凸二次规划的微分方程算法
【国家自然科学基金】_线性二次最优控制_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2011年 科研热词 频率稳定 随机系统 重叠分解 负荷/频率控制(lfc) 线性二次最优控制 线性二次型最优控制器 模糊控制器 时滞 协调控制 伸缩因子 交直流系统 二次滤波器 乘性噪声 三级倒立摆 推荐指数 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2012年 序号 1 2 3 4
科研热词 有理haar函数 最优控制 二次规划 不等式约束
推荐指数 1 1 1 1
2013年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
பைடு நூலகம்
科研热词 线性二次最优控制 路径跟踪算法 线性系统 线性二次问题 最大值原理 最优控制 拉格朗日方程 平面倒立摆 干扰抑制 双线性矩阵不等式 动态补偿 倒向 poisson过程 ito积分
科研热词 最优控制 颤振抑制 通货膨胀 输出微分 计算方法 线性二次最优控制理论 线性二次最优控制器 线性-非二次 特征线 混杂动态 死区时间 柔性机械臂 效用最大化 振动控制 投资组合 并联有源滤波器 常数相对风险厌恶(crra) 居民消费价格总指数 加权矩阵
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2014年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2014年 科研热词 随机最大值原理 随机控制 碰撞动力学 正倒向随机微分方程 柔性空间机械臂 捕获卫星 teugels鞅 levy过程 镇定运动控制 镇定控制 线性二次最优 漂浮基 柔性振动抑制 振动抑制 推荐指数 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1
二阶微分方程求解的技巧
二阶微分方程求解的技巧一阶微分方程只含有一阶导数，而二阶微分方程含有二阶导数。
求解二阶微分方程的技巧较为复杂，需要利用一些特定的方法和技巧。
下面我们将介绍几种常用的技巧，帮助你求解二阶微分方程。
1.齐次线性方程法：如果二阶微分方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=0$，其中a、b、c是常数,则称之为齐次线性方程。
我们可以从中解得一个求解公式：$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$，其中$C_1$和$C_2$是任意常数，$\lambda_1$和$\lambda_2$是方程的特征根。
为了寻找特征根，我们需要解决特征方程：$a\lambda^2+b\lambda+c=0$。
如果特征方程有两个相异的实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则方程的解是通解。
如果它们是重根，则方程的解是通解的一部分。
如果特征方程有两个虚根，则方程的解由实部和虚部组成。
2.变量可分离法：如果方程可以写为形式：$y''=f(x)g(y')$，其中f和g是一元函数，我们可以利用变量可分离法进行求解。
首先，设$y'=p$，则$y''=p\frac{dp}{dx}$。
将这些代入原方程，我们得到：$p\frac{dp}{dx}=f(x)g(p)$。
将上式变换为分离变量：$\frac{dp}{g(p)}=f(x)dx$。
然后，我们对两边进行积分，并解出p关于x的函数，最后再通过积分得到y关于x的函数。
3.常数变易法：如果方程可以写为形式：$ay''+by'+cy=f(x)$，其中f(x)是已知的函数，我们可以使用常数变易法进行求解。
首先，我们猜测一个特解$y^*$，并将其带入方程中。
然后我们将$y^*$代入方程，并解出常数。
我们将这些解代入齐次线性方程的通解中，并得到方程的通解。
4.欧拉方程法：如果方程是二阶常系数线性方程，并可以写为形式：$ax^2y''+bxy'+cy=0$，我们可以使用欧拉方程法进行求解。
