高次方程求根公式
高次方程求根故事
高次方程求根的故事源远流长，涉及到多个数学家和学派的发展。
以下是关于高次方程求根的几个关键故事：1. 塔尔塔利亚与卡丹的故事：塔尔塔利亚（Tartaglia）是意大利人，他在1535年发现了三次方程的一般解法，被称为“塔尔塔利亚公式”或“卡尔丹公式”（Cardano's formula），尽管公式实际上是由塔尔塔利亚发现的，但他的名字并未被广泛认可。
这个公式的发表对于数学的发展有重要影响，它解决了长久以来三次方程求解的难题。
2. 霍纳方法与鲁菲尼方法的争议：1819年，英国人霍纳（Horner）在皇家学会宣读了一篇数学论文，提出了一种解任意高次方程的巧妙方法，被称为“霍纳方法”。
这一方法在数学界引起了轰动，但由于当时数学界对高次方程求解的理解有限，该方法并未立即被广泛接受。
意大利数学界一度要求将其命名为“鲁菲尼方法”，但这一提议并未得到广泛支持。
3. 费罗的贡献：在文艺复兴时期，意大利数学家费罗（Scipione del Ferro）也对三次方程的解法做出了贡献。
他可能是第一个找到三次方程一般解的人，但遗憾的是，他的方法并未公开，直到塔尔塔利亚独立发现了同样的方法。
4. 高次方程求解的困境：尽管数学家们对于三次和四次方程的求解方法有了突破，但对于五次及以上方程的求解，他们遇到了巨大的困难。
在长达两个世纪的时间里，数学家们尝试了各种方法来求解五次方程，但都未能成功。
这其中包括了诸如莱布尼茨等天才数学家的努力。
最终在19世纪初，挪威数学家阿贝尔（Abel）证明了五次及以上方程无法用根式求解，这一结论标志着高次方程求解问题的一个重要转折点。
这些故事展示了高次方程求根历史的复杂性和多样性，也反映了数学家们在面对难题时的坚韧和创造力。
高中数学必背公式大全
高中数学必背公式大全一、代数部分。
1. 二项式定理。
(a+b)ⁿ = Cⁿ₀aⁿb⁰ + Cⁿ₁aⁿ⁻¹b¹ + ... + Cⁿᵢaⁿ⁻ⁱbⁱ + ... + Cⁿₙa⁰bⁿ。
2. 一元二次方程求根公式。
ax²+bx+c=0的解为x= (-b±√(b²-4ac))/2a。
3. 等差数列通项公式。
an = a₁ + (n-1)d。
4. 等比数列通项公式。
an = a₁ q^(n-1)。
5. 两点间距离公式。
两点A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)间的距离为√((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
6. 直线斜率公式。
直线y=kx+b的斜率为k。
7. 二次函数顶点坐标。
二次函数y=ax²+bx+c的顶点坐标为(-b/2a, c-b²/4a)。
二、几何部分。
1. 直角三角形勾股定理。
a² + b² = c²。
2. 直角三角形中正弦、余弦、正切公式。
sinA = a/c, cosA = b/c, tanA = a/b。
3. 三角形面积公式。
三角形面积S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))，其中p为半周长。
4. 圆周长和面积公式。
圆周长C=2πr, 圆面积S=πr²。
5. 正多边形内角和公式。
正n边形内角和为(n-2) 180°。
6. 圆锥、圆柱、球体积公式。
圆锥体积V=1/3πr²h, 圆柱体积V=πr²h, 球体积V=4/3πr³。
三、概率与统计部分。
1. 随机事件概率公式。
P(A) = n(A)/n(S)。
2. 期望公式。
E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + ... + xᵢpᵢ。
3. 正态分布概率公式。
P(a < X < b) = ∫(a, b) 1/√(2πσ²) e^(-(x-μ)²/2σ²) dx。
一元四次方程的求根公式知乎
一元四次方程的求根公式知乎四次方程是指次数最高为4的方程，一元四次方程可以表示为ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，其中a、b、c、d、e都是已知常数，x表示未知数。
求解一元四次方程的根可以使用求根公式来完成。
然而，与一元二次方程和一元三次方程不同，一元四次方程没有通用的求根公式，也就是说，不存在一个类似于一元二次方程的公式可以直接给出方程的根。
然而，我们可以利用一些特殊的方法来求解一元四次方程的根。
其中一种常用的方法是将一元四次方程转化为一元二次方程的形式，然后再求解一元二次方程的根。
