1.2集合的运算

合集下载

交集并集

§1.2.2 集合的运算（一）学案高一数学备课组【学习目标】1.交集、并集的概念；2.维恩图表示和理解运算及性质。

【学习重点和难点】1.能借助维恩图理解交集、并集的概念；2.会求简单集合的交集、并集；3.理解交、并集的性质。

第一部分：预习案【自学引导】阅读课本15页和17页例5的上方，完成下列问题1．交集的元素的特征性质交集的元素的特征性质2．不看课本，能否写出交集、并集的定义？______________________________________________________________________________________________________________________________________________ 3能用维恩图解释交、并集的性质吗？第二部分：教学案【合作探究】【归纳总结】完成下列问题：1.结合上一节的内容，例2的这样的题怎样考虑较好？2.通过例3，你对方程组的解集有怎样的理解？2211{230}, {430};2{1,3,5,7},{2,4,6,8}A x x xB x x xCD =+-==++===例.求下列集合的交集：（）（）2.{}{},,,.A x xB x x A Z B Z A B == 例设是奇数是偶数求3.{(,)46}, {(,)327},.A x y x y B x y x y A B =+==+= 例已知求4{},{},{|},.Q x x Z x x P x x Q Z Q P === 例已知是有理数是整数是无理数求，3.求交集注意_____________4.求并集注意_____________第二部分：巩固案【巩固练习】1.满足A B={a,b}的A 、B 的不同情形的组数为（）A.4B.5C.8D.92满足条件M {1}={1，2，3}的集合M 的个数（）Ａ.１ B.2 C.3 D.43设集合A={x ︱x ≤1},B={x ︱x>p},要使∅=B A ，则p 应满足的条件是（）A ．P>1 B.P ≥1 C.P<1 D.P ≤14.设A={x ︱-2<x<-1},B={x ︱-3<x<3}, A B= A B=5.设A={x ︱220x -<,x ∈R},B={x ︱5-2x>0, x ∈N},则A B=________________.【拓展提高】6.已知方程20x bx c ++=有两个不等的实根1x ，2x ,设C={1x ，2x }，A={1,3,5,7,9}，B={1，4，7，10}，若A C=∅， C B=C,试求b 、c 的值。

集合数学知识点高一公式

集合数学知识点高一公式高一数学公式集合一、集合的基本概念在数学中，集合是指由若干个元素组成的事物的总体。

集合中的元素可以是具体的数、点、线，也可以是抽象的概念、命题等。

以下是一些高一数学常见的集合相关的基本概念和符号：1.1 集合的表示方式一般来说，集合可以通过列举元素、描述特性或使用图形等方式进行表示。

例如，集合A={1, 2, 3, 4}表示集合A中包含元素1, 2, 3, 4。

1.2 集合的关系运算集合之间常见的关系运算有并集、交集、差集和补集。

假设集合A={1, 2, 3, 4}，集合B={3, 4, 5, 6}，则它们的关系运算如下所示：- 并集：A∪B={1, 2, 3, 4, 5, 6}- 交集：A∩B={3, 4}- 差集：A-B={1, 2}- 补集：A'={(所有不属于A的元素)}1.3 集合的基数与空集以集合A为例，A中元素的个数称为集合A的基数，用符号|A|表示。

若集合A中没有任何元素，则称集合A为空集，用符号Ø表示。

例如，集合A={1, 2, 3}的基数为3，而空集的基数为0。

二、集合的运算法则在集合论中，有一些常见的运算法则，包括交换律、结合律、分配律等。

2.1 交换律对于并集和交集运算来说，交换律成立。

也就是说，对于任意的集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。

2.2 结合律对于并集和交集运算来说，结合律成立。

也就是说，对于任意的集合A、B和C，有(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)。

2.3 分配律对于并集和交集运算来说，分配律成立。

也就是说，对于任意的集合A、B和C，有A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)。

三、常用的集合相关公式除了集合的基本概念和运算法则外，高一数学中还有一些常用的集合相关公式，包括排列组合公式、二项式定理等。

3.1 排列公式排列是从n个不同的元素中取出m个元素按照一定的顺序排列的方法数。

示范教案(集合的基本运算并集、交集)

示范教案(集合的基本运算-并集、交集)第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法引入集合的概念，讲解集合的定义介绍集合的表示方法，如列举法、描述法等举例说明集合的表示方法及其应用1.2 集合的基本运算介绍集合的基本运算，包括并集、交集、补集等讲解并集的定义及其运算规则讲解交集的定义及其运算规则第二章：集合的并集运算2.1 并集的定义与性质讲解并集的定义及其表示方法介绍并集的性质，如交换律、结合律等举例说明并集的性质及其应用2.2 并集的运算规则讲解并集的运算规则，如两个集合的并集等于它们的交集的补集等举例说明并集的运算规则及其应用2.3 并集的计算方法介绍并集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解并集计算方法的步骤及其应用第三章：集合的交集运算3.1 交集的定义与性质讲解交集的定义及其表示方法介绍交集的性质，如交换律、结合律等举例说明交集的性质及其应用3.2 交集的运算规则讲解交集的运算规则，如两个集合的交集等于它们的并集的补集等举例说明交集的运算规则及其应用3.3 交集的计算方法介绍交集的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解交集计算方法的步骤及其应用第四章：集合的混合运算4.1 混合运算的定义与性质讲解混合运算的定义及其表示方法介绍混合运算的性质，如分配律等举例说明混合运算的性质及其应用4.2 混合运算的运算规则讲解混合运算的运算规则，如并集与交集的运算规则等举例说明混合运算的运算规则及其应用4.3 混合运算的计算方法介绍混合运算的计算方法，如列举法、Venn图法等讲解混合运算计算方法的步骤及其应用第五章：集合的应用举例5.1 集合在实际问题中的应用举例说明集合在实际问题中的应用，如统计数据处理、网络管理等讲解集合运算在实际问题中的重要性5.2 集合运算的综合应用举例说明集合运算在实际问题中的综合应用，如数据挖掘、图论等讲解集合运算的综合应用的方法及其步骤5.3 集合运算的拓展与应用介绍集合运算的拓展与应用，如模糊集合、多集等讲解集合运算的拓展与应用的方法及其步骤第六章：集合运算的练习题与解答6.1 集合运算的基础练习提供一些基础的集合运算练习题，如并集、交集的计算等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.2 集合运算的进阶练习提供一些进阶的集合运算练习题，如混合运算、集合的应用等引导学生通过列举法、Venn图法等方法解答练习题6.3 集合运算练习题的解答与解析对练习题进行解答，解释解题思路和方法分析练习题的难度和考察点，帮助学生掌握集合运算的知识点第七章：集合运算的常见错误与注意事项7.1 集合运算的常见错误分析学生在集合运算中常见的错误，如概念混淆、运算规则错误等举例说明这些错误的产生原因和解题方法7.2 集合运算的注意事项提醒学生在进行集合运算时需要注意的事项，如符号使用、运算顺序等讲解注意事项的重要性及其在解题中的应用7.3 集合运算的解题技巧与策略介绍学生在解题时可以采用的集合运算技巧与策略，如化简、分解等讲解技巧与策略的运用方法和适用场景第八章：集合运算在实际问题中的应用案例分析8.1 集合运算在图论中的应用介绍集合运算在图论中的应用，如图的连通性、网络流等分析实际案例，讲解集合运算在图论问题中的作用和意义8.2 集合运算在数据挖掘中的应用介绍集合运算在数据挖掘中的应用，如数据预处理、特征选择等分析实际案例，讲解集合运算在数据挖掘问题中的作用和意义8.3 集合运算在其他领域的应用介绍集合运算在其他领域的应用，如计算机科学、经济学等分析实际案例，讲解集合运算在其他问题中的作用和意义第九章：集合运算的拓展与研究动态9.1 集合运算的拓展介绍集合运算的拓展方向，如模糊集合、多集、粗糙集等讲解拓展领域的研究动态和应用前景9.2 集合运算的研究方法与技术介绍集合运算的研究方法，如逻辑推理、数学建模等讲解研究技术在集合运算中的应用方法和实例9.3 集合运算的学术交流与资源共享介绍集合运算领域的学术交流与资源共享平台，如学术会议、期刊等鼓励学生积极参与学术交流，分享研究成果和经验第十章：总结与展望10.1 集合运算的教学总结总结本课程的教学内容和目标，强调集合运算的重要性和应用价值回顾学生在学习过程中的收获和不足，提出改进教学方法的建议10.2 集合运算的学习展望鼓励学生继续深入学习集合运算及相关领域知识，提高解决问题的能力展望集合运算在未来的发展趋势和应用前景，激发学生的学习兴趣和动力重点和难点解析1. 第一章至第五章的章节内容，主要涉及集合的基本概念、基本运算以及应用举例。

