华东师大数学分析习题解答3

《数学分析选论》习题解答

第三章微分学

１．考察||)(x x f x e =的可导性．解写出)(x f 的分段表达式：

???<-≥=.

,0,)(x x x x x f x

x e e

它在0≠x 时的导数为

???<+->+=';

)1(,0,

)1()(x x x x x f x

x e e

而当0=x 时，由于10

lim )0(,10lim )0(00=-='-=--='+-

→+→-x e x f x e x f x x x x ，因

此f 在0=x 处不可导． □

２．设

?<+≥=.

,3,

)(2x b ax x x x f

若要求f 在3=x 处可导，试求b a ,的值．

解首先，由f 在3=x 处必须连续，得到93=+b a ，或a b 39-=-．再由

a x x a x

b ax f x x =--=--+='-

→→-

3(lim 39lim

)3(33，

6)3(lim 39

lim )3(323=+=--='+

+→→+x x x f x x ，

又得939,6-=-==a b a ． □

３．设对所有x ，有)()()(x h x g x f ≤≤，且

)()(,)()()(a h a f a h a g a f '='==．

试证：)(x g 在a x =处可导，且)()(a f a g '='．

证由条件，有

)()()()()()(a h x h a g x g a f x f -≤-≤-，

从而又有

)()

()()()()()(a x a x a h x h a x a g x g a x a f x f >--≤

--≤--，

)()

()()()()()(a x a

x a h x h a x a g x g a x a f x f <--≥

--≥--．

由于)()(a h a f '='，因此)()()()()(a h a h a f a f a f -+-

'='='='='，故对以上两式分别

取-+→→a x a x 与的极限，得到

)()()()()()(a h a g a f a h a g a f -

--+++'='=''='='与

．于是有)()(a g a g -

'='，即证得)(x g 在a x =处可导，且)()(a f a g '='． □

４．证明：若)(x f 在],[b a 上连续，且

0)()(,

0)()(>''==-+b f a f b f a f .，则存在点),(b a ∈ξ，使0)(=ξf ．

证如图所示，设

0)(,0)(>'>'-+b f a f ．由极限保号性，在点a 的某一右邻域)(a U +

内，使0)(0)

()(>'?>-'-'x f a

x a f x f ，∈'x )(a U + ；同理，在点b 的某一左邻域内，有0)(0)

()(<''?>-''-''x f b x b f x f ，∈''x )(b U - ．最后利用连续函数)(x f 在],[x x '''上的介值性，必定),(),(b a x x ?'''∈ξ?，使

)(=

ξf ． □

*５．设),(,)(b a x x f ∈，它在点),(0b a x ∈可导；{}{}n n y x 与是满足

b y x x a n n <<<<0),2,1( =n ，

且n n n n y x x ∞

→∞

→==lim lim 0的任意两个数列．证明：

)()

()(lim

0x f x y x f y f n

n n n n '=--∞

→．

证先作变形：

n n n n n n n n n n n n n x x x f x f x y x x x y x f y f x y x y x y x f y f ----+----=--000

000)

()()()()()(..．由)(0x f '存在，故δ<-<>δ?>ε?||0,0,00x x 当时，有

ε<'---<

ε-)()

()(00

0x f x x x f x f ．

又由0lim lim x y x n n n n ==∞

→∞

→，故对上述0>δ，N n N >>?当,0时，有

δ<-<δ<-

从而得到

ε<'---<

ε-)()

()(000x f x y x f y f n n ，

ε<'---<

ε-)()

()(000x f x x x f x f n

n ．

分别以正数

n n n x y x y --0与n

n n

x y x x --0乘以上两式，并相加，又得到

.????

?--+--ε<'???

?--+-----

?--+--ε-n n n n n n n n n n n n n n n

n n n n n x y x x x y x y x f x y x x x y x y x y x f y f x y x x x y x y 000000000)()()(

把它化简整理后，即为

)()()

()(0N n x f x y x f y f n

n n n >ε<'---<

ε-．

从而证得结论：)()

()(lim

0x f x y x f y f n

n n n n '=--∞

→． □

６．设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，通过引入适当的辅助函数，证明：（１）存在),(b a ∈ξ，使得

)()(])()([222ξ'-=-ξf a b a f b f ；

（２）存在),(b a ∈η，使得

)0()()ln ()()(b a f a b

a f

b f <<η'η=-．

证（１）在一般形式的中值定理（定理3 . 8 ）中，令2)(x x g =，即得本题结论．（２）把欲证的式子改写成

)(]ln ln [1

])()([η'-=η-f a b a f b f ，

且令x x g ln )(=，上式即为关于)(x f 与)(x g 所满足的一般中值公式． □

７．证明推广的罗尔定理：若)(x f 在),(∞+∞-上可导，且

l x f x f x x ==∞

+→∞

-→)(lim )(lim

（包括)∞±=l ,则存在ξ，使得0)(=ξ'f ．

证关键在于证明存在两点b a ,，使

)(a f )(b f =．

为此任取一点0x ，使l x f ≠)(0（这样的点 0x 若不存在，则0)()(≡'?≡x f l x f ）

．如图所示，设l x f <)(0．由于l x f x =∞

→)(lim ，因此对于02

)

(0>-=

εx f l ，0>?X ，

当X x >||时，满足ε+<<ε-l x f l )(．

现取X x X x >''-<',，并使x x x ''<<'0．由于

)()(,)()(00x f l x f x f l x f ''<ε-<>ε->'，

借助连续函数的介值性，必存在),(),(00x x b x x a ''∈'∈与，使得

])([2

)()(0x f l l b f a f +=

ε-==．于是由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得0)(=ξ'f ． □

８．证明：若)(x f 和)(x g 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(≠'x g ，则存在),(b a ∈ξ，使得

)

()()

