2020届高三年级联考数学试卷及答案

2020届高三年级联考

数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分） 把答案涂在答题卡上

1．设x ，R y ∈，则0xy >是||||||y x y x +=+成立的 （ ） A ．充分条件，但不是必要条件； B ．必要条件，但不是充分条件； C ．充分且必要条件； D ．既不充分又不必要条件

2．已知)2,1(=a ，)1,(x b =，且2+与-2平行，则=x （ ） A ．1； B ．2； C ．21； D ．3

1

3．函数)4

sin()4sin(

)(x x x f -+=π

π

是 （ ）

A ．周期为π2的奇函数；

B ．周期为π2的偶函数；

C ．周期为π的奇函数；

D ．周期为π的偶函数

4．已知y x y x y x lg lg 2lg )2lg()lg(++=++-，则

x

y

= （ ） A ．―1； B ．2； C ．

2

1

； D ．―1或2 5．若}{n a 是各项为正的等比数列,且公比1≠q ,则)(41a a +与)(32a a +的大小关系是 （ ） A ．3241a a a a +>+； B ．3241a a a a +<+； C ．3241a a a a +=+； D ．不确定

6．设全集U 是实数集R ，}4|{2

>=x x M ，}11

2

|

{≥-=x x N ，则图中阴影部分

所表示的集合是 （ ） A ．}12|{<≤-x x ； B ．}22|{≤≤-x x ； C ．}21|{≤

7．若

21

cos sin 1cos sin 1=-+++θθθθ，则θcos 的值等于 （ ）

A ．53；

B ．53-；

C ．54；

D ．5

-

8．若}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，083>+a a ，09

n S 中最小的是 （ ）

A ．4S ；

B ．5S ；

C ．6S ；

D ．S

9．设)(x f 是定义在实数集R 上以2为周期的奇函数，已知)1,0(∈x 时，

)1(log )(2

1x x f -=，则)(x f 在)2,1(上 （ ）

A ．是减函数，且0)(>x f ；

B ．是增函数，且0)(>x f ；

C ．是减函数，且0)(

D ．是增函数，且)(

10．在△ABC 中，?>∠90C ，下列关系式中正确的是 （ ） A ．B A B A C sin sin cos cos sin +<+<；B ．B A B A C cos cos sin sin sin +<+<； C ．C B A B A sin sin sin cos cos <+<+；D ．A C B A sin sin sin cos cos +<<+

2020

届 高 三 联 考

数学试卷

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）

11．已知函数2

2()log (1)(0)f x x x =+≤，则1

(2)f

-

将函数x x y cos sin +=的图象按向量),(k h （其中，2

π<

h ）平移后与

1cos 2+=x y 的图象重合,则向量坐标=h ,=k

13．已知0a >且1a ≠，2()x

f x x a =-，当(1,1)x ∈-时，均有1

()2

f x <，则实数a 的取值范围是

14．设函数()sin()f x x ω?=+ )2

2

,0(π

?π

ω<

<->，给出下列四个论断：

①它的周期为π；②在区间(,0)6π

-上是增函数；③它的图象关于点(,0)3

π

成中心对称；④它的图象关于直线12

x π

=

对称

请以其中两个论断为条件，另两个论断为结论，写出一个你认为正确的命题： （请用如下形式答题：①②?③④）

三 解答题：（共6小题，共80分）

15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝

21, sinC ＝5

3

, 求cosA 的值

16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+??????++n n a a a a ，

∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式

17 （本小题满分14分）已知函数：

，θθ

θθ,3)2

(cos 32)2cos()2sin(2)(2R x x x x x f ∈-++++=

（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）3

πθ=当时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合

18 （本小题满分14分）设函数.;1

1

)(R a x ax x f ∈+-=

其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；

（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数

19 （本小题满分14分）已知：f(x)＝2

1

4x +

-

,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,1

1+-

n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +

)，且11=a ， >n a

（I ）求数列{n a }的通项公式;

（II ）求证：+∈++>

N n n n S n ,1

142

（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：

381622

1

2

1--+=

++n n a T a T n n n

n

设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列

20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意

两个值21x x 、总有以下不等式

)2

()]()([21

2121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数;

（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2

<++=a c bx ax x f 是凸函数；

（2）对于（1）中的二次函数)0()(2

<++=a c bx ax x f ，

若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式； （3）定义在R 上的任意凸函数*

∈=N n m q p x f y 、、、),(,

若n m q p q n m p +=+<<< ,且，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+

2020届高三联合考试

数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一 选择题（每小题5分，共10小题，共50分），把答案涂在答题卡上