二阶微分方程解法推导
二阶微分方程解法推导二阶微分方程解法推导是微积分学习中的重要内容，其解法可以通过特殊函数或变换得到。
在推导过程中，需要掌握基本的微分方程知识和线性代数知识，下面将分步骤进行阐述。
第一步，确定二阶微分方程的标准形式。
一般情况下，二阶微分方程的标准形式为 y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x)，其中p(x) 和 q(x) 是已知函数，f(x) 是右端函数。
第二步，找到对应的齐次线性微分方程的通解。
这是求解非齐次线性微分方程的关键步骤。
齐次线性微分方程是指右端项为零的微分方程。
通过把 y=f(x) 看作是 y 的一个特解，即 y_p(x)，可以将非齐次线性微分方程转化为齐次线性微分方程加上一个特解 y_p(x)。
这时，只需要求解齐次线性微分方程的通解 y_c(x) 即可。
y_c(x) 的解法一般是利用特征方程求解，得到 y_c(x) = C1y1(x) + C2y2(x)，其中 C1 和 C2 是常数，y1(x) 和 y2(x) 是齐次线性微分方程的两个线性无关解。
第三步，求解对应的特解 y_p(x)。
特解 y_p(x) 的求解需要通过适当的变换或采用特殊函数来解决。
一些特殊函数如幂级数、傅里叶级数、拉普拉斯变换等可以帮助我们求解特解。
通过将特殊函数带入到微分方程中，可以求得对应的特解 y_p(x)。
第四步，将特解 y_p(x) 和通解 y_c(x) 相加得到非齐次线性微分方程的最终解 y(x) = y_c(x) + y_p(x)。
这时，需要通过初始条件来解出常数 C1 和 C2，得到完整的非齐次线性微分方程的解。
二阶微分方程解法推导是微积分学中的重要内容，其中涉及到的知识点较多。
掌握了这些知识点之后，就可以较好地应对复杂的微分方程求解问题。
希望大家能够在学习过程中认真思考，不断提高自己的求解能力。
特征根法求解二次微分方程
特征根法求解二阶常系数线性微分方程关于二阶常系数线性微分方程的解法:1.线性齐次方程0=+'+''cy y b y a 的通解解法 先解特征方程02=++c br ar 的根.设特征根为aac b b r 2422,1-±-=,分以下三种情况: （1） 当042>-ac b 时,特征方程有两个相异的实根()ac b b a r 42122,1-±-=,则方程的通解为 x r x r C C y 21e e 21+=.（2）当042=-ac b 时,特征方程有重根ab r 2-=,则方程的通解为 ()x r x C C y e 21+=.（3）当042<-ac b 时,特征方程有一对共轭的复根 a b ac a b r 2i 42i 22,1⋅-±-=±=βα, 则方程的通解为 ()x C x C y x ββαsin cos e 21+=.定理 若21,y y 为齐次方程0=+'+''cy y b y a 的两个解,则2211y C y C y +=亦就是齐次方程的解,其中21,C C 就是任意常数.又若21,y y 为线性无关时,则2211y C y C y +=就是齐次方程的通解.2.线性非齐次方程)(x f cy y b y a =+'+''的通解定理 设*y 就是非齐次线性方程的一个特解,而y 就是相应的线性齐次方程的通解,则其与 *y y y +=为线性非齐次方程的通解.具体解法:(1)先求)(x f cy y b y a =+'+''的特解*y(2)再求对应线性齐次方程的通解y ,根据定理相加即可*y y y +=例题1用特征根法求微分方程044=+'+''y y y 的通解 解:特征方程为r 2+4r+4=0所以,(r+2)2=0得重根r 1=r 2=-2,所以,方程的一般解为y=(c 1+c 2x)e -2x例题2用特征根法求微分方程y``+3y`+2y=0的一般解 解:特征方程的解r 1=-1,r 2=-2一般解x x e C e C y --+=221例题3 用特征根法求微分方程02520422=+-x dt dx dt x d ;的一般解 解 微分方程的特征方程为4r 2-20r +25=0, 即(2x -5)2=0, 其根为2521==r r , 故微分方程的通解为 t t xe C e C x 252251+=, 即t e t C C x 2521)(+=例题4求下列微分方程满足所给初始条件的特解y ''-3y '-4y =0, y |x =0=0, y '|x =0=-5; 解:微分方程的特征方程为r 2-3r -4=0, 即(r -4)(r +1)=0,其根为r 1=-1, r 2=4, 故微分方程的通解为y =C 1e -x +C 2e 4x .