一元二次不等式的一般式
一元二次不等式解法
梳理 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
△>0 y x1 O x2 x
△=0
y
△<0
y
O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
x
O 没有实根
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时，若(x－m)(x－n)>0，则可得x>n或x<m； 若(x－m)(x－n)<0，则可得m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间.
2.含参数的一元二次型的不等式
在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，
Φ
3.一元二次不等式的解集 设方程 ax2＋bx＋ c ＝ 0(a≠0) 有两个不等的实数根 x1、 x|x<x1或 x2，且x1<x2，则ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集为{ ________
x>x2}；ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集为{x|x1<x<x2}.
[问题导学]
知识点一
一元二次不等式的概念
△=0
y
△<0
y
O x1
ax2+bx+c=0 (a>0)的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
一元二次不等式及其解法
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学点 四
根的分布问题
关于x的方程x2+(m-2)x+5-m=0的两根
都大于2，求实数m的取值范围.
图3-2-1
【解析】
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图3-2-2
【评析】二次方程根的分布问题多借助根的判别式、 韦达定理或者用数形结合法由二次函数图象求解.
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3.如何研究根的分布问题？ 实数k取何值时，含参数m的二次方程ax2+bx+c=0 （1）有实根、无实根、有两个相等实根. （2）有两正根、两负根，一正一负根. （3）有零根. （4）有两个大于k的根，有两个小于k的根，一根大 于k另一根小于k…的一般讨论方法通常考虑以下几个方 面:①求根公式.②判别式.③对称轴.④开口方向.⑤区间 端点处的函数值. 方法有三类：（一）判别式、韦达定理法；（二） 判别式、对称轴、构造函数法；（三）求根公式法. 以下几类是常见问题：（在a≠0条件下） （1）方程ax2+bx+c=0有实根，有两不等实根，无实 根.主要考虑判别式Δ和二次项系数a的符号. 返回目录
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m<-5或m>1， ≨ ≨1<m<19. 1<m<19，
综上1≤m<19. 【评析】（1）ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的条件为
a>0,
Δ<0.
（2）ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的条件为 a<0, Δ<0.
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不等式(a+1)x2+ax+a>m(x2+x+1)对任意x∈R恒成立，求 a与m之间的关系. 解：
一元二次方程的解法及一元二次不等式的解法
方程一边是0, ①因式分解法 (方程一边是 ,另一边整式容易因式分解) ②直接开平方法 ( (x+m)2=k k≥0 ) ③公式法 (化方程为一般式) 化方程为一般式) 化方程为一般式 ④配方法 二次项系数为1,而一次项系数为偶数) (二次项系数为 ,而一次项系数为偶数)
用三种不同的方法 解方程3x 5 x = 2
∴x 2 = 0或3x +1 = 0 1 ∴x1 = 2, x2 = 3
用配方法解
解:
两边同时除以3, 两边同时除以 ,得:
3x 5 x = 2
2
步骤
①二次项系数化1 二次项系数化 ②移项
5 2 x x= 3 3
2
左右两边同时加上(
x
2
5 25 x + 3 36
5 ,得: )2 6
2 25 = + . 3 36
变式练习2.关于 的不等式 的不等式ax 变式练习 .关于x的不等式 2+bx+c<0的解 的解 集为{x|x<-1或x>2}.解不等式 2-bx+c>0. 解不等式ax 集为 或 解不等式 小结:( )根据解集, 小结 (1)根据解集,确定二次项系数的符号 (a<0); ; 的关系:b=-a, (2)由韦达定理确定 ,b,c的关系 )由韦达定理确定a, , 的关系 , c=-2a ; 代入要求解的不等式, (3)把b=-a,c=-2a代入要求解的不等式,进 ) , 代入要求解的不等式 而解不等式 -3x2+4x+4>0.
即解不等式: 即解不等式 3x2-4x-4<0. 第一步:解方程3x 第一步:解方程 2-4x-4=0,得x1=2,x2=-2/3. , , 第二步:画出抛物线y=3x2-4x-4的草图; 的草图; 第二步:画出抛物线 的草图 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式 第三步:根据抛物线的图象,得出不等式3x2-4x-4<0的 的 解集为{x|-2/3<x<2}. 解集为
3.2.1一元二次不等式的解法(北师大版)
2.含参数的一元二次不等式 在解含参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分 类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项系数a>0，a<0，a＝0. (2)关于不等式对应的方程的根的讨论：二根(Δ>0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ<0). (3)关于不等式对应的方程的根的大小的讨论：x1>x2，x1＝x2，x1<x2. 3.对于部分恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法.这是因为将参数予 以分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决.当然这必须以参 数容易分离作为前提.分离参数时，经常要用到下述简单结论：(1)a>f(x)恒成 立⇔a>f(x)max；(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.
代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0. 解得 x＜12或 x＞1. ∴bx2＋ax＋1＞0 的解集为{x|x＜12或 x＞1}.
