2012年高考文科数学(山东卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

文科数学

第Ⅰ卷(共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)若复数z 满足(2)117i(i z i -=+为虚数单位)，则z 为

(A)3+5i (B)3－5i (C)－3+5i (D)－3－5i (2)已知全集{0,1,2,3,4}U =，集合{1,2,3}A =，{2,4}B =，则B A C U ）（为 (A){1,2,4} (B){2,3,4} (C){0,2,4} (D){0,2,3,4} (3)

函数1

()ln(1)

f x x =

++

(A)[2,0)(0,2]- (B)(1,0)(0,2]- (C)[2,2]- (D)(1,2]-

(4)在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差 (5)设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为2

π

；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2

x π

=

对称.则下列判断正确的是

(A)p 为真 (B)q ?为假 (C)p q ∧为假 (D)p q ∨为真 (6)设变量,x y 满足约束条件22,

24,41,x y x y x y +≥??

+≤??-≥-?

则目标函数3z x y =-的取值范围

是

(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3

[6,]2

-

(7)执行右面的程序框图，如果输入a ＝4，那么输出的n 的值为 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 (8)函数2sin (09)63x y x ππ??

=-≤≤ ??

?的最大值与最小值之和为

(A)2 (B)0 (C)－1

(D)1-(9)圆22(2)4x y ++=与圆22(2)(1)9x y -+-=的位置关系为 (A)内切 (B)相交 (C)外切 (D)相离

(10)函数cos622x x

x

y -=

-的图象大致为

(11)已知双曲线1C ：22

221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦

点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为

(A) 2x y =

(B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = (12)设函数1

()f x x

=

，2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ，则下列判断正确的是

(A)12120,0x x y y +>+> (B)12120,0x x y y +>+< (C)12120,0x x y y +<+> (D)12120,0x x y y +<+<

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

(13)如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为线段1B C 上的一点，则三棱锥1A DED -的体积为＿＿＿＿＿.

(14)右图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是［20.5，26.5］，样本数据的

分组为[20.5,21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5,25.5)，[25.5,26.5].已知样本中

平均气温低于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为＿＿＿＿. (15)若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最

大值为4，最小值为m ，且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝＿＿.

(16)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位 置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x 轴上沿正向

滚动.当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP

的坐标为＿＿.

三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分)

在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=. (Ⅰ)求证：,,a b c 成等比数列； (Ⅱ)若1,2a c ==，求△ABC 的面积S .

(18)(本小题满分12分)

袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

(19) (本小题满分12分)

如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形，,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =；

(Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，

求证：DM ∥平面BEC .

(20) (本小题满分12分)

已知等差数列{}n a 的前5项和为105，且2052a a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)对任意*m ∈N ，将数列{}n a 中不大于27m 的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .

(21) (本小题满分13分)

如图，椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，直线x a =±和y b =±所围成的矩

形ABCD 的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M 的标准方程；

(Ⅱ) 设直线:()l y x m m =+∈R 与椭圆M 有两个不同的交点,,P Q l 与矩形ABCD 有两个不同的交点,S T .求||

||

PQ ST 的最大值及取得最大值时m 的值.

(22) (本小题满分13分)

已知函数ln ()(e

x

x k

f x k +=

为常数，e=2.71828…是自然对数的底数)，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.

(Ⅰ)求k 的值；

(Ⅱ)求()f x 的单调区间；

(Ⅲ)设()()g x xf x '=，其中()f x '为()f x 的导函数.证明：对任意20,()1e x g x -><+.

参考答案及其解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. (1)【解析】i i

i i i i i i z 535

2515)2)(2()2)(711(2711+=+=+-++=-+=

.故选A. 【答案】A

(2)【解析】}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C. 【答案】C

(3)【解析】要使函数有意义则有???

??≥-≠+>+0

40)1ln(012

x x x ，即?????≤≤-≠->2201

x x x ，即01<<-x 或

20≤

【答案】B

(4)【解析】设A 样本的数据为变量为X ，B 样本的数据为变量为Y ，则满足2+=X Y ，根据方差公式可得DX X D DY =+=)2(，所以方差相同，标准差也相同，选D. 【答案】D

(5)【解析】函数x y 2sin =的周期为

ππ

=2

2，所以命题p 为假；函数x y cos =的对称轴为Z k k x ∈=,π,所以命题q 为假，所以q p ∧为假，选C. 【答案】C

(6) 【解析】做出不等式所表示的区域如图，由y x z -=3得

z x y -=3，

平移直线x y 3=，由图象可知当直线经过点)0,2(E 时，直线z x y -=3的截距最小，此时z 最大为63=-=y x z ，当直线经过C 点时，直线截距最大，此时z 最小，由

???=+-=-4214y x y x ，解得????