由y |x =0=0, y '|x =0=-5, 得⎩⎨⎧-=+-=+5402121C C C C , 解之得C 1=1, C 2=-1. 因此所求特解为y =e -x -e 4x .例题5求微分方程的通解2y ''+y '-y =2e x解 微分方程的特征方程为2r 2+r -1=0, 其根为211=r , r 2=-1, 故对应的齐次方程的通解为 x x e C e C Y -+=2211.因为f (x )=2e x , λ=1不就是特征方程的根,故原方程的特解设为y *=Ae x ,代入原方程得2Ae x +Ae x -Ae x =2e x ,解得A =1, 从而y *=e x .因此, 原方程的通解为x x x e e C e C y ++=-2211历年考题:07-08下求微分方程y ''+4y '-5y =0的一般解解:微分方程的特征方程为r 2+4r -5=0,其根为r 1=1, r 2=-5, 故微分方程的通解为y =C 1e x +C 2e -5x 09-10下用特征根法求微分方程y ''-4y '+5y =0的一般解 解:微分方程的特征方程为r 2-4r +5=0,其根为r 1=2-i , r 2=2+i , 故微分方程的通解为 y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ).10-11下求微分方程的通解y ''-2y '+y =cosx+e x微分方程的特征方程为r 2-2r +1=0,其根为11r =, r 2=1, 故对应的齐次方程的通解为12x x Y C e C xe =+. 设y ''-2y '+y =e x 的特解为y *1=Ax 2e x ,代入原方程解得A =1/2, 从而y *1=1/2x 2e x .设y ''-2y '+y = cosx 的特解为y *2=Bcosx+Csinx , 代入原方程得解出B=0,C=-1/2从而y *2=-1/2sinx因此, 原方程的通解为21211+sin 22x x x Y C e C xe x e x =+-。
基于D.C.分解的一类箱型约束的非凸二次规划的新型分支定界算法
对于凸函数 ） ， 则一 （ ） 是凹函数， 利用线性插值方法， 得到－ ｈ （ ｘ ） 的一个下界函 （ ） ． 若令一 （ ） ＝一 入 ０ ， 则有
．
ｗ （ ｚ ４ ＝ ｝ ｊ 鼍 （ 一 ） 一 （ ）
＝一 ０ （ ＋如 ） （ ａ 一如 ） 一 ０ 碍
ｆ （ ｚ ） ＝ｇ （ ｘ ） 一ｈ （ ｚ ） 其中： ｇ （ ｚ ） ＝ｌ Ｘ Ｂ ｘ＋ｂ Ｔ ｘ ， ｈ （ ｚ ） ＝￣ ｏ ｘ Ｔ Ｉ ｘ ＝Ａ ｏ Ｅ ｌ ２ ．
（ ２ ）
现令 ０ 是Ｆ 内的 一个点． 这里为简单 起见， 不 妨设为 坤＝
在 ０ 的次梯度 ， 也就是 说
收稿 日期：２ ０ １ ３ － ０ １ — １ ８
基金项目：国家 自 然科学基金资助项目 （ ６ １ １ ７ ４ ２ １ ６ ， ６ １ ０ ７ ４ ０ ９ １ ）
数
学
研
究
￣（ Ｑ ＰＢ）的子问题， 通过分支定界算法， 不断消减分支， 逐步优化最优值， 直至得到最优
解． 最后 ， 对提 出的新 算法进 行 了收敛性分析 ， 数值算例表明 了算法是有效可行 的．
中图分类 号
１ 引 言
考虑下面带有箱约束的非凸二次规划（ ＱＰ Ｂ）
ｍ
） ＝ １ ｚ Ｔ ＋ ｚ
，
ｓ ． ｔ ． Ｆ＝｛ ： ｚ
ｔ 正 ）
（ Ｑ Ｐ Ｂ ）
其 中： Ａ是一个ｎ ｘ ｎ 阶实对称 不定矩 阵， ２ ， ， ｂ ， ∈ ， 并且缸 ， ｉ ＝１ ， … ， ｎ ． 带有 箱 约 束 的二 次 规 划，在 工程 领 域 中有 非 常广 泛 的应 用【 ｌ ＿ ３ 】 ． 在 解 偏 微 分 方程 ， 线性 最 小二 乘 问题 也 时常 遇 到．另 外， 带 有 箱 约 束 的二 次规 划 在 非线 性 规 划 中 占有 重
