学案8：2.2.1 综合法与分析法
2.2.1 综合法与分析法学习目标1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点) 2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点) 基础·初探教材整理1 综合法 1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的__________、__________、__________，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有__________与__________． 2．综合法(1)定义：综合法是从__________推导到__________的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论． (2)符号表示：P 0(已知)⇒P 1⇒P 2⇒…⇒P n (结论)． 预习自测1.已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8. 证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0， ∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc ＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)． 教材整理2 分析法1．定义：分析法是一种从__________追溯到产生这一结果的__________的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的__________条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． 2．符号表示：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知) 预习自测2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( ) 合作学习类型1 综合法的应用例1 (1)在△ABC 中， 已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 的形状一定是__________． (2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋ab ≥2；④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________． 名师指导1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论 (1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b22(a ，b ∈R )； (2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)． 跟踪训练1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法类型2 分析法的应用例2 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． 名师点拨1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解． 跟踪训练2．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.探究共研型探究点 综合法与分析法的综合应用探究1 综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？探究2 综合法与分析法有什么区别？例3 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边， 求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1.名师点拨综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程. 跟踪训练3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy .课堂检测1．下面叙述正确的是( )A ．综合法、分析法是直接证明的方法B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的D ．综合法、分析法所用语气都是假定的2．欲证不等式3－5＜6＜8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2 B ．(3－6)2＜(5－8)2 C ．(3＋8)2＜(6＋5)2 D ．(3－5－6)2＜(－8)23．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． 4．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________.5．已知a＞0，b＞0，求证：ab＋ba≥a＋b.(要求用两种方法证明)参考答案教材整理1综合法1.(1)定义公理定理(2)综合法分析法2.(1)原因结果预习自测1. 【答案】 综合法【解析】 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． 教材整理2 分析法【答案】 1.结果 原因 充分 预习自测2.【答案】 (1)× (2)× (3)√ 合作学习例1 【答案】 (1)钝角三角形 (2)32 (3)①②④【解析】 (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知， x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)． ②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14. ③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立． 跟踪训练 1． 【答案】 B例2 解：当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )，只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎡⎦⎤22(a ＋b )2， 即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立． 跟踪训练2．证明：由已知1b －1a >1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1，即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证． 探究1 【答案】 综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．探究2 【答案】 综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因． 例3 证明：法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c ，只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋c b ＋c ＝3，化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )， 两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得 c a ＋b ＋a b ＋c＝1， 所以⎝⎛⎭⎫c a ＋b ＋1＋⎝⎛⎭⎫ab ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1. 跟踪训练3．证明：因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy 成立．课堂检测 1．【答案】 A【解析】 直接证明包括综合法和分析法． 2．【答案】 C【解析】 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．3．【答案】 a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥0【解析】 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立． 4．【答案】 9【解析】 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c＋2c a ·a c＝3＋6＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 5．证明：法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋ba －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a ≥a ＋b .法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。
2.2.1综合法与分析法PPT课件
2. 培养学生观察、分析、归纳、总结的能 力.
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教学重难点
重点
结合已经学过的数学案例，了解直接证明 的两种基本方法——综合法和分析法；了解综 合法、分析法的思考过程、特点.
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证明：
因 为 （ s i n 2 θ + c o s 2 θ ）2 - 2 s i n θ c o s θ = 1 , 所 以 将 (1)(2)代 入 ， 可 得
4 sin 2α - 2 sin 2β = 1 . 另一方面要证
1 - ta n 2α = 1 - ta n 2β ， 1 + ta n 2α 2 (1 + ta n 2β ) 即证
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只需证 21<25.
因为21<25成立，所以 成立.
3+ 7<2 5，
反思
在本例中，如果我们从“21<25”出 发，逐步倒推回去，就可以用综合法证出 结论.但由于我们很难想到从“21<25”入 手，所以用综合法比较困难.
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请对综合法与分析法进行比较，说出 它们各自的特点.回顾以往的数学学习，说 说你对这两种证明方法的新认识.