1．（ A ）2．（ C ）3．（ D ）4．（ B ）5．（ A ）

6．（ C ）7．（ B ）8．（ B ）9．（ D ）10．（ B ）

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二．填空题：（本大题共4小题；每小题5分，共20分）

11． 3- 12 ,4

π

-

=k 1

13． 1

[,1)2

? 14． ①④?②③或 ①③?②④

三 解答题：（共6小题，共74分）

15．（本小题满分12分）若A B C 是△ABC 的内角，cosB ＝

21, sinC ＝5

3

, 求cosA 的值

解：∵ cosB ＝21, ∴sinB ＝23, 又sinC ＝53, cosC ＝±5

4

, …………4分

若cosC ＝－

54, 则角C 是钝角,角B 为锐角,π－C 为锐角,而sin(π－C)＝5

3

, sinB ＝

2

3

, 于是： sin(π－C)< sinB ……（5分） ∴ B >π－C, B ＋C>π,矛盾, ∴ cosC ≠－5

4

, …………7分 cosC ＝

5

4

,…………8分 π=++C B A Θ

故：cosA ＝－cos(B ＋C)＝－(cosBcosC －sinBsinC)＝10

4

33-, …………12分 （说明：本题如果没有去掉cosC ＝5

4

-，扣3分）

16．（本小题满分12分） 已知数列{}n a 满足： ）（1 221+=+??????++n n a a a a ，

∈N n 求证：数列{}n a 是等比数列，并求其通项公式

16 解：???=,2,1,}{ n S n a n n 项和为前设数列 依题意得：

+∈+=N n , 22n n a S …………2分

2211+=∴++n n a S

)(2111n n n n n a a S S a -=-=∴+++ （n=1,2,…）…………5分 ++∈=∴N n ,21n n a a …………8分

故数列{}n a 是等比数列 …………10分

2 N n , 221-=∴∈+=+a a S n n ，又Θ

+-∈-=?-=N n a n n n ,22

21

…………12分

17 （本小题满分14分）已知函数：

)2

(cos 32)2cos()2sin(2)(2-++++=θ

θθx x x x f

（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）当θ=3

π

时，求函数)(x f 满足1)(≥x f 的x 的集合

17． 解：（Ⅰ）1)2

(cos 2[3)2sin()(2-+

++=θ

θx x x f ] ………………2分

)2cos(3)2sin(θθ+++=x x ……（4分）

= ))

3

2sin(2)(()

6

2cos(2πθπθ+

+=-+x x f x 或……………6分 2 ,2max min =-=y y ………………8分

（Ⅱ）由y =得：

及3

)

6

2cos(2π

θπθ=

-+x 2

1

62cos ,162cos 2,1)(≥+∴≥+?≥）（）（ππx x x f ……………………12分

Z k k x k ∈+

≤+

≤-

?,3

26

23

2π

ππ

π

π

},12

4

|{Z k k x k x x ∈+

≤≤-∴π

ππ

π的集合是所求…………14分

18 （本小题满分14分）设函数.;1

1

)(R a x ax x f ∈+-=

其中 （Ⅰ）当时，1=a 求函数满足1)(≤x f 时的x 的集合；

（Ⅱ）求a 的取值范围，使f （x ）在区间（0，+∞）上是单调减函数

18．解：（Ⅰ）当时，1

=a 1)(≤x f 11

1≤+-?x x ,化为012≤+-x ……（3分） ,01>+?x 1->x 即：

故，满足（Ⅰ）条件的集合为{}1->x x ……（5分）

（Ⅱ）在区间),0(+∞上任取21,x x ，则1

11

1)()(112212---+-=-x ax x ax x f x f ……（7分）

)

1)(1())(1(1212++-+=

x x x x a ……（8分）

因12x x >故012>-x x ，又在),0(+∞上012>+x ,011>+x ……（10分） ∴只有当01<+a 时，即1-

才总有0)()(12<-x f x f , ……（12分）

∴当1-

说明：本题若令0)()(12<-x f x f 求出1-

4x

+

-

,数列{n a }的前n 项和记为n S ,点n P (n a ,1

1+-

n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +

)，且11=a ， >n a

（I ）求数列{n a }的通项公式; （II ）求证：+∈++>

N n n n S n ,1

142

（Ⅲ）数列{n b }的前n 项和为n T ，且满足：

381622

1

2

1--+=

++n n a T a T n n n

n

设定1b 的值，使得数列{n b }是等差数列

19 解：（Ⅰ）由于y ＝2

1

4x +

-

∵点An(n a ,1

1+-

n a )在曲线y ＝f(x)上(n ∈N +

)