()()()(ξ--ξ=ξ'ξ'g b g a f f g f ．证令)()()()()()()(x g a f b g x f x g x f x --=?，它在],[b a 上连续，在),(b a 内

可导，且 )()()()(b g a f b a -=?=?．由罗尔定理，存在),(b a ∈ξ，使得

0)()()()()()()()()(=ξ'-ξ'-ξ'ξ+ξξ'=ξ?'g a f b g f g f g f ，

即

])()([)(])()([)(a f f g g b g f -ξξ'=ξ-ξ'．

由于0)(≠ξ'g ，)()(ξ≠g b g （根据0)(≠'x g 和导函数具有介值性，推知)(x g '恒正或恒复，故)(x g 严格单调），因此可把上式化为结论式

)

()()

()()()(ξ--ξ=

ξ'ξ'g b g a f f g f ． □ *９．设),(,|)(|,|)(|20∞+∞-∈≤''≤x M x f M x f ．证明：

202

|)(|M M x f ≤'，),(∞+∞-∈x ．

证若02=M ，则可相继推出：B Cx x f C x f x f +=?≡'?≡'')()(0)(，再由0|)(|M x f ≤，可知0)(0≡'?=x f C ，结论成立．同理，当00=M 时结论同样成立．

现设00>M ，02>M ．利用泰勒公式，???

+∈ξ?2

02,M M x x ，使 )(421)(2)(22

202

0ξ''+'+=???

+f M M x f M M x f M M x f .．由此得到

,42)(2)(2

|)(|2

022

00202

M M M M M M f M M x f M M x f x f M M =+

+≤ξ''--???? ?

?+='

于是证得 2000

2242

1|)(|M M M M M x f =≤

． □

*１０．设)(x f 在],[b a 上二阶可导，0)()(='='-

b f a f ．证明：),(b a ∈ξ?，

使得

|)()(|)

(4|)(|2

a f

b f a b f --≥

ξ''．

证将??

??+2b a f 分别在点a 与b 作泰勒展开：

??? ??+2b a f ＝???

??+∈ξ??? ??-ξ''+2,,2!2)()(121b a a a b f a f ，

??? ??+2b a f ＝??

??+∈ξ??? ??-ξ''+b b a a b f b f ,2,2!2)()(222，以上两式相减后得到

=-)()(a f b f [])()(221212

ξ''-ξ''??

? ??-f f a b ．

设=ξ'')(f {

})

(,)(max

21ξ''ξ''f f ，则有

≤-)()(a f b f ())(2)

()(2212

212

ξ''?

? ??-≤ξ''+ξ''??

? ??-f a b f f a b ，

于是证得结论： |)()(|)

(4|)(|2

a f

b f a b f --≥ξ''． □

*１１．设在],0[a 上有

M x f ≤'')(，且)(x f 在),0(a 内存在最大值．证明： M a a f f ≤'+')()0(．

证设)(x f 在∈c ),0(a 取得最大值，则)(c f 也是一个极大值，故0)(='c f ．由微分中值公式得到

),0(,)()0()()()0(111c f c c f c f f ∈ξξ''-=-ξ''+'='， ),(,)()()()()()(222a c f c a c a f c f a f ∈ξξ''-=-ξ''+'='；

从而又有

M c a f c a a f cM f c f )()()()(,)()0(21-≤ξ''-='≤ξ''='，

由此立即证得 M a a f f ≤'+')()0(． □

*１２．证明：若),(00y x f x '存在，),(y x f y

'在点0P ),(00y x 连续，则),(y x f 在点0P 可微．

证 =?z -?+?+),(00y y x x f ),(00y x f =-?+?+),([00y y x x f ]),(00y x x f ?+

-?++),([00y x x f ]),(00y x f ．

因),(y x f y

'在点0P 连续，故z ?的第一部分可表为 -?+?+),(00y y x x f ),(00y x x f ?+=y y y x x f y

??θ+?+'),(00 =y y y x f y ?β+?'),(00（其中0lim 0

=β→?→?y x ）；

又因),(00y x f x '存在，故z ?的第二部分可表为

-?+),(00y x x f =),(00y x f x x y x f x

?α+?'),(00（其中0lim 0

=α→?x ）．所以有

=?z +?'x y x f x

),(00y x y y x f y ?β+?α+?'),(00，而且由于

)0,0(0||||2

→?→?→β+α≤?+??β+?αy x y

x y x ，

便证得),(y x f 在点0P 可微． □

１３．若二元函数f 与g 满足：f 在点0P ),(00y x 连续，g 在点0P 可微，且

0)(0=P g ，则g f .在点0P 可微，且

)()()

(000

P g P f g f P d d =.．

证记g f h .=．由于g 在点0P 可微，根据定理３.４（必要性），存在向量函数

[])(,)()(21P G P G P G =，它在点0P 连续，且满足

)()(,

))(()()()(0000P G P g P P P G P g P g P g ='-=-=

由此得到

)()()()()()

()()()()()(00000P P P H P P P G P f P g P f P g P f P h P h -=-=-=-

其中)()()(P G P f P H =在点0P 连续．仍由定理３.４（充分性），推知h 在点0P 可微，且因)()()()()()(000000P g P f P G P f P H P h '===，进一步证得

)()()(000

P g P f h

g f P P d d d ==.． □

１４．设

??=≠+=.

)0,0(),(,0,)0,0(),(,),(2

y x y x y x y x y x f

证明：（１）f 在原点O )0,0(连续；

（２）y x f f '',在点O 都存在；（３）y x f f '',在点O 不连续；（４）f 在点O 不可微．

证（１）若令θ=θ=sin ,cos r y r x ，则因

0sin cos lim )sin ,cos (lim 20

=θθ=θθ→→r r r f r r ，

可知f 在0=r 处（即在点O 处）连续．

（２） ??