B1
E1
C
E
A F
B
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D1
C1
A1
在
直
四
棱
柱
A
B
C
D
-
A
1B
1C
1
D
中
1
，
《2.2.1 综合法与分析法》PPT课件(安徽省市级优课)
课前自主学案
综合法和分析法
综合法
分析法
利用_已__知__条__件_和某 从要证明的_结__论_出__发__，
些数学____定、义____、 逐步寻求使它成立的
_定__理_等，公经理过一系 _充_分__条__件__，直至最后，
定 列的________，最 把要证明的结论归结为 义 后推推理导论出证所要证明 判定一个明显成立的条
分别为a ，b ，c，且Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列，a ， b ，
c成等比数列，求证:△ＡＢＣ为等语言就是2B=A+C；
a,b,c成等比数列，转化为符号语言就是b2 =ac. A,B,C为△ABC的内角，这是一个隐含条件， 明确表示出来是A+B+C=π. 此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步 寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余 弦定理正好满足要求.于是，可以用余弦定理为工具进 行证明.
【思维总结】 本题证明中，前半部分用的是分 析法，后半部分用的是综合法，两种方法综合使 用，使问题较容易解决．
综合法和分析法
综合法
分析法
利用_已__知__条__件_和某 从要证明的_结__论_出__发__，
些数学____定、义____、 逐步寻求使它成立的
_定__理_等，公经理过一系 _充_分__条__件__，直至最后，
综合法和分析法综合法分析法利用和某些数学等经过一系后推导出所要证明的结论成立这种证明方法叫做综合从要证明的逐步寻求使它成立的直至最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件已知条件等这种证明方法叫做分析法已知条件定义公理定理推理论证结论出发充分条件定理定义公理课前自主学案课前自主学案综合法分析法已知条件定义公理定理所要证明的结论问题探究1
《2.2.1综合法和分析法(3)》导学案(新部编)2
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.1综合法和分析法(3)》导学案【学习目标】1. 能结合已经学过的数学示例，了解综合法和分析法的思考过程和特点；2. 学会用综合法和分析法证明实际问题，并理解分析法和综合法之间的内在联系；3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质.【学习内容】一、课前预习复习1：综合法是由 导 ；复习2：分析法是由 索 .二、课堂互动探究:典例精析 变式训练探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈，且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=•=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用. 典型例题例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin24cos2αα=-. 小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg22a b a b ++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明.动手试试练1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c x y +=.练2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.三．课堂练习及课后作业1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有( ).A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题( ).①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m n m n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是 ( )A ．①④B . ①③C ．②③D ．②④3.下列结论中，错用基本不等式做依据的是( ).A ．a ，b 均为负数，则2a bb a +≥ B 22≥ C ．lg log 102x x +≥ D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥ 4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m ⊥α， m ⊥β，则α∥β②若α⊥r ，β⊥r ，则α∥β③若m ⊥α，m ∥β，则α⊥β④若m ∥α，n ⊥α，则m ⊥n其中真命题是 .5. 已知:231,:(3)0p x q x x -<-<， 则p 是q 的 条件.6. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.111a b c<++.7. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.。
高中数学选修1-2优质学案：2.2.1 综合法和分析法
