二次根式的加减—八年级数学2
八年级下册数学-二次根式的加减
第3讲二次根式的加减【板块一】二次根式的加减运算方法技巧化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式，同类二次根式可以进行加减运算，运算依据是乘法分配律的逆运用.进行二次根式的加减运算时，必须先将其化简，仅被开方数相同的二次根式才可合并；在进行二次根式加减混合运算时能用乘法公式的，运用公式会使计算简便；计算结果中的二次根式必须是最简二次根式。
题型一同类二次根式【例1】a＋b的值为( )A.2B.－2C.－1D.1【例2】二次根式－a的最小值为____，其和为_______.题型二二次根式的混合运算【例3】计算：；2)；)；(5)(4；)；2)2；2.题型三整数部分和小数部分【例4】x，小数部分为y，求224x yx y+--的值.【例5】若2＝14a＋b的值为( )A.60B.80C.108D.216针对练习11.若最简二次根式b b a＝_______.2.＋＝10，则x的值等于( )A.4B.±2C.2D.±43.已知整数x，y(x，y)的个数是( )A.0B.1C.2D.34.x，y分别为82xy－y2＝________.5.若最简二次根式3x x，y的值.6.计算：(2)(3；；(4)(15)－1＋(1；)0＋(－1)2019；)÷【板块二】二次根式运算与求值技巧方法技巧在二次根式的运算中，多项式乘法法则和乘法公式仍然适用；部分计算题的简便方法是先进行分母有理化或化成最简二次根式，再代入求值.题型四 二次根式运算技巧【例1】1－试求：的值；n 为正整数)；再利用这一规律计算下列式子的值：).题型五 二次根式求值技巧【例2】化简求值：(1)已知x 1，求x ＋1－21x x -的值；(2)已知x .【例3】设a －b ＝2b －c ＝2a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc ＝____________.【例4】已知实数a ，b ，c ＝44a ＋b ＋c ＝_________.针对练习21.已知2a =，2b =，求：（1）ab 和a +b 的值；（2）b a a b +的值。
初中数学_二次根式的加减教学设计学情分析教材分析课后反思
《二次根式的加减》教学设计（一）教学目标知识目标了解同类二次根式的概念,会辨别同类二次根式.（二）能力目标1. 培养学生观察、分析及解决问题的能力．2. 经历探究二次根式的加法和减法运算法则的过程,理解二次根式的加法和减法的算理,进一步发展学生的类比推理能力.(三)情感目标培养学生的探索精神和解决问题的能力．教学重点能熟练地进行简单二次根式的加减运算.教学难点识别同类二次根式,快速准确地进行二次根式加减法的运算.教学过程一、从探索中发现[师]著名的数学家笛卡尔说过:数学是知识的工具，亦是其他知识工具的源泉。
所有研究顺序和度量的科学均和数学有关。
下面让我们通过面积问题进一步研究一下二次根式.1.m，它们的长分别2是2 m和3 m，用不同方法求这两个长方形的面积的和.2.如果两个正方形的面积分别是18和8，那么大正方形的边长比小正方形的边长大多少？[师] 第一题中两个式子的关系是什么?[生] 相等.[师] 第二题可否直接运算?为什么?[生] 被开放数不同,因此不能直接计算.[师] 还能计算吗?如何运算呢?[生] 先化简.(边说边化简运算)[师] 像这样经过化简后能运算的就是我们今天要学习的同类二次根式.(ppt出示同类二次根式的定义)设计意图：通过一个关于面积的问题，引出同类二次根式的概念，并从直观上感受同类二次根式的形式。
二、从交流中体会[师]你能从定义当中提炼出关键信息吗？[生]化简成最简二次根式、被开方数相同[师]看来大家对定义已经基本了解，下面通过一组判断题快速的检测一下（出示PPT 中辨析题）下列各式中,它们是同类二次根式? （请学生回答） 追问：在第（1）小题和第（2）小题中，化简成最简二次根式后二次根式前面的系数和符号对同类二次根式有影响吗？（PPT 展示）[师]通过这组练习，大家对同类二次根式的定义已经基本掌握，如果两个同类二次根式相加减，。
（齐答）追问：这种运算和之前我们学的那种运算类似？[生] 合并同类项[师] 如果这样一组二次根式相加减，如何做呢？（PPT 出示例题，教师边引导学生齐答化简结果边板书）[师] 如果在后两项加括号，又如何做？（找学生回答）小组合作：探索二次根式加减的一般步骤。
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式说课教学课件复习提升
计算:
(1) 18
98
27
；（2） 24
0.5
1 8
6 .