0,0(),0(lim )0,0(,

0,0()0,(lim

)0,0(00

=?-?='=?-?='→?→?y f y f f x f x f f y y x x

（３）求出

???

??≠≠+-=';)0,0(),(,0,)0,0(),(,)()(),(2

22222y x y x y x x y y y x f x

???≠≠+='.

)0,0(),(,0,)0,0(),(,)(2),(2

223y x y x y x y x y x f y

由于当0≠r 时,

sin cos 2)sin ,cos (,)cos sin (sin )sin ,cos (3222θθ=θθ'θ-θθ=θθ'r r f r r f y x

它们都不随0→r 而趋于0( 随θ而异 )，因此y

x f f '',在点O 都不连续．（４）倘若f 在点O 可微，则

)(

)0,0()0,0()0,0(),(222

22y x o y x y x y f x f f y x f y x ?+?=?+???=

?'-?'--??但是当令θ=?θ=?sin ,cos r y r x 时，

)0(0\sin cos )(22

/3222→→θθ=?+???r y x y x ，

所以f 在点O 不可微．

□

１５．设可微函数),(y x f 在含有原点为内点的凸区域D 上满足

0),(),(='+'y x f y y x f x y x

．试证：≡),(y x f 常数，D y x ∈),(．

证对于复合函数

θ=θ==sin ,cos ,),(y r x y x f z ，

由于

,)0(0)(1

sin cos ≠='+'=θ'+θ'=??'+??'=??r f y f x r

f f r

y f r x f r z y

x y

x y x

因此在极坐标系里f 与r 无关，或者说f 只是θ的函数（除原点外）．

如图所示，2121,,OP OP D P P 与∈?的极角分别为21θθ与．若21θ=θ，则由上面讨论知道)()(21P f P f =．若21θ≠θ，此时利用f 在点O 连续，当动点P 分别沿半直线

21θ=θθ=θ与趋向点O 时，f 在1θ=θ

上的常值与在2θ=θ上的常值都应等于)(O f ．这就证得)()(21P f P f =，即≡),(y x f 常数，D y x ∈),(． □

*１６．设二元函数),(y x f 在2?上有连续偏导数，且)1,0()0,1(f f =．试证：在单位圆122=+y x 上至少有两点满足

),(),(y x f x y x f y y x

'='．证在单位圆1=r 上，记

π≤θ≤θθ=θ?20,)sin ,cos ()(f ．

由于y x

f f ''与连续，故f 可微，一元函?也可微．已知)2(

)1,0()0,1()0(π?===?f f ，由罗尔定理，)2

,0(1π

∈θ?，使得0)(1=θ?'．同理，由)2()2(π?=π?，)2,2

(2ππ

∈θ?，使得0)(2=θ?'．而

y x y

x f x f y f r f r r r f '+'-='θ+'θ-=θθθ

cos sin )sin ,cos (， 1

)()(='+'-=θ?'r y

x f x f y ，

故在1=r 上存在两点)sin ,cos ()sin ,cos (222111θθθθP P 和，满足

2,1,)()(='='i P f x P f y i y i x

． □ １７．证明：（１）若),(y x f 在凸开域D 上处处有0),(),(='='y x f y x f y x

，则≡),(y x f 常数，D y x ∈),(；

*（２）若),(y x f 在开域D 上处处有0),(),(='='y x f y x f y x ，则同样有≡),(y x f 常数，D y x ∈),(．

证（１）由于D 为凸开域，因此D y x y x ∈?),(,),(21，联结这两点的直线段必含于D , 根据§３.５的例１０知道),(y x f 与x 无关；类似地，),(y x f 又与y 无关．这样，f 在D 上各点处的值恒相等．

（２）当D 为一般开域时（如图），

D Q P ∈?,,必存在一条全含于D 内、联

结Q P ,两点的有限折线．又因这条折线上的点全为D 的内点，故在每一点处有一邻

域含于D

限个邻域所覆盖．在这每一个邻域内，由（１）已知≡),(y x f 常数，而相邻两个邻域之

交非空，故经有限次推理，可知)()(Q f P f =．由Q P ,在D 内的任意性，这就证得在整个D 上≡),(y x f 常数． □ １８．证明：若),(y x f 存在连续的二阶偏导数，且令

θ+θ=θ-θ=cos sin ,sin cos v u y v u x

（其中θ为常量），则在此坐标旋转变换之下，yy xx

f f ''+''为一形式不变量，即 vv uu yy xx

f f f f ''+''=''+''．证由条件，x y

y x f f ''=''，且有 ???θ'+θ'-=''+''='θ'+θ'=''+''=';cos sin ,sin cos y x v y v

x v y x u y u

x u f f y f x f f f f y f x f f

????

?θ''+θθ''-θ''=''θ''+θθ''+θ''=θ'''+'''+θ'''+'''=''.22

2cos cos sin 2sin ,sin cos sin 2cos sin )(cos )(y y y x x x v

v y y y x x x u y y u x y u y x u

x x u u f f f f f f f y f x f y f x f f 由此容易推至结论 vv uu yy xx

f f f f ''+''=''+''成立． □ *１９．设2??D 为一有界闭域，),(y x f 在D 上可微，且满足

),(),(),(y x f y x f y x f y x

='+'．证明：若f 在D ?上的值恒为零，则f 在D 上的值亦恒为零．

证由于f 在D 上可微，D 为有界闭域，因此f 在D 上存在最大值和最小值，分别设为)()(21P f m P f M ==和．

如果D P int 1∈，则)(1P f 为一极大值，故满足0)()(11='='P f P f y x

，由条件， 0)()()(111='+'==P f P f P f M y x

；如果D P int 2∈，则)(2P f 为一极小值，同理有0)(2==P f m ；如果M 与m 都在D 的内部取得，则有0==m M ；如果D P P ?∈)(21或，则由条件又使M 0)(=m 或．