解析答案
题型四 不等式恒成立问题 例4 对任意的x∈R，函数f (x)＝x2＋(a－4)x＋(5－2a)的值恒大于0， 则a的取值范围为－__2_＜__a_＜__2_. 解析 由题意知，f(x)开口向上，故要使f(x)＞0恒成立， 只需Δ＜0即可， 即(a－4)2－4(5－2a)＜0， 解得－2＜a＜2.
第三章 不等式
2.1 一元二次不等式 的解法
学习 目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2.掌握图像法解一元二次不等式. 3.培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力. 4.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法．
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3.2一元二次不等式及其解法
想一想，当x取何值时，y 的值大 于零？（或小于零？） y O m x y n O x
复习
当x m时y 0 当x m时y 0
当 x n时 y 0 当 x n时 y 0
考察：对一次函数y=2x-7，当x为何值 时，y=0;当x为何值时，y<0;当x为何值 时，y>0？
-2 O
3
x
结论:
解一元二次不等式
ax2+bx+c>0
(a>0，△=0 )的步骤： ① 将二次不等式化成一般式；
② 求出方程ax2+bx+c=0的两根; ③ 画出y=ax2+bx+c的图象;
④ 根据图象写出不等式的解集.
求解一元 二次不等式 ax2+bx+c>0 (a>0)的程序框 图:
△≥0
x
结合函数图 象进行思考
Hale Waihona Puke -2 O3x思考：对二次函数 y=x2-x-6，当x为何值 时，y=0？当x为何值时，y<0？当x为何值时， y>0 ?
y
当 x=-2 或 x=3 时, y=0 即 x2x6=0 当2<x<3 时, y<0 即 x2x6<0 当 x<2 或 x>3 时, y>0 即 x2x6>0
b 2a
x< x1或x> x2
举例
例1 解不等式x2-6x-7>0 y
解：方程x2-6x-7=0的解是
x1 1, x 2 7
作函数图象的草图 所以，不等式的解集是
-1 o
7 x
{x | x<-1 或 x > 7 }
二次函数与不等式知识点总结
二次函数与不等式知识点总结在数学的学习中，二次函数与不等式是非常重要的知识点，它们不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也常常能帮助我们解决各种问题。
下面就来对二次函数与不等式的相关知识点进行一个全面的总结。
一、二次函数的基本概念二次函数的一般形式为：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。
＄a$决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当$a ＞ 0$时，图象开口向上；当$a ＜ 0$时，图象开口向下。
＄｜a|＄越大，开口越小。
＄b$和$a$一起决定了对称轴的位置，对称轴的方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
＄c$是二次函数图象与$y$轴的交点纵坐标，即当$x ＝ 0$时，＄y ＝ c$。
二、二次函数的图象和性质1、图象二次函数的图象是一条抛物线。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上，有最低点；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下，有最高点。
2、顶点坐标顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
3、增减性当$a ＞ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而减小；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而增大。
当$a ＜ 0$时，在对称轴左侧，＄y$随$x$的增大而增大；在对称轴右侧，＄y$随$x$的增大而减小。
三、二次函数的三种表达式1、一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$2、顶点式：＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$，其中顶点坐标为$（h, k)＄3、交点式：＄y ＝ a(x x_1)（x x_2)＄，其中$x_1$和$x_2$是二次函数与$x$轴交点的横坐标四、不等式的基本概念不等式是用不等号（大于>、小于<、大于等于≥、小于等于≤）表示两个数或表达式之间关系的式子。
五、一元二次不等式形如$ax^2 ＋ bx ＋ c ＞ 0$（或< 0、≥ 0、≤ 0）（＄a ＼neq 0$）的不等式称为一元二次不等式。
湖南省新化县第四中学高中数学《3.23一元二次不等式及其解法》课件 新人教A版必修5
作业：
P80习题3.2A组：3，4. B组: 1, 2.
1 a
a ,1
)
1 a
a)
当a＜0时，解集为(
,1
1 a
a)
(1
1 a
a,
例3 已知关于x的不等式 ax 2 (a 1)x a 1 0 的解集为R，求 实数a的取值范围.
a ( , 13)
小结作业
1.含参数的一元二次不等式时，当根的大小 不定，二次项系数符号不定，判别式符号不 定时必须分类讨论写解集.一般先对二次项系 数分大于零、等于零和小于零讨论；当二次 项系数不等于零时，再对其判别式进行讨论； 当判别式大于零时，对方程两根的大小进行 比较讨论，最后确定解集.
3.解系数为常数的一元二次不等式是比 较简单的问题，有些一元二次不等式的 系数含参数，解这类不等式一般需要分 类讨论，我们将作些相应研究.
一般形式：
ax2 bx c 0
ax2 bx c 0
探究（一）：对根的大小讨论
对于不等式 x 2 (a 1)x a 0
(a为实常数).
思考1：不等式左边可以分解因式吗？
当
1 2
当a
a 0时，解集为(
1 2
时，解集为
(
, a1) ( 2, , 2) (a1 ,
) )
当a＝0时，解集为 ( 2, )
探究（三）：对判别式讨论
对于不等式 x 2 ax a 0
(a为实常数).