大一离散数学知识点归纳

大一离散数学知识点归纳离散数学是大一学生在计算机科学和相关学科中最常接触的数学分支之一。

它涉及的知识点广泛且重要，对于学习和理解其他高级课程至关重要。

下面是对大一离散数学知识点的归纳。

1. 集合论1.1 集合的定义和表示1.2 集合的运算（并、交、差、补）1.3 子集、真子集、幂集1.4 集合的基本性质（交换律、结合律、分配律）1.5 集合的等价关系和等价类1.6 集合的基数和无限集2. 逻辑与命题2.1 命题的定义和性质2.2 命题的逻辑运算（与、或、非、异或、蕴含、等价）2.3 命题的真值表和简化2.4 谓词逻辑和量词2.5 命题逻辑的推理和证明方法2.6 命题逻辑的应用（布尔代数、逻辑电路）3. 数理归纳法3.1 数学归纳法的基本原理3.2 强归纳法和弱归纳法3.3 数学归纳法的应用（证明数学命题、计算算法复杂度）4. 图论4.1 图的基本概念（顶点、边、度、路径、环）4.2 连通图和孤立点4.3 树和森林4.4 图的遍历算法（深度优先搜索、广度优先搜索）4.5 最小生成树和最短路径问题4.6 图的应用（社交网络、路线规划）5. 关系与函数5.1 关系的定义和表示5.2 关系的性质（自反性、对称性、传递性、等价关系） 5.3 关系的闭包和传递闭包5.4 函数的定义和性质5.5 单射、满射和双射5.6 函数的复合和反函数6. 组合数学6.1 排列和组合的基本概念6.2 二项式系数和杨辉三角6.3 递归和递推关系6.4 置换和循环节6.5 容斥原理和鸽笼原理6.6 组合数学的应用（概率、计数问题）7. 布尔代数7.1 逻辑代数和布尔运算7.2 布尔函数和真值表7.3 极小项和主析取范式7.4 逻辑函数的化简和设计7.5 布尔代数的应用（逻辑电路、开关网络）这些是大一离散数学课程中的一些重要知识点，通过对这些知识点的学习和理解，学生将能够为将来的计算机科学和相关领域的学习打下坚实的基础。

同时，离散数学的思维方式和证明方法也会培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

集合的基本运算教案

集合的基本运算教案第一章：集合的基本概念1.1 集合的定义引入集合的概念，解释集合是由明确的、相互区别的对象组成的整体。

通过实例讲解集合的表示方法，如列举法、描述法等。

1.2 集合的元素介绍集合中元素的性质，如确定性、互异性、无序性。

解释元素与集合之间的关系，明确元素属于或不属于一个集合。

1.3 集合的类型分类介绍集合的常见类型，如自然数集、整数集、实数集等。

讲解集合的子集概念，即一个集合的所有元素都是另一个集合的元素。

第二章：集合的运算2.1 集合的并集介绍并集的定义，即两个集合中所有元素的集合。

讲解并集的表示方法，如用符号“∪”表示。

举例说明并集的运算规则和性质。

2.2 集合的交集解释交集的定义，即两个集合共有的元素的集合。

展示交集的表示方法，如用符号“∩”表示。

分析交集的运算规则和性质。

2.3 集合的补集引入补集的概念，即在全集范围内不属于某个集合的元素的集合。

讲解补集的表示方法，如用符号“∁”表示。

探讨补集的运算规则和性质。

第三章：集合的运算规则3.1 集合的德摩根定理讲解德摩根定理的内容，包括德摩根律的两种形式。

分析德摩根定理在集合运算中的应用。

3.2 集合分配律介绍分配律的概念，即集合的并集和交集的运算规律。

解释分配律在集合运算中的重要性。

3.3 集合恒等律讲解集合恒等律，即集合的并集和交集与集合本身的关系。

探讨集合恒等律在集合运算中的应用。

第四章：集合的应用4.1 集合的划分介绍集合的划分概念，即把一个集合分成几个子集。

讲解集合划分的表示方法，如用符号“÷”表示。

举例说明集合划分的应用。

4.2 集合的包含关系解释集合的包含关系，即一个集合是否包含另一个集合的所有元素。

探讨集合包含关系的性质和运算规则。

4.3 集合在数学中的应用分析集合在数学领域中的应用，如几何、代数等。

通过实例讲解集合在其他学科领域的应用。

第五章：集合的练习题及解答5.1 集合的基本概念练习题及解答设计关于集合定义、元素、类型等基本概念的练习题。

交集与并集3

1.2.2集合的运算（并集、交集）导学案NO 3课前预习学案一、预习目标：了解交集、并集的概念及其性质，并会计算一些简单集合的交集并集。

二、预习内容：1、交集：一般地，由所有属于A 又属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的．记作。

2、并集：一般地，对于给定的两个集合A,B 把它们所有的元素并在一起所组成的集合,叫做A,B 的．记作 .3、用韦恩图表示两个集合的交集与并集。

4、交集，并集的性质：①A B B A =；A B B A = ；②=A A ；=A A ；③==A A φφ ；==A A φφ ； ④如果B A ⊆,则=B A ；=B A .预习完成：1、设A ＝｛x ｜x ＞0｝，B ＝｛x ｜x ≤1｝，求A ∩B 和A ∪B ．2、A ＝｛x ｜x 2―4x ―5＝0｝，B ＝｛x ｜x 2－1＝0｝．则A ∩B ＝，A ∪B ＝．课内探究学案合作探究：例1：设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A ∩B.变式1：设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A ∪B.例2、已知集合M ＝｛(x ,y )|x +y =2｝,N ={(x ,y )|x －y =4},那么集合M ∩N 为( )A. x=3,y=－1B. (3，－1)C.｛3，－1｝D.｛(3，－1)｝变式2：已知集合M ＝｛(x,y)|2x+3y=1｝,N={(x,y)|3x-2y=3},求M ∩N （用列举法表示）例3．设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求B A ，B A 。

例4：已知A ＝{x|x 是平行四边形}，B ＝{x|x 是菱形}，求B A ，B A 。

当堂检测：1、已知A ＝{1，2，3，4}，B ＝{3，4，5，6}，C ＝{1，3，4，6}，求：①B A ； ②C A ； ③B A ； ④C A ；⑤B C ； ⑥φ A ； ⑦B C ； ⑧φ C .2、已知A={}016|2=-xx ，B={}012|2=--x x x ，求B A ，B A （用列举法表示）3、已知A ＝{x|x=0},求NA +.课后练习与提高1、设Ｍ＝｛０，１，２，４，５，７｝，Ｎ＝｛１，４，６，８，９｝，Ｐ＝｛４，７，９｝，则（Ｍ∩Ｎ）∪（Ｍ∩Ｐ）＝（）Ａ．｛１，４｝Ｂ．｛１，７｝Ｃ．｛４，７｝Ｄ．｛１，４，７｝2、已知集合Ｍ＝｛ｘ｜ｘ－a ＝０｝，Ｎ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｍ∩Ｎ＝Ｍ，则实数a ＝（）Ａ．１Ｂ．－１Ｃ．１或－１Ｄ．１或－１或０3、已知集合A ＝{a,b,c},集合B 满足B A ＝A ，试问这样的集合B 有多少个？4、已知关于x 的方程3x 2+px －7=0的解集为A ，方程3x 2－7x +q =0的解集为B ，若A ∩B ={－31}，求A ∪B .。