2．2.1 综合法和分析法学习目标 1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点.2.会用综合法、分析法解决问题．知识点一 综合法思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc . 证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0，所以a (b 2＋c 2)≥2abc . 又因为c 2＋a 2≥2ac ，b >0，所以b (c 2＋a 2)≥2abc . 因此a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学________、________、________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的________成立，这种证明方法叫做综合法． (2)综合法的框图表示P ⇒Q 1―→Q 1⇒Q 2―→Q 2⇒Q 3―→…―→Q n ⇒Q(P 表示______________、已有的________、________、________等，Q 表示____________________) 知识点二 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？ 已知a ，b >0，求证：a ＋b 2≥ab .证明：要证a ＋b2≥ab ，只需证a ＋b ≥2ab ， 只需证a ＋b －2ab ≥0， 只需证(a －b )2≥0，因为(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．梳理 (1)定义：从要证明的________出发，逐步寻求使它成立的____________，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(____________、________、________、________等)，这种证明方法叫做分析法． (2)分析法的框图表示Q ⇐P 1―→P 1⇐P 2―→P 2⇐P 3―→…―→得到一个明显成立的条件类型一 综合法命题角度1 用综合法证明不等式例1 已知a ，b ，c ∈R ，且它们互不相等，求证a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.反思与感悟 (1)用综合法证明有关角、边的不等式时，要分析不等式的结构，利用正弦定理、余弦定理将角化为边或边化为角．通过恒等变形、基本不等式等手段，可以从左证到右，也可以从右证到左，还可两边同时证到一个中间量，一般遵循“化繁为简”的原则． (2)用综合法证明不等式时常用的结论： ①ab ≤(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；②a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．跟踪训练1 已知a ，b ，c 为不全相等的正实数．求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc >3.命题角度2 用综合法证明等式例2 求证：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．反思与感悟证明三角恒等式的主要依据(1)三角函数的定义、诱导公式及同角基本关系式．(2)和、差、倍角的三角函数公式．(3)三角形中的三角函数及三角形内角和定理．(4)正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式．跟踪训练2在△ABC中，ACAB＝cos Bcos C，证明：B＝C.类型二分析法例3已知a>0，求证：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.反思与感悟分析法的应用范围及方法跟踪训练3(1)求证：a－a－1<a－2－a－3 (a≥3)；(2)在锐角△ABC中，求证：tan A tan B>1.1．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x <0)，则a 与b 的大小关系为( ) A ．a >b B ．a ＝b C ．a <bD ．无法确定2．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝x ＋1，c ＝11－x 中最大的是( )A ．cB ．bC ．aD ．随x 取值不同而不同3．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2 B ．(2－6)2<(3－7)2 C ．(2＋7)2<(3＋6)2 D ．(2－3－6)2<(－7)24.3－2________2－1.(填“>”或“<”)5．设x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )(1＋1y )≥9.1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语．3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用．[答案]精析问题导学 知识点一思考 利用已知条件a >0，b >0和重要不等式，最后推导出所要证明的结论．梳理 (1)定义 公理 定理 推理论证 结论 (2)已知条件 定义 公理 定理 所要证明的结论 知识点二思考 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件．梳理 (1)结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究例1 证明 ∵a 4＋b 4≥2a 2b 2，b 4＋c 4≥2b 2c 2，a 4＋c 4≥2a 2c 2， ∴2(a 4＋b 4＋c 4)≥2(a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2)， 即a 4＋b 4＋c 4≥a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2. 又∵a ，b ，c 互不相等， ∴a 4＋b 4＋c 4＞a 2b 2＋b 2c 2＋c 2a 2.跟踪训练1 证明 因为b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c＝b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca－3. 又a ，b ，c 为不全相等的正实数， 而b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋ca ≥2， 且上述三式等号不能同时成立， 所以b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋ca －3>6－3＝3，即b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －c c>3.