?

==

3

21y x ，此时233233-=-=-=y x z ，所以y x z -=3的取值范围是]6,2

3

[-，选A. 【答案】A

(7)【解析】当4=a 时，第一次1,3,140

====n Q P ，第二次2,7,441

====n Q P ，第三次3,15,1642

====n Q P ，此时Q P <不满足，输出3=n ，选B. 【答案】B

(8)【解析】因为90≤≤x ，所以696

0ππ

≤

≤

x ，3

69363π

ππππ-≤-≤-x ，即673

6

3

ππ

π

π

≤

-≤

-

x ，所以当336πππ-=-x 时，最小值为3)3

sin(2-=-π

，当2

3

6

π

π

π

=

-

x 时，最大值为22

sin

2=π

，所以最大值与最小值之和为32-，选A.

【答案】A

(9)【解析】两圆的圆心分别为)0,2(-，)1,2(，半径分别为2=r ，3=R 两圆的圆心距离为17)10()22(22=-+--，则r R r R +<<-17，所以两圆相交，选B. 【答案】B

(10)【解析】函数为奇函数，所以图象关于原点对称，排除A,令0=y 得06cos =x ，所以

ππ

k x +=2

6，ππ

6

12k

x +=

，函数零点有无穷多个，排除C,且y 轴右侧第一个零点为)0,12

(

π

，又函数x x y --=22为增函数，当12

0π

<

2>-=-x

x y ，

06cos >x ，所以函数02

26cos >-=

-x

x x

y ，排除B ，选D. 【答案】D

(11)【解析】抛物线的焦点 )2,

0(p ，双曲线的渐近线为x a b y ±=，不妨取x a

b

y =，即0=-ay bx ，焦点到渐近线的距离为

22

2

2=+?

b a p

a ，即c

b a ap 4422=+=，所以

4p a c =双曲线的离心率为2=a c ，所以24==p

a c ，所以8=p ，所以抛物线方程为y x 162=，选D.

【答案】D

(12)【解析】方法一：在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，要想满足条件，则有如图，做出点A 关于原点的对称点C,则C 点坐标为),(11y x --，由图象知,,2121y y x x >-<-即

0,02121<+>+y y x x ，故答案选B.

方法二：设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同

解，故其有且仅有两个不同零点12,x x .由()0F x '=得0x =或2

3

x b =.

这样，必须且只须

(0)0

F=或

2

()0

3

F b=，因为(0)1

F=，故必有

2

()0

3

F b=

由此得b=.不妨设

12

x x

<，

则

22 3

x b

==.所

以2

1

()()(

F x x x x

=-，比较系数

得1

x-=，

故1

x=

.

12

x x

+=>，由此知12

12

1212

11

x x

y y

x x x x

+

+=+=<，故答案为B.

【答案】B

第Ⅱ卷(共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

(13)【解析】以△

1

ADD为底面，则易知三棱锥的高为1，故

111

111

326

V=????=.

【答案】

6

1

(14) 【解析】最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1＝

0.22，总城市数为11÷0.22＝50，最右面矩形面积为0.18×1

＝0.18，50×0.18＝9.

【答案】9

(15)【解析】当1

a>时，有21

4,

a a m

-

==，此时

1

2,

2

a m

==，

此时()

g x=为减函数，不合题意.若01

a

<<，则12

4,

a a m

-==，故11

,

416

a m

==，检验知符合题意.

【答案】

1

4

（16)【解析】因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2

=

PA，即圆

心角2

=

∠PCA,,则

2

2

π

-

=

∠PCA,所以

2

cos

)

2

2

sin(-

=

-

=

π

PB，2

sin

)

2

2

cos(=

-

=

π

CB，所以

2

sin

2

2-

=

-

=CB

x

p

，2

cos

1

1-

=

+

=PB

y

p

，所以)2

cos

1,2

sin

2(-

-

=

OP.

另解：根据题意可知滚动制圆心为（2,1）时的圆的参数方程为

?

?

?

+

=

+

=

θ

θ

sin

1

cos

2

y

x

，且

223,2-==∠πθPCD ，则点P 的坐标为??

??

?

-=-+=-=-+=2cos 1)223sin(12sin 2)223cos(2ππy x ，即)2cos 1,2sin 2(--=OP .