思考1：判别式的符号确定吗？
思考2：当△＞0时，方程 x2 ax a 0
两根 x1 a 关系如何？
职业高中第二章不等式
第二章 不等式一．知识网络二．知识点(一) 不等式的基本性质1. 比较实数的大小（1）方法：作差 a －ｂ＞０⇔ａ＞ｂa －ｂ＝０⇔ａ＝ｂa －ｂ＜０⇔ａ＜ｂ(2)方向：因式分解配方法 ： 二次项系数为1，加上一次项系数一半的平方2. 基本性质：传递性 a>b , b>c ⇒ b>c● 可加性 a>b ⇒ a + c > b + c;a>b , c>d ⇒ a + c > b + d● 可乘性 a>b ，ｃ＞０⇒ａｃ＞ｂｃa>b ，ｃ=０⇒ａｃ=ｂｃa>b ，ｃ<０⇒ａｃ<ｂｃａ＞ｂ＞０，ｃ＞ｄ＞０⇒ａｃ＞ｂｄ● 移项要变号ａ＋ｂ＞ｃ⇒ａ＞ｃ－ｂ● 可方性 ａ＞ｂ＞０⇒22b a > , a n >b n● 可根性 ａ＞ｂ＞０⇒a >b , n n b a >(二) 区间1. 概念由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间，其中，这两点叫做区间的端点2. 表示方法（1） 小的在前，大的在后，用逗号隔开；（2） 有端点的用中括号，无端点的用小括号。
注意： 只要见到无穷大（+∞或-∞）一定要用小括号(三) 不等式的解法1. 一元二次不等式：（1）一般式： ax 2+bx+c>0(≥０) 或ax 2+bx+c<0(≤０) 其中a ≠0（2）解法：①若a<0,先将二次项系数化为正数（不等号要变号）②求相对应方程ax 2+b x + c=0的根：因式分解公式法：x=a ac b b 242-±- ③大于：根两边（大于大的，小于小的），小于：根中间（大于小的，小于大的）④用区间表示集合注意：一元次不等式解集为φ或全集R ，则判别式acb 42-=∆必小于零，但应注意开口方向和ac b 42-=∆是否可以等于零。
（四）含有绝对值的不等式1. C ≥0| a x+ b|>C ⇔ 大于取根两边；（大于大的，小于小的）， | a x+ b|<C ⇔ 小于取根中间（大于小的，小于大的）2. C<0|ax+b|>C ⇔R|ax+b|<C ⇔Φ。
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一元二次不等式的一般式
一元二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个常数之间的关系式，其一般形式可以表示为：
ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c ≥ 0或ax² + bx + c < 0或ax² + bx + c ≤ 0
其中，a、b、c是实数，a ≠ 0。
对于一元二次不等式，我们需要考虑解集的范围以及解的求解方法。
下面将对一元二次不等式的求解过程和求解方法进行详细介绍。
一、一元二次不等式的解集范围：
1. ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c ≥ 0的解集：
a)当a > 0时，对于二次函数y = ax² + bx + c，其图像开口向上，因此解集为二次函数所在的区间内的实数；
b)当a < 0时，对于二次函数y = ax² + bx + c，其图像开口向下，解集为二次函数所在的区间内的实数的补集。
2. ax² + bx + c < 0或ax² + bx + c ≤ 0的解集：
a)当a > 0时，对于二次函数y = ax² + bx + c，其图像开口向上，因此解集为二次函数所在的区间内的实数的补集；
b)当a < 0时，对于二次函数y = ax² + bx + c，其图像开口向下，解集为二次函数所在的区间内的实数。
二、一元二次不等式的求解方法：
1.图像法：
可以通过绘制二次函数的图像来判断一元二次不等式的解集范围。
例如，对于不等式ax² + bx + c > 0，可以绘制二次函数y = ax² +
bx + c的图像，然后根据图像确定解集的位置。
2.判别式法：
对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0（或ax² + bx + c ≥ 0
或ax² + bx + c < 0或ax² + bx + c ≤ 0），可以利用判别式b² - 4ac来判断不等式的解集。
具体判别条件如下：
a)当b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不同的实根，根据二次函
数的图像可以判断解集；
b)当b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相同的实根，根据二次函
数的图像可以判断解集；
c)当b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根，解集为空集。
3.换元法：
对于一元二次不等式ax² + bx + c > 0（或ax² + bx + c ≥ 0
或ax² + bx + c < 0或ax² + bx + c ≤ 0），可以通过变量替换的
方法将其转化为一元二次方程，再进行求解。
例如，可以令t = x + m，将一元二次不等式转化为一元二次方程，然后根据一元二次方程的求
解方法求解。
总结：
一元二次不等式是常见的数学问题，在现实生活中有着广泛的应用。
通过对一元二次不等式的解集范围和求解方法的学习和掌握，我
们可以更好地理解和解决相关问题，提高数学问题解决的能力。