综上，在任何情形下恒有

D y x y x f m M ∈≡?==),(,0),(0． □

２０．设),(v u f 为可微函数．试证：曲面0),(=--by z ay x f 的任一切平面恒与某一直线平行．

证由于f 可微，因此该曲面在其上任一点处的法向量为

()v v u u f f b f a f z f y f x f n ''-'-'=???? ????????=,,,, ．

又因0=l n

.，其中),1,(b a l = ，所以上述法向量n 恒与常向量l 正交．这说明以n

为法向量的切平面恒与以l

为方向向量的直线相互平行． □

２１．证明：以λ为参数的曲线族

)(12

2b a b y a x >=λ

-+λ- 是相互正交的（当相交时）．

证设曲线族中当21,λλ=λ时所对应的两条曲线相交，则应满足

2,1,12

2==λ-+λ-i b y a x i

i ；

将此二式相减，经整理得到

0))(())((221221=λ-λ-+λ-λ-y a a x b b ．

另一方面，此二曲线在交点),(y x 处的法向量分别为

2,1,,

=???

?λ-λ-=i b y a x n i i i ．由于

)()()(())(())((,

21212

212

21221121=λ-λ-λ-λ-λ-λ-+λ-λ-=

???

? ??λ-λ-???

? ?

?λ-λ-=b b a a y

a a x

b b b y a x b y

a x n n ..

因此这两条曲线在交点),(y x 处互相垂直． □

２２．设n D ??为凸集，?→D f :为凸函数．证明：（１）对任何正数f αα,是D 上的凸函数；

（２）若g 也是D 上的凸函数，则g f +仍是D 上的凸函数；

（３）若h I D f ,)(?是I 上的凸函数，且递増，则f h 亦为D 上的凸函数．证（１）据凸函数定义，)1,0(,,∈λ?∈?D y x ，有

)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-．

以α乘之，得

)()()1())1((x f x f y x f αλ+αλ-≤λ+λ-α，

此即表示f α亦满足凸函数定义．

（２）由

)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-， )()()1())1((x g x g y x g λ+λ-≤λ+λ-，

两式相加后得到

)()()())(1())1(()(x g f x g f y x g f +λ++λ-≤λ+λ-+，

此即表示g f +亦为D 上的凸函数．

（３）由)()()1())1((x f x f y x f λ+λ-≤λ+λ-，以及h 为递増凸函数，得到

))(())(()1()

)()()1(()))1(((y f h x f h x f x f h y x f h λ+λ-≤λ+λ-≤λ+λ-

或者写成

,)()()()()1()))1(()(y f h x f h y x f h λ+λ-≤λ+λ-

此即表示f h 亦为D 上的凸函数． □

２３．设)0()

()(>=

x x

x f x F ，其中)(x f 在),0[∞+上为非负严格凸函数，且 0)0(=f ．试证：)(x F 与)(x f 都是严格递増函数．

证由条件，0

)

0()()()(--==

x f x f x x f x F ．)0(,2121x x x x <

)

0()(0)0()(2211--<

--x f x f x f x f ，

而这就是)()(21x F x F <，所以)(x F 是严格递増函数．又因

0)()()()(])()([1

121

122121>-=->-x F x F x x f x x f x f x f x ，所以)()(12x f x f >，即)(x f 也是严格递増函数． □

２４．证明定理３.１３的推论１和推论２．

证这里要证明的是：若f 在开区间I 上为凸函数，则（１）f 在I 中每一点处都连续；

（２）f 在I 中每一点处的左、右导数都存在．现分别证明如下——

（１）由定理３.１３，f 在任何I ?βα],[上满足利普希茨条件?f 在],[βα上一致连续?f 在],[βα上连续?f 在I 上处处连续．

（２）I x ∈?0，设)0()

()()(00>-+=

h h

x f h x f h F ．由定理３.１２，知道

)(h F 为递増函数．另一方面，因I 为开区间，必存在,1I x ∈使01x x <，于是又有

)()

()(1

010h F x x x f x f ≤--，

这说明)(h F 有下界．综合起来，根据关于函数极限的单调有界定理，存在右导数

)()(lim 00x f h F h +

→'=．同理可证存在左导数)(0x f -'． □

（注：如果先证得)(0x f -'与)(0x f +'都存在，则立即知道f 在点0x 既是左连续，

又是右连续，从而f 在点0x 连续．由0x 在I 中的任意性，便证得f 在I 中处处连续．）

２５．证明定理３.１４的推论１和推论２．

证这里要证明的是：

（１）若f 在区间I 上二阶可导，则有

f 在I 上为凸函数I x x f ∈≥''?,0)(；

（２）若f 在区间I 上是一可微的凸函数，则有

I x ∈0是f 的极小值点0)(0='?x f ．

现分别证明如下——

（１）当f ''存在时，已知

I x x f I x x f ∈'?∈≥'',)(,0)(递増．

据定理３.１４（ⅱ），f '在I 上递増?

f 在I 上为凸函数，故结论得证．

（２）其中“?”已由费马定理所保证，这里只要证明“?”．由0)(0='x f ，根据定理３.１４（ⅲ），对一切I x ∈恒有

)()()()()(0000x f x x x f x f x f =-'+≥，

因此)(0x f 是)(x f 在I 上的最小值．由)(0x f '存在，说明0x 是I 的一个内点，所以

)(0x f 是)(x f 在I 上的一个极小值． □

２６．用凸函数方法证明如下不等式：（１）对任何,,b a 恒有

)(2

b a

a e e e +≤

+；（２）对于b a ≤≤0，恒有

b a b

a arctan arctan 2

arctan

2+≥+．证（１）设x x f e =)(，由于0)(>=''x x f e ，因此)(x f 为凸函数．故对=λ

λ-=12

，有 [])()(212b f a f b a f +≤?

