专题复习数列、数列的极限、数学归纳法
专题12数列极限数学归纳法
专题三 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一能力培养 1,归纳猜想证明 2,转化能力3,运算能力4,反思能力二问题探讨1冋题1数列｛ a n ｝满足3], a i a 22问题2已知定义在R 上的函数f(x)和数列｛ a n ｝满足下列条件：a 1 a , a . f (a n 1) (n =2,3,4, ),a 2 印，f (a n )f (a n 1) = k(a n a n 1) (n =2,3,4,),其中 a 为常数,k 为非零常数(I) 令b n a n 1 a n ( n N )，证明数列｛b n ｝是等比数列； (II) 求数列｛ a n ｝的通项公式；(III)当k 1时，求 lim a n .numv uuuv uuuv uuuv uuuiv uuv问题3已知两点M ( 1,0) ,N (1,0),且点P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列•uuuv uuuv(I)点P 的轨迹是什么曲线？ (II)若点P 坐标为(X g , y 。
),记 为PM 与PN 的夹角，求tan2a n n a n ,(n N ). (I)求｛a n ｝的通项公式(II)求丄100n 的最小值；a n(III)设函数f(n)是—100n 与n 的最大者，求 f (n)的最小值.三习题探讨 选择题21数列｛a n ｝的通项公式a n n kn ,若此数列满足a na n ,(n N ),则k 的取值范围是A, k 2B, k 2C,k 3D, k 32等差数列｛a n ｝,｛b n ｝的前n 项和分别为S n ,T n ,若」--- ，贝V —=T n 3n 1b n22n 1 2n 12n 1A,—B,-C,-D,-33n 13n 1 3n 43已知三角形的三边构成等比数列 ，它们的公比为q ,则q 的取值范围是若AF , BF , CF 成等差数列，则有16在 ABC 中,ta nA 是以4为第三项,4为第七项的等差数列的公差，ta nB 是以-为3第三项,9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形C,等腰直角三角形D,以上都不对填空2m 项之和S 2m ___________________________________ 11等差数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和且S 6 S 7，S 7 S 8,则①此数列的公差 d 0,1苗A, (0, 丁)B,(151 、5 1 、、5c,[1, 丁) D,(1_5) 24在等差数列｛a n ｝中,a 18 B ,75 1，第10项开始比1大，记25t 色 254 C ,75 [im A (a nn n _3 50 S n ) t ,则t 的取值范围是4D ,75t5o5 设 A (x i , y i ),B (X 2, y 2),C (X 3, y 3)是椭圆2yb 2 1(a 0)上三个点 ,F 为焦点，A, 2X 2 X ] x 3 B,2y 2 y 1 y 32C,—X 2 2D,XX 1 X 3X 1 X 37等差数列｛a n ｝前n (n 6)项和& 324，且前6项和为36,后6项和为180，则n 22 32 23 33 6263{a n }中』m(a 1 a ?10 一个数列{a n },当n 为奇数时，a .9在等比数列2n 3n 6n,则 limS n 1 a n ) ，则a 1的取值范围是 ________________15n5n 1 ；当n 为偶数时，a n 22 .则这个数列的前②S 9S 6,③a 7是各项中最大的一项，④S 7 一定是S n 中的最大项，其中正确的是 r 曰na n X ，且a 1,a 2,a 3 a .组成等差数列(n 为正偶数).又f(1) n 2, f ( 1) n ,(l)求数列的通项a n ；(II)试比较f(1)与3的大小，并说明理由.213已知函数f(x) 3x bx 1是偶函数，g(x) 5x c 是奇函数，正数数列｛a n ｝满足2a 11,f(a n1 a n)g(a n1a n a n ) 1• (I)若｛a n ｝前n 项的和为S n ,求limS n ;n(II)若b n2f (a n ) g(a n 1),求b n 中的项的最大值和最小值•14•已知等比数列｛x n ｝的各项不为1的正数 擞列｛y n ｝满足y n log x n a 2 (a 0且a 1),设 y 4 17, y 7 11.(I)求数列｛y n ｝的前多少项和最大，最大值是多少？(III)试判断，是否存在自然数 M,使当n M 时x n 1恒成立,若存在求出相应的 M;若不存在,请说明理由•解答题2312 已知 f(x) a/ a ?x a 3X(II)设 b n2yn ,S n b i b 2 db n ,求lim 冬的值.n215设函数f(x)的定义域为全体实数，对于任意不相等的实数 X 「X 2,都有f(xj f(X 2)X i 屜，且存在 X 0,使得 f (X o ) X o ,数列｛a n ｝中，31X o , f(a n ) 2a n 1 a n (n N),求证:对于任意的自然数n ,有：(I) 3n X o ； (II) 3nX n 1.参考答案：2 2问题 1 解：(I) a i a 2 a n n a n ,得 S n = n a n当n2时，a nS nS n 12=n a n(n1)2a n 1,有(n 21)a n2a n n 1 (n 1) a n 1，即a n 1n 1于是 a na 2 a 3 a 4a n 1 2 3 n 1 2 1 1于是a 〔 a 〔 a 2 a 3a n 13 4 5n 1n(n 1).乂 a 〔 ，得 a n 一.2 n(n 1)由于 a 1也适合该式，故a n =1n(n 1).1所以当n 49或50时，100n 有最小值 2450. a n有 f min (n)= f (1)=1.而,当n 2时，虽乩f(a n )b n 1a n a n 1因此，数列｛b n ｝是一个公比为k 的等比数列.n 1n 1(II) 解:由(I)知,b n k b 1 k (a 2 aj(n N )(II)丄100 n = n 2 99n = (n 249.5)2450.25(III)因f(n)是丄 100 n 与n 的最大者，有 f(n) a n100)n(1 n 1 100n(100 a nn)'问题 2(I)证明：由 b | a 2 a 10 ,得 b 2 a 3 a ?fQ) f(aj k(a 2 aj 0.由数学归纳法可证b n a n 1 a n 0(nN ). f(a n 1)a n a n 1k(a n a n 1) ka n a n 11,当k 1 时,bi1 k n 1b 2 b n (a 2 印），1—(n 2) k当k 1 时,bi b 2b n (n 1)(a 2 印）（n 2）而bi b 2b n(a 2 aj (a 3a 2)(a na n 1 )a n a(n2),有当k1时,a n1 k n1a 1 =(a 2 aj1 k(n2);当 k 1 时,a na 1 = (n 1)(a 2 aj (n 2)以上两式对n1时・也成立,于是1 时,a n1 k n1 1 k n1当k a 1 (a 2 印) 1 k =a (f (a) a)1 k当k 1 时,a na 1 (n 1)(a 2ai) = a (n 1)(f (a) a).问题 3 解:(I)设点 P(x,y ),由 M ( 1,0) ,N (1,0) 得UUUV UUV 2 2(II)设P(X 0,y °),则由点P 在半圆C 上知,PM PN x 0 y ° 1..(1 x0)2 y °2 (1x 0)2y °W=(4 2x)(4 2x 0)=2、4x02习题解答:(III)解:当 k 1 时,lim a nnlim[ a (f (a) a)n1 k n1] 1 k ]f (a) a 1 kumv PMUUUVLU uuvUULUUUV NM (2,0)UUUVUUUV 有 MP MNUUUV UUUV 2(1 x) ,PM PN 2 UUUV UUV y 1,NM NP 2(1 x). UUV UUUV UUUV UUUV UUUV 于是 MP MN ,PM PN ,NM UUV NP 成公差小于零的等差数列等价于 2 21 x y 1- [2(1 x) 2(1 22(1 x) 2(1 x) 02 2x)] x y，即 y x 0所以点P 的轨迹是以原点为圆心，-.3为半径的右半圆C.UUUV UUV 又 PM PN得cos 又 0 x 。
初三数学复习数列与数学归纳法知识点总结
初三数学复习数列与数学归纳法知识点总结一、数列概念与性质1. 数列的定义：数列是指按照一定规律排列的数的序列，可以用公式表示。
2. 通项公式与通项：通项公式是指数列中每一项与项号之间的关系，用数学关系式表示。
通项是指数列中的某一项，通常用字母表示。
3. 数列的分类：常数数列、等差数列、等比数列、等差数列与等比数列的混合数列等等。
4. 等差数列的性质：（1）任意项与其前后两项的关系是等差数列的性质之一。
（2）公差为常数。
（3）前n项和的公式为Sn = (a1 + an) * n / 2。
5. 等比数列的性质：（1）任意项与其前后两项的关系是等比数列的性质之一。
（2）公比为常数。
（3）前n项和的公式为Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
6. 等差数列与等比数列的关系：某数列同时满足等差和等比的要求，即为等差数列与等比数列的混合数列。
二、数列的求解1. 求通项公式：根据已知条件，观察数列的规律，并利用数列的性质或运算规律推导出通项公式。
2. 求任意项：利用通项公式，将已知的项号代入，即可求得任意项的值。
3. 求前n项和：使用等差数列或等比数列前n项和的公式，将已知的项数代入，即可求得前n项和的值。
三、数学归纳法1. 数学归纳法的基本思想：（1）证明基本步骤：- （归纳基）首先证明当n取某个特定值时命题正确。
- （归纳假设）假设当n取k时命题成立，即前提条件为假设命题对于k成立。
- （归纳步骤）利用归纳假设，证明当n取k+1时命题成立。
（2）结论：若在步骤（1）中基本步骤和归纳步骤都成立，那么命题对任意自然数n都成立。
2. 使用数学归纳法证明数列的性质：（1）以求证数列性质为目标；（2）首先证明性质对于第一项成立；（3）假设第k项满足性质，证明第k+1项也满足性质；（4）结论：该性质对于任意项都成立。
总结：数列与数学归纳法是初中数学中重要的知识点。
数列涉及到等差、等比等不同类型的数列，通过寻找规律和运用通项公式，可以求解数列中的任意项和前n项和。
不等式数列极限数学归纳法复习资料
不等式、数列、极限与数学归纳法湖南省常德市一中曹继元不等式、数列是高中数学的主干知识，也是高考的重点内容之一，每年都有与此相关的大题。
其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。
总体看来，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求。
预测今年高考关于这一部分的内容, 仍然是以考能力为主，稳中有变，“小”中有新。
与往年一样，可能出现基本题型、综合题型、应用题型等，个别题型还将会命出新意，把不等式、数列知识和现实生活、市场经济、理化生知识等紧密结合起来，甚至还会出现有较新创意的应用型题目。
因此，我们必须引起高度重视。
1.不等式.1.1 近三年湖南省高考考查情况统计1.2 近三年考查情况分析从近三年的高考湖南卷来看，虽然每年都有几道不等式的题，但大都是将不等式融入其它知识之中。
一般来讲，选择题、填空题主要考查不等式性质、简单不等式的解法、函数最值的运用。
解答题主要考查与不等式有关的基础知识、基本方法，以及运用相关知识去分析问题和解决问题的能力。
不等式作为工具知识，在高中数学的各个分支中都有广泛的应用。
如确定函数的定义域、值域，确定函数的最值，确定集合的子集关系，确定方程的解等，无一不与不等式有着密切的关系。
而不等式中往往蕴含有多种数学思想方法，如等价转化、分类讨论、数形结合、函数方程的思想方法，极易使得不等式与其它知识融会交融，体现“在知识交汇处设计命题”的特点，符合“多考一点想，少考一点算”的命题理念，也能有效的测试考生的“逻辑思维能力、运算能力、以及分析问题和解决问题的能力”。
所以，我们复习时，要以此为重点，强化训练，提高能力。
1.3 今年考情预测①不等式仍将是高考数学的重点内容之一。
选择题、填空题的难度不会增大，重在基础知识、基本方法的考查，但命题角度会有所变化，设问方式会有所创新，考查内容主要分布在不等式的性质、简单不等式的解法、不等式与集合、不等式与函数、不等式与方程等知识点中。
极限、数学归纳法课件课件
[例 3] 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知对任意的 n∈N*，点 (n，Sn)均在函数 y＝bx＋r(b＞0 且 b≠1，b，r 均为常数)的图象 上． (1)求 r 的值； (2)当 b＝2 时，记 bn＝2(log2an＋1)(n∈N*)． 证明：对任意的 n∈N*，不等式b1b＋1 1·b2b＋2 1·…·bnb＋n 1＞ n＋1成 立．
＝an2＋bn，n∈N*，其中
a，b
为常数，则
lim
n
an－bn an＋bn
的值为________．
(2)已知
a，b∈R，|a|＞|b|，又
lim
n
an＋1＋bn an
＞
lim
n
an－a1＋n bn，则 a 的取值范围是(
)
A．a＞1
B．－1＜a＜1
C．a＜－1 或 a＞1
D．－1＜a＜0 或 a＞1
x1
f(x)＝f(1)，所以
x2＋ax－3
必含有因式(x－1)，
即 x＝1 必为方程 x2＋ax－3＝0 的根，所以 a＝2，则可得
b＝3，所以
lim
x
3bbxx－＋aaxx＝
lim
x
33x＋x－1＋22x x＝
lim
x
31＋－2323xx＝3.