一元二次微分方程的通解
一元二次微分方程的通解引言：微分方程是数学中的重要概念，它描述了变量之间的关系以及变量如何随时间或空间的变化而变化。
其中，一元二次微分方程是一类常见且重要的微分方程。
本文将介绍一元二次微分方程的定义、求解方法以及通解的概念。
一、一元二次微分方程的定义一元二次微分方程是指形式为y''+py'+qy=0的微分方程，其中y 为未知函数，p、q为已知函数。
该方程中的二次项最高次数为2，且只包含一个未知函数y及其导数y'和y''。
二、一元二次微分方程的求解方法求解一元二次微分方程的方法主要有两种：常系数法和特解法。
1. 常系数法常系数法是指假设y的形式为y=e^rt，其中r为常数，然后代入微分方程，得到一个关于r的代数方程，解这个方程可以得到r的值。
根据r的不同情况，可以得到不同的解。
如果r是实数，那么解为y=C1e^(r1t)+C2e^(r2t)，其中C1、C2为常数；如果r是共轭复数，那么解为y=e^(at)(C1cos(bt)+C2sin(bt))，其中a、b为实数，C1、C2为常数。
2. 特解法特解法是指假设y的形式为y=u(t)v(t)，其中u(t)和v(t)都是未知函数，然后代入微分方程，得到两个关于u(t)和v(t)的代数方程。
通过解这两个方程可以得到u(t)和v(t)的表达式，进而得到y的表达式。
三、一元二次微分方程的通解一元二次微分方程的通解是指包含了方程所有解的一般表达式。
对于一元二次微分方程，它的通解可以表示为y=C1e^(r1t)+C2e^(r2t)，其中C1、C2为常数，r1、r2为方程的根。
通解的意义在于它能够表示方程的所有解，而不仅仅是某个特定的解。
通过通解，我们可以得到方程的任意初始条件下的解。
总结：一元二次微分方程是一类常见且重要的微分方程，它描述了变量之间的关系以及变量随时间或空间的变化。
求解一元二次微分方程的方法包括常系数法和特解法，通过这些方法可以得到方程的特解。
应用数学系研究生课程介绍(西安交通大学)
研究生课程介绍课程编码：091002课程名称：计算方法(A)Computational Methods (A)学分：3课内总学时数：72上机（实验）学时数：18课程内容简介：本课程讲授电子计算机上使用的各种基本的数值计算方法, 如插值法, 最小二乘法, 最佳一致逼近, 数值微积分, 方程求根法, 线性与非线性代数方程组解法, 矩阵特征值与特征向量求法, 常微分方程初值问题的解法, 求解数理方程定解问题的差分法, 有限元法等. 书中重点讨论了各种计算方法的构造原理和使用, 对稳定性, 收敛性, 误差估计等也作了适当讨论. 本课程适合于计算数学专业以外的理工科各专业研究生学习。
先修课：高等数学, 线性代数, C 语言或FORTRAN 语言参考书目：1. 邓建中,刘之行编, 计算方法，西安交通大学出版社，2002执笔人：梅立泉、李乃成、高静审定人：彭济根课程编码：091003课程名称：计算方法（B）Computational Methods (B)学分：3课内总学时数：54上机（实验）学时数：48课程内容简介：由于现代计算机技术的迅速发展，数值方法已成为科学研究的最重要的手段之一。
本课程在介绍数值计算的基本问题，包括浮点数、误差形成等的基础上，主要介绍：线性方程组的直接解法与迭代解法、离散数据的连续化处理（包括多项式插值、分段插值和最小二乘法）、数值积分和数值导数、非线性方程解法简介、常微分方程数值解法、以及最优化方法简介。
通过听课与相应的上机练习等途径，理解数值方法的形成原理，掌握最基本的数值方法，了解采用数值方法时应注意的主要问题，为以后在科研和工程技术工作中设计算法、应用数值软件进行数值计算奠定必要的基础。
