2020全国高考数学一卷理科20题(文科21题)深度分析

好题集锦之解析几何系列题五——2020全国一卷理科20题（文科21题）评析 2020年全国一卷理科第20题（文科第21题）属于解析几何中的定点问题，无论是模考还是高考属于高频考点，题干的分析和从几何到解析的转化较为简单，但是运算量较大，是学生需要突破的难点。在运算中需要注意两条直线互换时的对称性，从而保证运算的正确率。

解析几何的许多定点定值问题实际上是一般性结论的特殊体现，本文就该题的一般性结论做了拓展，希望对以后的教学有所帮助。

【2020年?全国一卷?理?20】已知B A ,分别为椭圆)0(1:222

>=+a y a

x E 的左，右顶点，G 为E 的上顶点，8=?，P 为直线6=x 上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .

（1）求E 的方程；

（2）证明：直线CD 过定点.

【解析】（1）依题)1,0(),0,(),0,(G a B a A -， 则812=-=?a ，解得92=a

所以E 的方程为19

22

=+y x . （2）【法一】设),6(m P ，则直线)3(9

:+=x m y PA 联立???

????+==+)3(91922

x m y y x ，得08196)9(2222=-+++m x m x m 所以9

27322++-=m m x C ，代入直线PA 的方程得 C 的坐标为)9

6,9273(:222+++-m m m m C 同理得D 的坐标为)1

2,133(:222+-+-m m m m D 由对称性可得，直线CD 过定点，则必在x 轴上，设定点为)0,(t Q ，则

DQ CQ k k = 即t m m m m

t m m m m -+-+-=-++-+1

3312927396222222，化简得01812)64(2=-+-t m t （*） 当且仅当23=t 时，（*）式成立，因此直线CD 恒过点)0,2

3(. 【法二】设直线PA 为：)3(1+=x k y ，直线PB 为：)3(2-=x k y ，

),(11y x C ，),(22y x D 联立??

???+==+)3(19122

x k y y x ，得098154)19(2121221=-+++k x k x k 由199********+-=?-k k x 得1932721211++-=k k x ，即点C 的坐标为)1

96,19327(2112121+++-k k k k 同理得点D 的坐标为)1

96,19327(2222222+-+-k k k k 由对称性可得，直线CD 过定点，则必在x 轴上， 在直线)(:121211x x x x y y y y CD ---=-中令0=y 得2

12121y y y x x y x --=（1） 将D C ,的坐标代入（1）式，得1131

212+-=k k k k x （2） 又因为直线PA ：)3(1+=x k y 和直线PB )3(2-=x k y 的交点在直线6=x 上 所以2139k k =，即312=k k ，代入（2）式得2

3=x 因此直线CD 恒过点)0,2

3(.

【直线一般化后的探究】

已知B A ,分别为椭圆19

:22

=+y x E 的左，右顶点，P 为直线)3(>=t t x 上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .探究：直线CD 是否过定点.

【解析】设直线PA 为：)3(1+=x k y ，直线PB 为：)3(2-=x k y ，

),(11y x C ，),(22y x D 联立??

???+==+)3(19122

x k y y x ，得098154)19(2121221=-+++k x k x k 由199********+-=?-k k x 得1932721211++-=k k x ，即点C 的坐标为)1

96,19327(2112121+++-k k k k 同理得点D 的坐标为)1

96,19327(2222222+-+-k k k k 由对称性可得，直线CD 过定点，则必在x 轴上， 在直线)(:121211x x x x y y y y CD ---=-中令0=y 得2

12121y y y x x y x --=（1） 将D C ,的坐标代入（1）式，得1131

212+-=k k k k x （2） 又因为直线PA ：)3(1+=x k y 和直线PB )3(2-=x k y 的交点在直线t x =上 所以21)3()3(k t k t -=+，即3312-+=t t k k ，代入（2）式得t

x 9= 因此直线CD 恒过点)0,9(t

. 【椭圆一般化后的探究】

已知B A ,分别为椭圆1:22

22=+b

y a x E 的左，右顶点，P 为直线)(a t t x >=上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D .探究：直线CD 是否过定点.

【解析】设直线PA 为：)(1a x k y +=，直线PB 为：

)(2a x k y -=，),(11y x C ，),(22y x D 联立??

???+==+)(1122

22a x k y b y a x ，得02)(2221421322212=-+++b a k a x k a x b k a 由2212222141b k a b a k a x a +-=?-得22122

2131b

k a ab k a x ++-=，

即点C 的坐标为)2,(22121222122213b

k a k ab b k a ab k a +++- 同理得点D 的坐标为)2,(22222222222223b

k a k ab b k a ab k a +-+- 由对称性可得，直线CD 过定点，则必在x 轴上， 在直线)(:121211x x x x y y y y CD ---=-中令0=y 得2

12121y y y x x y x --=（1） 将D C ,的坐标代入（1）式，得11)()()()(1

2121221221212212213+-=+++-+-=k k k k a k k b k k k k a k k ab k k k k a x （2） 又因为直线PA ：)(1a x k y +=和直线PB ：)(2a x k y -=的交点在直线t x =上

所以21)()(k a t k a t -=+，即a t a t k k -+=12，代入（2）式得t

a x 2= 因此直线CD 恒过点)0,(2

t

a . 题后反思

方法一从两点式入手，求得C ，D 的坐标，运算中结合图形的对称性，通过定点在x 轴上简化运算，方法二在设直线PA ，PB 的方程时较为简单，后续通过两直线交点在定直线上，得到两直线斜率的关系，从而解得定点。