??+，即

)(2

b a

a e e e +≤

+．（２）设x x f arctan )(=，由于

)0(0)

1(2)(,11)(2

≥≤+-=

''+=

'x x x x f x

x f ，

因此在),0[∞+上)(x f 为凹函数．故对=

λλ-=11

，有 []b a b f a f b a f ≤≤+≥??

??+0,)()(21，

即 b a b

a arctan arctan 2

arctan

2+≥+． □ ２７．设ABC ?为正三角形，各边长为a ；P 为ABC ?内任一点，由P 向三边作垂线，垂足为F E D ,,．试求点P ，使DEF ?的面积为最大；并求此最大面积．

解如图所示，记x PD =||，y PE =||，

z PF =||．因ABC ?为正三角形，故

2π

=∠=∠=∠FPD EPF DPE ，所以DEF ?的面积为

.)(4

3)(3sin 21x z z y y x x z z y y x S S S S PFD

PEF PDE ++=++π

=++=??? 再由ABC PAB PCA PBC S S S S ????=++，得约束条件为

a z y x a z y x a

3,43)(22=++=++即．借助Lagrange 乘数法，令

,)2

3(z y x x y L z x L z y L a z y x x z z y y x L z y x ==???

??=λ++='=λ++='=λ++='-++λ+++=

由此求得

..2

363343max 63233a a S a z y x a x z y x DEF =

???

? ??

?===?=

=++?

□

（２８）在平面上有一个ABC ?，三边长分别为c AB b CA a BC ===,,．以此三

y A

B D

P x

角形为底，h 为高，可作无数个三棱锥，试求其中侧面积为最小者．

解如图所示，三棱锥ABC H -的高为h HO =．在ABC ?中，由点O 作三条边的垂线：AB OF CA OE BC OD ⊥⊥⊥,,，并记z OF y OE x OD ===||,||,||．于是三棱锥ABC H -的侧面积为 2222222

1h z c h y b h x a S ++

；

而约束条件为

02S S z c y b x a ABC =?=++?，其中

)2()()()(c b a p c p b p a p p S A B C

++=---=?

由Lagrange 乘数法，设

)(0222222S z c y b x a h z c

h y b h x a

L -++λ-+++++=，

并令

?????

??????

=+---='=λ-+='=λ-+='=λ-+='λ

.0,

0,0,002

S z c y b x a L c h

z z

c L b h y y b L a h

x x a L z

y x

由此易得

λ=+=

z z h

y y h

x x ．

根据实际意义，侧面积无最大值，有最小值．上式表示

HFO HEO HDO ∠=∠=∠，

这说明侧面积的最小值发生在三侧面与底面成等角的情形．由此式又可解出

c p b p a p p z y x )

()()(---=

==，

此时O 适为ABC ?的内心，并求得

E h

y z

)()()()(2

2222m in h p c p b p a p p h x c b a S +---=

+++=

其中 )(2

c b a p ++=

． □ ２９．试用条件极值方法证明不等式：

n n y x y x ??

??+≥+22，其中n 为正整数，0,0≥≥y x ．

证设目标函数为n n y x y x f +=),(，约束条件为a y x 2=+．用 Lagrange 乘数法，令

a y x a x y x y x y n L x

n L a y x y x L n y n x n n ====+?=???

??=λ+='=λ+='-+λ++=--,22,00,

)2(1

当动点沿直线a y x 2=+无限趋近端点)0,2(,)2,0(a a 时，≥→n a y x f )2(),(

n a a a f 2),(=，故n a a a f 2),(=是条件最小值．于是有不等式：

y x a y x y x f ??

??+=≥+=22),(，

即证得 n

n n y x y x ??

??+≥+22成立. □

３０．设n i x b a i i i ,,2,1,0,0,0 =≥≥≥；1,1-=>p p

q p ；

∑==

i i

i n x a x x x f 1

21),,,( ，（Ｆ１）

=∑=n

i p

x ．（Ｆ２）

（１）求在条件（Ｆ２）的约束下，目标函数（Ｆ１）的最大值；

（２）由以上结果，导出赫尔德不等式：

i i

p q n

i q i n

i i i b a b a 11

1???

≤∑

∑

∑===．（Ｆ３）证（１）设 Lagrange 函数为

???

? ??-λ-=∑∑==111n i p i n

i i i x p x a L ．由

n i x a x L

p i i i

,,2,1,01 ==λ-=??-可解出 n i a x i p i

,,2,1,1

=λ

-．

令1

p p

q ，对上式两边取q 次幂，得 n i a x q

i p i

,,2,1, =???

? ??λ=；由条件（Ｆ２），又得

n i q i n i q

i q n

i p

a a x 1

11??

? ??=λ?=λ=∑∑∑

===．

由此求得

;

n i a a a a a a x p

n i q i

p i p q n i q i p i

p i p

q i i

,,2,1,11111

11111

1 =???

? ?

???

? ?

????

??λ=???? ??λ=-=---=--*∑

∑

并有

n i q i p

i q i n i q i n

i i i n

a a a x a x x f

111

,(???

? ??=???

? ?????? ??==∑∑∑∑

=-===*

** ．（Ｆ４）

设由（Ｆ２）所表示的集合为D ，D 的边界为（Ｆ２）与),,2,1(0n i x i ==的交线．由对称性，只需考虑0=n x 一种情形．因为

n i q i q

n i q i a a 1

11???

? ??≤???

? ??∑∑=-=，

所以（Ｆ４）所示即为f 在D 上的最大值．这就得到

D x x p

q a x a n q

i q i n

i i i ∈=+???