先修课：高等数学、线性代数、算法语言（Fortran、C、C++、或Matlab 等）参考书目：1.凌永祥、陈明逵编，计算方法教程（第二版）西安交通大学出版社，2005执笔人：黄昌斌、苏剑、马军审定人：彭济根课程名称：工程优化方法及其应用Engineering Optimization Methods and Its Applications学分：2课内总学时数：40上机（实验）学时数：课程内容简介：讲述工程优化的数学基础，凸集、凸函数、凸规划的基本概念与基本理论；突出非线性规划各类算法的共性分析及其在计算机上可实现的步骤，并指出每类算法中所包含各种常用和著名算法；简介工程中常用到的几类特殊规划，如：线性规划、二次规划、几何规划和多目标规划的基本概念、常用和最新算法；简介工程优化设计应用实例（包括建立优化模型，根据模型特点构造或选用相适应的算法、计算流程图）。
二阶runge-kutta法介数证明
二阶runge-kutta法介数证明
二阶Runge-Kutta法是一种常用的数值解常微分方程的方法。
该方法基于以下假设：
1. 求解的常微分方程为一阶方程：dy/dt = f(t, y)。
2. 采用离散化的方式对时间轴进行分割，将时间区间[tn, tn+1]划分为n个子区间，每个子区间的长度为h = (tn+1 - tn)/n。
3. 求解的方程在每个子区间上取常值，即在子区间[tn, tn+1]上可以近似为：y(t) ≈ ytn。
4. 采用迭代的方式，首先将当前y的值初始化为y0，然后通过迭代得到下个时间点的近似值。
5. 第二次迭代的近似值将作为下个时间点的初始值。
基于以上假设，二阶Runge-Kutta法可以描述为以下步骤：
Step 1: 给定初始条件 y0 和迭代时间点 t0，设定步长 h。
Step 2: 计算 k1 = hf(t0, y0)。
Step 3: 计算 k2 = hf(t0 + h/2, y0 + k1/2)。
Step 4: 计算下个时间点的近似值 y1 = y0 + k2。
Step 5: 更新时间点和迭代值，即 t1 = t0 + h，并取 y0 = y1。
Step 6: 重复步骤2到步骤5，直到达到所需的时间点。
通过以上的步骤，二阶Runge-Kutta法可以较好地逼近求解的常微分方程。
其中，k1为在当前时间点t0处的斜率值，k2则是在下个时间点t0 + h/2处的斜率值。
该方法利用了斜率在当前时间点和下个时间点之间的平均变化率来逼近方程的解。
微分方程几种求解方法
微分方程几种求解方法微分方程是数学中的重要工具，用于描述自然界中关于变化的数学模型。
微分方程的求解方法有多种，可以根据不同的特征和条件选择不同的方法。
下面将介绍微分方程的几种常见求解方法。
1.可分离变量法可分离变量法适用于形如 dy/dx = f(x)g(y) 的一阶微分方程。
该方法的基本思路是将变量分离，即将方程写成 dx / f(x) = dy / g(y)，然后两边同时积分，从而得到方程的解。
2.齐次方程法齐次方程指的是形如 dy/dx = f(x / y) 的一阶微分方程。
齐次方程法的基本思路是变量替换，令 y = vx，然后将方程转化为关于 v 和 x 的一阶微分方程，再用可分离变量法求解。
3.线性方程法线性方程是指形如 dy/dx + p(x)y = q(x) 的一阶微分方程。
线性方程法的基本思路是找到一个积分因子，使得原方程变为恰当方程，然后进行积分求解。
常见的积分因子有e^(∫p(x)dx) 和 1 / (y^2)，选择合适的积分因子可以简化计算。
4.变量替换法变量替换法适用于一些特殊形式的微分方程。
通过合适的变量替换，可以将原方程转化为标准的微分方程形式，从而便于求解。
常见的变量替换包括令 y = u(x) / v(x)，令 v = dy/dx等。
5.常数变易法当已知一个特解时，可以利用常数变易法求解更一般的微分方程。
该方法的基本思路是令y=u(x)y_0，其中y_0是已知的特解，然后将y代入原方程得到一阶线性非齐次方程，再用线性方程法进行求解。
6.欧拉法欧拉法是一种数值求解微分方程的方法。
它通过在函数的变化区间内分割小区间，并在每个小区间上用直线逼近函数的变化情况，从而得到微分方程的近似解。
欧拉法的计算公式为y_(n+1)=y_n+h*f(x_n,y_n)，其中h为步长，f(x,y)为微分方程的右端。
7.泰勒级数法泰勒级数法是一种近似求解微分方程的方法，利用函数的泰勒级数展开式进行计算。
二阶微分方程通解公式