∴1

1+-

n a = f(n a )= 2

14n

a +

- , 并且0>n a ……（2分）

2

1

141n

n a a +

=∴

+ ， ),1(41

122

1

N n n a a n

n ∈≥=-

∴

+ ∴数列{

21n a }为等差数列，并且首项为21

1a =1，公差为4 ……（4分） ∴

2

1n

a =1+4（n —1） ， ∴3412-=n a n ∵ 0>n a ， ∴3

41-=n a n ……（5分）

（II ）+∈-=

N n n a n ，3

41Θ

2

3

4143

41423

422--+=

-++>

-=

n n n n n a n ……（8分）

+∈++=-+>

-∑

=∴N n n n n n S n ,1

142)114(2

1

3

41

……（10分）

（Ⅲ）由3

41-=

n a n ，

381622

1

2

1--+=

++n n a T a T n n n

n

得：

)14)(34()14()341+-++=-+n n T n T n n n （ 13

4141+-=+?

+n T n T n

n ……（12分）

=

n c 令3

4-n T n

，如果11=c ，此时11=b

+∈=?-+=∴N n n n c n ，1)1(1 ……（13分） +∈-=-=N n n n n n T n ,34)34(2则： +∈-=?N n n b n ,89，

此时，数列{n b }是等差数列 ……（14分）

20 （本小题满分14分）若定义在区间D 上的函数)(x f y =对于区间D 上的任意

两个值21x x 、总有以下不等式

)2

()]()([21

2121x x f x f x f +≤+成立，则称函数)(x f y =为区间D 上的凸函数 ；

（1）证明：定义在R 上的二次函数)0()(2

<++=a c bx ax x f 是凸函数； （2）对于（1）中的二次函数)0()(2

<++=a c bx ax x f ，

若3|)3(|,2|)2(|,1|)1(|≤≤≤f f f ,求|)4(|f 取得最大值时函数)(x f y =的解析式；

（3）定义在R 上的任意凸函数*

∈=N n m q p x f y 、、、),(,

若n m q p q n m p +=+<<<且,，证明：()()()(n f m f q f p f +≤+

20 证明：（1）任取x 1 x 2∈R,则

2f(

2

2

1x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] =2[a(

221x x +)2 + b 2

2

1x x ++c] －[a x 12+bx 1+c] － [a x 22+bx 2+c] =

2a [(x 1+x 2)2－2(x 12+x 22)]= －2

a

(x 1－x 2)2 ……（2分）

Θa<0 ∴2f(

2

2

1x x +)－[f(x 1)+f(x 2)] ≥ 0 ∴

)2

()()([21

2121x x f x f x f +≤+ ∴由定义得 y = f(x)是R 上的凸函数 ……（4分）

（2）Θ?????++=++=++=c b a f c b a f c b a f 39)3(24)2()1(解得???

?

?

?

???+-=-+-=+-=)

3()2(3)1(3)3(23)2(4)1(25)3(21)2()1(21f f f c f f f b f f f a ……（5分）

Θ|f(4)|=|16a+4b+c|=|f(1)-3f(2)+3f(3)|≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)|

Θ|f(1)| ≤1，|f(2)| ≤2,|f(3)| ≤3

∴|f(4)| ≤|f(1)|+3|f(2)|+3|f(3)| ≤16 ……（6分）

Θa<0时f(x)= ax 2+bx+c 开口向下，

∴当且仅当?????-==-=3)3(2)2(1)1(f f f 时取等号，代入上式得??

?

??-==-=12154c b a

∴f(x)= －4x 2+15x －12 ……（8分）

（3）Θ p q m n R ∈且p

不妨设m = p+i, 其中i *

∈N Θp+q = m+n

∴m －p = q －n = i

由定义知，任意x 1 x 2∈R,有f(x 1)+f(x 2)≤ 2f(

2

2

1x x +) ……（9分） 取x 1 = p x 2 = p+2则有f(p)+f(p+2) ≤ 2f(p+1) 变形得f(p) －f(p+1) ≤ f(p+1) － f(p+2) 同理有 f(p+1) －f(p+2) ≤ f(p+2) － f(p+3) f(p+2) －f(p+3) ≤ f(p+3) －f(p+4) f(p+4) －f(p+5) ≤ f(p+5) － f(p+6) … …

f(p+k-2) － f(p+k －1) ≤ f(p+k －1) －f(p+k) 累加求和得：f(p)－f(p+k －1) ≤ f(p+1) －f(p+k)

即f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ……（11分）

递推i次得

f(p)+ f(p+k) ≤f(p+1)+ f(p+k－1) ≤f(p+2)+f(p+k－2) ≤…≤f(p+i)+f(p+k－i) ∴f(p)+ f(p+k)≤f(p+i)+f(p+k－i)

令p+k = q,得f(p)+f(q) ≤f(p+i) + f(q－i)

Θm－p = q－n = i

∴f(p)+f(q) ≤f(m)+f(n) ……（14分）