第一章 章末检测答案
必修一第一章章末检测 一、选择题
1.已知集合M ＝{x |－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M ∩N 等于( )
A.{－2，－1,0,1}
B.{－3，－2，－1,0}
C.{－2，－1,0}
D.{－3，－2，－1}
答案 C
解析 运用集合的运算求解.M ∩N ＝{－2，－1,0}，故选C.
2.已知集合P ＝{x |y ＝x ＋1}，集合Q ＝{y |y ＝x －1}，则P 与Q 的关系是( )
A.P ＝Q
B.P Q
C.P Q
D.P ∩Q ＝?
答案 B
解析 P ＝{x |y ＝x ＋1}＝[－1，＋∞)，Q ＝{y |y ＝x －1}＝[0，＋∞)，所以Q P .
3.设全集U ＝R ，M ＝{x |x <－2，或x >2}，N ＝{x |1 ) A.{x |－2≤x <1} B.{x |－2≤x ≤2} C.{x |1 D.{x |x <2} 答案 C 解析 阴影部分所表示集合是N ∩(?U M )， 又∵?U M ＝{x |－2≤x ≤2}， ∴N ∩(?U M )＝{x |1 4.下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A.y ＝x －2 B.y ＝x －1 C.y ＝x 2 D.y ＝x 1 3 答案 A 5.定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2<0，则( ) A.f (3) B.f (1) C.f (－2) D.f (3) 答案 A 解析 由已知f (x 1)－f (x 2) x 1－x 2 <0， 得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减， 由偶函数性质得f (3) 6.设f (x )＝????? x ＋3，x >10，f (f (x ＋5))，x ≤10，则f (5)的值是( ) A.24 B.21 C.18 D.16 答案 A 解析 f (5)＝f (f (10))＝f (f (f (15)))＝f (f (18))＝f (21)＝24. 7.函数f (x )＝ax 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上为减函数，则a 的取值范围为( ) A.0＜a ≤15 B.0≤a ≤15 C.0＜a ＜15 D.a ＞15 答案 B 解析 当a ≠0时，函数f (x )的对称轴为x ＝－a －1a ， ∵f (x )在(－∞，4]上为减函数， ∴图象开口朝上，a ＞0且－a －1a ≥4，得0＜a ≤15 . 当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，显然在(－∞，4]上为减函数. 8.给定映射f ：(x ，y )→(x ＋2y,2x －y )，在映射f 下，(3,1)的原像为( ) A.(1,3) B.(1,1) C.(3,1) D.(12，12) 答案 B 解析 由????? x ＋2y ＝3，2x －y ＝1，得????? x ＝1， y ＝1. 9.已知函数f (x )是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，且当x <0时，函数的图象如下图所示，则不等式xf (x )<0的解集是( ) A.(－2，－1)∪(1,2) B.(－2，－1)∪(0,1)∪(2，＋∞) C.(－∞，－2)∪(－1,0)∪(1,2) D.(－∞，－2)∪(－1,0)∪(0,1)∪(2，＋∞) 答案 D 10.函数y ＝f (x )对于任意x ，y ∈R ，有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，当x >0时，f (x )>1，且f (3)＝4，则( ) A.f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝3 B.f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝3 C.f (x )在R 上是减函数，且f (1)＝2 D.f (x )在R 上是增函数，且f (1)＝2 答案 D 解析 设x 1 ＝f [(x 2－x 1)＋x 1]－f (x 1) ＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1. ∵x 2－x 1>0，又已知x >0时，f (x )>1， ∴f (x 2－x 1)>1. ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 1) ∴f (x )在R 上是增函数. ∵f (3)＝f (1＋2)＝f (1)＋f (2)－1 ＝f (1)＋[f (1)＋f (1)－1]－1 ＝3f (1)－2＝4， ∴f (1)＝2. 二、填空题 11.设函数f (x )＝????? x 2＋2，x ≤2，2x ，x >2，则f (－4)＝_______，若f (x 0)＝8，则x 0＝_______. 答案 18 －6或4 解析 f (－4)＝(－4)2＋2＝18， 由f (x 0)＝8，得????? x 0≤2，x 20＋2＝8，或????? x 0>2，2x 0 ＝8， 得x 0＝－6，或x 0＝4. 12.设集合A ＝{x |1 解析 如图，可知a ≥2. 13.如果函数g (x )＝????? 2x －3，x >0，f (x )，x <0是奇函数，则f (x )＝________. 答案 2x ＋3 解析 设x <0，则－x >0，g (－x )＝－2x －3. ∵g (x )为奇函数， ∴f (x )＝g (x )＝－g (－x )＝2x ＋3. 14.已知定义在R 上的奇函数满足f (x )＝x 2＋2x (x ≥0)，若f (3－m 2)>f (2m )，则实数m 的取值范围是________. 答案 (－3,1) 解析 因为函数f (x )＝x 2＋2x 在[0，＋∞)上是增函数，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )是R 上的增函数.要使f (3－m 2)>f (2m )，只需3－m 2>2m ， 解得－3 三、解答题 15.已知集合A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}. (1)当a ＝3时，求A ∩B ； (2)若A ∩B ＝?，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝3时，A ＝{x |－1≤x ≤5}，B ＝{x |x ≤1，或x ≥4}， ∴A ∩B ＝{x |－1≤x ≤1，或4≤x ≤5}. (2)①若A ＝?，此时2－a ＞2＋a ， ∴a ＜0，满足A ∩B ＝?. ②当a ≥0时，A ＝{x |2－a ≤x ≤2＋a }≠?， ∵A ∩B ＝?，∴? ???? 2－a ＞1， 2＋a ＜4， ∴0≤a ＜1. 综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，1). 16.已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25. (1)求函数f (x )的解析式； (2)用定义证明：f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式：f (t －1)＋f (t )<0. (1)解 由题意，得????? f (0)＝0， f (12)＝25， 即????? b 1＋02＝0，a 2＋b 1＋14 ＝25?????? a ＝1，b ＝0. 所以函数f (x )＝x 1＋x 2. (2)证明 任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1 f (x 2)－f (x 1)＝x 21＋x 22－x 11＋x 21 ＝(x 2－x 1)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22) . ∵－1 ∴x 2－x 1>0,1＋x 21>0,1＋x 22>0. 又∵－1 ∴f (x 2)－f (x 1)>0，故f (x 2)>f (x 1). ∴f (x )在(－1,1)上是增函数. (3)解 原不等式可化为 f (t －1)<－f (t )＝f (－t ). ∵f (x )在(－1,1)上是增函数， ∴－1 解得0 . 故原不等式的解集为{t |0 }. 17.函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0,2]上有最小值3，求a 的值. 解 f (x )＝4(x －a 2 )2－2a ＋2， ①当a 2 ≤0，即a ≤0时，函数f (x )在[0,2]上是增函数. ∴f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2. 由a 2－2a ＋2＝3，得a ＝1± 2. ∵a ≤0，∴a ＝1－ 2.