? ??≤∑∑==),,(,11

1,1111 ．（Ｆ５）（２）在不等式（Ｆ５）中，令

n i b b b x i p n i p

i i i ,,2,1,0,1

1 =≥??

??=-=∑，

这样的i x 满足条件条件（Ｆ２），代入（Ｆ５）后，即得赫尔德不等式（Ｆ３）． □ 补充说明：赫尔德不等式也可以用凸函数方法（詹森不等式）来求得——

考虑函数q

x f 1

)(=．由于

0)11(1)(,

)(2

111

<-=''='-

-q q x q q x f x q x f ，

因此)(x f 在0>x 时为凹函数．根据詹森不等式，对于∑==λ>λ>n

i i i i x 1

)1(0,0，

n i ,,2,1 =，有

n n q

x x x x 1111111)

(λ++λ≤λ++λ ．

取n i a a a b x n

i p i p

i i p

i q

i ,,2,1,

, ==λ=∑=，代入上式得：

()

(

)

q n i p i q

n i q i q

p n

q n

p q

p n

i p

a b a b a a b a a 1

111

1111

???

? ???

??? ??≤???

????

?++∑∑∑=== ．因

1=+q

p ，故1=-q p p ，于是上式左边可化为

《数学分析III》期中考试试题及参考答案

数学分析下册期末试题（模拟）一、填空题（每小题3分，共24分） 1 、重极限 22(,)lim x y →=___________________ 2、设(,,)x yz u x y z e +=，则全微分du =_______________________ 3、设(sin ,)x z f x y y e =+，则 z x ?=?___________________ 4、设L 是以原点为中心，a 为半径的上半圆周，则 2 2()L x y ds +=?________. 5、曲面222 239x y z ++=和2 2 2 3z x y =+所截出的曲线在点(1,1,2)-处的法平面方程是___________________________. 6 、已知12??Γ= ???32?? Γ-= ??? _____________. 7、改变累次积分的顺序，2 1 20 (,)x dx f x y dy =?? ______________________. 8、第二型曲面积分 S xdydz ydzdx zdxdy ++=??______________，其中S 为球面2 2 2 1x y z ++=，取外侧. 二、单项选择题（每小题2分，共16分） 1、下列平面点集，不是区域的是（）（A ）2 2 {(,)14}D x y x y =<+≤ （B ）{(,)01,22}D x y x y =<≤-≤≤ （C ）{(,)01,1}D x y x y x =≤≤≤+ （D ）{(,)0}D x y xy => 2、下列论断，正确的是（）（A ）函数(,)f x y 在点00(,)x y 处的两个累次极限都不存在，则该函数在 00(,)x y 处重极限必定不存在.

华东师范大学2004数学分析试题

华东师范大学2004数学分析一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim .

4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-

数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

第四章函数的连续性 §1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0

数学分析试题及答案解析

2014 ---2015学年度第二学期《数学分析2》A 试卷一. 判断题（每小题3分，共21分）(正确者后面括号内打对勾，否则打叉) 1.若()x f 在[]b a ,连续，则()x f 在[]b a ,上的不定积分()?dx x f 可表为()C dt t f x a +?（）. 2.若()()x g x f ,为连续函数，则()()()[]()[]????= dx x g dx x f dx x g x f （）. 3. 若()?+∞a dx x f 绝对收敛，()?+∞a dx x g 条件收敛，则()()?+∞ -a dx x g x f ][必然条件收敛（）. 4. 若()?+∞ 1dx x f 收敛，则必有级数()∑∞=1 n n f 收敛（） 5. 若{}n f 与{}n g 均在区间I 上内闭一致收敛，则{}n n g f +也在区间I 上内闭一致收敛（）. 6. 若数项级数∑∞ =1n n a 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（）. 7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）. 二. 单项选择题（每小题3分，共15分） 1.若()x f 在[]b a ,上可积，则下限函数()?a x dx x f 在[]b a ,上（） A.不连续 B. 连续 C.可微 D.不能确定 2. 若()x g 在[]b a ,上可积，而()x f 在[]b a ,上仅有有限个点处与()x g 不相等，则（）

A. ()x f 在[]b a ,上一定不可积； B. ()x f 在[]b a ,上一定可积,但是()()??≠b a b a dx x g dx x f ； C. ()x f 在[]b a ,上一定可积，并且()()??=b a b a dx x g dx x f ； D. ()x f 在[]b a ,上的可积性不能确定. 3.级数()∑∞=--+12111n n n n A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定 4.设∑n u 为任一项级数，则下列说法正确的是（） A.若0lim =∞→n n u ，则级数∑ n u 一定收敛； B. 若1lim 1<=+∞→ρn n n u u ，则级数∑n u 一定收敛； C. 若1,1<>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定收敛； D. 若1,1>>?+n n u u N n N ，时有当，则级数∑n u 一定发散； 5.关于幂级数∑n n x a 的说法正确的是（） A. ∑n n x a 在收敛区间上各点是绝对收敛的； B. ∑n n x a 在收敛域上各点是绝对收敛的； C. ∑n n x a 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数； D. ∑n n x a 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；

华东师大数学分析答案

第四章函数的连续性第一连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1） x x f 1 )(= ；（2）x x f =)(。证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ，故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时，有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时，有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型：（1）=)(x f x x 1 + ；（2）=)(x f x x sin ；（3）=)(x f ]cos [x ；（4）=)(x f x sgn ；（5）=)(x f )sgn(cos x ；（6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71

数学分析课后习题答案(华东师范大学版)

习题 1．验证下列等式（1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明（1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0

数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三）――参考答案及评分标准一．计算题（共8题,每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限．解: 11 (,)f x y y x = +=，因此二重极限为0．……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在, 故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数，其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解：对两方程分别关于x 求偏导: , ……(4分) 。?解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数,变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。设,,22 y x y x y w ze μν+-=== (假设出现的导数皆连续). 解:z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4 分）代人原方程,并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得: 222 2w w w μμν??+=???。 ……（9分） 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省？ ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