[答案]
2 (1)3
(2)D
(2)中条件变为
要证当n＝k＋1时结论成立，
只需证22kk＋＋31≥ k＋2，
即证2k＋ 2 3≥ k＋1k＋2，
由均值不等式
2k＋3 2
＝
k＋1＋k＋2 2
≥
k＋1k＋2 成立，故
22kk＋＋31≥ k＋2成立，
所以，当n＝k＋1时，结论成立．
高中数学专题复习-数列与数学归纳法
第六章⎪⎪⎪数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示,这个公式叫做数列的通项公式前n 项和 数列{a n }中,S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ,a n )画在平面直角坐标系中 公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式 使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1,a 2和a n ＋1＝f (a n ,a n －1)等表示数列的方法n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ,则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{a n }的前4项为12,34,78,1516,则数列{a n }的一个通项公式为________．答案：a n ＝2n －12n (n ∈N *)2．已知数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝a n2a n ＋3,则a 5等于________．答案：11613．(教材改编题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n ＝3n －1,则a n ＝________. 答案：2×3n －11．数列是按一定“次序”排列的一列数,一个数列不仅与构成它的“数”有关,而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念,数列的项是指数列中某一确定的数,而项数是指数列的项对应的位置序号． 3．在利用数列的前n 项和求通项时,往往容易忽略先求出a 1,而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式,但它只适用于n ≥2的情形．[小题纠偏]1．已知S n 是数列{a n }的前n 项和,且S n ＝n 2＋1,则数列{a n }的通项公式是________．答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥22．数列{a n }的通项公式为a n ＝－n 2＋9n ,则该数列第________项最大． 答案：4或5考点一 由数列的前几项求数列的通项公式(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状,称数列5,9,14,20,…为梯形数,根据图形的构成,此数列的第2 018项与5的差即a 2 018－5＝( )A ．2 017×2 024B ．2 017×1 012C ．2 018×2 024D ．2 018×1 012解析：选B 结合图形可知,该数列的第n 项为a n ＝2＋3＋4＋…＋(n ＋2),所以a 2 018－5＝4＋5＋6＋…＋2 020＝2 017×(2 020＋4)2＝2 017×1 012.2．根据数列的前几项,写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10,…； (2)(易错题)－11×2,12×3,－13×4,14×5,…； (3)－1,7,－13,19, …； (4)9,99,999,9 999,….解：(1)各数都是偶数,且最小为4,所以它的一个通项公式a n ＝2(n ＋1),n ∈N *.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1),n ∈N *.(3)这个数列,去掉负号,可发现是一个等差数列,其首项为1,公差为6,所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5),n ∈N *.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1 000－1,10 000－1,所以它的一个通项公式a n ＝10n －1,n ∈N *.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时,需仔细观察分析,抓住以下几方面的特征,并对此进行归纳、联想,具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(－1)n 或(－1)n＋1来调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n (重点保分型考点——师生共研)[典例引领]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ,求{a n }的通项公式． (1)S n ＝n 2＋1； (2)S n ＝2n －a n .解：(1)a 1＝S 1＝1＋1＝2,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－(n －1)2－1＝2n －1,而a 1＝2,不满足此等式．所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2.(2)当n ＝1时,S 1＝a 1＝2－a 1,所以a 1＝1；当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(2n －a n )－[2(n －1)－a n －1]＝2－a n ＋a n －1, 即a n ＝12a n －1＋1,即a n －2＝12(a n －1－2)．所以{a n －2}是首项为a 1－2＝－1,公比为12的等比数列,所以a n －2＝(－1)·⎝⎛⎭⎫12n －1, 即a n ＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1.[由题悟法]已知S n 求a n 的 3个步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系,利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式； (3)对n ＝1时的结果进行检验,看是否符合n ≥2时a n 的表达式,如果符合,则可以把数列的通项公式合写；如果不符合,则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．[即时应用]已知数列{a n }的前n 项和为S n . (1)若S n ＝(－1)n ＋1·n ,求a 5＋a 6及a n ； (2)若a n ＞0,S n ＞1,且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2),求a n . 解：(1)a 5＋a 6＝S 6－S 4＝(－6)－(－4)＝－2, 当n ＝1时,a 1＝S 1＝1； 当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ＋1·n －(－1)n ·(n －1) ＝(－1)n ＋1·[n ＋(n －1)] ＝(－1)n ＋1·(2n －1), 又a 1也适合此式,所以a n ＝(－1)n ＋1·(2n －1)．(2)当n ＝1时,a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2),即a 21－3a 1＋2＝0. 解得a 1＝1或a 1＝2.因为a 1＝S 1＞1,所以a 1＝2.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝16(a n ＋1)(a n ＋2)－16(a n －1＋1)(a n －1＋2),所以(a n －a n －1－3)(a n ＋a n －1)＝0.因为a n ＞0,所以a n ＋a n －1＞0, 所以a n －a n －1－3＝0,所以数列{a n }是以2为首项,3为公差的等差数列． 所以a n ＝3n －1.考点三 由递推关系式求数列的通项公式(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法,它们都可以确定数列中的任意一项,只是由递推公式确定数列中的项时,不如通项公式直接．常见的命题角度有： (1)形如a n ＋1＝a n f (n ),求a n ； (2)形如a n ＋1＝a n ＋f (n ),求a n ；(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1),求a n .[题点全练]角度一：形如a n ＋1＝a n f (n ),求a n1．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),求数列{a n }的通项公式． 解：∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2),∴a n －1＝n －2n －1a n －2,a n －2＝n －3n －2a n －3,…,a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘得 a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时,a 1＝1,上式也成立． ∴a n ＝1n (n ∈N *)．角度二：形如a n ＋1＝a n ＋f (n ),求a n2．设数列{a n }满足a 1＝1,且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *),求数列{a n }的通项公式． 解：由题意有a 2－a 1＝2,a 3－a 2＝3,…,a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加,得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.又∵a 1＝1,∴a n ＝n 2＋n2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式, ∴a n ＝n 2＋n 2(n ∈N *)．角度三：形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1),求a n3．已知数列{a n }满足a 1＝1,当n ≥2,n ∈N *时,有a n ＝2a n －1－2,求数列{a n }的通项公式． 解：因为a n ＝2a n －1－2, 所以a n －2＝2(a n －1－2)．所以数列{a n －2}是以a 1－2＝－1为首项,2为公比的等比数列． 所以a n －2＝(－1)×2n －1, 即a n ＝2－2n －1.[通法在握]典型的递推数列及处理方法[演练冲关]根据下列条件,求数列{a n }的通项公式． (1)a 1＝1,a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)； (2)a 1＝1,2na n ＋1＝(n ＋1)a n (n ∈N *)；(3)a 1＝1,a n ＝3a n －1＋4(n ≥2)． 解：(1)由题意知a n ＋1－a n ＝2n ,a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n －1.(2)由2na n ＋1＝(n ＋1)a n ,得a n ＋1a n ＝n ＋12n. 所以a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.a n －2a n －3.....a 2a 1.a 1＝n 2(n －1).n －12(n －2).n －22(n －3).. (2)2×1×1＝n 2n －1.(3)因为a n ＝3a n －1＋4(n ≥2), 所以a n ＋2＝3(a n －1＋2)．因为a 1＋2＝3,所以{a n ＋2}是首项与公比都为3的等比数列． 所以a n ＋2＝3n ,即a n ＝3n －2.一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(嘉兴七校联考)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n ,则a 5＝( ) A ．25 B ．30 C ．10D ．12解析：选B 因为a n ＝n 2＋n ,所以a 5＝25＋5＝30.2．(浙江三地联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足log 2(S n ＋1)＝n (n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝( )A ．2nB ．2n －1C ．2n －1－1D.⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n ，n ≥2 解析：选B 由log 2(S n ＋1)＝n 可得S n ＝2n －1.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1；当n ＝1时,a 1＝S 1＝21－1＝1满足上式．所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.3．(衢州模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1,a n ＋1＝2a na n ＋2,则数列{a n }的通项公式a n 为( ) A.1n ＋1 B.2n ＋1 C.1n D.2n解析：选B 由a n ＋1＝2a n a n ＋2可得1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝1a n ＋12. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1a 1＝1为首项,公差为12的等差数列,所以1a n＝n ＋12,即a n ＝2n ＋1.4．(诸暨模拟)已知数列{a n }中,对任意的p ,q ∈N *都满足a p ＋q ＝a p a q ,若a 1＝－1,则a 9＝________.解析：由题可得,因为a 1＝－1,令p ＝q ＝1,则a 2＝a 21＝1；令p ＝q ＝2,则a 4＝a 22＝1；令p ＝q ＝4,则a 8＝a 24＝1,所以a 9＝a 8＋1＝a 1a 8＝－1.答案：－15．(杭州模拟)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2,则a 8＝________,a 2＋a 3＋a 4＝________. 解析：因为S n ＝n 2,所以a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15,a 2＋a 3＋a 4＝S 4－S 1＝42－1＝15. 答案：15 15二保高考,全练题型做到高考达标1．数列0,1,0,－1,0,1,0,－1,…的一个通项公式是a n 等于( ) A.(－1)n ＋12B ．cos n π2C ．cos n ＋12πD ．cos n ＋22π解析：选D 令n ＝1,2,3,…,逐一验证四个选项,易得D 正确．2．(天台模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ,且满足S n ＝2a n －3(n ∈N *),则S 6＝( ) A ．192 B ．189 C ．96D ．93解析：选B 因为S n ＝2a n －3,当n ＝1时,S 1＝2a 1－3＝a 1,解得a 1＝3.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n －3－2a n －1＋3＝2a n －2a n －1,解得a na n －1＝2.所以数列{a n }是首项为3,公比为2的等比数列,所以S 6＝3(1－26)1－2＝189.3．设数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n ＋S n ＋1＝a n ＋1(n ∈N *),则此数列是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列D ．摆动数列解析：选C 因为S n ＋S n ＋1＝a n ＋1,所以当n ≥2时,S n －1＋S n ＝a n ,两式相减,得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－a n ,所以有a n ＝0.当n ＝1时,a 1＋a 1＋a 2＝a 2,所以a 1＝0.所以a n ＝0.即数列是常数列．4．(绍兴模拟)已知数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1,若该数列的前n 项和为10,则项数n 的值为( )A ．11B ．99C ．120D ．121解析：选C 因为a n ＝1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ,所以该数列的前n 项和S n ＝n ＋1－1＝10,解得n ＝120.5．(丽水模拟)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0≤a n ＜12，2a n－1，12≤a n＜1，若a 1＝35,则a 2 018＝( )A.15B.25C.35D.45解析：选A 由a 1＝35∈⎣⎡⎭⎫12，1,得a 2＝2a 1－1＝15∈⎣⎡⎭⎫0，12,所以a 3＝2a 2＝25∈⎣⎡⎭⎫0，12,所以a 4＝2a 3＝45∈⎣⎡⎭⎫12，1,所以a 5＝2a 4－1＝35＝a 1.由此可知,该数列是一个周期为4的周期数列,所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝15.6．(镇海模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2,a n ＋1＝a 2n (a n ＞0,n ∈N *),则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：对a n ＋1＝a 2n 两边取对数,得log 2a n ＋1＝log 2a 2n ＝2log 2a n .所以数列{log 2a n }是以log 2a 1＝1为首项,2为公比的等比数列,所以log 2a n ＝2n －1,所以a n ＝22n －1.答案：22n －17．(海宁模拟)已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －1,则该数列的前8项和为________． 解析：S 8＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋5＋9＋13＝28. 答案：288．在一个数列中,如果对任意的n ∈N *,都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数),那么这个数列叫做等积数列,k 叫做这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列,且a 1＝1,a 2＝2,公积为8,则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.解析：依题意得数列{a n }是周期为3的数列,且a 1＝1,a 2＝2,a 3＝4,因此a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝4(a 1＋a 2＋a 3)＝4×(1＋2＋4)＝28.