第四章不定积分
高数微4章不定积分1-4
问下面圆括号中填什么函数，使等式成立：
(
)′ = 2 x
根据前面的定义， F ( x ) = x 2 是 f ( x ) = 2 x 的一个原函数。
(原函数）x 2 ↔ 2 x (导数）
2 同理， x 2 + 2 ， x 2 − 2 也都是 F ( x) = x 的原函数。
14
例2
求不定积分
∫ 1 + x 2 dx
2
x4
解
x4 1+ x
2
=
x4 −1+1 1+ x
2
=
( x 2 + 1)( x 2 − 1) + 1 1+ x2
= x −1+ 原式 =
1 1+ x2
∫
1 2 x −1+ dx = 2 1+ x
∫x
2
dx − dx +
∫
∫1+ x2
3
例4
在区间 [0, T ] 上，已知函数 v = gt （ g 是常数） 。
问下面圆括号中填什么函数，使等式成立：
(
)′ = gt
根据前面的定义， S (t ) = 数。
对于同一运动过程，
1 2 gt 是 v(t ) = gt 的一个原函 2
速度函数是路程函数的导数
（反之）
路程函数是速度函数的原函数，
（1） 0dx = c
由
′ xα +1 = xα α + 1
下面两式，也应该作为公式记住：
∫
1 dx = − + c ， x x2
《高等数学》(上)题库 第四章 不定积分 参考答案
某某学院《高等数学》（上）题库 第四章 不定积分 参考答案一、选择题1. 在区间),(b a 内，如果)()(x x f ϕ'='，则一定有（ B ）. A.)()(x x f ϕ= B.)()(x x f ϕ=+ C C.[][]'='⎰⎰dx x dx x f )()(ϕ D.⎰⎰'=')()(x d x f d ϕ2. 设)(),(x G x F 都是)(x f 的原函数，则必有( B ).A. 0)()(=-x G x FB. C x G x F =-)()(C. 0)()(=+x G x FD. C x G x F =+)()(3. 若)(x f 为可导、可积函数，则（ A ）.A. [])(])(x f dx x f ='⎰B. []f(x)f(x)dx d =⎰C. ⎰=')()(x f dx x fD.)()(x f x df =⎰4. 如果()f x =cos x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为( D ).A. cos x +1B. -cos x + CC. cos x + CD. sin x +C5. 如果()f x =2x ，那么函数()f x 的不定积分可表示为 (D ).A. 2xB. 2x +1C. 2x -1D. 2x +C6. 若⎰+=C x dx x f )(，则⎰=-dx x f )1(（ C ）A ．C x +-1；B ．C x +-；C ．C x +；D ．C x +-2)1(217. 幂函数的原函数一定是（ D ）.A.幂函数B.指数函数C.对数函数D.幂函数或对数函数8. 若⎰+=-C e dx x f x )(，则=')(x f （ D ）.A.x xe --B.x e x -2C.x eD.x e -9.（ D ）是函数x x f 21)(=的原函数A ．x x F 2ln )(=B ．221)(x x F -= C ．)2ln()(x x F += D ．x x F ln 21)(= 10.若)(x f 满足⎰+=C x dx x f 2sin )(，则=')(x f （ C ）A ．x 2sin 4B ．x 2cos 2C ．x 2sin 4-D ．x 2cos 2-11.下列等式中（ D ）是正确的A ．⎰=')()(x f dx x f B ．C e f dx e f x x +='⎰)()(C ．Cx f dx x f +='⎰)()( D ．⎰+--=-'C x f dx x f x )1(21)1(22 12.若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=dx x xf )(cos sin （ A ）A ．C x F +-)(cosB ．C x F +)(cosC ．C x f +-)(sinD ．C x F +)(sin13.下列函数中，（ B ）不是x 2sin 的原函数。
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
上页 下页 返回
分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
上页 下页 返回
x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
不定积分
的原函数, 且 求
解: 由题设 F ( x) f ( x) , 则 F ( x) F ( x) sin 2 2 x , 故 即
1 cos 4 x F ( x) F ( x)d x sin 2 xd x 2 d x
2
F 2 ( x) x 1 sin 4 x C 4
2a
1 (a 2t 2 1) 2
3 2
d(a 2t 2 1)
(a t 1) C 2 3a
2 2
当 x < 0 时, 类似可得同样结果 .