数学分析第三版答案下册

数学分析第三版答案下册【篇一：2015年下学期数学分析(上)试卷a参考答案】> 一、填空题（每小题3分，共15分）： 1、126； 2、2； 3、1?x?x2???xn?o(xn)； 4、arcsinx?c （或?arccos x?c）；5、2. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1、c; 2、a； 3、a； 4、d； 5、b 三、求极限（每小题5分，共10分） 1??1、lim1?2? 2、limxlnx ?n??x?0 ?n? ? n 1?? ?lim?1?2?n??n?? 1 n n2? 1n 1 lnx（3分） ?lim?li?? x?0x?011 ?2 xx （3分） (?x)?0 （2分）?lime?1（2分） ?lim? n?? x?0 3n2 ?3 。四、利用数列极限的??n定义证明：lim2（10分） n??n?3 证明：当n?3时，有（1分） 3n299 （3分） ?3??22 n?3n?3n 993n2

因此，对任给的??0，只要??，即n?便有2 ?3?? （3分） n?n?3 3n2x{3,}，当n?n便有2故，对任给的??0，取n?ma（2 分） ?3??成立。 ?n?3 9 3n2 ?3（1分）即得证lim2 n??n?3 五、证明不等式：arctanb?arctana?b?a，其中a?b。（10分）证明：设f(x)?arctanx，根据拉格朗日中值定理有（3分） f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)? 1 (b?a),2 1?? (a???b) （3分）所以有 f(b)?f(a)?(b?a) （2分） bn?arctaan?b?a （2分）即 arcta 六、求函数的一阶导数：y?xsinx。（10分）解：两边取对数，有： lny?sinxlnx （4分）两边求一次导数，有： y??xsinx(cosxlnx? y?sinx （4分） ?cosxlnx? yx sinx )（2分） x 七、求不定积分：?x2e?xdx。（10分）解： 2?x2?x xedx?xde = （2分） ?? = ?x2e?x?2?xe?xdx （2分） = ?x2e?x?2?xde?x（2分） = ?x2e?x?2xe?x?2?e?xdx （2分） =?e?x(x2?2x?2)?c （2分） 15 八、求函数f(x)?|2x3?9x2?12x|在闭区间[?,]上的最大值与最小值。（10 42

数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x ==+ ，因此二重极限为0.……(4 分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在，故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(), (,,)0 z xf x y F x y z =+??=?所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解：对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-====。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

华东师大数学分析试题

华东师大2019年数学分析试题一、（24分）计算题：（1）求011lim()ln(1)x x x →-+；（2）求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3）设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数，试求grad z 。二、（14分）证明：（1）11(1)n n +??+???? 为递减数列：（2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明：五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段

绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题：（1）其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2）宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师

数学分析试卷及答案6套(新)

数学分析-1样题(一) 一. (8分)用数列极限的N ε- 定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) 用ε三 (n x n n = ++ ?+四()f x x = 在五六七八九. )b ,使 (f ''数学分析-1样题(二) 一. (10分)设数列{}n a 满足: 1a =, 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=.

三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在a 可导. 七. 八. ,都有 f 九. 一.(各1. x ?3. ln 0 ? 二.(10三. (10四. (15分)证明函数级数 (1)n x x =-在不一致收敛, 在[0,](其中)一致收敛. 五. (10分)将函数,0 (),0x x f x x x ππππ + ≤≤?=? - <≤?展成傅立叶级数. 六. (10分)设22 22 0(,)0,0 xy x y f x y x y ? +≠?=?? +=?

数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章

第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是

可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重.

数学分析答案第四版

数学分析答案第四版【篇一：数学分析(4)复习提纲(全部版)】 >第一部分实数理论 1 实数的完备性公理一、实数的定义在集合r内定义加法运算和乘法运算，并定义顺序关系，满足下面三条公理，则称r为实数域或实数空间。（1）域公理：（2）全序公理：则或a中有最大元而a?中无最小元，或a中无最大元而a?中有最小元。评注域公理和全序公理都是我们熟悉的，连续性公理也称完备性公理有许多等价形式（比如确界原理），它是区别于有理数域的根本标志，它对实数的描述没有借助其它概念而非常易于接受，故大多数教科把它作为实数理论起步的公理。二、实数的连续性（完备性）公理实数的连续性（完备性公理）有许多等价形式，它们在使用起来方便程度不同，这些公理是本章学习的重点。主要有如下几个公理：确界原理：单调有界定理：区间套定理：有限覆盖定理：（heine-borel）聚点定理：(weierstrass)

致密性定理：(bolzano-weierstrass) 柯西收敛准则：(cauchy) 习题1 证明dedekind分割原理和确界原理的等价性。习题2 用区间套定理证明有限覆盖定理。习题3 用有限覆盖定理证明聚点定理。评注以上定理哪些能够推广到欧氏空间r？如何叙述？ n 2 闭区间上连续函数的性质有界性定理：上册p168；下册p102,th16.8；下册p312,th23.4 最值定理：上册p169；下册下册p102,th16.8 介值定理和零点存在定理：上册p169；下册p103,th16.10 一致连续性定理（cantor定理）：上册p171；下册p103,th16.9；下册p312,th23.7 习题4 用有限覆盖定理证明有界性定理习题5 用致密性定理证明一致连续性定理 3 数列的上(下)极限三种等价定义：（1）确界定义；（2）聚点定义；（3）??n定义评注确界定义易于理解；聚点定义易于计算；??n定义易于理论证明习题6 用区间套定理证明有界数列最大（小）聚点的存在性。（p173）习题7 证明上面三种定义的等价性。第二部分级数理论 1 数项级数