为了将一元四次方程转化为一元二次方程，我们可以采用变量代换的方法。
假设我们将一元四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0中的x的二次项的系数设为1，即将方程变为y^2+px^2+qx+r=0，其中y=x^2。
然后，我们可以利用一些代数运算的方法，将一元四次方程转化为一元二次方程的形式。
具体的转化方法是：首先，将一元四次方程的常数项e移到方程的左边，即ax^4+bx^3+cx^2+dx=-e。
然后，我们可以令y=x^2，这样方程可以写成ax^2y^2+bxy^2+cxy+dxy=-e。
接下来，我们可以提取出y的系数，得到ay^2+by^2+cy+dy=-e。
接下来，我们可以继续对一元四次方程进行变量代换。
假设我们令z=y+u，其中u是一个待定系数，那么方程可以进一步写成a(z-u)^2+b(z-u)^2+c(z-u)+d(z-u)=-e。
将这个方程展开并整理，得到az^2+(2au+b)z+(au^2+bu+cu+du+e-au^2)=0。
现在，我们得到了一个一元二次方程az^2+(2au+b)z+(au^2+bu+cu+du+e-au^2)=0。
我们可以使用一元二次方程的求根公式来求解这个方程，得到z的两个解。
然后，我们可以将z的解代回到之前的变量代换中，得到y的解。
最后，我们再将y的解代回到y=x^2的关系式中，得到x的解。
一元三次求根公式方法
一元三次求根公式方法一、一元三次方程概述1.定义及符号表示一元三次方程是指只含有一个未知数、未知数的最高次数为三次的方程。
通常用字母x表示未知数，方程一般形式为：ax+bx+cx+d=0。
2.基本性质一元三次方程有以下几个基本性质：（1）一元三次方程有三个解（实根或复根）；（2）一元三次方程的解可能有两个实根，一个虚根；（3）一元三次方程的解可能有一个实根，两个虚根；（4）一元三次方程的解可能三个都是虚根。
二、一元三次求根公式推导1.公式推导过程一元三次方程的求根公式由意大利数学家卡尔丹（Cardano）于16世纪首次推导出来。
求根公式为：x1,2,3 = [-b ± √(b-3ac)] / (3a)2.公式含义及适用范围该公式适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0），通过该公式可以求得一元三次方程的三个解。
三、一元三次方程的解法1.直接开平方法直接开平方法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0，且a、b、c、d为实数），通过直接开平可以求得一元三次方程的解。
2.公式法利用一元三次方程的求根公式，可以求得一元三次方程的三个解。
公式法适用于一元三次方程ax+bx+cx+d=0（a≠0）。
3.图像法通过绘制一元三次函数的图像，观察与x轴的交点个数，可以判断一元三次方程的解的个数。
图像法适用于直观地了解一元三次方程的解的情况。
4.数值法利用数值方法（如牛顿法、二分法等）求解一元三次方程，适用于需要求解实数解的情况。
四、一元三次方程实际应用案例1.数学建模中的应用在数学建模中，一元三次方程常用于构建复杂数学模型，如人口增长模型、经济模型等。
2.物理、工程领域的应用一元三次方程在物理、工程领域中有广泛应用，如振动系统的动力方程、电磁场的麦克斯韦方程等。
五、一元三次方程求根公式的优缺点1.优点（1）公式具有普遍性，适用于各种一元三次方程；（2）求解过程较为简便，计算量较小；（3）可以求得实根、复根，以及虚根。
特殊的高次方程的解法1
特殊的高次方程的解法1特殊的一元高次方程的解法1教学目标知识与技能：理解和掌握二项方程的意义以及二项方程的解法；过程与方法：学会把一个代数式看作一个整体，掌握可以通过换元转化为二项方程的方程的解法, 经历知识的产生过程，感受自主探究的快乐.教学重点及难点重点：掌握二项方程的求解方法.难点：把“整体”转化为“新”元的二项方程. 教学过程设计一、 情景引入1．复习提问复习：请同学们观察下列方程(1) 2x+1=0； (2) 0652=++x x； (3) 03422=-+x x ； (4) 23+x =3； (5) 083=-x ； (6) 016215=-x ；(7) 01853=+x ； (8) 0323234=--+-t t t t ；(9)010324=-+y y .提问：（1）哪些是整式方程？一元一次方程？一元二次方程？（2）后5个方程与前3个方程有何异同？（3）方程（5）、（6）、（7）有什么共同特点？二、学习新课1．