4. 分部积分法：
udv uv vdu
(1) 使用原则 : v 易求出, u v dx 易积分
(2) 题目类型 : •直接用公式: 选择u的一般次序—反对幂三指 •循环解出:分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;
R( x , n ax b , m ax b ) dx ,
令 t p a x b , p 为m , n 的最小公倍数 .
例. 求
1 1 x x x dx .
1 x ,则 解: 令 t x
2t dt 原式 (t 1) t 2 2 (t 1)
2
t 1 2 2 dt 2 t ln C t 1 t 1
原式 =
1 sin 2 x 2 sin 2 x
d (1 sin 2 x)
令 t 1 sin 2 x
2t 2 d t 2 (1 1 2 ) d t 1 t 1 t2
2t 2arctan t C
2 1 sin 2 x arctan 1 sin 2 x C
2. 第一换元法:
拆、拼、凑 g ( x)dx f ( ( x)) ' ( x)dx = f (u)du 基本积分表 F (u ) C F ( ( x)) C
第四章1-5 不定积分与定积分讲解
a2 − x2 cost = 1− sin t = a a2 x 1 arcsin + x a2 − x2 + C 原式= 原式= 2 a 2
2
例 5：求∫
dx x +a
2 2
(a > 0)
−
设 解： x = a tan t 原式= 原式=∫
π
2
<t <
π
2
asec2 t dt = ∫ sectdt = ln(sect + tant) + C asect
§
4.4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分部积分法
′ uv′ = ( uv) − u′v 分析： 分析：(uv)′ = u′v + uv′ ∫uv′dx = ∫ (uv′)dx − ∫u′vdx
∫udv = uv − ∫ vdu 分部积分公式： 分部积分公式： ∫ udv = uv − ∫ vdu
例 1：求∫ xcos xdx
设 解： u = x,dv = cos x;dx = d(sin x), v = sin x 原式= 原式=∫ xd(sin x) = x ⋅ sin x − ∫ sin xdx =xsin x + cos x + C
例 2：求∫ xexdx
解：设u = x, dv = exdx
原式= 原式=∫ xd(ex ) = xex − ∫ exdx = xex − ex + C
例 3：求∫ x ln xdx
解：设u = ln x, dv = xdx 1 2 1 2 1 2 1 原式= 原式=∫ ln xd( x ) = x ⋅ ln x − ∫ x ⋅ dx 2 2 2 x 1 2 1 1 2 1 2 = x ⋅ ln x − ∫ xdx = x ln x − x + C 2 2 2 4
高等数学第四章 第四节 不定积分 课件
例3
解
计算由 y 2 2 x 和 y x 4所围图形的面积.
选 y 为积分变量
y x4
y2 2 x
y2 dA( y ) ( y 4) dy, y [2, 4] 2
4
A
4
2
dA( y )
2
y (y 4 )d y 18. 2 2
与 y 0 所围成的图形分别绕 x 轴、y 轴旋转构成旋转 体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
Vx
2a
0
y 2dx
2a
a 2 (1 cost )2 d[a( t sint )]
0
2
5 2a 3 .
20/31
例 4
求摆线 x a( t sin t ) ， y a(1 cos t ) 的一拱
a 4 2 0 3 π ab
方法2 利用椭圆参数方程
y O
b
x
ax
则
V 2 π y 2 dx 2 π ab 2 sin 3t d t
0
a
2 2 π ab 1 3 4 π ab 2 3
2
4 3 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 π a . 3
a xxdx
b x
例 2
计算由曲线 y x 3 6 x 和 y x 2 所围成
的图形的面积.