答案：289．已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *)． (1)求a 2,a 3的值； (2)证明：a n ＝3n －12.解：(1)因为a 1＝1,a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *), 所以a 2＝32－1＋1＝4, a 3＝33－1＋a 2＝9＋4＝13.(2)证明：因为a n ＝3n －1＋a n －1(n ≥2,n ∈N *), 所以a n －a n －1＝3n －1,所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋(a n －2－a n －3)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝3n －1＋3n －2＋…＋3＋1 ＝3n －12(n ≥2,n ∈N *)．当n ＝1时,a 1＝3－12＝1满足条件．所以当n ∈N *时,an ＝3n －12. 10．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时,a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *,都有a n ＋1＞a n ,求实数k 的取值范围． 解：(1)由n 2－5n ＋4＜0, 解得1＜n ＜4.因为n ∈N *,所以n ＝2,3,所以数列中有两项是负数,即为a 2,a 3. 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94, 由二次函数性质,得当n ＝2或n ＝3时,a n 有最小值,其最小值为a 2＝a 3＝－2.(2)由a n ＋1＞a n ,知该数列是一个递增数列,又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4,可以看作是关于n 的二次函数,考虑到n ∈N *,所以－k 2＜32,即得k ＞－3.所以实数k 的取值范围为(－3,＋∞)． 三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n ·2n ＋1,该数列的项排成一个数阵(如图),则该数阵中的第10行第3个数为________．a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 ……解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝9×102＋3＝48项,而a 48＝(－1)48×96＋1＝97,故该数阵第10行、第3个数为97.答案：972．(温州模拟)设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1),数列{a n }的通项公式a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)判定数列{a n }的单调性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1),f (2a n )＝2n (n ∈N *) , 所以f (2a n )＝log 22a n －log2a n 4＝a n －2a n ＝2n ,且0＜2a n ＜1, 解得a n ＜0.所以a n ＝n －n 2＋2.(2)因为a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1.因为a n ＜0,所以a n ＋1＞a n . 故数列{a n }是递增数列．第二节等差数列及其前n 项和1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ,A ,b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2,其中A 叫做a ,b 的等差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2. 3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ,m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列,且k ＋l ＝m ＋n (k ,l ,m ,n ∈N *),则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列,公差为d ,则{a 2n }也是等差数列,公差为2d . (4)若{a n },{b n }是等差数列,则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k ＋m ,a k ＋2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列． [小题体验]1．在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25,则a 2＋a 8＝________. 答案：102．(温州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3＝5,a 5＝3,则a n ＝________；S 7＝________. 答案：－n ＋8 283．(温州十校联考)在等差数列{a n }中,若a 3＋a 4＋a 5＝12,则S 7＝______. 答案：281．要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或第4项起,每一项与它前一项的差是同一个常数,那么此数列不是等差数列．2．求等差数列的前n 项和S n 的最值时,需要注意“自变量n 为正整数”这一隐含条件． [小题纠偏]1．首项为24的等差数列,从第10项开始为负数,则公差d 的取值范围是( ) A ．(－3,＋∞) B.⎝⎛⎭⎫－∞，－83 C.⎝⎛⎭⎫－3，－83 D.⎣⎡⎭⎫－3，－83 答案：D2．(湖州模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3＝16,a 6＝10,则公差d ＝________；S n 取到最大时的n 的值为________．解析：因为数列{a n }是等差数列,且a 3＝16,a 6＝10,所以公差d＝a 6－a 36－3＝－2,所以a n ＝－2n ＋22,要使S n能够取到最大值,则需a n ＝－2n ＋22≥0,所以解得n ≤11.所以可知使得S n 取到最大时的n 的值为10或11.答案：－2 10或11考点一 等差数列的基本运算(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(嘉兴二模)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若S 1S 4＝110,则S 3S 5＝( )A.25 B.35 C.37D.47解析：选A 设数列{a n }的公差为d ,因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和,且S 1S 4＝110,所以10a 1＝4a 1＋6d ,所以a 1＝d .所以S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝6d 15d ＝25.2．设等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2＝－d ,若a k 是a 6与a k ＋6的等比中项,则k ＝( ) A ．5 B ．6 C ．9D ．11解析：选C 因为a k 是a 6与a k ＋6的等比中项, 所以a 2k ＝a 6a k ＋6.又等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 2＝－d , 所以[a 2＋(k －2)d ]2＝(a 2＋4d )[a 2＋(k ＋4)d ], 所以(k －3)2＝3(k ＋3),解得k ＝9或k ＝0(舍去),故选C.3．公差不为零的等差数列{a n }中,a 7＝2a 5,则数列{a n }中第________项的值与4a 5的值相等．解析：设等差数列{a n }的公差为d ,∵a 7＝2a 5,∴a 1＋6d ＝2(a 1＋4d ),则a 1＝－2d ,∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －3)d ,而4a 5＝4(a 1＋4d )＝4(－2d ＋4d )＝8d ＝a 11,故数列{a n }中第11项的值与4a 5的值相等．答案：114．(绍兴模拟)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,满足S 2＝S 6,S 55－S 44＝2,则a 1＝______,公差d ＝________.解析：由S 2＝S 6,得S 6－S 2＝a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝4a 1＋14d ＝0,即2a 1＋7d ＝0.由S 55－S 44＝2,得52(a 1＋a 5)5－42(a 1＋a 4)4＝12(a 5－a 4)＝12d ＝2,解得d ＝4,所以a 1＝－14. 答案：－14 4等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含a1,d,n,a n,S n五个量,可“知三求二”．解决这些问题一般设基本量a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程(组)求解,体现方程思想．(2)如果已知等差数列中有几项的和是常数的计算问题,一般是等差数列的性质和等差数列求和公式S n＝n(a1＋a n)2结合使用,体现整体代入的思想．考点二等差数列的判断与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](温州模拟)已知数列{a n}中,a1＝12,a n＋1＝1＋a n a n＋12(n∈N*)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：因为对于n∈N*,a n＋1＝1＋a n a n＋12,所以a n＋1＝12－a n,所以1a n＋1－1－1a n－1＝112－a n－1－1a n－1＝2－a n－1a n－1＝－1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n－1是首项为1a1－1＝－2,公差为－1的等差数列．(2)由(1)知1a n－1＝－2＋(n－1)(－1)＝－(n＋1),所以a n－1＝－1n＋1,即a n＝nn＋1.[由题悟法]等差数列的判定与证明方法已知数列{a n}满足a1＝1,a n＝a n－12a n－1＋1(n∈N*,n≥2),数列{b n}满足关系式b n＝1a n(n∈N*)．(1)求证：数列{b n}为等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：∵b n＝1a n,且a n＝a n－12a n－1＋1,∴b n＋1＝1a n＋1＝1a n2a n＋1＝2＋1a n,∴b n＋1－b n＝2＋1a n－1a n＝2.又b1＝1a1＝1,∴数列{b n}是首项为1,公差为2的等差数列．(2)由(1)知数列{b n}的通项公式为b n＝1＋(n－1)×2＝2n－1,又b n＝1a n,∴a n＝1b n＝12n－1.∴数列{a n}的通项公式为a n＝12n－1.考点三等差数列的性质及最值(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(宁波模拟)在等差数列{a n}中,若a9a8＜－1,且其前n项和S n有最小值,则当S n＞0时,n的最小值为()A．14B．15C．16 D．17解析：选C∵数列{a n}是等差数列,它的前n项和S n有最小值,∴公差d＞0,首项a1＜0,{a n} 为递增数列,∵a9a8＜－1,∴a8·a9＜0,a8＋a9＞0,由等差数列的性质知2a8＝a1＋a15＜0,a8＋a9＝a1＋a16＞0.∵S n＝(a1＋a n)n2,∴当S n＞0时,n的最小值为16.2．(嘉兴一中模拟)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S6＞S7＞S5,则满足a n＞0的最大n的值为______,满足S k S k＋1＜0的正整数k＝______.解析：由题可得a6＝S6－S5＞0,a7＝S7－S6＜0,所以使得a n＞0的最大n的值为6.又a6＋a7＝S7－S5＞0,则S11＝11(a1＋a11)2＝11a6＞0,S12＝12(a1＋a12)2＝6(a6＋a7)＞0,S13＝13(a1＋a13)2＝13a7＜0,因为{a n}是递减的等差数列,所以满足S k S k＋1＜0的正整数k＝12.答案：612[由题悟法]1．等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中,a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n ),其几何意义是点(n ,a n ),(m ,a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中,S n 为其前n 项和,则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .2．求等差数列前n 项和S n 最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ,通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法：①当a 1＞0,d ＜0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1＜0,d ＞0时,满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .[即时应用]1．(浙江新高考联盟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 8＝13,则S 8S 16＝( )A.310B.37C.13D.12解析：选A 因为数列{a n }是等差数列,所以S 4,S 8－S 4,S 12－S 8,S 16－S 12成等差数列,因为S 4S 8＝13,所以不妨设S 4＝1,则S 8＝3,所以S 8－S 4＝2,所以S 16＝1＋2＋3＋4＝10,所以S 8S 16＝310. 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知前6项和为36,最后6项的和为180,S n ＝324(n ＞6),则数列{a n }的项数为________．解析：由题意知a 1＋a 2＋…＋a 6＝36,① a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a n －5＝180,②①＋②得(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a 6＋a n －5)＝6(a 1＋a n )＝216,∴a 1＋a n ＝36, 又S n ＝n (a 1＋a n )2＝324, ∴18n ＝324,∴n ＝18. 答案：18一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(杭州模拟)已知递增的等差数列{a n }满足a 1＝1,a 3＝a 22－4.则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝－2n ＋3C ．a n ＝2n －1或－2n ＋3D ．a n ＝2n解析：选A 设数列{a n }的公差为d ,由a 3＝a 22－4可得1＋2d ＝(1＋d )2－4,解得d ＝±2.因为数列{a n }是递增数列,所以d ＞0,故d ＝2.所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.2．(舟山期末)在等差数列{a n }中,若a 2＝1,a 4＝5,则{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20D ．25解析：选B 因为a 2＝1,a 4＝5,所以S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝15. 3．(缙云模拟)已知{a n }为等差数列,其公差d 为－2,且a 7是a 3与a 9的等比中项,S n 为{a n }的前n 项和,则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．110解析：选D 设数列{a n }的首项为a 1,因为a 7是a 3与a 9的等比中项,所以(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16),解得a 1＝20.所以S 10＝10a 1＋45d ＝200－90＝110.4．(腾远调研)我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里；驽马初日行九十七里,日减半里；良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问：________日相逢？解析：由题意知,良马每日行的距离成等差数列,记为{a n },其中a 1＝103,d 1＝13；驽马每日行的距离成等差数列,记为{b n },其中b 1＝97,d 2＝－0.5.设第m 天相逢,则a 1＋a 2＋…＋a m ＋b 1＋b 2＋…＋b m ＝103m ＋m (m －1)×132＋97m ＋m (m －1)×(－0.5)2＝2×1 125,解得m ＝9(负值舍去)．即二马需9日相逢．答案：95．等差数列{a n }中,已知a 5＞0,a 4＋a 7＜0,则{a n }的前n 项和S n 的最大值为________．解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 7＝a 5＋a 6＜0，a 5＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5＞0，a 6＜0，∴S n 的最大值为S 5. 答案：S 5二保高考,全练题型做到高考达标1．(金丽衢十二校联考)已知正项数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝2,当n ≥2,n ∈N *时,an ＝a 2n ＋1＋a 2n －12,则a 6＝( )A ．2 2B ．4C ．16D ．45解析：选B 因为a n ＝a 2n ＋1＋a 2n －12,所以2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1,即a 2n ＋1－a 2n ＝a 2n －a 2n －1,所以数列{a 2n }是等差数列,公差d ＝a 22－a 21＝4－1＝3,所以a 2n ＝1＋3(n －1)＝3n －2,所以a n ＝3n －2,所以a 6＝18－2＝4.2．(浙江五校联考)等差数列{a n }中,a 1＝0,等差d ≠0,若a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7,则实数k ＝( ) A ．22 B ．23 C ．24D ．25解析：选A 因为a 1＝0,且a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7, 即(k －1)d ＝21d ,又因为d ≠0,所以k ＝22.3．