 X (t ), t T 的n维分布函数族
xn ; t1 , t2 , tn ), n 1, 2, ti T
T ( t ,ω) 是一个 2)当固定ω Ω ,作为 t T 的函数，
定义在T上的普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
X(t,ω1) X(t,ω2) X(t,ω3)
t1
t2
tn
定义 对每一固定ω Ω，称 X t ω是随机过程 { X ( t , ), t T } 的一个样本函数. 也称轨道, 路径,现实.
互相关函数
互协方差函数
如果二维随机过程 X (t ), Y (t ) 对任意的t1 , t2 T , 恒有CXY (t1 , t2 ) 0, 称X (t )和Y (t )是不相关的。
随机过程-习题-第2章
2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。
试证明：)/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
证明：首先，由条件概率的定义式得),,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++=根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得)()()/()()/()/()()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++==n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n于是，)/()(),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++==n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。
随机过程 第二章
F ( x, t ) f ( x, t ) x 相应的一维特征函数为
X ( , t ) E{e
i X
}
f ( x, t )ei x dx
n 维分布律
[定义] 设 XT ={X (t), t T } 是随机过程，对任意 n 1 和
t1, t2, …, tn T ，随机过程 XT 的 n 维分布函数为
证明：B (s, t ) E[( X (s) m (s))( X (t ) m (t ))] X X X
E[ X ( s) X (t )] E[ X ( s)]mX (t ) E[ X (t )]mX ( s ) mX ( s )mX (t )
RX (s, t ) mX (s)mX (t )
度、重量、速度等物理量。随机过程本来通称随机函
数，当参数 T 时间集时称为随机过程，但现在将参数 不是时间集的随机函数也称为随机过程，对参数集 T 不再有时间集的限制。
2.2 随机过程的分布律和数字特征
[定义] 随机过程XT ={X (t), t T }在时刻 t 的一维分布函
数为
F ( x, t ) P{ X (t ) x}
例3
天气预报问题： 在天气预报中， 若以Xt表示某地 区第t次统计所 得到的该天最 高气温，则Xt是 随机变量， {Xt , t =0, 1, … }是随 机过程。
例4
Brown运动：漂浮在液 体表面上的微小粒子 不断进行无规则的运 动，它是大量分子随
机碰撞的结果，若记
（X(t),Y(t))为粒子在平
归一化协方差函数——相关系数：
BX ( s , t ) X ( s, t ) X ( s) X (t )
概率论与随机过程第2章(15)解析
随机过程的基本概念及分类 随机过程的统计特性
数字特征 ：
均值函数 mx(t) 方差函数 Dx(t) 协方差函数 Cxy(t1, t2) 相关函 数 Rxy(t1, t2)
特征函数 Fx(u) = E{ exp( jux(t) ) }
2020年8月9日5时33分
概率论与随机过程
2020年8月9日5时33分
概率论与随机过程
概率描述法（微观描述）：
概率描述是从随机过程X(t)在某一个时刻ti 的
随机变量 X ( ti ) 的概率密度开始描述，逐步延伸
到某二个时刻ti，tj的随机变量 X(ti) , X(tj) 的联
合概率密度
p X
(
xi
,
x
j
;t
i
,t
j
)
,直至随机过程X(t)在
t
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
按统计特性、分布函数、概率密度函数等分类：
平稳随机过程; 高斯过程; 白噪声; 独立随机过程 马可夫链 泊松过程…..
理论上当n→∞，则描述完备。 然而，随着描述的深入，其复杂度将越来越高。
2020年8月9日5时33分
概率论与随过程
例(1) 抛硬币试验，样本空间是 S={H,T}， 现定义
X(t) cotst,出 出现 现HT，t ( , )
X(t) cost, t
(2) 过程X(t)为：X(t) acos (w0t F) 式中a, w0 为， 常数， F ~(0,2p )上均
第二章随机过程基本概念.
第二章随机过程基本概念.2随机过程的基本概念§2.1 基本概念随机过程是指一族随机变量 .对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 .其研究对象是随机现象,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 .一随机过程的定义1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量,(2对每一个e ∈ S , X(e,t为t 的函数,那么称随机变量族{X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为{X(e,t, t∈ T}或 X(t。
((((({}{}[](为随机序列。
时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。
通常有三种形式:参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。
随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。
为即若用映射来表示注意:t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X RS T t e X t21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。
则令掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1t e X t X Rt T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则(1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..},且对于不同的 t, 是不同的随机变量 .(2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 .(即:在多长时间内来 n 个人 ?所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 .相位正弦波。
概率论与随机过程第2章(15)
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
第2章_随机过程的基本概念..