解
A f1 ( x) f 2 ( x) dx
a
b
y x3 6x
两曲线的交点
y x 6x 2 y x
3
y x2
高数期末复习第四章 不定积分
帮
高数高上数第四章重点
数 高
郭啸龙主编
帮
帮 《不定积分》
数
数
本章说明
高
高
汇总了求不定积分的所有方法与题型，含所有公式
帮 数 高
帮 数 高
帮
帮 第四章 不定积分重要知识点
考点
重要程度
分值
1.直接积分 2.凑积分 3.换元法
数必考
0~3
4.分部积分法
6~10
5.有理化积分
1. kdx kx C
帮 (4) cot xdx ln | sin x | C
(6) csc xdx ln | csc x cot x | C
数 (8)
dx sin 2 x
csc2 xdx cot x C
高 (10) csc x cot xdx csc x C
帮
帮 定义：在区间 I 上， F(x) f (x) （或 dF (x) f (x)dx ）,则 F (x) 称为 f (x) 在区间 I 上
即 x 3 (A B)x (3A 2B) .
帮 数
因是恒等式，两端关于 x 的同次幂的系数应相等,即
A B 1 3A 2B 3,
帮 从中解得 A 5,B 6 .
x2
x
3 5x
dx 6
x52dx
x
6
dx 3
5
ln
|
x
2
|
6
|
x
3
|
C
数
高
数 高
高
帮 数 高
帮 数 高
的一个原函数.
数 定义 f (x) 在区间 I 上的全体原函数称为 f (x) 在区间 I 上的不定积分,记作 f (x)dx ,
第四章不定积分
被积函数中存在复合关系先换元再说.
被积函数中含抽象函数 f ( x) 时，设法求 f ( x)的表达式.
对三角函数的积分，化为同角同名. 被积函数中含有导数的积分—分部积分
被积函数中出现 x与x,则 x( x)2
二、基本问题及解法
问题(一) 与原函数有关的命题
运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、 不定积分与微分的关系。
例 3. 已f知 (x)g(x), 则(有 )
(A)(f(x)d)x(g(x)d)x; (B)f(x)dx g(t)d;t
x
x
(C)d(fx)d(gx); (D)a f(x)dx ag(x)dx
分析 :(A)的结论f说 (x)明 g(x),显然不, 成立
根据拉格朗日 的中 推值 论定 知理 应为
f(x)g(x)c.
(2)不为零的常数因子可提到积分号外
k(fx)d xkf(x)dx
（3）和的积分等于积分 的和
[f (x)g(x)]dx f (x)dxg(x) [f1(x) f2(x) fn(x)] f1(x)dx f2(x)dx fn(x)dx
5.基本积分公式表
(1) x k dx 1 x k 1 C (k 1)
而 f(x)dx与 g(t)dt表示两个不同变量
的 函 数 ,不 相 等 ;而(C),(D)均 表 示 两 个 相 同 积 分 函 数 的 积 分,故相 (C)等(D)均 成 立 .
例4. f(x)dxx2c, 则 xf(1x2)dx______
分析： x(1 fx 2)d x 1f(1x 2)d (1x 2)
(8) f (cos x ) sin xdx f (cos x )d (cos x ); (9) f (tan x ) sec 2 xdx f (tan x )d (tan x ); (10 ) f (cot x ) csc 2 xdx f (cot x )d (cot x )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四章：不定积分一、本章的教学目标及基本要求1、理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算；已知曲线在一点的切线斜率，会求该曲线的方程。
2、熟记基本积分公式；能熟练地利用基本积分公式及积分的性质，第一换元积分法和分部积分法计算不定积分；掌握第二换元积分法。
对于复合函数求不定积分一般用第一换元积分法（凑微分法），记住常见的凑微分形式。
3、掌握化有理函数为部分分式的方法，并会计算较简单的有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。
二、本章各界教学内容及学时分配第一节不定积分的概念与性质 2学时第二节换元积分法 4学时第三节分部积分法 2学时第四节有理函数的积分 2学时三、本章教学内容的重点和难点1、重点：不定积分和定积分的概念及性质，不定积分的基本公式，不定积分、定积分的换元法与分部积分法；2、难点：不定积分和定积分的概念及性质，凑微分法，有理分式函数的积分、三角有理式的积分、无理式的积分。
四、本章内容的深化和拓广1、了解不定积分在现代数学发展史上的重要意义；2、初步了解不定积分的实际意义，为后面定积分的学习及定积分的应用做好一定的铺垫；3、简介不定积分在建立数学模型中的重要意义。