(河南六市一联)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,若{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相等,则a 6＝( )A.114B.32C.72D ．1解析：选A 设{a n }的公差为d ,由题意得,S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ,又{a n }和{S n }都是等差数列,且公差相同,∴⎩⎨⎧d ＝ d 2，a 1－d2＝0，解得⎩⎨⎧d ＝12，a 1＝14，a 6＝a 1＋5d ＝14＋52＝114.4．(东阳模拟)已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n ＝7n ＋45n ＋3,则使得a nb n为整数的正整数的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D 由A n B n ＝7n ＋45n ＋3,可得a n b n ＝A 2n －1B 2n －1＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1,所以要使a n b n 为整数,则需12n ＋1为整数,所以n ＝1,2,3,5,11,共5个．5．设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S nS 2n为常数,则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1,公差不为0,若数列{b n }为“吉祥数列”,则数列{b n }的通项公式为( )A ．b n ＝n －1B ．b n ＝2n －1C ．b n ＝n ＋1D ．b n ＝2n ＋1解析：选B 设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0),S n S 2n ＝k ,因为b 1＝1,则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ,即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d , 整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立, 所以(4k －1)d ＝0,(2k －1)(2－d )＝0,解得d ＝2,k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.6．(台州中学期中)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2＝18,S 18＝54,则a 17＝________,S n ＝__________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,因为a 2＝18,S 18＝54,所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝18，18a 1＋18×172d ＝54，解得a 1＝20,d ＝－2.所以a 17＝a 1＋16d ＝20－32＝－12,S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－n 2＋21n . 答案：－12 －n 2＋21n7．在等差数列{a n }中,a 1＝7,公差为d ,前 n 项和为S n ,当且仅当n ＝8 时S n 取得最大值,则d 的取值范围为________．解析：由题意,当且仅当n ＝8时S n 有最大值,可得 ⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，a 8＞0，a 9＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧d ＜0，7＋7d ＞0，7＋8d ＜0，解得－1＜d ＜－78.答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 8．(金华浦江适考)设数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n ,T n ,其中a n ＝－3n ＋20,b n ＝|a n |,则使T n ＝S n 成立的最大正整数n 为________,T 2 018＋S 2 018＝________.解析：根据题意,数列{a n }中,a n ＝－3n ＋20,则数列{a n }是首项为17,公差为－3的等差数列,且当n ≤6时,a n＞0,当n ≥7时,a n ＜0,又由b n ＝|a n |,当n ≤6时,b n ＝a n ,当n ≥7时,b n ＝－a n ,则使T n ＝S n 成立的最大正整数为6,T 2 018＋S 2 018＝(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a 2 018)＋(b 1＋b 2＋…＋b 6＋b 7＋b 8＋…＋b 2 018)＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)＝(17＋2)×6＝114.答案：6 1149．已知等差数列的前三项依次为a,4,3a ,前n 项和为S n ,且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项b n ＝S nn ,证明：数列{b n }是等差数列,并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n },则a 1＝a ,a 2＝4,a 3＝3a , 由已知有a ＋3a ＝8,得a 1＝a ＝2,公差d ＝4－2＝2, 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110,得k 2＋k －110＝0,解得k ＝10或k ＝－11(舍去),故a ＝2,k ＝10. (2)证明：由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1),则b n ＝S nn ＝n ＋1,故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1,即数列{b n }是首项为2,公差为1的等差数列, 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.10．(南昌调研)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3,且a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,当n ≥5时,a n＞0.(1)求证：当n ≥5时,{a n }成等差数列； (2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3, 得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ,即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0. 当n ≥5时,a n ＞0,所以a n ＋1－a n ＝2, 所以当n ≥5时,{a n }成等差数列． (2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3,得a 1＝3或a 1＝－1, 又a 1,a 2,a 3,a 4,a 5成等比数列,所以由(1)得a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5),q ＝－1, 而a 5＞0,所以a 1＞0,从而a 1＝3,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1，1≤n ≤4，2n －7，n ≥5，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ]，1≤n ≤4，n 2－6n ＋8，n ≥5.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1．(浙江五校联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0,且a 1,a 3,a 13成等比数列,若a 1＝1,S n 为数列{a n }的前n 项和,则2S n ＋16a n ＋3的最小值为________．解析：设公差为d .因为a 1,a 3,a 13成等比数列,所以(1＋2d )2＝1＋12d ,解得d ＝2.所以a n ＝2n －1,S n ＝n 2.所以2S n ＋16a n ＋3＝2n 2＋162n ＋2＝n 2＋8n ＋1.令t ＝n ＋1,则原式＝t 2＋9－2t t ＝t ＋9t －2.因为t ≥2,t ∈N *,所以当t ＝3,即n ＝2时,⎝ ⎛⎭⎪⎫2S n ＋16a n ＋3min＝4. 答案：42．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1)若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2)当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)法一：∵数列{a n }是等差数列, ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ,a n ＋1＝a 1＋nd . 由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n －3, ∴2dn ＋(2a 1－d )＝4n －3, 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3, 解得d ＝2,a 1＝－12.法二：在等差数列{a n }中,由a n ＋1＋a n ＝4n －3, 得a n ＋2＋a n ＋1＝4(n ＋1)－3＝4n ＋1, ∴2d ＝a n ＋2－a n ＝(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n ) ＝4n ＋1－(4n －3)＝4, ∴d ＝2.又∵a 1＋a 2＝2a 1＋d ＝2a 1＋2＝4×1－3＝1, ∴a 1＝－12.(2)由题意,①当n 为奇数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n －1)]－3×n －12＝2n 2－3n ＋52.②当n 为偶数时,S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.第三节等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母q 表示,定义的表达式为a n ＋1a n＝q .(2)等比中项：如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔a ,G ,b 成等比数列⇒G 2＝ab .2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m(n ,m ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ＝2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *), 则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k ；(3)若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ,{a 2n },{a n ·b n },⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n (λ≠0)仍然是等比数列；(4)在等比数列{a n }中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即a n ,a n ＋k ,a n ＋2k ,a n ＋3k ,…为等比数列,公比为q k .[小题体验]1．(教材习题改编)将公比为q 的等比数列a 1,a 2,a 3,a 4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2,a 2a 3,a 3a 4,….此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列答案：B2．(台州模拟)已知等比数列{a n }各项都是正数,且a 4－2a 2＝4,a 3＝4,则a n ＝________；S 10＝________. 解析：设公比为q ,因为a 4－2a 2＝4,a 3＝4, 所以有4q －8q ＝4,解得q ＝2或q ＝－1. 因为q ＞0,所以q ＝2.所以a 1＝a 3q 2＝1,a n ＝a 1q n －1＝2n －1.所以S 10＝1－2101－2＝210－1＝1 023.答案：2n －1 1 0233．在数列{a n }中,a 1＝1,a n ＋1＝3a n (n ∈N *),则a 3＝______；S 5＝_________. 答案：9 1211．特别注意q ＝1时,S n ＝na 1这一特殊情况．2．由a n ＋1＝qa n ,q ≠0,并不能立即断言{a n }为等比数列,还要验证a 1≠0.3．在运用等比数列的前n 项和公式时,必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论,防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．4．S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 未必成等比数列(例如：当公比q ＝－1且n 为偶数时,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 不成等比数列；当q ≠－1或q ＝－1且n 为奇数时,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列),但等式(S 2n －S n )2＝S n ·(S 3n －S 2n )总成立．[小题纠偏]1．在等比数列{a n }中,a 3＝2,a 7＝8,则a 5等于( ) A ．5 B ．±5 C ．4D ．±4解析：选C a 25＝a 3a 7＝2×8＝16,∴a 5＝±4,又∵a 5＝a 3q 2＞0,∴a 5＝4. 2．设数列{a n }是等比数列,前n 项和为S n ,若S 3＝3a 3,则公比q ＝________. 答案：－12或1考点一 等比数列的基本运算(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(绍兴模拟)等比数列{a n }的公比为2,前n 项和为S n .若1＋2a 2＝S 3,则a 1＝( ) A .17 B.15 C.13D ．1解析：选C 由题可得,1＋4a 1＝a 1＋2a 1＋4a 1,解得a 1＝13.2．(杭二中仿真)各项都是正数的等比数列{a n }中,若a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为( )A.5＋12B.5－12C.1－52D.5＋12或1－52解析：选B 设数列{a n }的公比为q (q ＞0,q ≠1),由a 2,12a 3,a 1成等差数列可得a 3＝a 2＋a 1,所以有q 2－q －1＝0,解得q ＝5＋12(负值舍去)．所以a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. [由题悟法]解决等比数列有关问题的2种常用思想方程的思想等比数列中有五个量a 1,n ,q ,a n ,S n ,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)1．(浙北联考)设等比数列{a n }的公比q ＝2,前n 项和为S n ,则S 4a 2＝( )A ．2B ．4 C.152D.172解析：选C 因为q ＝2,所以S 4a 2＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4a 2＝1＋q ＋q 2＋q 3q ＝1＋2＋4＋82＝152.2．(宁波模拟)已知等比数列{a n }满足a 2＝14,a 2a 8＝4(a 5－1),则a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8的值为( )A ．20B ．31C ．62D ．63解析：选B 因为a 2a 8＝a 25＝4(a 5－1),解得a 5＝2.所以q ＝2.所以a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝1＋2＋4＋8＋16＝31.3．(杭州二检)设各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 4＝80,S 2＝8,则公比q ＝________,a 5＝________.解析：由题可得,设数列{a n }的公比为q (q ＞0,q ≠1),根据题意可得a 1(1－q 4)1－q ＝80,a 1(1－q 2)1－q ＝8,解得a 1＝2,q＝3,所以a 5＝a 1q 4＝2×34＝162.答案：3 162考点二 等比数列的判定与证明(重点保分型考点——师生共研)[典例引领](2016·全国卷Ⅲ)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ,其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列,并求其通项公式； (2)若S 5＝3132,求λ.解：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1, 故λ≠1,a 1＝11－λ,故a 1≠0. 由S n ＝1＋λa n ,S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n , 即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0,λ≠0得a n ≠0,所以a n ＋1a n＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ,公比为λλ－1的等比数列,于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n . 由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132,即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132.解得λ＝－1.[由题悟法]等比数列的4种常用判定方法[的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列,则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．[即时应用](衢州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1＝1,S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *),若数列{b n }满足b n ＝a n ＋1－2a n ,求证：{b n }是等比数列．