解：原式 3 2 7 2 3 3 10 2 - 3 3 ;
解：原式 2 6 2 2 6
24
3 6 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ .
4
探究新知 考 点 3 二次根式的综合性题目
有一个等腰三角形的两边长分别为5 2,2 6 ，求其周长.
4 27 4 12
观察
以下是什么运算？如何计算？
4(2 2 2 ) 二次根式
的加法.
4 27 4 12
1、满足哪些条件的二次根式， 叫做最简二次根式？
（1）被开方数不含分母；
也就是被开方数是整数或整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
化简二次根式的一般步骤：
化去根号下的分母，并把被开方 数中能开得尽方的因数或因式用 它的算术平方根代替后移到根号 外面，化简时，依照二次根式的 有关性质进行。
a
aa 你发现 了什么？
当a= 2 时，分别代入左右得 2 2 3 2=5 2 ;
当a= 3 时，分别代入左右得 2 3 3 3=5 3 ;......
探究新知
前面依次往下推导，由特殊到一般易知二次根式的被 开方数相同可以合并.继续观察下面的过程：
a
b
b
2a+3b
这两个二次根
a
b
式可以合并吗？
A. 32 B. 24
C. 12
5
2.下列计算正确的是 （ C ）
D. 6
1 27
A. 2 2 2 B. 3 2 3 2 C. 12 3 3 D. 3 2 5
课堂检测
3.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的周 长为___5 _5_+_2__1_0 _.
八年级下册数学二次根式
八年级下册数学二次根式八年级下册数学课程中，二次根式是一个重要的知识点。
在这里，我们将为大家详细介绍二次根式的相关内容，包括定义、性质、简化、运算和应用等方面。
一、定义二次根式是指形如$\sqrt{a}$的式子，其中$a$是一个非负实数。
其中$\sqrt{a}$是该非负实数的二次根，也就是说，$\sqrt{a}\times\sqrt{a}=a$。
二、性质1. 二次根式的值为非负实数。
2. 二次根式与绝对值的运算具有相同的性质，即$|\sqrt{a}|=\sqrt{a}$。
3. 如果$a>b>0$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。
4. 如果$a>b\geq0$，则$\sqrt{a+b}<\sqrt{a}+\sqrt{b}$。
三、简化1. 若$a$为完全平方数，则$\sqrt{a}$可被化简为一个整数。
2. 若$a$为非完全平方数，则$\sqrt{a}$需保留在根号内。
3. 要注意化简后的二次根式是否符合原式。
四、运算1. 加减法：$\sqrt{a}\pm\sqrt{b}=\sqrt{a\pm2\sqrt{ab}+b}$。
2. 乘法：$\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$。
3. 除法：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（其中$b$不能为零）。
五、应用二次根式在各个领域中均有广泛应用，例如：1. 数学中的勾股定理、三角函数等概念均涉及二次根式。
2. 物理中常见的速度、加速度、力等量的平方根也是二次根式。
3. 工程领域中还涉及到诸如距离、面积、体积等二次根式的运用。
以上就是关于八年级下册数学二次根式的详细介绍。
希望本文能帮助大家更好地理解这一知识点，提高数学学习成绩。
初二数学二次根式的加减运算
初二数学二次根式的加减运算在数学中，二次根式是一种特殊的代数表达式，可以用来表示平方根。
初二学生在学习数学时会接触到二次根式的加减运算，这是一项基础且重要的运算。
本文将详细介绍初二数学中二次根式的加减运算，并提供相关的例题和解析，以帮助同学们更好地理解和掌握这一知识点。
一、二次根式的基本概念二次根式是指形如√a的数表达式，其中a为非负实数。
当a为正实数时，√a表示其平方根；当a为零时，√a等于0；当a为负实数时，√a无意义，记为不存在。
二、二次根式的加减运算规则1.同类项相加减：当二次根式的底数和指数均相同时，可以进行加减运算。
2.不同类项的加减：当二次根式的底数或指数不同，或者二次根式与常数项相加减时，无法进行加减运算，需要进行化简或转换为同类项后再进行运算。
三、二次根式的加减运算步骤与例题分析下面通过具体的例题来说明二次根式的加减运算步骤及注意事项：例题1：计算√5 + √20 - 2√5。