概念辨析（1）一元高次方程通过上述练习，师生共同得出一元高次方程的特点：（1）整式方程;（2）只含一个未知数;（3）含未知数的项最高次数大于2次.从而提出一元高次方程的概念，并标题，提出本节课的主要内容，学习简单高次方程及其解法.（2）二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.（3）一般形式：关于x的一元n次二项方程的一般形式为(0≠≠=+ax n,0,0bn是正整数）ab注①n ax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.2．例题分析解下列简单的高次方程：（1）83=x （2）164=x （3）016215=-x （4）011853=+x 分析 解一元n 次（n>2）次二项方程，可转化为求一个已知数的n 次方根.如果在实数范围内这个数的n 次方根存在，那么可利用计算器求出这个方程的根或近似值.思考：解二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+（学生自主归纳，教师总结）结论：对于二项方程 是正整数）n b a b ax n ,0,0(0≠≠=+ 当n 为奇数时，方程有且只有一个实数根. 当n 为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数；如果ab>0，那么方程没有实数根.特殊的高次方程的解法2教学目标知识与技能：理解双二次方程的意义，了解高次方程求解的基本方法是降次，会用换元法把双二次方程转化为一元二次方程；过程与方法：学会判断双二次方程的根的个数;情感态度与价值观：通过学习增强分析问题和解决问题的能力.教学重点及难点掌握双二次方程的求解方法，学会判断双二次方程的根的个数.教学过程设计一、 情景引入1．复习请同学们解下列一元二次方程：(1)0452=+-y y (2) 0122=-+y y（解题时可以穿插复习一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法、求根公式法）2．思考：若令2x y =,则方程变形为（1）04524=+-x x，（2）01224=-+x x 如何求解上述方程？3．观察：提问：以下哪些方程与04524=+-x x，01224=-+x x 具有共同的特点？（1）0451424=+-x x （2）060723=-+x x x （3）0105223=+--x x x （4）013224=-+x x （5）012134=-+x x这类方程有什么共同的特点？二、学习新课1．概念辨析（1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程.注 当常数项不是0时，规定它的次数为0.（2）一般形式：)0(024≠=++a c bx ax（3）学生归纳：如何求解双二次方程？分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程.换元法对于某些特殊的一元高次方程，可以添设一个辅助元替换原来的未知数，达到使高次方程降次的目的，这种解一元高次方程的方法称为换元法。
高一数学n次方根的知识点
高一数学n次方根的知识点引言：在高中数学学科中，解n次方程是一个相对重要且广泛应用的内容。
其中，n次方根作为其核心概念之一，具有重要的理论和实践意义。
本文将从n次方根的概念和性质、求解方法以及实际应用等角度，较全面地介绍高一数学n次方根的知识点。
一、n次方根的概念和性质n次方根是数学中一种特殊的运算，用于求解多项式方程的根。
具体而言，对于给定的实数a和正整数n，如果存在一个实数x，使得x的n次方等于a，即x^n = a，那么我们称x为a的n次方根。
n次方根的符号表示为√( )，其中方括号内的上标表示次数，下标表示被开方的数。
在研究n次方根的性质时，我们可以得出以下结论：1. 当n为奇数时，n次方根存在唯一的实数解；2. 当n为偶数时，n次方根的解可以是实数或复数；3. 当n为自然数时，n次方根存在两两互异的n个解。
需要注意的是，对于负数的n次方根，我们通常使用复数域来求解，此时n次方根可能存在多个复数解。
二、n次方根的求解方法在求解n次方根的过程中，常用的数学方法有以下几种：1. 代数法：将n次方程转化为一元n次多项式方程，通过因式分解或公式法求解。
例如，对于二次方根的求解，可使用求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)；2. 几何法：在平面直角坐标系中，通过画图法或几何变换法求解。