五、本章教学方式及教学过程中应注意的问题1、以讲课方式为主，留一个课时的时间讲解习题中的难点和容易犯错误的地方；2、教学中应注意教材前后内容之间的联系，突出重点和难点；3、本章主要以计算题为主，要强调本章内容本今后学习的重要性，鼓励学生细致、耐心地完成作业，防止学生只抄教材后的答案。
4.1 不定积分的概念与性质一、内容要点1、原函数与不定积分的概念2、不定积分的性质二、教学要求和注意点教学要求：理解原函数与不定积分概念及其相互关系；知道不定积分的主要性质；弄清不定积分与求导数的关系，即求导与不定积分互为逆运算。
注意点：1、原函数与不定积分的概念：由导数及导数的意义引入原函数的概念；解释不定积分的几何意义；强调原函数和不定积分的特性，并举例说明；由基本积分表说明基本积分方法；2、不定积分的性质：说明不定积分的性质对不定积分计算的重要性；列出不定积分的性质并给与证明，证明过程中有意识地加深学生对不定积分概念更深入的理解；三、作业 同步训练习题23一 原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有或， 那末函数就称为（或）在区间上的原函数。
例如，x^2是2x 的原函数，lnx 是1/x 的原函数因，，故是的原函数。
注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数 2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I 上连续，则f(x)在I 上一定有原函数。
注意：并不是任意在I 上有定义的函数都有原函数，反例⎩⎨⎧<≥=0,00,1)(x x x f 定理2：设f(x)在区间I 上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则1． f(x)的任意两个原函数相差一个常数2． F(x)+C 也是f(x)的原函数定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作。
其中记号称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量。
由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么就是的不定积分，即。
因而不定积分可以表示的任意一个原函数。
第一，如果有，那么，对任意常数C，显然也有，即如果是的原函数，那也是的原函数。
第二，当为任意常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。
也就是说，的全体原函数所组成的集合，就是函数族。
例 1 求.解由于=，所以是的一个原函数。
因此.例 2求.解当时,由于=,所以是在内的一个原函数。
因此，在内，当时，由于==，由上同理，在内，将结果合并起来，可写作例3、 已知()x F 是x xln 的一个原函数，求：()x sin dF 解：xlnx (x)F /= cosxdx sinx lnsinxdsinx dsinxdF(sinx)dF(sin x)==例4、()x f 的导函数是x sin ，则()x f 的原函数21c x c x sin ++-，(1c 、2c 为任意常数)例5、在下列等式中，正确的结果是 CA 、()⎰=x f (x)dx f /B 、⎰=f(x)df(x)C 、⎰=f(x)(x)dx f dx dD 、⎰=f(x)(x)dx f d二基本积分表由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。
见课本积分表。
三不定积分的性质根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即.注意：差的积分等于积分的差性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即(是常数,).例 1 求.解 =====例2．)dxx 1(1x x )dx x 1(1x x 241212-⋅=-⎰⎰ dx )x -(x 4543⎰-=C4x x 744147++=-例3C x e dx x dx e dx x e dx x e e x x x x x+-=-=-=-⎰⎰⎰⎰-ln 1)1()1( 例4C x x x dx dx x dx x dx x x dx x ++-=+-=+-=-⎰⎰⎰⎰⎰32512)12()1(35242422 4.2 换元积分法一、内容要点举较多的例以说明利用换元积分法求不定积分的基本方法1、教材上的例1-例3，讲解时充分强调第一换元积分法“凑微分”的基本方法，强调熟悉一些简单函数的微分的重要性；2、 材上的例4-例11，讲解时充分强调第一换元积分法应结合被积函数的代数恒等变形等手段求不定积分；3、教材上的例12-例20，讲解时强调要充分利用三角函数的代数特性及微分特性求不定积分；万能变换的应用及其与三角函数恒等变形方法之间的关系。