1.2.2 集合的运算

1.2.2 集合的运算教材知识检索考点知识清单概念(1)交集：对于两个给定的集合A 、B ，由元素构成的集合：记作：____，读作：____． (2)并集：对于两个给定的集合A 、B ，由它们构成的集合，记作：____，读作：．(3)全集：在研究某些集合的时候，这些集合往往是的子集，这个．叫做全集，常用符号表示． (4)补集：设U 是全集，A 是U 的一个子集(A ⊆U)，则由组成的集合，叫做U 中子集A 的补集（或余集），记作：，即． 2.运算性质（l ）交集的运算性质① ② ；③ ；④如果,B A ⊆则 (2)并集的运算性质① ；② ；③ ，④如果,B A ⊆则 (3)补集的性质由补集的定义可知，对任意集合A ，有①．=A C A U ;=A C A U② ; ③=A)(C U U C要点核心解读1．交集与并集定义的理解 (1) 从符号语言角度理解：},|{B x A x x B A ∈∈=且其包含三层含义， B A ①中的任一元素都是A 与B 的公共元素；②A 与B 的公共元素都属于;B A③当集合A 与B 没有公共元素时，.∅=B A},|{B x A x x B A ∈∈=且其包含三种情况，,A x ∈但,;B x B x ∈∉但A x A x ∈∉;且.B x ∈(2)用韦恩图表示,B A B A与直观理解定义．2．补集(1)补集是以“全集”为前提加以定义的，而全集又是相对于所研究的问题而言的一个概念，是与所研究的问题相关的所有集合的并集．(2)所谓},,|{A x I x x A C I ∉∈=且就是说从全集I 中取出集合A 的全部元素，所有剩余的元素组成的集合就是.A C I(3)由补集的定义有如下关系：1,,)(=∅∅==I I I I C I C A A C C 等等．(4)全集和补集、全集和空集的关系的理解．①全集和补集是相互依存、不可分离的两个概念，补集是在全集的范围内来求的，如果题目中未指出全集，则不能求其补集．②同一子集相对予不同全集韵补集也是不同的，、 ③全集和空集是集合中的特殊集合，应引起重视，避免误解和遗漏，若,B A ⊂则∅=A 应优先考虑到．④全集的补集是空集，空集的补集是全集.(5)“正难则反”与补集思想的联系，补集的应用价值，对于一些比较复杂，比较抽象，条件和结论之间不明确，难以从正面人手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面人手，探求已知和未知的关系，能起到化难为易，化隐为显的作用，从而将问题解决，这就是“正难则反”的解题策略，也是间接处理问题的体现．以上这种解决问题的策略正是运用了“补集”的思想，即已知全集U ，求子集A ，若直接求A 困难，可先求,A C U 再由A A C C U U =)(求A ，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现 3．集合的运算性质(1)交集 ;;;∅=∅== A A A A A BB A ③②①;,B B A A B A ⊆⊆ ④.B A A B A ⊂⇔= ⑤(2)并集：;A BB A =①;A A A = ②;A A =∅ ③;,B B A A B A ⊇⊇ ④.4.B A B B ⊂⇔= ⑤(3)交集、并集、补集的关系.;U A C A A C A U U =∅= ①.)(;)(B C A C B A C B C A C B A C U U U U U U ==②③对于元素个数的计算问题，可参照图1-2 -2 -1，其中U 为全集，区域①、②、③、④分别表示：、、、B A B C A B A C U U )(.A C B U4．集合的运算与集合的包含关系的转化⇔==⊂⇔=⊆⇔=∏B B A A B A A B B B A A B A B A ,,.B A ⊇典例分类剖析考点1 求交集、并集[例1]设全集,z U =将下列集合},,3|{z k k x x A ∈==},,13|{z k k x x B ∈+====x x C |{},16|{},,23z k k x x D z k k ∈+==∈+的符号语言转化为文字语言，并求.,,,D B C B C A B A[解析] 集合},3|{z k k x x A ∈==表示3的倍数的整数所组成的集合；集合},13|{z k k x x B ∈+==表示除以3余l 的整数所组成的集合；集合},23|{z k k x x C ∈+==表示除以3余2的整数所组成的集合；集合},16|{z k x x x D ∈+==表示除以6余l 的整数所组成的集合．.,D D B C B C A B A =∅===∴[点拨] 解此类题目要看清集合的代表元素，化简集合，再借助数轴进行集合运算，理解集合的含义，把集合化简、具体化是解决此类题的关键，母题迁移 1．已知集合},,32|{2R x x x y y A ∈--==},,132|{2R x x x y y B ∈++-==求.,B A B A考点2 交集、并集的综合问题[例2] 设集合},9,1,5{},4,12,{2x x B x x A --=--=若},9{=B A 求.B A[解析] 由,9A ∈可得,91292=-=x x 或解得.53或±=x当3=x 时，},9,2,2{},4,5,9{--=-=B A B 中元素不满足互异性，故3=x 舍去. 当3-=x 时，},9,4,8{},4,7,9{-=--=B A 满足题意，此时⋅---=}9,4,8,4,7{B A当5=x 时，},9,4,0{},4,9,25{-=-=B A 此时=B A },9,4{-这与}9{=B A矛盾，故5=x 舍去．综上知⋅---=}9,7,4,4,8{B A[点拨]本题解法中体现了分类讨论思想及集合中元素的互异性在解题中的作用，由集合关系求集合中元素的参数时，一定要代入原集合进行验证，看是否满足互异性.母题迁移 2.(2009年陕西高考题)设不等式02≤-x x 的解集为M ，函数|)|1ln()(x x f -=的定义域为N ，则N M为( )．)1,0.[A )1,0.(B ]1,0[C. ]0,1.(-D考点3 求补集问题[例3] 已知：全集U={不大于5的自然数}，},1,0{=A A x x B ∈=|{且,1|{},1A x x C x ∉-=< 且.|U x ∈求：..C ,.C U C B U[解析] 方法一：由题意知},0{},5,4,3,2,1,0{==B U 集合C 中的元素需满足以下两个条件：.1)2(,)1(A x U x ∉-∈若,0=x 则.110A ∉-=- ∴ 0是集合C 中的元素．若.011,1A x ∈=-=则 ∴ 1不是集合C 中的元素. 若,2=x 则.112A ∈=- ∴ 2不是集合C 中的元素.同理，当∉=-∉=-∉=--=415,314,213,5,4,3A A N x 5,4,3∴，A 是集合C 中的元素． ⋅=∴}5,4,3,0{C⋅==∴}2,1{C },5,4,3,2,1{C U C B U方法二：可用Venn 图表示，如图1-2 -2 -2:}.2,1{C },5,4,3,2,1{C ==∴C B U U[点拨]Venn 图是解决集合运算的有效工具，它具有形象、直观的特点，特别是对于有限数集具有巨大的优势，如此较本题方法一与方法二，方法二简洁、明快，显示出数形结合思想_的价值，在解题中要善于应用这种方法．母题迁移 3．（2009年福建高考题）已知全集U=R 集合},02|{2>-=x x x A 则A U C 等于( )．}20|.{≤≤x x A }20|.{<<x x B }20|.{><x x x C 或 }20|.{≤≤x x x D 或考点4 交、并、补运算的混合问题[例4] 已知全集{}，3*},,100|{=∈<<=B A N x x x I},9{C C },7,5,1{C ==B A B A I I I求A 、B ．[解析] 由已知*},,1010{N x x x I ∈<<=得⋅=}9,8,7,6,5,4,3,2,1{I把}9{C C },7,5,1{C },3{===B A B A B A I I I用韦恩图表示出来（如图1-2-2 -3所示），得}.8,6,4,3,2{},7,5,3,1{==B A[点拨] (1)本题利用韦恩图求解直观、简单，是解答抽象问题的一种很好的方法，体现了数形结合思想．(2)在进行集合的交、并、补运算时，应首先求出各集合，对‘数集的集合运算，一般可借助数轴将问题形象化、直观化，即数形结合思想，母题迁移 4．（2009年全国高考题）设集合,5,4{=A },9,8,7,4,3{|,9,=B 全集,B A U=则集合)(C B A U 中的元问素共有( )．A.3个B.4个C.5个D.6个考点5 集合运算中的含参问题[例5](1)已知集合==-+-=B a ax x x A },019|{22==+-C x x x |,0652},082|{2=-+x x x则a= 时，∅=∅=/CA B A 与同时成立．(2)设全集≤-=+<<==2|{},523|{,x P a x a x M R U ,|,1p C M x U ≠⊂≤若则实数a 的取值范围是[解析] (1)由已知，得}.4,2{},3,2{-==C B∴∅=/,B A 2或3或2和3是方程0.1922=-+-a x x α的解，又∴∅=,C A2和-4都不是方程01922=-+-a ax x 的解_3∴是方程01922=-+-a ax x 的解，.52,01032=-=∴=--∴a a a a 或当2-=a 时，经验证符合题意：当5=a 时，},3,2{=A 此时5,=∴∅=/a C A舍去，.2-=∴a,C },12|{C )2(p M x x x p U U ≠⊂>-<=或∴ 分∅=/∅=M M , 两种情况讨论：∅=/M ①时，⎩⎨⎧-≤++<252,523a a a 或⎩⎨⎧≥+<,13,523a a a .53127<≤-≤∴a a 或∴≠⊂∅=,C ,P M M U 时②此时有.5523≥⇒+≥a a a综上可知：⋅-≤≥2731a x 或 [答案]2)1(- 2731)2(-≤≥a a 或[点拨] (1)中关键是理解∅=∅=/C A B A,的含义．