例如，对于三次方根的求解，可通过构造方程的图形来找到根的位置；3. 迭代法：利用数值逼近的思想，通过不断迭代逼近解的过程，求得n次方根的近似值。
例如，牛顿法是一种常用的迭代法，可用于高次方程的求根。
三、n次方根的实际应用n次方根作为高中数学中的重要概念，在实际应用中具有广泛的用途。
以下是几个常见的实际应用场景：1. 金融领域中，通过计算复利的年利率，可以求得每期的利率变化；2. 物理学中，通过求解方程的n次方根，可以确定物理量的根据实验数据的变化规律；3. 工程学中，通过求解方程的n次方根，可以完成测量和定位的任务。
一元三次方程的求根公式及其推导
一元三次方程的求根公式及其推导有三个实数根。
有三个零点时，当有两个实数根。
有两个零点时，当有唯一实数根。
有唯一零点时，当。
，有两实根，为，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点有一实根，则方程若有唯一实数根。
有唯一零点没有实根，则方程若实数根的个数。
点的个数即方程零即方程则设实数根的判定：程即可。
因此，只需研究此类方的特殊形式即公式化为均可经过移轴三次方程由于任一个一般的一元0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(0)()(0)1281(811)()(33:0)(0)3(0)()(0)(,0).2(0)()(0)(',0).1(0)(,00)(,)(.1,0,0)2792()3)(39()3(0)3272()3)(3()3(032323221''3333233232323=⇔<+=∙=⇔=+=∙=⇔>+=∙--==-===<=⇔===⇔=>=++=++=++==++=+-++-++=+-++-++=+++x F x F p q F F x F x F p q F F x F x F p q F F px p x x F p x F x F x F p x F x F x F p q px x x F q px x x F q px x x F q px x D A ABC B B Ax AB AC B Ax D A BC AB A B x A BC A B x AD Cx Bx Ax βαβαβαβα33233232323323233231322321323232333333333333333333333332332332323212811210861128112108610)1281(811)27(41281121086112811210861181281918128190)1281(811)27(402727,3)(300)(33)(3)(.1.200128100128100128112810)1281(8110)0.(0.p q q p q q x p q p q p q q a B p q q a A B A p q q a p q q a p q p q p qa a B A q B A p B A q B A p AB q B A p AB q px x B A ABx x ABx B A B A AB B A B A x B A x B A B A B A x q px x p q q px x p q q px x p q p q p q p q p q p +--+++-=≤+=--⎪⎩⎪⎨⎧+--==++-==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+--=++-=>+=--=-+⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==+-=-=++=+--++=+++=+=+=+==++<+=∆=++=+=∆=++>+=∆+=∆>+≥式，为：实数根的方程的求根公上方法只能导出有一个）。
代数方程的解法
代数方程的解法代数方程是数学中常见的问题，解决代数方程意味着找到方程中变量的取值，使得方程成立。
本文将介绍几种常见的代数方程解法，帮助读者更好地理解和应用这些解法。
一、一次方程的解法一次方程是指方程中最高次项为1的代数方程，常见形式为ax + b = 0。
解一次方程的方法是通过变形和化简，将方程化为x = c的形式，其中c为常数。
例如，对于方程3x + 5 = 0，我们可以通过变形得到3x = -5，然后再除以3，得到x = -5/3。
所以该方程的解为x = -5/3。
二、二次方程的解法二次方程是指方程中最高次项为2的代数方程，常见形式为ax^2 + bx + c = 0。