例2 证明 因为sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β) ＝sin [(α＋β)＋α]－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝sin [(α＋β)－α]＝sin β. 所以原等式成立．跟踪训练2 证明 在△ABC 中，由正弦定理及已知，得 sin B sin C ＝cos Bcos C. 于是sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.因为－π<B －C <π， 从而B －C ＝0，所以B ＝C . 例3 证明 要证 a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2，只需要证a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a＋ 2.因为a >0，故只需要证( a 2＋1a 2＋2)2≥(a ＋1a＋2)2，即a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥a 2＋2＋1a 2＋22(a ＋1a )＋2，从而只需要证2a 2＋1a 2≥2(a ＋1a)，只需要证4(a 2＋1a 2)≥2(a 2＋2＋1a2)，即a 2＋1a 2≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．跟踪训练3 证明 (1)方法一 要证a －a －1<a －2－a －3，只需证a ＋a －3<a －2＋a －1， 只需证(a ＋a －3)2<(a －2＋a －1)2， 只需证2a －3＋2a 2－3a <2a －3＋2a 2－3a ＋2，只需证a 2－3a <a 2－3a ＋2，只需证0<2，而0<2显然成立， ∴a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 方法二 ∵a ＋a －1>a －2＋a －3，∴1a ＋a －1<1a －2＋a －3，∴a －a －1<a －2－a －3.(2)要证tan A tan B >1， 只需证sin A sin Bcos A cos B>1，∵A 、B 均为锐角，∴cos A >0，cos B >0. 即证sin A sin B >cos A cos B ， 即cos A cos B －sin A sin B <0， 只需证cos(A ＋B )<0.∵△ABC 为锐角三角形，∴90°<A ＋B <180°， ∴cos(A ＋B )<0，因此tan A tan B >1. 当堂训练1．A [∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1， b ＝e x <e 0＝1，∴a >b .]2．A [∵0<x <1，∴b ＝x ＋1>2x >2x ＝a ， ∵11－x －(x ＋1)＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x >0，∴c >b >a .] 3．C [根据不等式性质，当a >b >0时，才有a 2>b 2， ∴只需证2＋7<6＋3，即证(2＋7)2<(3＋6)2.] 4．<5．证明 方法一 (综合法)左边＝(1＋x ＋y x )(1＋x ＋y y )＝(2＋y x )(2＋x y )＝4＋2(y x ＋xy )＋1≥5＋4＝9＝右边，原不等式得证． 方法二 (分析法)要证(1＋1x )(1＋1y)≥9成立，高中数学选修1-211 ∵x ，y 是正实数，且x ＋y ＝1，∴y ＝1－x ， 只需证明(1＋1x )(1＋11－x )≥9，即证(1＋x )(1－x ＋1)≥9x (1－x )， 即证2＋x －x 2≥9x －9x 2，即证4x 2－4x ＋1≥0，即证(2x －1)2≥0，此式显然成立． ∴原不等式成立．。
2.2.1 综合法和分析法
忻州二中高二数学学科学案
（选修2-2）第二章推理与证明
2.2.1 综合法和分析法（第1课时）
（主编：薛富旭审核：终审：编号：22119 启用：）【学习目标】
1、综合法
2、分析法
【文本研读】研读要求：阅读课本85-89页完成下列问题：
1、综合法的思路是什么？
2、综合法的特点是什么？
3、分析法的思路是什么？
2、分析法的特点是什么？
【思维导图】
【尝试探究】
DC 复述识记：
1、复述综合法、分析法思路
2、识记综合法、分析法特点
DC 阅读思考 ：
3>-++-++-+c
c b a b b a c a a c b c b a 求证：为不全相等的正实数，
、、已知
DC 针对练习：
S
I S ca bc ab S c b a I c b a 43,
,12<≤++=++=求证：为任意三角形三边长，、、、设
为偶函数。
求证：轴对称，
的图象关于与若函数、设)2
1()()1(),0()(22++≠++=x f y x f x f a c bx ax x f
BA 典型强化：
++∈++=->∈++=N n a T n b T a b a S N n a a S S n a n n n n b n n n n n n n n n ),3(log 13}{112
}{2}{11
,216}{21 项和，求证：的前为，并记）（满足）设数列（的通项公式
）求（，且））（（满足项和中，若前在各项均为正数的数列
BA 自主设计：
重点备展与参展内容：
【学程总结】 课前疑惑：
课间得失：
学班 学组 姓名。
2.2.1综合法与分析法
a(b2 c2 ) b(a2 c2 ) c(b2 a2 ) 6abc
例1:如图,△ABC在平面α外,
AB P, BC Q, AC R.
分析：由已知条件和结论我们联想到数量
积定义和三解形的面积公式：
S 1 ab sin C 2
利用sin C 1 c os2 C
由数量积定义和上公式结合结论探求证 明思路
证明：因为SABC
1 2
a
b sin C，cosC
a.b ab
所 以S
2 ABC
1
a 2 b 2 s in 2 C
求证:P,Q,R三点共线.
A
Q
B C
P R
• 分析：立体几何中证明三点共线或三线共点一般
要用公理2。公理2的内容是什么?
• 此题要证明三点共线，需要说明这三点均在一个
平面上，则这三点一定在交线上。
证明： AB P，BC Q，AC R
P，Q，R
（1）
P AB，Q BC，R AC.