(2)中关键是利用,C P M U ≠⊂对∅=/∅=M M ,进行分类讨论，借助于数轴转化为等价不等式组求解．同时要注意区域端点的问题．母题迁移 5．已知集合,01)2(|{2=+++=x a x x A },R x ∈且,*∅=R A 求实数a 的取值范围，自主评价反馈考点知识清单1．(1)既属于集合A 又属于集合B 的所有B A A 交B(2)的所有元素 B AB A 并 (3)某个给定集合给定的集合 U(4)U 中所有不属于A 的元素 ,|{...U x x A C A C U U ∈=且}A x ∉A B B A =⋅①)1(2 A B A ⊂ ② B B A ⊆ ③ A B A = ④ A B B A =①)2( B A A ⊆② B A B ⊆③ B B A = ④ U ,)3(① ∅② A ③母题迁移{}{}14,,14)1(},4|{},,4)1(|{.122≤=∴∈+--==-≥=∴∈--==y y B R x x y y B y y A R x x y y A 将集合A ，B 分别标在数轴上，如图1-2 -2 -4...},144|{R B A y y B A =≤≤-=∴A .2 A .3 A .45．由已知,*},,01)2(|{2∅=∈=+++-=R A R x x a x x A 所以，∅=⋅R A等价于方程01)2(2=+++x a x 没有实数根（即∅=A )或者只有非正实数根．(1)当,∅=A 即方程01)2(2=+++x a x 无实数根时，.04,04)2(2<<-<-+=∆a a(2)当方程01)2(2=+++x a x 只有非正实数根时，⎩⎨⎧≤+-≥-+=∆,0)2(,04)2(2a a 解之得.0≥a 由(1)、(2)得.4->a∴ 实数a 的取值范围是}.4|{->a a优化分层测试第一课时学业水平测试1. （2011年黄冈模拟题）已知全集,R U =集合>-=|2||{x x A 21，集合},,3|{N x x x B ∈≤=则=B A C U ( )}2,1,0{⋅A }4,3,2,1,0{⋅B }2,1{⋅C }3,2,1.{D2．设},40|{},31|{<<=≤≤-=x x B x x A 则B A等于( )}30|.{≤<x x A }411.{<≤-x x B }041|.{=/<≤-x x x C 或 }43|.{<≤x x D3．下列四个推理：;)(A a B A a ∈⇒∈ ① ∈⇒∈a B A a )( ②);(B A ;B B A B A =⇒⊂③.B B A A B A =⇒= ④其中正确的个数为( )．A.lB.2C.3D.44．集合},5,4,0,2{},3,0,2{=-=Q P 则=Q P ，=Q P.},31|{},4|{.5*≤<-=<≤-=x x B z x x A J 那么=B A =B A ,6．已知集合},|),{(},|),{(b y x y x N a y x y x M =-==+=如果集合)},1,3{(-=N M则=a=b ,高考能力测试（测试时阃：45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8 =40分）、 1．设集合},2,1{=A 则满足}3,2,1{=B A的集合B 的个数是（）1.A 3.B 4.C 8.D2．（2009年宁夏、海南高考题）已知集合},9,7,5,3,1{=A =B },12,9,6,3,0{⋅则=B A（） }5,3.{A }6,3.{B }7,3.{C }9,3.{D3．(2009年四川高考题)设集合).7(1{},5|||{+=<=x x T x x S =<-⋅T Sx 则|,0)3(( )．}57|.{-<<-x x A }513.{<<x x B }35|.{<<-x x C }57|.{<<-x x D4．（2010年福建高考题）若集合=≤≤=B x x A },31|{},2|{>x x 则B A等于( )}32|.{≤<x x A }1|.{≥x x B }312.{<≤x x C }2|.{>x x D5．（2010年辽宁高考题）已知集合==A U },9,7,5,3,1{},7,5,1{则=A C U （）}3,1.{A }9,7,3.{B }9,5,3.{C }9,3.{D6．（2010年山东高考题）已知全集,R U =集合=M },04|{2≤-x x 则=M C U ( )}22|.{<<-x x A }22|.{≤≤-x x B }22|.{>-<x x x C 或 }22|.{≥-≤x x x D 或7．（2010年广东高考题）若集合},4,2,1{},3,2,1,0{==B A 则集合=B A（）}4,3,2,1,0.{A }4,3,2,1.{B }2,1{⋅C }0.{D8．（2010年浙江高考题）设},4|{},1|{2<=<=x x Q x x P 则=Q P（）}21|.{<<-x x A }131.{-<<-x x B }411.{<<x x C }12|.{<<-x x D二、填空题（5分×4 =20分）9．已知},5{},2|,1{|},136,3,2{2=-=++=A C a A a a U U 则实数=a10．若集合,}|),{(}12|),{(2∅=-=+-=b x y y x x x y y x则b 的取值范围为 11.满足条件}5,3,1{}3,1{=A 的集合A 为},021{},1,1{.122=+-=-=b ax x x B A 若=∅=/B A B 且,,0,>a A 则a= =b ,三、解答题（10分×4 =40分）13.设集合},4,4,2{},1,1,2{2+-=+--=x y B x x A 且=B A},7,1{-求x 、y 的值．14.设集合+++=∈=+=x a x x B R x x x x A )1(2|{},,04|{22},,012R x a ∈=-若,A B A = 求实数a 的值．15.已知集合},01|{},023|{22=-+-==+-=a ax x x B x x x A },02|{2=+-=mx x x C 若,,C C A A B A == 求实数a 、m 的取值范围．16．已知,|),{(},,,|),{(m x y x B z n b an y n x y x A ==∈+====∈+=C z m m y },,15322|),{(x y x}1442≤+y 问是否存在实数a 、b ，使得;)1(∅=/B A C b a ∈),)(2(同时成立？选做题17.某年级先后举行数、理、化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，物理179人，化学165人；参加两科的：数学、物理143人，数学、化学116人，物理、化学97人；三科都参加的有89人．求参加竞赛的学生总人数．第二课时学业水平测试1．已知集合x x S |{=是小于15的质数}，集合},5,3{=A 则A C S 等于( )．}11,9,7,1{⋅A }13,11,7.{B }13,11,7,2,1.{C }13,11,7,2{⋅D2.(2011年黄冈模拟题）已知集合==-+=B x y y x A },212|),{(},1){,{(=+ax y y x 且,∅=B A 则实数a 的值是( )．2.-A3.B 1.C D ．-2或33．设全集为},4,3,2,1,0{=U 集合},3,2,1,0{=A 集合=B },4,3,2{则=B A U U C C}0.{A }1,0.{B }4,1,0.{C }4,3,2,1,0.{D4．设集合},2|{},3|{≤∈=⋅-≤∈=x z x B x z x A 全集,z U =则=B A U C =B A UC , 5．设全集=-∈==+-∈=1|{C },0158|{2ax R x A x x R x U U },0则由实数a 组成的集合为 6．设全集,},0|{},1|{,A B a x x B x x A R U U ￠≠⊂<+=>==则实数a 的取值范围为高考能力测试测试时间：45分钟测试满分100分）一、选择题（5分×8=40分）1.(2011重庆高考题）设},02|{,2>-==x x x M R U 则=M U C ( )]2,0.[A )2,0.(B ),2()0,(+∞-∞⋅ C ),2[]0,(+∞-∞⋅ D2．（2011年大纲全国高考题）设集合==M U },4,3,2,1{},4,3,2{},3,2,1{=N 则=)(C N MU ( ) }2,1.{A }3,2{⋅B }4,2{⋅C }4,1{⋅D3．（2011年湖北高考题）已知==A U },8,7,6,5,4,3,2,1{},5,4,2{},7,5,3,1{=B 则=)(C B A U（）}8,6{⋅A }7,5{⋅B }7,6,4{⋅C }8,6,5,3,1{⋅D4．（2011年安徽高考题）集合},5,4,1{},6,5,4,3,2,1{==s U =⋂=)C (},4,3,2{T S T U 则( )}6,5,4,1{⋅A }5,1{⋅B }4{⋅C }5,4,3,2,1{⋅D5．（2011年北京高考题）已知集合},{},1|{2a M x x P =≤=若,P M P= 则a 的取值范围是( )]1,.