解二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、求根公式等。
1. 因式分解法：如果二次方程可因式分解，则可以通过因式分解法来解。
例如，对于方程x^2 + 4x + 4 = 0，可以因式分解为(x + 2)(x + 2) = 0，得到x = -2。
所以该方程的解为x = -2。
2. 配方法：对于一般的二次方程，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式，然后再求解。
例如，对于方程x^2 + 6x + 9 = 0，我们可以将其写成(x + 3)^2 = 0，得到x = -3。
所以该方程的解为x = -3。
3. 求根公式：对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式来解。
求根公式为x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
例如，对于方程2x^2 + 5x + 2 = 0，可以将a、b、c的值代入求根公式，得到x = -1/2或x = -2。
所以该方程的解为x = -1/2或x = -2。
三、高次方程的解法高次方程是指方程中最高次项大于2的代数方程。
解高次方程的方法较为复杂，常见的有综合除法法、因式分解法、数值计算法等。
1. 综合除法法：通过综合除法法，可以逐次除去方程中的高次项，将高次方程转化为低次方程，最终得到解。
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高次方程求根公式
在代数学中，高次方程是指次数大于等于2的多项式方程。
求解高次方程的根是代数学的一个重要研究课题，可以帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍一些常见的高次方程求根公式，其中包括二次方程、三次方程和四次方程的求根公式。
一、二次方程的求根公式
二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c为已知实数且a≠0。
求解二次方程的根可以使用以下公式：
x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)
其中，±表示两个解，即x的两个可能取值。
如果b^2-4ac大于0，则方程有两个不相等的实根；如果b^2-4ac等于0，则方程有两个相等的实根；如果b^2-4ac小于0，则方程没有实根，但可以有两个共轭复根。
二、三次方程的求根公式
三次方程是形如ax^3+bx^2+cx+d=0的方程，其中a、b、c、d 为已知实数且a≠0。
求解三次方程的根可以使用以下公式：
x = ∛(-q/2 + √(q^2/4 + p^3/27)) + ∛(-q/2 - √(q^2/4 + p^3/27)) - b/(3a)
其中，q = (3ac-b^2)/(9a^2)，p = (3b-9ac)/(27a^2)。
这个公式可以求解三次方程的一个实根，而其他两个根可以通过代入求解得到。
三、四次方程的求根公式
四次方程是形如ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0的方程，其中a、b、c、d、e为已知实数且a≠0。
求解四次方程的根可以使用以下公式：
x = ±√((-b+√(b^2-4ac))/2a) ±√((-b-√(b^2-4ac))/2a)
其中，±表示四个解，即x的四个可能取值。
这个公式可以求解四次方程的所有实根，但需要注意的是，四次方程可能有重根或复根。
需要注意的是，除了二次方程、三次方程和四次方程，高次方程的求根公式并不一定存在。
对于五次及以上的方程，一般无法用有限次的加、减、乘、除和开方运算来求解其根。
这是由于数学上的阿贝尔－鲁菲尼定理给出了一个严格证明，称为“不可能代数解方程定理”。
在实际应用中，我们通常会使用数值计算方法来求解高次方程的根，例如牛顿法、二分法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式，得到方程的近似解。
虽然不如求根公式那样精确，但在实际问题中已经足够满足我们的需求。
高次方程求根公式是解决多项式方程的重要工具。
我们可以根据方程的次数选择相应的求根公式，从而求解方程的根。
对于无法用求根公式解决的高次方程，我们可以借助数值计算方法来求解。
高次方程的求根公式不仅在理论研究中有重要意义，也在实际应用中发挥着重要作用。
通过研究和应用，我们可以更好地理解和利用高次方程的性质。