解析：首先将√5和2√5视为同类项，合并得到3√5；然后将√20展开为√4 × √5，进一步化简为2√5；最后进行合并，得到5√5。
例题2：计算√3 - (√2+ √5) 。
解析：这是一个不同类项的减法运算，无法直接计算，需要进行化简。
先将√2 + √5展开为√(2×5) = √10，然后再进行减法运算：√3 - √10 。
由于二次根式√3和√10的底数不同，无法继续进行加减运算，但可以保留原样。
所以最终结果为√3 - √10。
例题3：计算3√(5 + 2√3) - √(5 - 2√3) 。
解析：这是一个较为复杂的二次根式加减运算，需要仔细观察。
首先，要注意括号内的二次根式是一个整体。
我们将5 + 2√3 视为一个二次根式，记为A，将 5 - 2√3 视为另一个二次根式，记为B，然后根据加减运算规则进行计算：3√A - √B 。
将A展开：√(2√3 × 2√3) = √(4×3) = √12 = 2√3 。
八年级数学下册《二次根式的加减运算》教案、教学设计
（3）情感激励：关注学生的情感需求，鼓励学生积极参与课堂活动，培养学生的自信心和成就感。
3.教学过程：
（1）导入：通过实际问题，引出二次根式的概念，激发学生学习兴趣。
（2）新课内容：讲解二次根式的性质、运算方法，结合实例进行示范和讲解。
八年级数学下册《二次根式的加减运算》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解二次根式的定义，掌握二次根式的表示方法。
2.掌握二次根式的性质，如乘法、除法、平方等运算规则。
3.学会进行二次根式的加减运算，包括同类项的合并、异类项的转换等。
4.能够运用二次根式的加减运算解决实际问题，提高数学应用能力。
4.小组讨论题：针对本节课所学内容，设计一道小组讨论题目，要求学生在课后进行小组讨论，共同解决问题，并提交讨论报告。
5.课后反思：要求学生结合本节课的学习，总结自己在二次根式学习中的收获和不足，撰写一篇反思日记。
作业布置要求：
1.学生需按时完成作业，保持书写工整，确保作业质量。
2.家长要关注孩子的学习情况，协助孩子养成良好的学习习惯。
1.教学内容：教师讲解二次根式的定义、性质，以及二次根式的加减运算方法。
2.教学方法：采用讲解、示范、举例等方式，让学生了解并掌握二次根式的相关知识。
3.教学步骤：
a.解释二次根式的定义，如√a（a≥0）表示非负实数a的平方根。
b.介绍二次根式的性质，如乘法、除法、平方等运算规则。
c.讲解二次根式的加减运算方法，特别是同类项的识别和合并。
b.学生完成后，教师选取部分题目进行讲解和点评。
c.针对学生的错误，进行针对性的辅导和指导。
人教版八年级下册数学《二次根式的加减》二次根式PPT教学课件
积=路基横断面面积×路基的长度)为多少立方米呢？
c
解：路基的土石方等于路基横断面面积乘以路基的长度，
所以这段路基的土石方为：
1
2
4 2 + 6 2 × 6 × 500 = 2 2 + 3 2 × 6 × 500
= 5 2 × 6 × 500
随堂检测
5．计算：
(1)5 8 − 2 27 + 18
解：(1) 5 8 − 2 27 + 18
(2)2 18 − 50 +
(2) 2 18 − 50
1
3
1
+
3
=10 2 − 6 3 + 3 2
=6 2 − 5 2 + 5
=13 2 − 6 3
= 2+ 5
45
45
随堂检测
6. 已知a，b都是有理数，现定义新运算a*b= + 3 ，
重难点
重点：掌握二次根式的混合运算的运算法则.
难点：会运用二次根式的混合运算法则进行有关的运算.
新课导入
1. 整式混合运算的顺序是：
先乘方，再乘除，最后算加减，有括号的先算括号里的(或者先去括号).
2. 二次根式的乘除法法则是：
⋅ = ≥ 0, ≥ 0
=
≥ 0, > 0
步骤
一化，二找，三合并.
同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，若被开方
数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.
再见
二次根式的加减
第2课时
学习目标
人教版数学八年级下册：16.3 第1课时《二次根式的加减》(含答案)
5．(教材 P13 例 2 变式)计算：
(1)12
2＋1 33
3； 2
解：原式＝12×
36＋13×
6＝ 2
36.
(2)( 24－ 0.5)－(
1－ 8
6)．
解：原式＝2 6－ 2－ 2＋ 6＝3 6－3 2.