2.2 直接证明与间接证明
推理
合情推理
演绎推理
归纳
类比
三段论
(特殊到一般） （特殊到特殊） （一般到特殊）
合情推理所得结论的正确性是需要证明的， 数学结论的正确性必须通过逻辑推理加以证明.
数学中常用的证明方法有哪些呢？
证明的方法
直接证明
综合法 分析法
间接证明（反证法）
2.2.1 综合法和分析法
高中数学《2.2.1综合法和分析法》导学案2 新人教A版选修1-2
§2.2.1 综合法和分析法（3）学习目标1. 能结合已经学过的数学示例,了解综合法和分析法的思考过程和特点;2. 学会用综合法和分析法证明实际问题,并理解分析法和综合法之间的内在联系;3. 养成勤于观察、认真思考的数学品质. 学习过程一、课前准备5051 复习1：综合法是由 导 ; 复习2：分析法是由 索 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：综合法和分析法的综合运用 问题：已知,()2k k Z παβπ≠+∈,且2sin cos 2sin ,sin cos sin ,θθαθθβ+=∙=求证:22221tan 1tan 1tan 2(1tan )αβαβ--=++.新知：用P 表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q 表示要证明的结论，则上述过程可用框图表示为：试试：已知tan sin ,tan sin a b αααα+=-=，求证：222()16a b ab -=.反思：在解决一些复杂、技巧性强的题目时，我们可以把综合法和分析法结合使用.※ 典型例题例1 已知,A B 都是锐角，且2A B π+≠，(1tan )(1tan )2A B ++=，求证：45A B +=︒变式：已知1tan 12tan αα-=+，求证：3sin 24cos 2αα=-.小结：牢固掌握基础知识是灵活应用两种方法证明问题的前提，本例中，三角公式发挥着重要作用.例2 在四面体P ABC -中，PD ABC ⊥∆，AC BC =，D 是AB 的中点，求证：AB PC ⊥.变式：如果,0a b >，则lg lg lg 22a b a b++≥.小结：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明. ※ 动手试试练 1. 设实数,,a b c 成等比数列，非零实数,x y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，求证2a c x y +=.练2. 已知54A B π+=，且,()2A B k k Z ππ≠+∈，求证：(1tan )(1tan )2A B ++=.三、总结提升 ※ 学习小结1. 直接证明包括综合法和分析法.2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径.※ 知识拓展综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 给出下列函数①3y x x =-，②sin cos ,y x x x =+③sin cos ,y x x =④22,x x y -=+其中是偶函数的有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3 个D ．4个2. m 、n 是不同的直线，,,αβγ是不同的平面，有以下四个命题（ ）. ①//////αββγαγ⎧⇒⎨⎩ ；②//m m αββα⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ③//m m ααββ⊥⎧⇒⊥⎨⎩ ；④////m nm n αα⎧⇒⎨⊂⎩其中为真命题的是 （ ）A ．①④ B. ①③ C ．②③ D ．②④3. 下列结论中，错用基本不等式做依据的是（ ）. A ．a ，b 均为负数，则2a b ba+≥B 22≥C ．lg log 102x x +≥D ．1,(1)(1)4a R a a+∈++≥4. 设α、β、r 是互不重合的平面，m ，n 是互不重合的直线，给出四个命题：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β ②若α⊥r，β⊥r，则α∥β③若m⊥α，m∥β，则α⊥β ④若m∥α，n⊥α，则m⊥n5. 已知:23)0p <, 则p 是q 的 条件.1. 已知,,a b c R +∈，,,a b c 互不相等且1abc =.111a b c<++.2. 已知,,,a b c d 都是实数，且22221,1a b c d +=+=，求证：||1ac bc +≤.。
《2.2.1 综合法和分析法法》导学案(新部编)4
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校《2.2.1 综合法和分析法法》导学案4课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b∈R+，求证：例3.已知a,b,c∈R，求证（I）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22-C ．1,2-或D ．1,2或 2．（A 级）函数x x x y sin cos -=在下列哪个区间内是增函数 （ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππ D ．)3,2(ππ3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335-C ．－3D ．27- 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y =C ．x x y -=3D ．x x y -+=)1ln(5．（A 级）设c b a ,,三数成等比数列，而y x ,分别为b a ,和c b ,的等差中项，则=+ycx a （ ）A ．1B ．2C ．3D ．不确定6．（A 级）已知实数0≠a ，且函数)12()1()(2ax x a x f +-+=有最小值1-，则a =__________。
2.2.1《综合法与分析法》课件
【分析法】
从结论出发，寻找结论成立的充分条件
直至最后，把要证明的结论归结为判定一
个明显成立的条件. 要证：
要证：
只要证：
格 式 只需证：
显然成立
上述各步均可逆
所以 结论成立 所以 结论成立
分析基本不等式：a 明.