1. 平稳随机过程的定义
（1）严格平稳随机过程
定义：如果随机过程的任意n维分布不随时间起点 变化， 即当时间平移时，其任意的n维概率密度不 变，则称是严格平稳的随机过程或称为狭义平稳的 随机过程。
对于严格平稳的随机过程，它的均值和方差是与时间无关 的常数，而自相关函数只与t1和t2的差值有关，而与本身 的取值是无关的。
对于随机序列：
均值与方差的物理意义：
如果：X(t)-----单位电阻上的电压
总的平 均功率
交流平 直流平 均功率 均功率
3. 自相关函数
自相关函数可正可负，其绝对值越大，表示相关性越强。 一般说来，时间相隔越远，相关性越弱，自 相关函数的 绝对值也越弱；当两个时刻重合时，其 相关性应是最强
的，所以RX (t,t)最大。
对于离散型随机过程，只要确 定了它的概率分布列就可 以 确定它的概率密度(一串冲激 函数)。
时间不同，概率密度不同， 概率密度是时间的函数。
二维概率分布
(3) N维概率分布
2.随机过程的数字特征
随机过程的均值是时间t的函数，也称 为均值函数，统计均值是对随机过程 中所有样本函数在时间t的所有取值进 行概率加权平均，所以又称为集合平 均。随机过程的均值可以直观地 理解 为在t时刻所有样本函数取值的一个取 值中心，它反映了样本函数统计意义 下的平均变化规律。
第二章 随机过程的基本概念
§2.1 随机过程的基本概念及定义 §2.2 随机过程的统计描述 §2.3 平稳随机过程 §2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 §2.5 随机过程的功率谱密度 §2.6 典型的随机过程 §2.7 基于MATLAB的随机过程分析方法 §2.8 信号处理实例
本章学习要点： （1）理解随机过程的概念、平稳随机过程的定义、 各态历经性； （2）掌握功率谱密度和相关函数的关系； （3）掌握相关函数的性质； （4）理解白噪声的定义和特点； 本章是本课程的基础和核心
第二章随机过程的基本概念
例: 英国植物学家Brown注意到漂浮在液面上 的微小粒子不断进行无规则的运动。这种运 动叫做Brown运动，它是分子大量随机碰撞的
结果。记 X t ,Y t 为粒子于时刻t在平面
为t T 的函数，x(t,ω0 )是一个定义在T 上的
普通函数.
X(t1,ω)
X(t2,ω)
x(t,ω1) x(t,ω2) x(t,ω3)
t1
t2
tn
例5 X(t,ω) = acos(bt+Θ), Θ~U(0, 2π)
ω1 =5.4938 ω2 = 1.9164
ω3 = 2.6099
定义2.1.2 对每一固定ωΩ，称Xt (ω) 是随 机过程 {X (t,), t T }的一个样本函数.
是相互独立的，
则称 X (t) 为具有独立增量的随机过程。
（3）马尔可夫过程
设{ X (t) ，t T }对任意 n 个不同的 t1 ，t2 ，…，tn T
且 t1 t2 tn1 tn P( X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ，…，X (t1 ) x1 )
X (t)
t, 3
et ,
如果t时取得红球 如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
分析 先求概率密度
解 对每一个确定的时刻 t，X (t) 的概率密度为
t
X (t)
3
t
e
P
所以
F (t1；x1 ) P( X (t1 ) x1 )
21
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第二章
1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为离散参数链，连续参数链，随机序列，随机过程四类.
2、若｛X(t), teT｝是零均值的二阶矩过程，若对任意的tKtWtKs 则X(t)为正交增量过程的充分条件是E[X⑷-x fi][x(t4)-x(t3)J = 0
3、设随机过程X(t)=Y+Zt, t>0,其中Y, Z是相互独立的N (0,1) 随机变量，求｛ X(t), t>0｝的一维和二维概率密度族.