证明：因为S n ＋1＝4a n ＋2, 所以S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2,又a 1＝1,所以a 2＝5,b 1＝a 2－2a 1＝3, 当n ≥2时,S n ＝4a n －1＋2. 所以S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝4a n －4a n －1. 因为b n ＝a n ＋1－2a n , 所以当n ≥2时,b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝4a n －4a n －1－2a n a n －2a n －1＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1＝2. 所以{b n }是以3为首项,2为公比的等比数列．考点三 等比数列的性质(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(宁波模拟)已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0,数列{b n }是等比数列,且b 7＝a 7,则b 2b 8b 11＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选D 由等差数列的性质,得a 6＋a 8＝2a 7. 由a 6－a 27＋a 8＝0,可得a 7＝2, 所以b 7＝a 7＝2.由等比数列的性质得b 2b 8b 11＝b 2b 7b 12＝b 37＝23＝8. 2．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4S 2＝5,则S 8S 4＝________.解析：由题可得,S 2,S 4－S 2,S 6－S 4,S 8－S 6成等比数列,因为S 4S 2＝5,不妨设S 2＝1,则S 4＝5,所以S 4－S 2＝4, 所以S 8＝1＋4＋16＋64＝85, 所以S 8S 4＝855＝17.答案：17[由题悟法]等比数列的性质可以分为3类通项公式的变形 根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口等比中项的变形 前n 项和公式的变形[即时应用]1．(诸暨模拟)已知等比数列{a n }中,a 1＋a 2＋a 3＝40,a 4＋a 5＋a 6＝20.则该数列的前9项和为( ) A ．50 B ．70 C ．80D ．90解析：选B 由等比数列的性质得S 3,S 6－S 3,S 9－S 6也成等比数列,由S 3＝40,S 6－S 3＝20,知公比为12,故S 9－S 6＝10,S 9＝70.2．(浙江联盟模拟)已知{a n }是等比数列,且a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25,则a 3＋a 5＝________；a 4的最大值为________．解析：因为a n ＞0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25,所以a 3＋a 5＝5,所以a 3＋a 5＝5≥2a 3a 5＝2a 4,所以a 4≤52.即a 4的最大值为52.答案：552一抓基础,多练小题做到眼疾手快1．(舟山模拟)已知x ,y ,z ∈R ,若－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,则xyz 的值为( )A ．－3B ．±3C ．－3 3D ．±3 3解析：选C 因为－1,x ,y ,z ,－3成等比数列,由等比数列的性质及等比中项可知,xz ＝3,y 2＝3,且y 与－1,－3符号相同,所以y ＝－3,所以xyz ＝－3 3.2．(湖州六校联考)已知等比数列的前n 项和为54,前2n 项和为60,则前3n 项和为( ) A ．66 B ．64C ．6623D ．6023解析：选D 因为等比数列中,S n ,S 2n －S n ,S 3n －S 2n 成等比数列,所以54(S 3n －60)＝36,解得S 3n ＝6023.3．(金华十校联考)在等比数列{a n }中,已知a 7a 12＝5,则a 8a 9a 10a 11的值为( ) A ．10 B ．25C ．50D ．75解析：选B 因为a 7a 12＝a 8a 11＝a 9a 10＝5,所以a 8a 9a 10a 11＝52＝25.4．(浙江名校协作体测试)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意的正整数n ,均有S n ＋3＝8S n ＋3,则a 1＝_________,公比q ＝________.解析：因为S n ＋3＝8S n ＋3,所以当n ≥2时,S n ＋2＝8S n －1＋3,两式相减,可得a n ＋3＝8a n ,所以q 3＝8,解得q ＝2；当n ＝1时,S 4＝8S 1＋3,即15a 1＝8a 1＋3,解得a 1＝37.答案：3725．(永康适应性测试)数列{a n }的前n 项和为S n ,S n ＝2a n ＋n ,则a 1＝______,数列{a n }的通项公式a n ＝_______.解析：因为S n ＝2a n ＋n ,所以当n ＝1时,S 1＝a 1＝2a 1＋1,所以a 1＝－1.当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋n －2a n －1－n ＋1,即a n ＝2a n －1－1,即a n －1＝2(a n －1－1),所以数列{a n －1}是以－2为首项,2为公比的等比数列,所以a n －1＝－2n ,所以a n ＝1－2n .答案：－1 1－2n二保高考,全练题型做到高考达标1．(浙大附中模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＋1＝pS n ＋q (n ∈N *,p ≠－1),则“a 1＝q ”是“{a n }为等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为a n ＋1＝pS n ＋q ,所以当n ≥2时,a n ＝pS n －1＋q ,两式相减得a n ＋1－a n ＝pa n ,即当n ≥2时,a n ＋1a n ＝1＋p .当n ＝1时,a 2＝pa 1＋q .所以当a 1＝q 时,a 2a 1＝1＋p ,满足上式,故数列{a n }为等比数列,所以是充分条件；当{a n }为等比数列时,有a 2＝pa 1＋q ＝(1＋p )a 1,解得a 1＝q ,所以是必要条件,从而选C.2．(乐清模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1＝1,a n ＋1＝3S n (n ∈N *),则S 6＝( ) A ．44B ．45C.46－13D.45－13解析：选B 因为a 1＝1,a n ＋1＝3S n ＝S n ＋1－S n ,所以S n ＋1＝4S n ,所以数列{S n }是首项为S 1＝a 1＝1,公比为4的等比数列,所以S 6＝45.3．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *),且a 2＋a 4＋a 6＝9,则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A ．－5B ．－15C ．5D.15解析：选A ∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1,∴a n ＋1＝3a n . ∴数列{a n }是以公比q ＝3的等比数列． ∵a 5＋a 7＋a 9＝q 3(a 2＋a 4＋a 6),∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13(9×33)＝log 1335＝－5.4．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何？”意思是：“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件,若要使织布的总尺数不少于30,该女子所需的天数至少为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 设该女子第一天织布x 尺,则x (1－25)1－2＝5,得x ＝531,∴前n 天所织布的尺数为531(2n －1)．由531(2n－1)≥30,得2n ≥187,则n 的最小值为8. 5．(金华模拟)设A n ,B n 分别为等比数列{a n },{b n }的前n 项和．若A n B n ＝12n ＋1,则a 7b 3＝( ) A.19 B.12763 C.43D.1312解析：选C 由题意知,A n B n＝12n ＋1,令A n ＝k (2n －1),k ≠0,则B n ＝A n ·(2n ＋1)＝k (2n －1)(2n ＋1)＝k (4n －1)．所以a 7＝A 7－A 6＝k (27－1)－k (26－1)＝64k ,b 3＝B 3－B 2＝k (43－1)－k (42－1)＝48k ,所以a 7b 3＝64k 48k ＝43.6．(超级全能生模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 1＝1,a 1,S 2,5成等差数列,则数列{a n }的公比q ＝________,S n ＝_________.解析：由题可得,2S 2＝2(1＋q )＝1＋5＝6,所以q ＝2,所以S n ＝1－2n 1－2＝2n－1.答案：2 2n －17．(慈溪中学)在正项等比数列{a n }中,若a 1＝1,a 1＋a 3＋a 5＝21,则q ＝________；a 3＋a 5＋a 7的值为________．。
数列、极限、数学归纳法(下)
【例题解析】例1 完成下列各选择题（1）“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为21的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b 2=ac ”；“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是2b=a+c ”，以上四个命题中，正确的有（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个（2）命题1：若数列{a n }的前n 项和S n =a n +b(a ≠1)，则数列{a n }是等比数列； 命题2：若数列{a n }的前n 项和S n =an 2+bn+c(a ≠0)，则数列{a n }是等差数列； 命题3：若数列{a n }的前n 项和S n =na －n ，则数列{a n }既是等差数列，又是等比数列；上述三个命题中，真命题有（ ） A.0个 B.1个C.2个D.3个（3）设{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ） A.1 B.2 C.4 D.6 解析 （1）四个命题中只有最后一个是真命题。
命题1中未考虑各项都为0的等差数列不是等比数列； 命题2中可知a n+1=a n ×21，a n+1<a n 未必成立，当首项a 1<0时，a n <0，则21a n >a n ，即a n+1>a n ，此时该数列为递增数列；命题3中，若a=b=0，c ∈R ，此时有ac b =2，但数列a,b,c 不是等比数列，所以应是必要而不充分条件，若将条件改为b=ac ，则成为不必要也不充分条件。
（2）上述三个命题均涉及到S n 与a n 的关系，它们是a n =⎩⎨⎧--,11n nS S a 时当时当21≥=n n正确判断数列{a n }是等差数列或等比数列，都必须用上述关系式，尤其注意首项与其他各项的关系。
上述三个命题都不是真命题，选择A 。
由命题1得，a 1=a+b ，当n ≥2时，a n =S n －S n －1=(a －1)·a n －1。
课时考点6数列、极限、数学归纳法PPT文档19页
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
19
课时考点6数列、极限、数学归纳法
21、静念园林好，人间良可辞。 22、步步寻往迹，有处特依依。 23、望云惭高鸟，临木愧游鱼。 24、结庐在人境，而无车马喧；问君 何能尔 ？心远 地自偏 。 25、人生归有道，衣食固其端。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
关于数列的知识点总结归纳
关于数列的知识点总结归纳【关于数列的知识点总结归纳】一、数列的定义和基本概念数列是由一系列按照一定顺序排列的数所组成的序列。
其中，每个数字称为数列的项，项的位置称为项数。
二、数列的分类1.等差数列等差数列是指数列中各项之间的差值相等的数列。
其中，差值称为公差。
常用符号表示为an=a1+(n-1)d。
等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
2.等比数列等比数列是指数列中各项之间的比值相等的数列。
其中，比值称为公比。
常用符号表示为an=a1*r^(n-1)。
等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
3.斐波那契数列斐波那契数列是指数列中每一项都是前两项的和的数列。
其中，首项和次项为1，即F1=F2=1，第n项的值为Fn=Fn-1+Fn-2。
4.等差减数列等差减数列是指数列中各项之间的差值递减的数列。
例如，1，2，4，7，11就是一个等差减数列。
5.等差倍数数列等差倍数数列是指数列中各项之间的差值递增的数列，并且差值是递增的倍数关系。
例如，1，2，6，15，31就是一个等差倍数数列。
三、数列的性质和定理1.递推公式递推公式是指通过前面几个项计算后面项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的递推公式。
2.通项公式通项公式是指通过项数n直接计算出第n项的公式。
根据不同数列的特点，可以得到相应的通项公式。
3.前n项和公式前n项和公式是指数列前n项的和的公式。
通过该公式，可以快速计算数列前n项的和。
例如等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2。
4.数列的求和法则根据数列的性质，可以得到各类数列的求和法则。
例如，等差数列的前n项和公式为Sn=(a1+an)*n/2，等比数列的前n项和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)。
5.数列的性质和规律数列中的项之间存在着一定的性质和规律，比如等差数列的项与项之差相等，等比数列的项与项之比相等等。
高三 复习 数列 (含数学归纳法+证明) (7份)教案+习题+经典例题+答案
第1节数列的概念及简单表示法最新考纲 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)；2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．知识梳理1．数列的概念(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法．2．数列的分类3.数列的通项公式(1)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系可以用一个式子a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．(2)递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．4．已知数列{a n }的前n 项和S n ，则a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.[常用结论与微点提醒] 1．一些常见数列的通项公式(1)数列1，2，3，4，…的通项公式为a n ＝n ； (2)数列2，4，6，8，…的通项公式为a n ＝2n ； (3)数列1，2，4，8，…的通项公式为a n ＝2n －1； (4)数列1，4，9，16，…的通项公式为a n ＝n 2； (5)数列1，12，13，14，…的通项公式为a n ＝1n . 2．已知递推关系求通项一般有两种常见思路： (1)算出前几项，再归纳、猜想； (2)利用累加或累乘法求数列的通项公式．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) 解析 (1)数列：1，2，3和数列：3，2，1是不同的数列． (2)数列中的数是可以重复的． (3)不是所有的数列都有通项公式． 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．64解析 当n ＝8时，a 8＝S 8－S 7＝82－72＝15. 答案 A3．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依此归纳该数列的通项不可能是( ) A ．a n ＝(－1)n －1＋1B ．a n ＝⎩⎨⎧2，n 为奇数，0，n 为偶数C ．a n ＝2sin n π2D ．a n ＝cos(n －1)π＋1解析 对n ＝1，2，3，4进行验证，a n ＝2sin n π2不合题意，故选C.答案 C4．已知a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，则实数λ的取值范围是________．解析 因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1＞a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)＞n 2＋λn ，整理，得2n ＋1＋λ＞0，即λ＞－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ＞－3. 答案 (－3，＋∞)5．(2018·台州月考)在数列{x n }中，x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，则数列{x n }的第2项是________，所有项和T ＝________． 解析 ∵x 1＝10，x n ＝log 2(x n －1－2)，∴x 2＝log 2(x 1－2)＝log 28＝3，x 3＝log 2(x 2－2)＝log 21＝0. 数列{x n }所有项的和为10＋3＋0＝13. 答案 3 136．(必修5P33A5改编)根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________．解析 a 1＝1，a 2＝6＝1＋5＝1＋5×(2－1)，a 3＝11＝1＋5×2＝1＋5×(3－1)， a 4＝16＝1＋5×3＝1＋5×(4－1)， ∴a n ＝1＋5×(n －1)＝5n －4. 答案 5n －4考点一 由数列的前几项求数列的通项【例1】 根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)－1，7，－13，19，…； (2)23，415，635，863，1099，…； (3)12，2，92，8，252，…； (4)5，55，555，5 555，….解 (1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n ，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6，故数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积，分子依次为2，4，6，…，相邻的偶数，故所求数列的一个通项公式为a n ＝2n（2n －1）（2n ＋1）.