二阶微分方程通解公式二阶微分方程是指含有二阶导数的方程，通常形式为f''(x) + p(x)f'(x) + q(x)f(x) = 0。
解二阶微分方程的一般方法是找到其通解公式，使得该公式可以解决所有该类型的二阶微分方程。
为了得到二阶微分方程的通解公式，我们需要先找到其特征方程。
特征方程是二阶微分方程的特征根所满足的方程。
假设特征根为r1和r2，则特征方程为r^2 + p*r + q = 0，其中p和q分别是方程中一阶导数项和常数项的系数。
根据特征方程的解法，我们可以分为三种情况来讨论。
第一种情况是特征方程有两个不相等的实根r1和r2。
这种情况下，方程的通解可以表示为f(x) = c1*e^(r1*x) + c2*e^(r2*x)，其中c1和c2是任意常数。
第二种情况是特征方程有一个重根r。
这种情况下，方程的通解可以表示为f(x) = (c1 + c2*x)*e^(r*x)，其中c1和c2是任意常数。
第三种情况是特征方程有两个共轭复根a±bi。
这种情况下，方程的通解可以表示为f(x) = e^(a*x)*(c1*cos(b*x) + c2*sin(b*x))，其中c1和c2是任意常数。
通过这三种情况的讨论，我们可以得到二阶微分方程的通解公式。
这个公式可以解决所有具有二阶导数的方程，只需根据具体的方程形式选择相应的特征方程解法。
二阶微分方程通解公式的推导过程涉及一些数学知识和技巧，包括特征方程的求解和复数的运算等。
在实际应用中，这个公式可以帮助我们解决许多物理、工程和数学问题。
例如，在机械振动、电路分析和量子力学等领域，二阶微分方程通解公式都有重要的应用。
总结起来，二阶微分方程通解公式是解决具有二阶导数的方程的一种通用方法。
通过找到方程的特征方程，并根据特征方程的解法讨论不同情况，我们可以得到二阶微分方程的通解。
这个公式在数学和物理领域有广泛的应用，可以帮助我们解决许多实际问题。
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凸二次规划的微分方程算法
摘要:本文基于问题函数的一阶导数,构造了求解凸二次规划问题的微分方程系统,证明了凸二次规划问题的KKT点是该系统的渐近稳定的平衡点。
数值结果表明了算法的有效性。
关键词:凸二次规划微分方程系统
二次规划在工程设计、资源分配、设施定位等方面有着广泛的应用[1,2],许多整数线性规划和整数二次规划问题可以转化为连续变量的二次规划问题。
凸二次规划问题已经得到了广泛的研究,获得了较为有效的求解方法[3-5],主要的方法有Dantzig—wolf算法、Lagrange方法、起作用集方法、Lemke方法、路径跟踪方法等[6-10]。
本研究主要讨论等式约束下的凸二次规划问题,基于问题的一阶导数,构造了求解凸二次规划问题的微分方程系统,并且证明了问题的局部最优解是该系统的渐近稳定的平衡点。
1 凸二次规划问题的微分方程系统
考虑如下二次规划问题
(2.1)
其中为阶对称正定矩阵,,且不妨设矩阵A的秩为m.根据问题函数得以一阶导数,建立求解(2.1)的微分方程系统:
其中,(2.2)式中满足(2.3),即
引理2.1是微分方程系统(2.2)平衡点的充要条件是是(2.1)的KKT点,是相应的Lagrange乘子.
定理2.1设是(2.1)的KKT点,是相应的Lagrange乘子,则微分方程在处是渐近稳定的.
证明:微分方程在点处线性优化系统是
为了证明的方便,记
那么,则有
(2.4)
设分别是的特征值和特征向量,有
,
即(2.5)
如果,那么在(2.5)的两边左乘以矩阵,有
由(2.4)有
所有
如果,有
(2.6)
在(2.6)的两边左乘以,有
不妨设,与都是正定的,所以.即有
因此的特征值都是小于零的,由Lyapunov一阶线性准则,得是系统(2.2)的渐近稳定的平衡点.
为了下文描述的方便,记
算法2.1
步1确定,,,,
和初始点.
步2确定
步3
令
步4令,转步2.
2 数值试验
为了验证上述微分方程算法的有效性,我们在Matlab6.5中对上述算法进行编程计算了下面的算例,其中参数,数值结果表明了算法是有效的。
例:
参考文献:
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