二、教学要求和注意点 教学要求：了解第一换元积分法的意义及证明方法；掌握第一换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；熟悉一些常见简单函数的微分。
了解第二换元积分法的意义及证明方法；掌握第二换元积分法求不定积分的基本方法和步骤；强调第二换元发与第一换元法之间的区别，了解第二换元积分法适用的函数类型。
教学注意点：1、由不定积分的意义引入换元积分法的公式；2、由不定积分的意义证明第一换元公式的正确性；3、讲解利用第一换元法求不定积分的基本方法和步骤4、由不定积分的意义引入第二换元积分法的公式；5、由不定积分的意义证明第二换元公式的正确性；6、讲解利用第二换元法求不定积分的基本方法和步骤，④强调换元函数的可逆性。
7、例题：举例以说明利用第二换元积分法求不定积分的基本方法8、教材上的例21-例24，说明第二换元法的基本方法和适应的函数；9、介绍二次多项式的平方根c bx ax ++2的积分方法三、作业同步训练24、25利用基本积分表与积分的性质,所能计算的不定积分是非常有限的.因此,有必要进一步来研究不定积分的求法.把复合函数的微分法反过来求不定积分,利用中间变量的代换,得到复合函数的积分法,称为换元积分法,简称换元法.换元法通常分成两类.一． 第一类换元法设f(u)具有原函数F(u)，即)()(u f u F ='和C u F du u f +=⎰)()(令u =φ(x)，其中φ(x)是可导的，则F(u)=F(φ(x))显然是复合函数，又由于：)())(()()()()())]([(x x f x u f x u F x F φφφφφ'='=''='这说明的一个原函数是)())(()])([(x x f x F φφφ'，则⎰⎰===+=+=')()(|)(|)()])([)())((x u x u du u f C u F C x F dx x x f φφφφφ 定理1 设f(u)具有原函数F(u), u =φ(x)可导, 则有换元公式:⎰⎰===')(|)()]([)()]([x u du u f x F dx x x f φφφφ注意：1)]([x F φ不是)]([x f φ的原函数！ 2 F(u)是f(u)的原函数是针对积分变量u 而言的，)]([x F φ是)()]([x x f φφ'的原函数是针对积分变量x 而言的。
3运用第一类积分换元法关键在于设法将被积函数凑成)()]([x x f φφ'的形式，在令)(x u φ=变成不定积分⎰du u f )(进行计算，最后用)(x u φ=进行回代。
4在)(x u φ=下，)()]([u f x f =φ，du dx x =')(φ例1 求∫2cos2xdx .解作变换u=2x,便有∫2cos2xdx =∫cos2x·2dx =∫cos2x·(2x)' dx =∫cos u du = sin u+C,再以u=2x代入,即得∫2cos2xdx =sin 2x+C.例2 求∫tan x dx.解∫tan x dx =∫sin x /cos x dx.因为-sin x dx = d cos x,所以如果设u=cos x,那么du=-sin xdx,即-du=sin xdx,因此.类似地可得∫cot x dx =ln|sin x|+C.在对变量代换比较熟练以后,就不一定写出中间变量u.例3 求∫ch(x/a) dx.解.例4 求(a>0).解.下面的一些求积分的例子,它们的被积函数中含有三角函数,在计算这种积分的过程中,往往要用到一些三角恒等式.例5 求∫sin 3 x dx .解 ∫sin 3x dx =∫sin 2x sinx dx=-∫(1-cos 2x)d(cosx)=-∫d(cosx)+∫cos 2xd(cosx)=-cosx+(1/3)cos 3x+C .例6 求∫cos 2 x dx .解.附加：1、⎰⎰+--=---=-c 2x 3ln 212x)d(32x 3121dx 2x 312、⎰⎰+==c (lnx)32ln x d lnx dx x ln x 233、⎰⎰+==c x sin 41sin x d x sin xdx sin x cos 4334、⎰⎰+-=-=c x 1x -1d 21x d x -1x2225、⎰⎰+-=-=c e 31d(-x)e 31dx e x 3x-33x -3x -26、⎰⎰+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ca x tan arc a1a x d a x 11a1dx x a 1222利用定理1来求不定积分,一般却比利用复合函数的求导法则求函数的导数要来的困难,因为其中需要一定的技巧,而且如何适当的选择变量代换u=φ(x)没有一般途径可循,因此要掌握换元法,除了熟悉一些典型的例子外,还要做较多的练习才行. 二 第二类换元法第二类换元法从 形式上看与第一类换元法恰好相反，它是将不定积分⎰dx x f )(通过)(t x ψ=转换成dt t t f )())((ψψ'⎰来计算，但有几点需要说明。