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，分子为项数的平方，从而可得数列的一个通项公式为a n ＝n 22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9，99，999，…的通项为10n －1，故所求的数列的一个通项公式为a n ＝59(10n －1)．规律方法 根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征； (2)相邻项的联系特征； (3)拆项后的各部分特征；(4)符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想． 【训练1】 (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *)B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列－11×2，12×3，－13×4，14×5，…的一个通项公式a n ＝________．解析 (1)注意到分子0，2，4，6都是偶数，对照选项排除即可．(2)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1n （n ＋1）.答案 (1)C (2)(－1)n1n （n ＋1）考点二 由S n 与a n 的关系求a n (易错警示)【例2】 (1)(2017·温州市十校联考)在数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S n ＝2a n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________．(2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则数列的通项公式a n ＝________． 解析 (1)依题意得S n ＋1＝2a n ＋1＋1，S n ＝2a n ＋1，两式相减得S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ，即a n ＋1＝2a n ，又S 1＝2a 1＋1＝a 1，因此a 1＝－1，所以数列{a n }是以a 1＝－1为首项、2为公比的等比数列，a n ＝－2n －1. (2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋1－3n －1－1＝2·3n －1. 显然当n ＝1时，不满足上式． ∴a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案 (1)－2n －1(2)⎩⎨⎧4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2规律方法 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.①当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；②当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．易错警示 在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形． 【训练2】 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式a n ＝________． 解析 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.(2)由S n ＝23a n ＋13，得当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13， 两式相减，得a n ＝23a n －23a n －1，∴当n ≥2时，a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2.又n ＝1时，S 1＝a 1＝23a 1＋13，a 1＝1， ∴a n ＝(－2)n －1.答案 (1)⎩⎨⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2 (2)(－2)n －1考点三 由数列的递推关系求通项公式【例3】 (1)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．(2)(2018·衢州质检)在数列{a n }中，a 1＝1，(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1(n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0， 得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n－1，∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(当n ＝1时，也满足)．(2)由(n 2＋2n )(a n ＋1－a n )＝1得a n ＋1－a n ＝1n 2＋2n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以a 2－a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫11－13，a 3－a 2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14，…，a n －1－a n －2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ，a n －a n －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋1＝74－2n ＋12n （n ＋1）.答案 (1)3×2n －1－2 (2)74－2n ＋12n （n ＋1）规律方法 (1)形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项．(2)形如a n ＋1＝a n ·f (n )的递推关系式可化为a n ＋1a n ＝f (n )的形式，可用累乘法，也可用a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1代入求出通项．(3)形如a n ＋1＝pa n ＋q 的递推关系式可以化为(a n ＋1＋x )＝p (a n ＋x )的形式，构成新的等比数列，求出通项公式，求变量x 是关键． 【训练3】 在数列{a n }中，(1)若a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，则通项公式a n ＝________．(2)(一题多解)若a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则通项公式a n ＝________． (3)若a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋3，则通项公式a n ＝________．解析 (1)由题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(2＋3＋…＋n )＝2＋（n －1）（2＋n ）2＝n （n ＋1）2＋1.又a 1＝2＝1×（1＋1）2＋1，符合上式，因此a n ＝n （n ＋1）2＋1.(2)法一 因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1·a n －2，…，a 2＝12a 1，以上(n－1)个式子的等号两端分别相乘得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n . 法二 因为a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －1n －2·…·1＝1n . (3)设递推公式a n ＋1＝2a n ＋3可以转化为a n ＋1＋t ＝2(a n ＋t )，即a n ＋1＝2a n ＋t ，解得t ＝3.故a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)．令b n ＝a n ＋3，则b 1＝a 1＋3＝4，且b n ＋1b n ＝a n ＋1＋3a n ＋3＝2.所以{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列． ∴b n ＝4·2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案 (1)n （n ＋1）2＋1 (2)1n(3)2n ＋1－3基础巩固题组一、选择题1．数列23，－45，67，－89，…的第10项是( )A ．－1617B ．－1819C ．－2021D ．－2223解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：符号、分母、分子．很容易归纳出数列{a n }的通项公式a n ＝(－1)n＋1·2n 2n ＋1，故a 10＝－2021. 答案 C2．数列0，1，0，－1，0，1，0，－1，…的一个通项公式a n 等于( ) A.（－1）n ＋12B ．cos n π2C ．cosn ＋12πD ．cos n ＋22π解析 令n ＝1，2，3，…，逐一验证四个选项，易得D 正确． 答案 D3．(一题多解)在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)解析 法一 由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.法二 由题意知a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1. 答案 A4．数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝2n －3，若a 1＝2，则a 8－a 4＝( ) A ．7B ．6C ．5D ．4解析 依题意得(a n ＋2＋a n ＋1)－(a n ＋1＋a n )＝[2(n ＋1)－3]－(2n －3)，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 8－a 4＝(a 8－a 6)＋(a 6－a 4)＝2＋2＝4. 答案 D5．数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，a n 等于( ) A ．2n －1B ．n 2C.（n ＋1）2n 2D.n 2（n －1）2解析 设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2， 当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2（n －1）2.答案 D6．(2018·宁波镇海中学调研)已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．(3，5)B ．(4，6)C ．[3，5)D ．[4，6)解析 由S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2.两式相减得，a n ＋1＋a n ＝8n ＋4(n ≥2)，则a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12.两式相减得，a n ＋2－a n ＝8(n ≥2)．又由a 1＝a ，a 1＋a 2＋a 1＝16得a 2＝16－2a ，又由a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝4×32得a 3＝4＋2a ，所以a 2n ＝a 2＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ，a 2n ＋1＝a 3＋8(n －1)＝8n －4＋2a .因为对任意n ∈N *，a n ＜a n ＋1恒成立，所以⎝ ⎛a ＜16－2a ，8n ＋8－2a ＜8n －4＋2a ，8n －4＋2a ＜8（n ＋1）＋8－2a ，解得3＜a ＜5. 答案 A二、填空题7．若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n，a 8＝3421，则a 5＝________．解析 借助递推关系，则a 8递推依次得到a 7＝2113，a 6＝138，a 5＝85. 答案 858．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ≠0(n ∈N *)，又a n a n ＋1＝S n ，则a 3－a 1＝________．解析 因为a n a n ＋1＝S n ，所以令n ＝1得a 1a 2＝S 1＝a 1，由于a 1≠0，则a 2＝1，令n ＝2，得a 2a 3＝S 2＝a 1＋a 2，即a 3＝1＋a 1，所以a 3－a 1＝1. 答案 19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a 1＝________；a n ＝________．解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.答案 4 ⎩⎨⎧4，n ＝1，2n ＋1，n ≥210．(2018·绍兴一中适应性考试)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝ (－1)n ·(a n －2)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________，数列{b n }的前50项和为________．解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n ＋1－[(n －1)2＋(n －1)＋1]＝2n ，当n ＝1时不满足上式，则其通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2.当n ＝1时，b 1＝－1；当n ≥2时，b n ＝(－1)n ·(a n －2)＝(－1)n ·2(n －1)，则数列{b n }的前50项和为－1＋2×1－2×2＋2×3－…＋2×49＝－1＋2×(1－2＋3－…＋49)＝－1＋2×25＝49.答案 a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，2n ，n ≥2 49三、解答题11．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6.(1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？(3)该数列从第几项开始各项都是正数？解 (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.(2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150，解得n ＝16或n ＝－9(舍去)，即150是这个数列的第16项．(3)令a n ＝n 2－7n ＋6＞0，解得n ＞6或n ＜1(舍)．∴从第7项起各项都是正数．12．已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解 (1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3.由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ≥2时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，……a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1. 将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n （n ＋1）2. 显然，当n ＝1时也满足上式．综上可知，{a n }的通项公式a n ＝n （n ＋1）2. 能力提升题组13．设a n ＝－3n 2＋15n －18，则数列{a n }中的最大项的值是( )A.163B.133 C ．4 D ．0解析 ∵a n ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋34，由二次函数性质，得当n ＝2或3时，a n 最大，最大为0.答案 D14．(2018·杭州调考)已知数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n ，且a 1＝2，a 2＝3，则a 2 019的值为________．解析 由题意得，a 3＝a 2－a 1＝1，a 4＝a 3－a 2＝－2，a 5＝a 4－a 3＝－3，a 6＝a 5－a 4＝－1，a 7＝a 6－a 5＝2，∴数列{a n }是周期为6的周期数列，而2 019＝6×336＋3，∴a 2 019＝a 3＝1.答案 115．(2017·金丽衢十二校联考)对于各项均为整数的数列{a n }，如果a i ＋i (i ＝1，2，3，…)为完全平方数，则称数列{a n }具有“P 性质”．不论数列{a n }是否具有“P 性质”，如果存在与{a n }不是同一数列的{b n }，且{b n }同时满足下面两个条件： ①b 1，b 2，b 3，…，b n 是a 1，a 2，a 3，…，a n 的一个排列；②数列{b n }具有“P 性质”，则称数列{a n }具有“变换P 性质”．下面三个数列：①数列{a n }的前n 项和S n ＝n 3(n 2－1)；②数列1，2，3，4，5；③1，2，3， (11)具有“P 性质”的为________；具有“变换P 性质”的为________． 解析 对于①，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－n ，∵a 1＝0，∴a n ＝n 2－n ，∴a i ＋i ＝i 2(i ＝1，2，3，…)为完全平方数，∴数列{a n }具有“P 性质”；对于②，数列1，2，3，4，5，具有“变换P 性质”，数列{b n }为3，2，1，5，4，具有“P 性质”，∴数列{a n }具有“变换P 性质”；对于③，因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以1，2，3，…，11，不具有“变换P 性质”． 答案 ① ②16．(2018·台州测试)已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R 且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解 (1)∵a n ＝1＋1a ＋2（n －1）(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)， 又a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9(n ∈N *)． 结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…＞a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2（n －1）＝1＋12n －2－a 2， 已知对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 可知5<2－a 2<6，即－10<a <－8.即a 的取值范围是(－10，－8)．17．(一题多解)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n .