解：由于X与Z是相互独立的正态随机变量，故其线性组合仍为正态
随机变量，要计算｛X(t), t〉0｝的一、二维随机概率密度，只要计算数字特征叫(/)、D x (?)和Px (s, t)即可.iDx(t)=E (Y+Zt)=EY+tEZ=0, Dx (t)=D(Y+Zt)二DY+t'DZ 二1+F,
B x(s, t)=EX(s)X(t)- m x(s) m3£(t)=E(Y+Zs) (Y+Zt)=l+st,
t) _ 1 十st
(
PxG丿’瓦⑤叵貢血十旳(屮2)，
故随机过程｛X(t), t>0｝的一、二维概率密度分别为
I Y2
ft(x)=7^?W xp｛-
绪d'X* 2兀如旳二片讦 -eXP(令 [ 昙—2p j(】+：；；；+t2)+悬]｝，s,t>0,其中p = Px(s,t)
4、设｛X(t), tMO｝是实正交增量过程，X(0)=0, V是标准正态随机变量，若对任意的tMO, X(t)与V相互独立，令Y(t)=X(t)+V,求随机过程(Y(t), tMO｝的协方差函数.
解：依题意知EX(t)=O, EV=O, DV=1,所以
EY (t) =E [X (t)+V] =EX (t) +EV=O,
12)=E(X(ti)+V) (X(t2)+V)
=E [X (tD X (t2)) ]+EV2= O \(min (t b t2)) +1.
5、试证明维纳过程是正态过程。
证明：设｛B(t), t^O｝是参数为。
$的维纳过程，对于任意的n,任取0^ti<t2<—<t n,由于B(ti), B(t2)~ B(ti), •••, B (t n)-B (t a-!)相互独立，而且 B (t J -B (t k-i) s N(0, o : (t k-t k-i)),所以[B(ti), B(t2)-B(ti),…,B(t n)-B(tn-i)]是n 维正态向量,于是:
B(t2) •I 0
1 1
••
... o'
…0
■
■ B(tJ _
•
•
_B(J ••
••
1 1
• • • •
•
...1
■
即[B(tJ,B(tJ,…,B(t n)]
是n维正态随机向量[B(tJ,B(t2)-
B(S,…,B(tAB(tQ]的线性变换，所以[B(ti), B(t2)，…,B(t…)]是n 维正态随机向量,n=l, 2, •••,故｛B(t), tN 0｝是正态过程.
6、设£方是两个随机变量.试求随机过程X(t)=At+B,te (-oo,+s) 的均值函数和自相关函数。
如果A, B相互独立，且A〜N(O,1),B〜U(0, 2),问X (t)的均值函数和自相关函数又是什么？
7、求随机相位正弦波X (t) =acos (曲 + O), tU (-oo,+co)的均值函数，方差函数和自相关函数，其中a和。
是正常数，O〜U(0,2”)。
8、设X(t)二Acosm+BsinQ , t^T (-s,+s),其中A, B 相互独立，
且都服从正态分布N(0, ^2)的随机变量，。
是实常数。
证明X(t)是正态过程，并求它的均值函数和自相关函数。
9.设随机过程{X(『),隹(y,p)}只有两条样本曲线
x(6?r/) = «cosr, , /)=° cos(/+
其中G > 0,且p(®)=吕,p(fy2)=|,试求随机过程{X (r),r e (- s，T}的均值函数，相关函数和方差函数。
解：X⑴的均值函数
相关函数
R x(5j) = £*[X (S)X (r) | = («cos5)(ncosr) — + (-«cos5)(-ncosz) - = a2cosjcos6
协方差函数
li x (sj)=R x(5,r)-m t (s)m t (/) = «' cos^cosr - —cos5—cosf =二/cosscosr
均方值函数％ (r) = EX2(t) = Rx (-)=/co宀
10.设随机i±Sx(r) = sinOr,/eT ,其中&服从均匀分布“03).
(1)如果T={1, 2,...},试求X(t)的均值函数和相关函数，并由此证明X(t)是平稳随机序列。
⑵如果T = [0,^),试求X(t)的均值函数，并由此证明X(t)不是平稳随机过程.
解：
(1)如果7、= {12・・},那么
「¥〔cos&加一cos（2刃+ /«）&] d&
0./H>0.
因为随机过程x⑴的均值为常数，相关函数仅与时间差值m有关，所以X⑴是平稳随机序列。
（2）当T = [0,+oo）时，均值函数
m x⑴=E[sin Or] = ^ [ sin 0fJ0 =、]-c°s2s>o Inn
0,t=0.
均值函数不是常数，因此X（『）不是平稳随机序列。