推荐高中数学第1章导数及其应用1-4-1曲边梯形面积与定积分学案新人教B版选修2_2

1.4.1 曲边梯形面积与定积分

1．了解曲边梯形的面积，掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的数学思想．

2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分，理解定积分的几何意义，理解定积分的性质．

1．一般函数定积分的定义 设函数y ＝f (x )定义在区间[a ，b ]上，用分点a ＝x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －1＜x n ＝b 把区间[a ，b ]分为n 个小区间，其长度依次为

Δx i ＝__________，i ＝0,1,2，…，n －1.

记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝

1

n i -=∑

f (ξi )Δx i .

当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把____________叫做________________的定积分，记作b

a

⎰

f (x )d x ，

即

b

a

⎰

f (x )d x ＝lim λ→0

1

n i -=∑

f (ξi )Δx i .

其中f (x )叫做________，a 叫________，b 叫________，f (x )d x 叫做被积式．此时称函数f (x )在区间[a ，b ]上______．

(1)定积分

b

a

⎰

f (x )d x 是一个常数．

(2)用定义求定积分的一般步骤： ①分割：n 等分区间[a ，b ]；

②近似代替：在每个小区间任取ξi .

③求和：1

n i -=∑

f (ξi )·b －a

n ；

④取极限：

b

a

⎰

f (x )d x ＝lim

n→＋∞1

n i -=∑

f (ξi )·

b －a

n

. 【做一做1－1】“求和式极限”所得的面积(或路程)是________值(填“近似”或“精确”)；定积分

b

a

⎰

f (x )d x 是________(填“函数”或“常数”)．

【做一做1－2】利用定积分定义计算

2

1

⎰

(1＋x )d x ＝________.

2．曲边梯形的面积

根据定积分的定义，曲边梯形的面积S 等于_______________________________________的定积分，即________________________________________．

【做一做2－1】定积分

b

a

⎰

c d x (c 为常数)的几何意义是________________________．

【做一做2－2】由y ＝sin x ，x ＝0，x ＝π

2

，y ＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是________．

1．定积分有哪些性质？

剖析：(1)定积分有三条主要的性质：

①

b

a ⎰kf (x )d x ＝k

b

a

⎰

f (x )d x (k 为常数)；

②b

a ⎰[f (x )±g (x )]d x ＝

b

a

⎰

f (x )d x ±

b

a

⎰

g (x )d x ；

③b

a

⎰

f (x )d x ＝

b

a

⎰

f (x )d x ＋

b

a

⎰

f (x )d x (a ＜c ＜b )．

(2)性质①②称为定积分的线性性质，性质③称为定积分对积分区间的可加性． (3)性质①的等式左边是一个定积分，等式右边是常数与一个定积分的乘积． (4)性质②对于有限个函数(两个以上)也成立．性质③对于把区间[a ，b ]分成有限个(两个以上)区间也成立．

(5)对于定积分的性质③可以用图直观地表示出来，即S 曲边梯形AMNB =S 曲边梯形AMPC +S 曲边梯形CPNB . (6)定义中区间的分法和xi 的取法都是任意的． (7)在定积分的定义中，

b

a

⎰

f (x )d x 限定下限小于上限，即a ＜b .为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，

使下限不一定小于上限，并规定：

a

b

⎰

f (x )d x ＝－

b

a

⎰

f (x )d x ，

a

a

⎰

f (x )d x ＝0.

2．怎样计算曲边梯形的面积？

剖析：(1)由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S ＝

b

a

⎰

f (x )d x (如图①)．

(2)由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(f (x )≤0)围成的曲边梯形的面积()d b

a

S f x x

⎰

＝＝－

b

a

⎰

f (x )d x (如图②)．

(3)由两条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，两条曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )(f (x )≥g (x ))围成的平面图形的面积S ＝

b

a

⎰

[f (x )－g (x )]d x (如图③)．

(4)由三条直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )，x 轴，一条曲线y ＝f (x )(如图④)围成的曲边梯形的面积S ＝c

a

⎰

f (x )d x

－

b

c

⎰

f (x )d x .

题型一 利用定义求定积分

【例题1】已知一物体做自由落体运动，运动速度v ＝gt ，用定积分的定义求在时间区间[0，t ]内，物体下落的距离s .

分析：利用定义求定积分可分为四步：分割、近似代替、求和、取极限，按步骤求解即可． 反思：(1)根据定义求定积分的步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限．

(2)物体作变速直线运动所经过的路程s 等于其速度函数v ＝v (t )在时间区间[0，t ]上的定积分，即