(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a 2n ·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1＜c n .(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4.对于n ≥2，有a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n .又当n ＝1时，a 1＝4适合上式，故{a n }的通项公式a n ＝4n .将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1，故T 1＝b 1＝1.(求b n 法一)对于n ≥2，由T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ，得b n ＝T n －T n －1＝－(b n －b n －1)，b n ＝12b n －1，所以数列{b n }是以1为首项，公比为12的等比数列，故b n ＝21－n . (求b n 法二)对于n ≥2，由T n ＝2－b n ，得T n ＝2－(T n －T n －1)，2T n ＝2＋T n －1，T n －2＝12(T n －1－2)，T n －2＝21－n (T 1－2)＝－21－n ，T n ＝2－21－n ，b n ＝T n －T n －1＝(2－21－n )－(2－22－n )＝21－n .又n ＝1时，b 1＝1适合上式，故{b n }的通项公式b n ＝21－n .(2)证明 (法一)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ， 得c n ＋1c n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤43＜2，即c n ＋1＜c n .(法二)由c n ＝a 2n ·b n ＝n 225－n ，得c n ＋1－c n ＝24－n [(n ＋1)2－2n 2]＝24－n [－(n －1)2＋2]．当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n ＜0，即c n ＋1＜c n .第2节 等差数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系．知 识 梳 理1．等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)．(2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2．2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)．(2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列的有关性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和．(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q .(2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列．4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)．5．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．[常用结论与微点提醒]1．用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了a n ＋1－a n ＝d (n ≥2)时，应注意验证a 2－a 1是否等于d ，若a 2－a 1≠d ，则数列{a n }不为等差数列．2．利用二次函数性质求等差数列前n 项和最值时，一定要注意自变量n 是正整数．诊 断 自 测1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( )(5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( )解析 (4)若公差d ＝0，则通项公式不是n 的一次函数．(5)若公差d ＝0，则前n 项和不是二次函数．答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．6解析 由等差数列的性质，得a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0，选B.答案 B3．(2017·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 设{a n }的公差为d ，由⎩⎨⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48， 得⎩⎨⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋15d ＝48，解得d ＝4. 答案 C4．(2018·宁波十校适应性考试)等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 217，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时的项数n 是( )A ．8或9B ．9或10C ．10或11D ．11或12解析 由题意知，a 1＝±a 17，又因为d ＜0，所以a 1＝－a 17，故a 1＝－8d ，a 9＝0，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －9)d ，当a n ≥0时，n ≤9，所以当n ＝8或9时，S n 取最大值．答案 A5．(必修5P68A8改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．解析 由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案 1806．(2018·湖州调研)设等差数列{a n }的公差是d ，前n 项和是S n .若a 1＝1，a 5＝9，则公差d ＝______，S n ＝______．解析 公差d ＝a 5－a 15－1＝2，前n 项和S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n ＋n (n －1)＝n 2. 答案 2 n 2考点一 等差数列基本量的运算【例1】 (1)(2016·全国Ⅰ卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )A ．100B ．99C ．98D ．97 (2)(2017·全国Ⅲ卷)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知，得⎩⎨⎧9a 1＋36d ＝27，a 1＋9d ＝8，所以⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝1，所以a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99＝98.(2)等差数列中a 1＝1，根据题意得a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )， 解得d ＝－2，d ＝0(舍去)．所以数列{a n }的前6项和为S 6＝6a 1＋6×52d ＝1×6＋6×52×(－2)＝－24.答案 (1)C (2)A规律方法 (1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．【训练1】 (1)(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________．(2)(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝________，d ＝________．解析 (1)法一 设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝3a 1＋3d ＝6，S 4＝4a 1＋6d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝0，d ＝2， 即S 6＝6a 1＋15d ＝30.法二 由{a n }为等差数列，故可设前n 项和S n ＝An 2＋Bn ，由S 3＝6，S 4＝12，可得⎩⎨⎧S 3＝9A ＋3B ＝6，S 4＝16A ＋4B ＝12， 解得⎩⎨⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30. (2)因为a 2，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 2a 7，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，由于d ≠0，∴a 1＝－23d ，∵2a 1＋a 2＝1，∴2a 1＋a 1＋d ＝1，即3a 1＋d ＝1，∴a 1＝23，d ＝－1.答案 (1)30 (2)23 －1考点二 等差数列的判定与证明(变式迁移)【例2】 (经典母题)若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2， 又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）. 当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.【变式迁移1】 将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12”改为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，试求解．(1)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0. ∴S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0.即1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12. 故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为12的等差数列． (2)解 由(1)知1S n＝n 2，∴S n ＝2n ，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝－2n （n －1）当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，－2n （n －1），n ≥2. 【变式迁移2】 已知数列{a n }满足2a n －1－a n a n －1＝1(n ≥2)，a 1＝2，证明数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是等差数列，并求数列{a n }的通项公式． 解 当n ≥2时，a n ＝2－1a n －1， ∴1a n －1－1a n －1－1＝12－1a n －1－1－1a n －1－1＝11－1a n －1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝a n －1－1a n －1－1＝1(常数)． 又1a 1－1＝1. ∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是以首项为1，公差为1的等差数列． ∴1a n －1＝1＋(n －1)×1＝n ， ∴a n ＝n ＋1n. 规律方法 等差数列的四种判断方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数．(2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立．(3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q .(4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明等差数列，主要适合在选择题中简单判断．【训练2】 (2017·江苏卷)对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n －k ＋a n －k ＋1＋…＋a n －1＋a n ＋1＋…＋a n ＋k －1＋a n ＋k ＝2ka n ，对任意正整数n (n >k )总成立，则称数列{a n }是“P (k )数列”．(1)证明：等差数列{a n }是“P (3)数列”；(2)若数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，证明：{a n }是等差数列． 证明 (1)因为{a n }是等差数列，设其公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，从而，当n ≥4时，a n －k ＋a n ＋k ＝a 1＋(n －k －1)d ＋a 1＋(n ＋k －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＝2a n ，k ＝1，2，3，所以a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n ， 因此等差数列{a n }是“P (3)数列”．(2)数列{a n }既是“P (2)数列”，又是“P (3)数列”，因此， 当n ≥3时，a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＝4a n ，①当n ≥4时，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝6a n .② 由①知，a n －3＋a n －2＝4a n －1－(a n ＋a n ＋1)，③ a n ＋2＋a n ＋3＝4a n ＋1－(a n －1＋a n )．④将③④代入②，得a n －1＋a n ＋1＝2a n ，其中n ≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d ′. 在①中，取n ＝4，则a 2＋a 3＋a 5＋a 6＝4a 4， 所以a 2＝a 3－d ′，在①中，取n ＝3，则a 1＋a 2＋a 4＋a 5＝4a 3， 所以a 1＝a 3－2d ′， 所以数列{a n }是等差数列． 考点三 等差数列的性质及应用【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( ) A ．5B ．7C ．9D ．11(2)(2018·浙江名校三联)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( ) A.310B.37C.13D.12(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2017＝________．解析 (1)∵{a n }为等差数列，∴a 1＋a 5＝2a 3，得3a 3＝3，所以a 3＝1，∴S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5a 3＝5，故选A. (2)因为S n 为等差数列{a n }的前n 项和，所以S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12也成等差数列，而S 4S 8＝13，所以S 8＝3S 4，则(S 8－S 4)－S 4＝S 4，则得S 16＝10S 4，所以S 8S16＝310.(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d ＝6，∴d ＝1. 故S 2 0172 017＝S 11＋2 016d ＝－2 014＋2 016＝2， ∴S 2 017＝2×2 017＝4 034. 答案 (1)A (2)A (3)4 034规律方法 等差数列的性质是解题的重要工具．(1)在等差数列{a n }中，数列 S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．(2)在等差数列{a n }中，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列．【训练3】 (1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( ) A ．13B ．12C ．11D ．10(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． 解析 (1)因为a 1＋a 2＋a 3＝34，a n －2＋a n －1＋a n ＝146， a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180， 又因为a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2， 所以3(a 1＋a n )＝180，从而a 1＋a n ＝60， 所以S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ×602＝390，即n ＝13.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 (1)A (2)10考点四 等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A ．5B ．6C ．7D ．8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________．解析 (1)法一 由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二 由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大． (2)由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∴n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130. 答案 (1)C (2)130规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值．【训练4】 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9B ．10C ．11D ．12(2)(2018·金丽衢十二校二联)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若有确定正整数n 0，对任意正整数m ，Sn 0·Sn 0＋m ＜0恒成立，则下列说法错误的是( ) A ．a 1·d ＜0B ．|S n |有最小值C ．a n 0·a n 0＋1＞0D ．a n 0＋1·a n 0＋2＞0解析 (1)由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大．(2)由S n 0·S n 0 ＋m ＜0，知数列{a n }一定存在正项与负项，则要么a 1＞0，d ＜0，要么a 1＜0，d ＞0，即a 1·d ＜0，所以A 正确；由等差数列各项特征知，|S n |一定能取得最小值，所以B 正确；若数列{a n }为－1，2，5，8，…，当n ≥2时，a n ＞0，取n 0＝1，对任意正整数m ，S n 0·S n 0＋m ＜0均成立，但an 0·an 0＋1＜0，所以C 错误，故选C. 