【答案】)2cos 1,2sin 2(--

三、解答题：本大题共6小题，共74分. (17)(本小题满分12分) 【答案】(17)(I)由已知得：

sin (sin cos cos sin )sin sin B A C A C A C +=， sin sin()sin sin B A C A C +=， 2sin sin sin B A C =，

再由正弦定理可得：2b ac =， 所以,,a b c 成等比数列.

(II)若1,2a c ==，则22b ac ==，

∴2223

cos 24a c b B ac +-=

=，

sin C ==

∴△ABC

的面积11sin 1222S ac B ==??=

. (18)(本小题满分12分)

【答案】(18)(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种：红1红2，红1红3，红

1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.其中两张卡

片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况，故所求的概率为3

10

P =

. (II)加入一张标号为0的绿色卡片后，从六张卡片中任取两张，除上面的10种情况外，多出5种情况：红1绿0，红2绿0，红3绿0，蓝1绿0，蓝2绿0，即共有15种情况，其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况，所以概率为8

15

P =. (19) (本小题满分12分)

【答案】(19)(I)设BD 中点为O ，连接OC ，OE ，则由BC CD =知 ，CO BD ⊥， 又已知CE BD ⊥，所以BD ⊥平面OCE . 所以BD OE ⊥，即OE 是BD 的垂直平分线， 所以BE DE =

.

(II)取AB 中点N ，连接,MN DN ， ∵M 是AE 的中点，∴MN ∥BE ， ∵△ABD 是等边三角形，∴DN AB ⊥.

由∠BCD ＝120°知，∠CBD ＝30°，所以∠ABC ＝60°+30°＝90°，即BC AB ⊥， 所以ND ∥BC ，

所以平面MND ∥平面BEC ，故DM ∥平面BEC . (20) (本小题满分12分)

【答案】 (I)由已知得：111

510105,

92(4),a d a d a d +=??+=+?

解得17,7a d ==,

所以通项公式为7(1)77n a n n =+-?=. (II)由277m n a n =≤，得217m n -≤， 即217m m b -=. ∵21

1217497

m k m k b b ++-==， ∴{}m b 是公比为49的等比数列， ∴7(149)7

(491)14948m m m S -=

=--. (21) (本小题满分13分)

【答案】(21)

(I)2223

4

c a b e a a -==?=……①

矩形ABCD 面积为8，即228a b ?=……② 由①②解得：2,1a b ==， ∴椭圆M 的标准方程是2

214x y +=.

(II)222244,58440,

x y x mx m y x m ?+=?++-=?=+?， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则21212844

,55

m x x m x x -+=-=，

由226420(44)0m m ?=-->

得m <<

. ||PQ ==.

当l 过A 点时，1m =，当l 过C 点时，1m =-.

①当1m <<-

时，有(1,1),(2,2),||)S m T m ST m ---+=+，

||||PQ ST ==

其中3t m =+，由此知当134t =，即45,(1)33t m ==-∈-时，||||PQ ST .

②由对称性，可知若1m <<53m =时，||||PQ ST .

③当11m -≤≤时，||ST =||||PQ ST =，

由此知，当0m =时，

||||PQ ST .

综上可知，当53m =±和0时，||||PQ ST .

(22) (本小题满分13分) 【答案】(I)1

ln ()e x

x k x f x --'=，

由已知，1(1)0e

k

f -'=

=，∴1k =. (II)由(I)知，1

ln 1()e x

x x f x --'=.

设1()ln 1k x x x =

--，则211

()0k x x x

'=--<，即()k x 在(0,)+∞上是减函数， 由(1)0k =知，当01x <<时()0k x >，从而()0f x '>， 当1x >时()0k x <，从而()0f x '<.

综上可知，()f x 的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1,)+∞.

(III)由(II)可知，当1x ≥时，()()g x xf x '=≤0＜1+2e -，故只需证明2()1e g x -<+在01x <<时成立.

当01x <<时，e x ＞1，且()0g x >，∴1ln ()1ln e x

x x x

g x x x x --=

<--.

设()1ln F x x x x =--，(0,1)x ∈，则()(ln 2)F x x '=-+， 当2(0,e )x -∈时，()0F x '>，当2(e ,1)x -∈时，()0F x '<， 所以当2e x -=时，()F x 取得最大值22()1e F e --=+. 所以2()()1e g x F x -<≤+.

综上，对任意0x >，2()1e g x -<+.