24
4
知识要点 二次根式的加法和减法
法则 二次 在进行二次根式的加减运算时，通常先将每 根式 个二次根式化简，然后再将被开方数 相同 的加 的二次根式的 系数 相加减，被开方数 减法 不变 ．即 m a±n a＝(m±n) a(a≥0).
步骤 二次 (1)化：将每个二次根式化成最简二次根式； 根式 (2)找：找出被开方数相同的最简二次根式； 的加 (3)并：将被开方数相同的最简二次根式合并 减法 成一项(即系数直接相加减，被开方数与根指
1．下列二次根式中，不能与 2合并的是( C ) A. 1 B. 8
C. 12 D. 18
2．计算 8－ 2的正确结果是( D ) A．4 B. 6 C．2 D. 2 3．下列计算正确的是( D ) A. 2＋ 3＝ 5 B．3＋ 2＝3 2 C. 4－ 2＝ 2 D. 18－ 8＝ 2
4．计算： (1) 3－ 12＝ － 3 ；
例 1 一个三角形的周长是(2 3＋3 2) cm，其中两 边长分别是( 3＋ 2) cm 和(3 3－2 2) cm，求第三 边长． 分析：第三边长等于(2 3＋3 2)－( 3＋ 2)－(3 3 －2 2)，先去括号，再合并被开方数相同的二次根 式．
解：第三边长是(2 3＋3 2)－( 3＋ 2)－(3 3－2 2) ＝ 2 3 ＋ 3 2 － 3 － 2 － 3 3 ＋ 2 2 ＝ (4 2 － 2 3)(cm)．
沪科版八年级下册数学16.2.2 二次根式的加减教案与反思
第1课时二次根式的加减原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！随风潜入夜，润物细无声。
出自杜甫的《春夜喜雨》1．经历探索二次根式的加减运算法则的过程，让学生理解二次根式的加减法则；2．掌握二次根式的加减运算．(重点、难点)一、情境导入计算：(1)2x－5x；(2)3a2－a2＋2a2.上述运算实际上就是合并同类项，如果把题中的x换成3，a2换成5，这时上述两小题就成为如下题目：计算：(1)23－53；(2)35－5＋2 5.这时怎样计算呢？二、合作探究探究点一：同类二次根式下列二次根式中与2是同类二次根式的是( )A.12B.3 2C.23D.18解析：选项A中，12＝23与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项B中，32＝62与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项C中，23＝63与2被开方数不同，故与2不是同类二次根式；选项D中，18＝32与2被开方数相同，故与2是同类二次根式．故选D.方法总结：要判断两个二次根式是否是同类二次根式，根据二次根式的性质，把每个二次根式化为最简二次根式，如果被开方数相同，这样的二次根式就是同类二次根式．探究点二：二次根式的加减【类型一】二次根式的加法或减法(1)＋32；(2)1223＋1332；(3)448－375；(4)1816－3296.解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝22＋42＝(2＋4)2＝6；(2)原式＝166＋166＝(16＋16)6＝63；(3)原式＝163－153＝(16－15)3＝3；(4)原式＝36－6(6)＝(3－6)6＝－3 6.方法总结：二次根式加减的实质就是合并同类二根式，合并同类二次根式可以类比合并同类项进行，不是同类二次根式的不能合并．【类型二】二次根式的加减混合运算计算：(1)12－33－错误!；(2)错误!未定义书签。
4x－3x9＋3x1x；(3)3123－45＋220－1260；(4)0.5－213－(错误!－错误!)．解析：先把每个二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并．解：(1)原式＝23－3－3＝0；(2)原式＝3x－x＋3x＝5x；(3)原式＝15－35＋45－15＝5；(4)原式＝22－233－24＋53＝24＋1333.方法总结：二次根式的加减混合运算步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②运用加法交换律和结合律把同类二次根式移到一起；③把同类二次根式的系数相加减，被开方数不变．【类型三】二次根式加减法的应用一个三角形的周长是(23＋32)cm，其中两边长分别是(3＋2)cm，(33－22)cm，求第三边长．解析：第三边长等于(23＋32)－(3＋2)－(33－22)，再去括号，合并同类二次根式．解：第三边长是(23＋32)－(3＋2)－(33－22)＝23＋32－3－2－33＋22＝42－23(cm)．方法总结：由三角形周长的意义可知，三角形的周长减去已知两边的长，可得第三边的长．解决问题的关键在于把实际问题转化为二次根式的加减混合运算．三、板书设计通过合并同类项引入二次根式的加减法，让学生类比学习．引导学生归纳总结出二次根式加减运算的两个关键步骤：①把每个二次根式化为最简二次根式；②合并同类二次根式．并让学生按步骤解题，养成规范解题的良好习惯．教学过程中，注重数学思想方法的渗透(类比)，培养学生良好的思维品质【素材积累】1、成都，是一个微笑的城市，宁静而美丽。