(--∞A ),1.[+∞B ]1,1.[-C ),1[]1,(+∞--∞⋅ D6．（2011年江西高考题）若集合==M U },6,5,4,3,2,1{},4,1{},3,2{=N 则集合{5，6}等于( )．N M A . N M B . )()(N C M C C U U ⋅ )()(N C M C D U U ⋅7．（2006年重庆高考题）已知集合==A U },7,6,5,4,3,2,1{},5,4,3{},7,5,4,2{=B 则=B C A C U U( )}6,1.{A }5,4.{B }7,5,4,3,2{⋅C }7,6,3,2,1.{D8．（2009年全国高考题）设集合=>=B x x A },3|{},041{|<--x x x则=B A ( ) ∅.A )4,3(⋅B )1,2(-⋅C ),4(+∞⋅D二、填空题（5分×4 =20分}9．（2009年上海高考题）已知集合},|{},1|{a x x B x x A ≥=≤=且,R B A= 则实数a 的取值范围是10．已知全集,R U =集合≥-=≤-≤-=a x x B x x A |{},211|{},,0R a ∈若{0<=⋂x x B C A C U U=B C A C U U ,1|{<x x 或}3>x ，则∈a11．(2009年重庆高考题)若>∈=<∈=xR x B x R x A 2|{},3|||{},1则=B A12.如图1-2 -2 -5所示，，是全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是．（用M 、P 、S 的交、并、补运算式表示）三、解答题（10分×4 =40分）13.设全集},02|{},065|{22=++==+-=q px x x A x x x U 若22,*)(q p U A C C U U +=的值．14．已知全集},5,4,3,2,1{=U 若,,∅=/=B A U B A且}.2,1{=B C A U试用韦恩图表示满足上述条件的集合A 和B ．15．已知集合{,0|{},,0624|{2<=∈=++-=x x B R x m mx x x A },R x ∈若,∅=/B A求实数m 的取值范围．16.已知集合},01|{},0|{22=++==++=px qx x B q px x x A 是否存在不为零的实数p 、q 满足条件：(1)∅=/B A;}.2{C )2(-=B A R若存在，求出p 、q ；若不存在，请说明理由．单元知识整合二、知识梳理整合集合的初步知识包括集合的有关概念、集合的表示及集合与集合之间的关系 1．集合的基本概念 (1)集合的概念一般地，我们把研究对象统称为元素，如1—10内的所有质数包括2，3，5，7，则3 是我们所要研究的对象，它是其中的一个元素．把一些元素组成的总体叫做集合，如上述2，3，5，7就组成了一个集合．元素与集合的关系有且仅有两种：属于（用符号∈表示）和不属于（用符号∉岳表示）．如B a A a ∉∈, 等．(2)集合中元素的特征①确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为某个集合的元素． ②互异性：集合中的任意两个元素都是不相同的也就是同一个元素在集合中不能重复出现． ③无序性：集合与组成它的元素的顺序无关．如{1，2，3}与{3，l ，2}是同一个集合． (3)集合的分类集合可根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集：含有有限个元素的集合．无限集：含有无限个元素的集合，特别地，我们把不舍有任何元素的集合叫做空集，记作囝，空集归入有限集．2．集合间的关系(1)子集：对于两个集合A 与B ，如果集合A 中的任一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作.B A ⊆对于任意集合A ．规定.A ⊆∅两个集合A 与B 之间的关系如下：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⊄⎪⎩⎪⎨⎧≠⊂⇒≠⊆⊆⇒=⊆B A B A B A AB B A B A B A 且其中记号)(A B B A ⊇/⊆/或表示集合A 不包含于集合B （或集合B 不包含集合A ）． (2)子集具有以下性质：,A A ⊆①即任何一个集合都是它本身的子集，②如果.,,B A A B B A =⊆⊆那么③如果,,C B B A ⊂⊆那么.C A ⊆ ④如果,,C B B A ≠⊂≠⊂那么C A ≠⊂(3)包含的定义也可以表述成：如果由任一,A x ∈可以推出,B ∈那么).(A B B A ⊇⊂或不包含的定义也可以表述成：对于两个集合A 与B ，如果集A 中存在至少一个元素不是集合B 的元素，那么B A ⊆/（或).A B ⊇/(4)有限集合的子集个数： ①n 个元素的集合有n2个子集． ②n 个元素的集合有)12(-n 个真子集， ③n 个元素的集合有)12(-n 个非空子集． ④n 个元素的集合有)22(-n 个非空真子集．3．关于集合的运算(l)用定义求两个集合的交集与并集时，要注意“或”“且”}意义，“或”是两者皆可的意思，“且”是两者都有的意思，在使和用时不要混淆． (2)用韦恩图表示交集与并集．已知集合A 与B ．用阴影部分表示,,B A B A如图1-1所示：(3)关于交集、并集的有关性质及结论归纳如下：);()(,,B A A B B A A A A A 或①⊂=∅=∅= ).()(,,B A A B B A A A A A A 或⊇==∅= .C ,C U A A A A U U =∅= ②③摩根定律：==B A B A B A U U U U U C C );(C C C).(C B A U.;A B A B A B A A B A ⊂⇔=⊂⇔= ④(4)全集与补集：它们是相互依存、不可分离的两个概念．把我们所研究的各个集合的全部元素看成一个集合，则称之为全集．而补集是在s A ⊆时，由所有不属于A 但属于S 的元素组成的集合，记作.C S A 数学表达式：若,s A ⊆则|s 中子集A 的补集为=A S C s x x ∈|{且}.A x ∉(5)补集与全集的性质：.)C (C U A A U =① .C ,U A U A U ⊆⊆② .C ,C U U U U =∅∅=③4．空集的性质，空集具有特殊属性，即空集虽空，但空有所用．对任意集合A ，有.,,},{,A A A A ⊂∅=∅∅=∅∅∈∅∅⊆∅三、方法技巧归纳1．学好集合的关键是把握“五个三”集合是数学的基础知识，是高中数学的第一个概念，要学好它．掌握集合的知识，关键是要弄清集合的“五个三”．(1)集合中元素的三性集合中的元素具有确定性、互异性和无序性，尤其是互异性，不可忽视 (2)表示集合的三种方法集合的表示方法常用的有列举法、描述法和图示法，在用描述法表示集合时，一定要弄清代表元素．例如：集合}0{=+y x 中的元素是方程，而集合+x y x |),{(|0=y 中的元素是实数对． (3)集合的三种分类集合按元素的个数可分为三类：空集、无限集和有限集．空集是一种特殊的集合，用∅表示，它不合任何元素，应注意∅与}0{的不同．(4)集合与集合的三种关系在一般情况下，集合与集合的关系有两种，即包含与不包含．若将相等从包含中区分出来，则两集合可以有三种关系．(5)集合的三种运算集合的运算有交h )(并).( 补),C (A U 要正确理解并会进行这三种运算．设全集为U ，已知集合A 、B ，则A x x B A ∈=|{ 且A x x B A B x ∈=∈{},或U x x A B x U ∈=∈|{C }且}.A x ∉2．几个注意(1)对于与集合的概念有关的问题，要注意两点：①集合元素的三个特性：确定性、互异性和无序性，特别是互异性易被忽视 ②用列举法表示元素个数较多或无穷集合时，一般用省略号来表示，但一定要在列举的有限个元素中，呈现出省略的元素所具有的规律后，才能用省略号代替，描述法又分为文字描述法（如{自然数}）和符号描述法，符号描述法的一般形式为}”“|)(|{x P x 前的“x ”为元素的一般形式，即代表元素，“I ”后的”“)((x P 为元素x 所具有的属性． (2)严格区分并正确使用、、、“⊆∉∈.”、=≠⊂ 集合中表示关系的概念分两类，一类表示元素和集合之间的关系，有属于(∈)和不属于（∉）两个．另一类表示集合和集合之间的关系，有真包含、包含、相等三个．集合A 真包含于集合B （或B 真包含A ），记作,B A ≠⊂这时称A 是B 的真子集．A 包含于B （或B 包含A ），记作,B A ⊆这时称A 是B 的子集．A 和B 相等，记作A=B 还规定空集是任何集合A 的子集，即A ⊆∅(3)在进行集合运算时应注意以下几①弄清集合是点集还是数集，在数i ；霎薹粢合中的代表元素是什么，再进行计算． ②弄清全集是什么，保证所有的集合必须是全集的子集，这是求补集的前提． (4)熟练掌握集合的图形表示（韦恩图）和集合运算的数轴表示、(5)关注“∅”在集合中的地位空集是一个特殊的集合，它不舍任何元素，在解题过程中极易被忽视,特别是在题设中隐含有空集参与的集合问题中，忽视空集的特殊性质往往导致错解．(6)注意数集与点集的区别．以数或点为元素的集合分别叫做数集或点集．要防止出偏差：①书写上的错误，误把点集)}3,2{(写成}3,2{或,2{=x };3=y ②理解上的错误，误认为},1|{2R x x y y ∈+=等价于,1|),{(2+=x y y x}R x ∈或}.,1|{2R x x y x ∈+=3.