数学分析三试卷及答案

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11 (,)f x y y x = +=，因此二重极限为0.……(4分) 因为011x y x →+ 与011 y y x →+均不存在，故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解：对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。解此方程组并整理得()()()()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-='++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν??+=???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解：设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表, ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编

数学分析上册第三版华东师范大学数学系编部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数；（2）当0≠a 时，ax 是无理数。证明（1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。证明由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，

1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。另证（反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ；（2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明（1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O

数学分析三试卷及答案

数学分析三试卷及答案-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

《数学分析》(三)――参考答案及评分标准一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。 1. 求函数11 (,)f x y y x =在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解： 11 (,)f x y y x = =，因此二重极限为0.……(4分) 因为11x y x →+ 与11 y y x →+均不存在，故二次极限均不存在。 ……(9分) 2. 设(),()y y x z z x =??=? 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+??=? 所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dz dx . 解：对两方程分别关于x 求偏导: ， ……(4分) 。解此方程组并整理得 ()()() ()y y x y z F f x y xf x y F F dz dx F xf x y F '?+++-= '++. ……(9分) 3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z z z x x y x ???++=????。设,,22 y x y x y w ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下： ,(,),,22 y w x y x y z w w e μνμν+-==== 。 ……(4分) 代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。整理得： 2222w w w μμν ??+ =???。 ……(9分) 4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 5. 解：设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中 ()()(1)0x y z dz dy f x y xf x y dx dx dy dz F F F dx dx ?'=++++????++=??

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题 1. 证明函数 ?? ???=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微. 2. 证明函数 ?? ???=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微. 3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续. 4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有 xy 1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证: (1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和; (2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和. 6.设Z=() 22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ??+y 1y Z ??=2 y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明: x Z ?? sec x + y Z ??secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换 x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ 之下.()2x f +()2 y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ). 则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2 v g .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,

(汇总)数学分析3试卷及答案.doc

数学分析(3)期末试卷 2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________ 考试注意事项： 1.考试时间：120分钟。 2.试卷含三大题，共100分。 3.试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！ 4.遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分) 1、设z x u y tan =，则全微分=u d __________________________。 2、设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则 =x u _________________________。 3、椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。 4、设,d ),()(sin 2y y x f x F x x ? =),(y x f 有连续偏导数，则=')(x F __________________。 5、设L 是从点(0,0)到点(1,1)的直线段，则第一型曲线积分?=L s x yd _____________。 6、在xy 面上，若圆{} 12 2≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ，则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________，其值为_____________。 7、设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=??dxdy z S 2 _______。二、计算题(每题8分，共56分) 1、讨论y x y x y x f 1 sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题一叙述题：（每小题5分，共15分） 1 开集和闭集 2 函数项级数的逐项求导定理 3 Riemann 可积的充分必要条件二计算题：（每小题7分，共35分） 1、 ? -9 1 31dx x x 2、求)0()(2 2 2 b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积 3、求幂级数 n n n x n ∑∞ =+1 2)11(的收敛半径和收敛域 4、1 1lim 2 2220 0-+++→→y x y x y x 5、2 2 ),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向，求f l (P 0) 三讨论与验证题：（每小题10分，共30分） 1、已知?? ???==≠+++=0 ,0001sin )(),(222 2 2 2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微 2、讨论级数∑∞ =-+1 2211 ln n n n 的敛散性。 3、讨论函数项级数]1,1[)1( 1 1 -∈+-∑∞ =+x n x n x n n n 的一致收敛性。四证明题：（每小题10分，共20分） 1 若 ? +∞ a dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞ →x f x 2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ? 内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件： ''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

数学分析试卷及答案6套

一. (8分)用数列极限的N ε-定义证明1n =. 二. (8分)设有复合函数[()]f g x , 满足: (1) lim ()x a g x b →=; (2) 0()x U a ?∈,有0 ()()g x U b ∈ (3) lim ()u b f u A →= 用εδ-定义证明, lim [()]x a f g x A →=. 三. (10分)证明数列{}n x : cos1cos 2 cos 1223 (1) n n x n n = +++ ???+收敛. 四. (12分)证明函数1 ()f x x = 在[,1]a (01)a <<一致连续,在(0,1]不一致连续. 五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界. 六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定,a b 使lim )0x ax b →+∞ -=. 八. (14分)求函数32()2912f x x x x =-+在15 [,]42 -的最大值与最小值. 九. (14分)设函数()f x 在[,]a b 二阶可导, ()()0f a f b ''==.证明存在(,)a b ξ∈,使 2 4 ()()()() f f b f a b a ζ''≥ --.

一. (10分)设数列{}n a 满足 : 1a = , 1()n a n N +=∈, 其中a 是一给定的正常数, 证明{}n a 收敛,并求其极限. 二. (10分)设0 lim ()0x x f x b →=≠, 用εδ-定义证明0 11 lim ()x x f x b →=. 三. (10分)设0n a >,且1 lim 1n n n a l a →∞+=>, 证明lim 0n n a →∞ =. 四. (10分)证明函数()f x 在开区间(,)a b 一致连续?()f x 在(,)a b 连续,且 lim ()x a f x + →,lim ()x b f x - →存在有限. 五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理. 六. (12分)证明:若函数在连续,且()0f a ≠,而函数2 [()]f x 在a 可导,则函数()f x 在 a 可导. 七. (12分)求函数()1f x x x α αα=-+-在的最大值,其中01α<<. 八. (12分)设f 在上是凸函数,且在(,)a b 可微,则对任意1x ,2x (,)a b ∈, 12x x <,都有 12()()f x f x ''≤. 九. (12分)设() ,0()0,0 g x x f x x x ? ≠? =?? =? 且(0)(0)0g g '==, (0)3g ''=, 求(0)f '.