学案8：2.2.1 综合法与分析法

2.2.1 综合法与分析法

学习目标

1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点) 基础·初探

教材整理1 综合法 1．直接证明

(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．

(2)常用的直接证明方法有__________与__________． 2．综合法

(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． (2)符号表示：P 0(已知)⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n (结论)． 预习自测

1.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：

∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，

∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c

>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)． 教材整理2 分析法

1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． 2．符号表示：

B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知) 预习自测

2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( )

(2)分析法就是从结论推向已知．( )

(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( ) 合作学习

类型1 综合法的应用

例1 (1)在△ABC 中， 已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________． (2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为1

2的等比数列，则|m －n |＝

__________.

(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a

b ≥2；④(a 2＋b 2)·(

c 2

＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________． 名师指导

1．综合法处理问题的三个步骤

2．用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2

＋b

2

2(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)． 跟踪训练

1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法

类型2 分析法的应用

例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥2

2

(a ＋b )． 名师点拨

1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．

2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解． 跟踪训练

2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >1

1－b

.

探究共研型

探究点 综合法与分析法的综合应用

探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

探究2 综合法与分析法有什么区别？

例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 求证：(a ＋b )－

1＋(b ＋c )－

1＝3(a ＋b ＋c )－

1.

名师点拨

综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程. 跟踪训练

3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1

y ＋xy .

课堂检测

1．下面叙述正确的是( )

A ．综合法、分析法是直接证明的方法

B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法

C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的

D ．综合法、分析法所用语气都是假定的

2．欲证不等式3－5＜6＜8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)2

3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 2

2≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，

也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． 4．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c

的最小值为________.

5．已知a＞0，b＞0，求证：a

b

＋

b

a

≥a＋b.(要求用两种方法证明)

参考答案

教材整理1综合法

1.(1)定义公理定理(2)综合法分析法

2.(1)原因结果

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