(完整版)10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面图形的面积

第十章 定积分的应用
§1 平面图形的面积
在上一章开头讨论过由连续曲线y =f （x )（≥0),以及直线x =a ，x =b （a 〈b ）和x 轴所围曲边梯形的面积为()b b
a a A f x dx ydx ==⎰⎰，如果f （x ）在[a ,
b ]上不都是非负的，则所围图形的面积为|()|||b b
a a A f x dx y dx ==⎰⎰，一般地,由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x ）以及两条直线x =a ， x =
b （a 〈b )所围的平面图形,它的面积计算公式为21[()()]b
a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积.
解 该平面图形如图所示。

先求出抛物线与直线的交点坐标（1，-1）、(9，3)，用x =1把图形分成左
右两部分，应用公式得111004[()]23A x x dx xdx =--==⎰⎰，921328[]23
x A x dx -=-=⎰,所以A=A 1+A 2=32/3. 本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²，x =2y +3，y∈[1，3］，改取积分变量为y ，便得32132[23]3
A y y dy -=--=⎰。

设曲线C 由参数方程x=x(t)，y=y （t ），t ∈[，]给出,在［a ,b ］上y(t)连续,x=x(t ）连续可微且x ’(t ）≠0(对x(t ）连续，y=y(t ）连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论)，记a=x(）,b=x （)(a 〈b 或a>b)，则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形，其面积计算公式为|()()|A y t x t dt β
α'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint)，y=a （1-cost ）（a>0）的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.
解 摆线的一拱可取t ∈［0，2π],所求面积为
2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰
⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y （t ）,t ∈［,]是封闭的，既有x （）=x(），y()=y （),且在（
，）上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰（或|()()|A x t y t dt βα
'=⎰）,此公式可由前面推出,绝对值内的积分，其正负由曲线x=x(t)，y=y （t ），t ∈［a ，b ］的旋转方向所确定。

例3求椭圆12222=+b
y a x 所围成的图形的面积 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍
椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a ] 因为面积元素为ydx
所以⎰=a ydx S 04椭圆的参数方程为：x a cos t y b sin t 于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b ⎰-=0
22sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=2
2
当a=b=r 时,这就等于圆的面积πr ².
设曲线C 由极坐标方程r r ()及射线 ∈[]给出，其中r(θ)在［a ，b ］上连续，β—≤2π，由曲线r r （）及射线 围成的图形称为曲边扇形此曲边扇形的面积计算公式为
21[()]2A r d βα
θθ=⎰ 这任然可用定积分的基本思想而得.对区间［a ,b ]作任意分割T ：=θ0<θ1<θ2<…。

<θn =β，射线θ=θi (i=1,2，…，n —1）把扇形分成n 个小扇形，由于r=r(θ）是连续的，因此当||T|｜很小时，在每一个i 上r=r （θ）的值变化也很小，任取ξi ∈D i ,便有r(θ)≈r（ξi ）, θ∈D i ,i=1，2,…，n ，这时第i
个小扇形的面积DA i ≈0。

5 r ²(ξi ） Dθi ，于是211()2n
i i i A r ξθ=≈∆∑。

由定积分定义和连续函数的可积性,当｜
|T|｜→0时上式右边的极限即为公式21[()]2A r d βα
θθ=⎰的定积分。

例4 求双纽线r ²=a ²cos2θ所围平面图形的面积。

解 因为r ²≥0，所以θ的取值范围是[-0.25π，0.25π]和［0.75π，1。

25π］，由图形的对称性及公式得
2224400
14cos 2sin 2|2A a d a a π
πθθθ=⋅==⎰ 参考题1。

计算阿基米德螺线
a (a 〉0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积S
解: ⎰=πθθ202)(21d a S 3220323
4]31[21πθπa a == 参考题2。

计算心形线
a (1cos ) (a 〉0) 所围成的图形的面积S 解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ2022
3]2sin 41sin 223[a a =++=。