领悟四种数学思想方法 (1)数形结合思想教形结合使抽象的“数”的问题“图形”化，使其直观化.在本单元中，集合的韦恩图、数集在数轴上的表示，坐标系中的点集，都是数形结合思想的具体体现．[例1] 已知全集U ，M 、N 是U 的两个非空子集，若⊆N ,M C U 则必有( )．N C M A U ⊆. ∅=/N M B . N C M C C U U =. N M D =.[解析] 如图1，2所示，易知.N C M U ⊆[答案] A[例2] 设12{-<<-=x x A 或≤≤=>x a x B x |{},1},2{{},->=x x B A b x x B A <=1|{},3≤求a 、b 的值．[解析] 由12{-<<-=x x A 或|{}1x B A x =>及|,31≤<x 可推出B 可能是.2|{-≤x x 或}.31≤≤-x又由},2|{->=x x B A结合数轴(如图1-3)可知≤-=1{x B },3≤x 故.3,1=-=b a[点拨] 解决不等式解集的交、并、补问题，要结合数轴，直观理解，应特别关注端点的处理．(2)分类讨论思想解分类讨论问题的实质是将整体化为部分来解决，对于一些含参数的集合问题，常需对参数分类讨论，注意分类应“不重不满”．[例3] 设},01|{.},158|{2=-=-+-=ax x B x x x A 若B A ≠⊂求实数a 组成的集合的子集有几个？[解析] 集合B 是方程01=-ax 的解集：该方程不一定是一次方程，故需分0=a 或0=/a 讨论．化简得集合},5,3{=A当0=a 时，,∅=B 满足≠⊂B 0,=∴a A 符合题意．当0=/a 时，⋅=∅=/ax B 1,则B A ≠⊂,51A 31==∴aa 或 ∴⋅==5131.a a 或故实数a 组成的集合为},51,31,0{其子集有8个． (3)等价转化思想解题过程中，当一种集合的表达式不好入手时，可将其先化简或转化为另一种形式，如将B C A C U U转化为),(B A C U 将B C A C U U 转化为),(B A C U将A B A= 转化为A B ⊆等．[例4] 已知+=+==2|),{(},|),{(x y x N a x y y x M },22=y 求使得等式∅=N M 成立的实数a 的取值范围．[解析] =∈∈=}),(,),(|),{(N y x M x y x N M 且γ {,2),22⎭⎬⎫⎩⎨⎧=++=y x ax y y x 故∅=N M等价于方程组⎩⎨⎧=++=②①2,22y x a x y 无解．由①②联立消去y ，得关于x 的一元二次方程,022222=-++a ax x ③问题又转化为一元二次方程③无实数根，故.0)2(24)2(22<-⨯⨯-=∆a a由此解得,2.2-<⋅>a a故a 的取值范围是}.22|{-<>a a a 或[点拨] 此题求解过程体现了集合语言的转化技巧． (4)模型化思想许多实际应用题可构造集会模型，，利用韦恩图获解．[例5] 有54名学生，其中会打篮球的有36人，会打排球的人数比会打篮球的人数多4人，另外这两种球都不会打的人数比都会打的人数的41还少1人，问既会打篮球又会打排球的有多少人？[解析] 设54名同学组成的集合为U ，会打篮球的同学组成的集合为A ，会打排球的同学组成的集合为B ，这两种球都会打的同学组成的集合为X ．设X 的元素个数为x ，画出韦恩图如图1-4所示，则.54)141()40()36(=-++-+-x x x x解得 .28=x所以，既会打篮球又会打排球的有28人，新典考题分析[例1] (2010年黄冈中学高三适应性考试题)定义=-B A ｛x A x ∈|且},B x ∉若},6,3,2{},5,4,3,2,1{==N M 则M N -于( )．M A . N B . }5,4,1.{C }6.{D[解析] 只有,6N ∈且.6M ∉ [答案] D[例2] （2008年苏州市模拟题）44321M M M M 、、、位同学购买编号分别为1，2，3，…，10的10种不同的书，为了节约经和相互传阅方便、，他们约定每人只购买其中5种不同的书各本，且任2位同学不能买全这10种书，任3位同学必须买全这种书，当1M 买的书的号码为2,5,4,3,2,1M 买的书的号码为3,9,8,7,65M ，，买的书的号码为10,9,3,2,1时，为了满足上述求，4M 买的书的号码应为[解析] 设i M 买的书的号码构成的集合为),4,3,2,1(=i A i 全集}.10,,3,2,1{ =U 因为,8,7,6,5{},5,4,3,2,1{21==A A },10,9,3,2,1{,3=A 所以},4{)(C },01{)(C 3221==A A A A U U},8,7,6{)13=A A 所以 )(C )(C 32214A A A A A U U ⊇}.10,8,7,6,4{)13=A A 又 ,5)(4=A card 故=4A ｛4.|10,8,7,6,[答案]10,8,7,6,4[例3] 已知集合12|{2=-+=x ax a A 有唯一实数根，用列举法表示集合A ．解：集合A 表示方程,122=-+x ax ① 即方程 022=---a x x ② 有等根时a 的取值集合．而方程②有等根的条件是,0)2(4)1(2=----=∆a 解得⋅-=49a 因此⋅-=}49{A 以上解法对吗？为什么？[解析] 不对．不难看出，将集合A 译为方程②有等根时a 取值集合是不准确的．转译时忽视了,022=/-x 即2||=/x 这一隐含条件．可见，与方程①等价的应是混合组⎩⎨⎧=/-=---③②.02,02)(22x a x x I 因此，在讨论方程②有唯一实根时，须照顾到③：.2||=/x 由于方程①为分式方程，可能有增根，当方程②的两实根中有一个是方程①的增根22=-=x x 或时，方程①也只有一个实根．正确解法是：方程①等价于混合组(I)．(1)当②有两个相等的实根时，同上解得,49-=a 此时,21=x 适合③． (2)当②有两个不等的实根时，由A>O ，可得⋅->49a当2-=x 为①的增根时，由②得;2=a当2=x 为①的增根时，由②得.2-=a,492,492->-->∴ 由(1)、(2)得⋅--=}2,2,49{A[点拨] 集合语言转译成其他语言时，转译准确与否直接关系到解题的成功与失败．集合语言与其他语言在转译过程中，根据问题的需要，可能转译成图形语言，利用数形结合思想解题；根据解题需要，有时也可能将其他语言转译为集合语言．[例4] 已知,R a ∈集合,3{},1,,3{2-=+-=a B a a A },1,122+-a a 如果},3{-⋅=B A求AUB ． [解析] 由}3{-=B A知,3B ∈-从而建立关于a 的方程，求出a 值．从而确定集合A 、B ，再求.B A,3},.3{B B A ∈--= 由而,112≥+a 则,312-=/+a33-=-∴a 或,312-=-a 则0=a 或.1-=a当0=a 时，},1,1,3{},1,0,3{--=-=B A 此时},1,3{-=B A 与已知}3{-=B A矛盾．当1-=a 时，},2,3,4{},0,1,3{--=-=B A 满足条件},3{-=B A}.2,1,0,3,4{--=∴B A[点拨] 在对问题进行不等价转化时，应注意检验，这里”且“B ∈-∈-3,A 3并不等价于A,3}3{∈--=⋅”““B A 且”B ∈-3仅是”“}3{-=⋅B A 的必要条件，所以求出a 值后，看能否使 ”“}3{-=B A 成立，验证充分性， [例5] 设全集},|),{(R y x y x I ∈=、集合=M },1|),{(},123|),{(+=/==--x y y x N x y y x 那么 N C M C I I 等于( )．∅.A )}3,2.{(B )3,2.(C }1|),.{(+=x y y x D[解析] 如图l -5所示，=M ,1){,{(}123|),{(.+===--x y y x x y y x },2=/x 所以M 是由直线 1+=x y 上去掉点(2，3)的所有点所组成的集合．集合Ⅳ是由直线1+=x y 外的所有点所组成的集合，N M N M N M I 而又),(C C C I I =是由平面内除点(2，3)外的所有点所组成的集合， )},3,2{(C C I =∴N M I 如图1-5所示，故选B ．[答案]B[例6]某班50名学生报名参加羽毛球和乒乓球两项体育活动小组，报名参加羽毛球小组的人数是全体学生人数的,53报名参加乒乓球小组的人数比报名参加羽毛球小组的人数多3人，两组都没报名的人数比同时报名参加两组人数的31多1人，求同时报名参加羽毛球小组和乒乓球小组的人数及两组都没报名的人数．[ 解析] 设同时报名参加两组的人数为x ，则两组都没报名的人数为:131+x 用A 表示报名参加羽毛球小组的学生组成的集合，用B 表示报名参加乒乓球小组的学生组成的集合根据韦恩图（如图1-6所示）可得张喜林制21 / 21.501)33()30(=+=++-+-x I x x x解得,21=x.8131=+∴x 所以，同时报名参加羽毛球小组和乒乓球小组的有21人，两组都没报名的有8人．[点拨] (1)借助于韦恩图得出结论：),()()()(B A card B card A card B A card -+=其中)(A card 表示集合A 中元素的个数．但要注意，不能写成,30=A 15,25==B A B 等，否则与集合的符号是相悖的．(2)类比上述结果，结合韦恩图我们可以得到三个集合的并集的元素个数公式：-∞++=)()()()(C d B c A card C B A d c ωω )()(C B card B A caxd -).()(C B A c C A d c ωω+-。