人教版数学八年级下册：(二次根式)二次根式的加减法(教案)
第十六章二次根式16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减法【知识与技能】会进行二次根式的加减运算，利用二次根式的加减法解决生活实际问题.【过程与方法】经历由实际问题引入数学问题的过程，提高学生的抽象概括能力，进而掌握二次根式的加减运算方法.【情感态度】培养学生认真观察、思考的习惯，锻炼严谨细致、一丝不苟的科学精神.【教学重点】二次根式的加减法运算方法.【教学难点】二次根式的加减法的实际应用.一、情境导入,初步认识问题现有一块长7.5dm，宽5dm的木板，能否采用如图所示的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？【教学说明】可借助多媒体（或幻灯片）展示木板，尝试截取两个正方形木块，并引导学生思考.解决问题的关键在哪里？如何解决？激发学生的学习兴趣和求知欲望.二、思考探究，获取新知让学生相互讨论，共同探究，寻求解决问题的方案.与此同时，教师可设置如下问题帮助学生进行理解和分析：1.两个正方形木块的边长分别是多少？2.最大正方形木板的边长与原长方形木板的宽5dm的大小如何？3.两个正方形木板的边长之和与长方形木板的长7.5dm的大小关系如何？你认为用什么办法来得出结论的？4.谈谈你获得结论的过程中的想法，你有哪些新的认识？在学生充分交流，初步形成认知后，师生共同探讨：上述实际问题中，实质是求8与18这两个二次根式的和，我们可以这样来计算：【教学说明】本环节教师要放手让学生自主探究，自主发现问题，并尝试解决问题，并能总结规律，形成认知.同时，教师应关注学生的完成情况，能否正确进行二次根式的化简，能否运用分配律将二次根式合并.【归纳结论】二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.三、典例精析，掌握新知【教学说明】以上两例，应让学生先独立完成，并分别选派两名中等成绩同学上黑板进行演算.教师巡视，了解全班学生的掌握情况，并对有困难的同学及时予以点拨，帮助他们加深对新知的理解.最后，师生共同评析黑板上的作业，教师还可适时将巡视中发现的问题展示给全班同学，达到理解新知的目的.例3 如图，实验中学计划在校园内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池，设计者需要考虑有关的周长，如果小喷水池的面积为8m2，花坛的绿化面积为10m2,则花坛的外周与小喷水池的周长一共是多少米？分析：利用正方形的面积公式求出边长，再根据周长公式即可得解..【教学说明】本例展示了二次根式的加减在实际问题中的应用，在实际教学过程中，教师应引导学生进行合理分析，理清解题思路与步骤，再让学生自主完成解答过程.最后教师可以给出示范性解题过程，也可以用幻灯片展示学生的优秀作业及有代表性问题作业，让学生通过观察与反思，加深对知识的理解.四、运用新知，深化理解1.下列计算是否正确？为什么？5.先化简，再求值：【教学说明】学生自主完成上面前3个题，教师巡视，后两个题稍难，教师适当予以点拨.【答案】1.（1）不正确，两边不相等；（2）不正确，两边不相等；（3）正确.2.①和④；五、师生互动，课堂小结师生共同回顾本节主要知识点及需要注意的问题.（1）知识要点：二次根式加减的一般思路,①不是最简二次根式的，应化成最简二次根式；②相同的二次根式一定要进行合并.（2）需注意的问题：①应能将化简的二次根式化简后再进行计算，不要出现8-2是最后结果的类似错误；②相同的二次根式合并时，只需把它们的系数相加减，根式不变，不相同的二次根式不能进行加减，防止出现35-22=（3-2）（5-2）=5-2的错误.1.布置作业：从教材“习题16.3”中选取.2.完成练习册中本课时练习.1.创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，类比得出二次根式的加减运算法则.2.三个例题，旨在帮助学生理解二次根式的加减运算.尤其是例2，要按照两个步骤进行计算，培养了学生利用概念、法则进行计算和化简的严谨态度和科学精神，此外，例3还展示了二次根式的加减在实际问题中的应用.。