+ 2
b
ab (a>0,b>0)的证
证明:要证
a
+ 2
b
ab
只需证 a + b 2 ab
(1)区别:综合法是从已知条件出发,逐步推向未知,每步 寻找的是必要条件;分析法是从待求结论出发,逐步靠拢已 知,每步寻找的是充分条件.
(2)优缺点:综合法和分析法是直接证明的两种基本方法, 两种方法各有优缺点,综合法从条件推出结论,能较简捷地 解决问题,但不便于思考;分析法解题方向较为明确,容易寻 找到解题的思路和方法,缺点是思路逆行,叙述较繁.
2.思想与方法: 顺推与逆推的思想.
必做题：
1. 要 证 明 不 等 式 6 7 2 2 5 成 立 ， 只 需 证
明： ( 6 7)2 (2 2 5)2 .
2.已知
a2
2
2 a2
2
与
2
2
的大小关系是a2
2
2 a2 2
2
.2
3.已知 a, b 是不相等的正数， x a b ，y a b ，则
a
1 a2
1 (a2 2
1 a2
2)
，
即证 a2
1 a2
2 ，它显然成立．
∴原不等式成立．
2.证明:三个函数的最小值依次为1， 1 t ， 1 t ， 由 f (1) 0，得 c a b 1 ∴ f (x) x3 ax2 bx c x3 ax2 bx (a b 1) (x 1)[x2 (a 1)x (a b 1)] ， 故方程 x2 (a 1)x (a b 1) 0 的两根是 1 t ， 1 t ． 故 1 t 1 t (a 1) ， 1 t 1 t a b 1 ． 由 ( 1 t 1 t )2 (a 1)2 ， 可得 2 2(a b 1) (a 1)2 . ∴ a2 2b 3 .
2.2.1 综合法与分析法
2.2.1综合法与分析法课前预习学案一、预习目标：了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：证明方法可以分为直接证明和间接证明1．直接证明分为和2．直接证明是从命题的或出发，根据以知的定义，公里，定理，推证结论的真实性。
3．综合法是从推导到的方法。
而分析法是一种从追溯到的思维方法，具体的说，综合法是从已知的条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立的条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。
综合法是由导，分析法是执索。
三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用二、学习过程：例1．已知a,b∈R+，求证：例2．已知a,b,c为不全相等的正数，求证：3b c a c a b a b ca b c+-+-+-++>例3.已知a,b,c ∈R ，求证（I）课后练习与提高1．（A 级）函数⎩⎨⎧≥<<-=-0,;01,sin )(12x e x x x f x π，若,2)()1(=+a f f 则a 的所有可能值为 （ ）A ．1B ．22- C．1,2-或 D．1,2或2．（A 级）函数x x x y s in cos -=在下列哪个区间内是增函数（ ）A ．)23,2(ππ B ．)2,(ππC ．)25,23(ππD ．)3,2(ππ 3．（A 级）设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是 （ ） A ．22- B ．335- C ．－3 D ．27- 4．（A 级）下列函数中,在),0(+∞上为增函数的是 （ ） A ．x y 2sin = B ．x xe y = C ．x x y -=3 D ．x x y -+=)1ln( 5．（A 级）已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
6．（B 级）若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(l g ______________≈=m 7．（B 级）ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，求证：c b a c b b a ++=+++311。