1.2.2集合的运算1 交集、并集

2.性质 (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
先交再并，等于分别并再交
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
先并再交，等于分别交再并
布置作业
教材P17练习A组第2、4题 ,P20练习B组第1题随堂练习
(A∩C)∪(B∩C)=(A∪B)∩C
小结：分配律
(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
先交再并，等于分别并再交
(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
先并再交，等于分别交再并
例4 设集合A＝{x |－1＜x＜2}，集合B＝{x | 1＜x＜3}，求A∪B．
解：
－1
1
2
3
x
A∪B＝{x|－1＜x＜3}.
A＝{4，3，5}；B＝{2，4，6}；
C＝{2，3，4பைடு நூலகம்5，6}
A
B
2.并集定义：由所有属于集合A或B的元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A或x∈B}. 用Venn图表示为：
A
B
由并集的定义可知
①A∪A＝ A ； A ；交换律！
②A∪＝
③A∪B＝ B∪A.
例5 已知集合A＝{x |－2≤x≤5}，集合B＝{x | m＋1≤x≤2m－1}，若A∪B＝A，求m的取值范围.
A －2 m+1
2m-1 5
x
例6 设集合A＝{y|y＝x2，x∈R}， B＝{(x, y)|y＝x＋2，x∈R}，
则A∩B ＝(
D )
A.{(－1, 1)，(2, 4)} B. {(－1, 1)} C {(2, 4)} D.
• 晚饭后，母亲和女儿一块儿洗碗盘，父亲和儿子在客厅看电视。突然，厨房里传来打破盘子的响声，然后一片沉寂。于是儿子望着他父亲，说道：「一定是妈妈打破的。」 • 「你怎么知道？」 • 「她没有骂人。」 • （不同的角度去思考同一件事，你就会发现真谛所在。）

人教B高中数学必修一课时跟踪检测：第一章集合 2 第1课时含解析

第一章集合 1.2 集合之间的关系与运算1.2.2 集合的运算第一课时交集与并集课时跟踪检测[A 组基础过关]1．已知集合M ＝{x |－1≤x ＜3，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( ) A ．{－1,0,2,3} B ．{－1,0,1,2} C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,3}解析：M ∩N ＝{－1,0,1,2}，故选B ．答案：B 2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜0或x ＞12，则下列结论正确的是( )A ．N ⊆MB ．N ∩M ＝∅C ．M ⊆ND ．M ∪N ＝R解析：∵M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜0或x ＞12，∴M ⊆N ，故选C ．答案：C3．设集合A ＝{4,5,6}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B 中有________个元素( ) A ．1 B ．4 C ．5D ．6解析：A ∪B ＝{2,3,4,5,6}，有5个元素，故选C ．答案：C4．(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}解析：由并集的定义可得，A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}，结合交集的定义可知，(A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．答案：C5．如图，表示图形中的阴影部分是()A．(A∪C)∩(B∪C)B．(A∪B)∩(A∪C)C．(A∪B)∩(B∪C)D．(A∪B)∩C解析：图中的阴影部分为集合A，B的交集并上集合C，可表示为(A∩B)∪C.分析可知(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)，故选A．答案：A6．设集合A＝{x|x＋2＞0}，B＝{x|x－1＞0}，C＝{x|x＋2＜0}，D＝{x|x－1＜0}，E＝{x|－2＜x＜1}，则下列结论正确的是()A．E＝A∩B B．E＝A∩DC．E＝B∩C D．E＝B∪C解析：A∩D＝{x|－2＜x＜1}＝E.故选B．答案：B7．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：由A∪B＝R，∴a≤1.答案：a≤18．设A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．(1)当x∈N＋时，求A的子集的个数；(2)当x∈R且A∩B＝∅时，求m的取值范围．解：(1)由题意知A 中元素为{1,2,3,4,5}， ∴A 的子集的个数为25＝32.(2)∵x ∈R 且A ∩B ＝∅，∴B 可分为两个情况． ①当B ＝∅时，即m －1>2m ＋1⇒m <－2；②当B ≠∅时，可得⎩⎨⎧ 2m ＋1<－2，m －1≤2m ＋1或⎩⎨⎧m －1>5，m －1≤2m ＋1.解得－2≤m <－32或m >6. 综上，m <－32或m >6.[B 组技能提升]1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：由x －1≥0得x ≥1，故A ＝{x |x ≥1}，所以A ∩B ＝{1,2}．答案：C2．(2018·北京卷)已知集合A ＝{x ||x |<2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：∵|x |<2，∴－2<x <2，因此A ∩B ＝{－2,0,1,2}∩(－2,2)＝{0,1}，故选A ．答案：A3．(2018·北京卷，改编)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，若(2,1)∈A ，则a 的取值范围为________．解析：若(2,1)∈A ，则2a ＋1＞4且2－a ≤2，解得a >32且a ≥0.∴a >32.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫aa >32 4．对于集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，A ⊕B ＝(A －B )∪(B －A )．设M ＝{1,2,3,4,5,6}，N ＝{4,5,6,7,8,9,10}，则M ⊕N 中元素个数为________．解析：M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M ) ＝{1,2,3}∪{7,8,9,10} ＝{1,2,3,7,8,9,10}． ∴M ⊕N 中有7个元素．答案：7个5．设A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，其中x ∈R ，如果A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{0，－4}，∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A . 由x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，得Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝8(a ＋1)． (1)当a <－1时，Δ<0，B ＝∅⊆A ； (2)当a ＝－1时，Δ＝0，B ＝{0}⊆A ； (3)当a >－1时，Δ>0，要使B ⊆A ，则A ＝B . ∴0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根， ∴⎩⎨⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解之得a ＝1，综上可得a ≤－1或a ＝1.6．设A ，B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }． (1)已知A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，求A －B ；(2)差集A －B 和B －A 是否一定相等？说明你的理由；(3)已知A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x |－6＜x ＜6}，求A －(A －B )及B －(B －A )，由此你可以得到什么结论？(不必证明)解：(1)A －B ＝{1}．(2)不一定相等，由(1)知B －A ＝{4}，∴B －A ≠A －B ，再如A ＝{1,2,3}，B ＝{1,2,3}， A －B ＝∅，B －A ＝∅，此时A －B ＝B －A ，∴A－B与B－A不一定相等．(3)∵A－B＝{x|x≥6}，B－A＝{x|－6＜x≤4}，∴A－(A－B)＝{x|4＜x＜6}，B－(B－A)＝{x|4＜x＜6}．由此猜测一般对于两个集合有A－(A－B)＝B－(B－A)．。

集合的基本运算(全集与补集)

1.2.2集合的基本运算（二） ---补集
温故知新
（1）集合与集合之间的关系有几种？分别是什么？（2）交集与并集的定义分别是什么？
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属于B 的所有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集．记作：AnB
并集：给定两个集合 A ，B ，由属于 A 或属于B 的所有元素构成的集合，叫做 A，B 的并集．记作：AUB
作业
1、教材19页A组2、3，B组1 2、练习册：题组一、题组二、题组三
冬瓜、虾、毛豆
一.全集
新知全解
全集U
冬瓜、虾、毛豆、
黄瓜、鲫鱼、茄子猪肉、芹菜、土豆
全集的定义
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，
那么就称这个集合为全集，
通常记作U.
二.补集
冬瓜、虾、毛豆
A 在全集 U 中的补集
1、定义如果集合 A 是全集 U 的一个子集，由 U 中的所有不属于 A 的
U
．
补集的性质：
补集的性质
（1）A ∪ CU A＝（2）A ∩ CU A = （3） CU(CUA)＝
U；； A．
U A
CUA
互动探究（交并补的混合运算）
例1:设全集为R,A={x|x<5},B={x|x>3}.求值：
(1)A∩B;
(2)A∪B;
(4)(CRA) ∩ (CRB);
(3) CRA, CRB; (5) CR(A ∪ B);
补集的综合应用（多维训练）
例2：已知集合A={x|x<a},B={x|1<x<3}，若AUCRB=R,求实数a的取值范围；解：CRB={x|x≤1或x≥3}，结合数轴分析可得a≥3

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高一数学 1.2集合的运算重难点（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集；（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

一知识点 1. 并集一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union）记作：A∪B 读作：“A并B” 即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} Venn图表示：

说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示 2. 交集问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。记作：A∩B 读作：“A交B” 即： A∩B={x|∈A，且x∈B} 交集的Venn图表示

说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的公共元素组成的集合。拓展：求下列各图中集合A与B的并集与交集

A∪B B A ? 高一数学说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe），通常记作U。补集：对于全集U的一个子集A，由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集（complementary set）,简称为集合A的补集，记作：CUA 即：CUA={x|x∈U且x∈A} 补集的Venn图表示

说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论：

A∩BA，A∩BB，A∩A=A，A∩=,A∩B=B∩A

AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A （CUA）∪A=U，（CUA）∩A= 若A∩B=A，则AB，反之也成立若A∪B=B，则AB，反之也成立若x∈（A∩B），则x∈A且x∈B 若x∈（A∪B），则x∈A，或x∈B

二典型例题例1设集合,{|15},{|39},,()UURAxxBxxABAB求ð. 解：在数轴上表示出集合A、B，如右图所示： {|35}ABxx， (){|1,9}UCABxxx或，

AUCUA

A B A(B) A B B A

B A

A B BA

-1 3 5 9 x 高一数学例2设{|||6}AxZx，1,2,3,3,4,5,6BC，求：（1）()ABC；（2）()AABCð. 解：6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A. （1）又3BC，∴()ABC3；（2）又1,2,3,4,5,6BC，得()6,5,4,3,2,1,0ACBC. ∴ ()AACBC6,5,4,3,2,1,0. 例3已知集合{|24}Axx，{|}Bxxm，且ABA，求实数m的取值范围. 解：由ABA，可得AB. 在数轴上表示集合A与集合B，如右图所示：由图形可知，4m. 注意：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.

例4已知全集*{|10,}UxxxN且，{2,4,5,8}A，{1,3,5,8}B，求()UCAB，()UCAB，()()UUCACB， ()()UUCACB，并比较它们的关系.

解：由{1,2,3,4,5,8}AB，则(){6,7,9}UCAB. 由{5,8}AB，则(){1,2,3,4,6,7,9}UCAB 由{1,3,6,7,9}UCA，{2,4,6,7,9}UCB，则()(){6,7,9}UUCACB， ()(){1,2,3,4,6,7,9}UUCACB.

由计算结果可以知道，()()()UUUCACBCAB， ()()()UUUCACBCAB.

注意：可用Venn图研究()()()UUUCACBCAB与()()()UUUCACBCAB ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.

-2 4 m x B A 高一数学例5.已知集合A = {a－3，2a－1，a2 + 1}，a∈R. （1）若－3∈A，求实数a的值；（2）当a为何值时，集合A的表示不正确. 解：（1）a = 0或a =－1；（2）－2

例6 .若集合，且，求实数的值. 解：由，因此，. （i）若时，得，此时，；

（ii）若时，得. 若,满足，解得. 故所求实数的值为或或. 例7 （1）P＝{x|x2－2x－3＝0}，S＝{x|ax＋2＝0}，SP，求a取值？（2）A＝{x|－2≤x≤5} ，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，BA=A,求m的范围？

解：（1）a＝0,S＝，P成立 a0，S，由SP，P＝{3，－1}

得3a＋2＝0，a＝－或－a＋2＝0，a＝2； ∴a值为0或－或2. （2）因为BA=A，所以BA 当B＝，即m＋1>2m－1,m<2 A成立. 当 B≠，由题意得

解得2≤m≤3 ∴m<2或2≤m≤3 即m≤3为所求的取值范围.

例8已知|24,|AxxBxxa ① 若AB,求实数a的取值范围； ② 若ABA,求实数a的取值范围； ③ 若ABABA且,求实数a的取值范围. 解：①2a; ②4a; ③24a

2|60,|10MxxxNxax

NMa

26023xxx或

2,3M

0aNNM

0a1{}NaNM1123aa或1123aa或

a0121

3



3232



高一数学例9设集合P={m|-1立的是( )

A. PQ B. QP C. P=Q D. 解：当m=0时，不等式mx2+4mx-4<0即为-4<0恒成立当m≠0时，若要满足不等式mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立，

需，解得-1所以集合Q={mR|-1例10：已知A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋8＝2}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}，（1）若A∩B＝A∪B，求a的值；（2）若A∩B，A∩C＝，求a的值．解：由已知，得B＝｛2，3｝，C＝｛2，－4｝. (1)∵A∩B＝A∪B，∴A＝B 于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，由韦达定理知：

1932322aa

解之得a＝5. （2）∵A∩B，∴A∩B≠，又∵A∩C＝，∴可知－4A，2A，3∈A ∴有9－3a＋a2－19＝0，解得a＝5或a＝－2 ①当a＝5时，A＝{2，3}，此时A∩C＝{2}≠，矛盾，∴a≠5；②当a＝－2时，A＝{－5，

3}，此时A∩C＝，A∩B＝{3}≠符合条件．综上①②知a＝－2．例11．已知集合A＝{x|－2≤x＜－1或x＞1}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，且A∩B＝{x|1＜x≤3}，A∪B＝{x|x≥－2}，试求a，b的值．解：如图，可知B＝{x|－1≤x≤3}．

即－1≤x≤3是不等式x2＋ax＋b≤0的解集． ∴ba3)1(31，解得32ba．例12．已知集合P＝{x|x2＋（m＋2）x＋1＝0，x∈R}，若P∩{正实数}＝，求实数m的取值范围．本题考查集合与方程及分类讨论思想，注意在有关子集讨论中不要忽视对空集的讨论．

解：（1）当P＝时，有Δ＝（m＋2）2－4＜0，解得－4＜m＜0．高一数学（2）当P≠时，有04)2(010)2(22121mΔxxmxx 解得402mmm或，得m≥0 综上(1)(2)可知m＞－4．例13．已知集合A＝{x|x2－5x＋6＜0}，B＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}且AB，求实数a的取值范围．本题考查含参数的一元二次不等式的解法，集合的交、并运算及分类讨论的能力．解：A＝{x|x2－5x＋6＜0}＝{x|2＜x＜3}，B＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}＝{x|（x－a）（x－3a）＜0}

（1）当a＞0时，B＝{x|a＜x＜3a｝.∵AB，∴332aa，解得1≤a≤2．（2）当a＜0时，B＝{x|3a＜x＜a＝．由AB，得323aa，解集为．（3）当a＝0时，B＝{x|x2＜0＝＝不合题意．综上（1）（2）（3）可知1≤a≤2．

例14：已知集合2{|54Axxx≤0},2{|22Bxxaxa≤0},且BA，求实数a的取值范围.

.解:由已知得{|14}Axx因BA,则分为以下两种情况:

(1) 当B时,则24480aa解得12a.

(2) 当B时,则222448012120424202142aaaaaaa解得1817a 综上所述, 实数a的取值范围是1817a