答案 (1)B (2)C基础巩固题组一、选择题1．(一题多解)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A ．－1B ．－2C ．－3D ．－4解析 法一 由题意可得⎩⎨⎧a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2，解得a 1＝5，d ＝－3.法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C2．(2018·嘉兴测试)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1S 4＝110，则S 3S 5＝( )A.25B.35C.37D.47解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意得S 1S 4＝a 14a 1＋6d＝110，解得a 1＝d ，则S 3S 5＝3a 1＋3d 5a 1＋10d ＝25，故选A. 答案 A3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( ) A ．10B ．9C ．5D ．4解析 设等差数列{a n }的公差为d ，则S 11＝11a 1＋55d ＝22，a 4＝a 1＋3d ＝－12，解得a 1＝－33，d ＝7，由a n ＝7n －40<0得n ≤5，即该数列的前5项是负数，从第6项开始是正数，则前5项的和最小，即m ＝5. 答案 C4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( )A ．a 1＋a 101＞0B ．a 2＋a 100＜0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C5．已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A ．10B ．20C ．30D ．40解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A6．(2015·浙江卷)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0解析 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )·(a 1＋7d )，整理得a 1＝ －53d ，∴a 1d ＝－53d 2<0(d ≠0)，又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－2d 3，∴dS 4＝－2d 23<0，故选B. 答案 B 二、填空题7．(2018·金华四校联考)设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c (b ，c 为常数，n ∈N *)，若a 2＋a 3＝4，则c ＝________，b ＝________．解析 ∵数列{a n }是等差数列，且前n 项和S n ＝n 2＋bn ＋c ，∴c ＝0，则S n ＝n 2＋bn ，又a 2＋a 3＝S 3－S 1＝9＋3b －1－b ＝4，∴b ＝－2. 答案 0 －28．已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n－1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 61＝________．解析 由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1可得，S n －S n －1＝2，所以{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，所以a 61＝S 61－S 60＝1212－1192＝480. 答案 4809．(2017·慈溪统考)设等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足a 8>0，a 8＋a 9<0，则S n >0的最大n 是________；数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1<n <15)中最大的项为第________项．解析 ∵a 8>0，a 8＋a 9<0，∴S 15＝（a 1＋a 15）·152＝2a 8·152＝15a 8>0，而S 16＝（a 1＋a 16）·162＝（a 8＋a 9）·162＝8(a 8＋a 9)<0，∴使S n >0的最大n 为15.∵a 8>0，a 9<0，∴S 8最大，且a 8为{a n }的最小正数项，a 9，a 10，…均小于零，所以当9≤n <15时，S n a n 均小于零，当n ＝8时，S na n最大，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n (1<n <15)的最大值是第8项．答案 15 810．(一题多解)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________．解析 法一 由已知得，a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，因为数列{a n }为等差数列，所以d ＝a m ＋1－a m ＝1，又因为S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，所以m (a 1＋2)＝0，因为m ≠0，所以a 1＝－2，又a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，解得m ＝5. 法二 因为S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，所以a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝na 1＋n （n －1）2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ma 1＋m （m －1）2＝0， ①（m －1）a 1＋（m －1）（m －2）2＝－2. ②由①得a 1＝1－m2，代入②可得m ＝5.法三 因为数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．所以S m －1m －1＋S m ＋1m ＋1＝2S m m ，即－2m －1＋3m ＋1＝0，解得m ＝5，经检验为原方程的解．答案 5 三、解答题11．(2017·全国Ⅱ卷)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2. (1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解 (1)设{a n }公差为d ，{b n }公比为q ，由等差数列、等比数列的通项公式可得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，－1＋2d ＋q 2＝5解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2，或⎩⎨⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，故{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由已知得⎩⎨⎧－1＋d ＋q ＝2，1＋q ＋q 2＝21，解得⎩⎨⎧q ＝4，d ＝－1或⎩⎨⎧q ＝－5，d ＝8. ∴当q ＝4，d ＝－1时，S 3＝－6； 当q ＝－5，d ＝8时，S 3＝21.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．(1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由． (1)证明 由题设知，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)解 由题设知，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1.由2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4.故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．能力提升题组13．(2018·杭州模拟)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和．若正整数i ，j ，k ，l 满足i ＋l ＝j ＋k (i ≤j ≤k ≤l )，则( ) A ．a i a l ≤a j a k B ．a i a l ≥a j a k C ．S i S l ＜S j S kD ．S i S l ≥S j S k解析 不妨取i ，j ，k ，l 分别为1，2，3，4， 则a 1a 4－a 2a 3＝－2d 2≤0， ∴a 1a 4≤a 2a 3，又S 1S 4－S 2S 3＝－2(a 1＋34d )2－158d 2≤0， ∴S 1S 4≤S 2S 3，即A 正确． 答案 A14．(2016·浙江卷)如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且|A n A n ＋1|＝|A n＋1A n ＋2|，A n ≠A n ＋2，n ∈N *，|B n B n ＋1|＝|B n ＋1B n ＋2|，B n ≠B n ＋2，n ∈N *(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)．若d n ＝|A n B n |，S n 为△A n B n B n ＋1的面积，则( )A ．{S n }是等差数列B ．{S 2n }是等差数列C ．{d n }是等差数列D ．{d 2n }是等差数列解析 S n 表示点A n 到对面直线的距离(设为h n )乘以|B n B n －1|长度一半，即S n ＝12h n |B n B n －1|，由题目中条件可知|B n B n －1|的长度为定值，过A 1作垂直得到初始距离h 1，那么A 1，A n 和两个垂足构成等腰梯形，则h n ＝h 1＋|A 1A n |tan θ(其中θ为两条线所成的锐角，为定值)，从而S n ＝12(h 1＋|A 1A n |tan θ)|B n B n ＋1|， S n ＋1＝12(h 1＋|A 1A n ＋1|)|B n B n ＋1|，则S n ＋1－S n ＝12|A n A n ＋1||B n B n ＋1|tan θ，都为定值，所以S n ＋1－S n 为定值，故选A. 答案 A15．(2018·丽水测试)已知⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫f （n ）n 是等差数列，f (1)＝2，f (2)＝6，则f (n )＝________，数列{a n }满足a n ＋1＝f (a n )，a 1＝1，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11＋a n 的前n 项和为S n ，则S 2 015＋1a2 016＝________．解析 设公差为d ，由题意得d ＝f （2）2－f （1）1＝3－2＝1，∴f （n ）n ＝2＋(n －1)·1⇒f (n )＝n 2＋n ，a n ＋1＝f (a n )＝a 2n ＋a n ＝a n (1＋a n )⇒1a n ＋1＝1a n （1＋a n ）＝1a n－11＋a n ⇒11＋a n ＝1a n －1a n ＋1，∴S n ＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1⇒S n ＋1a n ＋1＝1a 1＝1，∴S 2 015＋1a 2 016＝1. 答案 n 2＋n 116．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．解 (1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列． ∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8. (2)|a n |＝⎩⎨⎧－3n ＋8，n ≤2，3n －8，n ≥3，记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ≤2时，S n ＝n （5＋8－3n ）2＝－3n 22＋132n ； 当n ≥3时，S n ＝7＋（n －2）（1＋3n －8）2＝3n 22－132n ＋14，综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋132n ，n ≤2，32n 2－132n ＋14，n ≥3.17．在公差不为0的等差数列{a n }中，a 3＋a 10＝15，且a 2，a 5，a 11成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ＋1a n ＋1＋…＋1a 2n －1，证明：12≤b n ＜1.(1)解 设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＋2d ＋a 1＋9d ＝15，（a 1＋4d ）2＝（a 1＋d ）（a 1＋10d ）. 注意到d ≠0，解得a 1＝2，d ＝1. 所以a n ＝n ＋1.(2)证明 由(1)可知b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ， b n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2.因为b n ＋1－b n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＞0，所以数列{b n }单调递增．所以b n ≥b 1＝12.又b n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ≤1n ＋1＋1n ＋1＋…＋1n ＋1＝n n ＋1＜1，因此12≤b n ＜1.第3节 等比数列及其前n 项和最新考纲 1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式；2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；3.了解等比数列与指数函数的关系．知 识 梳 理1．等比数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母。
人教版-数学归纳法优秀课件
两个奇数的积仍是奇数，且 2n1是奇数， 故排除B、D而选（C）
人教版-数学归纳法优秀课件
人教版-数学归纳法优秀课件
解法二：S奇=(n+1)an1 =512 S偶=nan1 =480
两式相减得： an1 =32
故选ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱC）
人教版-数学归纳法优秀课件
人教版-数学归纳法优秀课件
例 2： 已 知 等 差 数 列 a {n }的 公 差 d0， 且 a1,a3,a9成 等 比 数 列 ， 则 a a 2 1 a a4 3 a a1 90=— — — — — — —
an1 an
qan1an1
an2(an
0)
3、等差数列{ an }的前 n 项和的最大值为Sk
ak
0
ak1 0
人教版-数学归纳法优秀课件
人教版-数学归纳法优秀课件
4、设Sn 是数列{an }的前n 项之和，则有:
an
S1(n 1)
Sn Sn1(n2)
5、数列{an}的最大项为ak ak ak1
S1 (n 1)
S n S n1 (n 2)
研究一般数列的性质。
人教版-数学归纳法优秀课件
人教版-数学归纳法优秀课件
例题选讲
例1、一个等差数列共有2n+1项，其奇数 项的和为512，偶数项之和为480，则中 间一项为（ ） A、30 B、31 C、32 D、33
解法一：项数为2n1,中间一项为第 n +1项， 设为an1 则由已知(2n1)an1 =512+480=992，个位数为2
也是等差（比）数列。
人教版-数学归纳法优秀课件
二、基本技能的活用
1、注意公式的变形应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学习好资料欢迎下载
专题复习数列、数列的极限、数学归纳法
一. 本周教学内容：
1. 复习内容：专题复习“数列”、“数列的极限”、“数学归纳法”。重点是：①数列的通项公式、前n项和公式的关系；
用递推关系式表示数列；②两种基本数列——等差数列与等比数列的定义，通项公式、前n项和公式、性质；③极限的
运算法则，公比q的绝对值小于1的无穷等比数列的所有项的和的定义以及计算公式；④数学归纳法的涵义及其运用。
2. 要点综述：
①数列与极限是初等数学与高等数学衔接和联系最紧密的内容之一，有关极限的概念及方法是微积分的重要工具。
因此，数列的极限就成为进一步学习高等数学的基础。
②两种基本数列——等差数列、等比数列，是高考中的必考内容，要熟练掌握这两种数列的定义，通项公式、前n
项和公式以及其性质。
③数列的极限的思想方法要认真体会，为进一步学好高等数学作好充分的准备。高考试题中对极限的考查逐渐由单
一地求数列的极限，向结合等差、等比数列的计算求极限转化逐渐向结合数列求和方法求极限转化。
④数学归纳法作为一种证明方法，在证明某些与自然数n有关的命题时，有其他证明方法所不具有的独特性和优越
性，是一种非常重要的证明方法，应认真体会其要义并能正确使用它，在高考试题中，经常作为解答中的一个环节来考
查，比如，给出一个数列的递推关系式，先求出其前三项，进而推测通项公式，最后再用数学归纳予以证明。这其中，
体现了数学中“归纳——猜想——证明”的由特殊到一般的思维方法。
3. 复习建议：
①认真复习以下概念——等差、等比数列的定义，数列极限的定义，认真体会其内涵。
②掌握几个重要公式——数列的前n项和Sn与通项an的关系式；等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式；
无穷等比递缩数列的所有和S的计算公式。
③掌握一个重要性质——设m、n、p、q∈N，且m+n=p+q，
④掌握数列求和的几个方法——裂项求和法，错位相减求和法，以及公式法。
【典型例题】
例1.
分析：这是一道数列与函数综合的习题：①由条件“f(x)的图象过原点”，可以确定f(x)
它们依次成等差数列的条件，可列出关于x的方程，解方程得x值；②在①的基础上只需
证。
解：
即，解之得或，log()()
2
23214xxxx
学习好资料欢迎下载
例2.
分析：
例3.
分析：
例4.
分析：欲求等差数列{an}，等比数列{bn}的通项公式，只要求出{an}的公差d以及{bn}的首项b1的公比q即可。因此，
要用已知条件列出关于d、b1、q的方程组。
解：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，首项为b1，
依题意，有：
注：本例是一道很注重基础知识、基本方法的习题，对于这类的习题应通过复习熟练掌握。
例5.
分析：
解：
学习好资料欢迎下载
注：根据已知条件，确定数列的类型，对于进一步解题特别重要，因此要充分掌握已知条件中的各种有利因素，联
想已学知识，发现解题的思路。
例6. 设{an}是一个由正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对所有自然数n，an与2的等差中项等于Sn与2的等比中
项。
（I）写出数列{an}的前3项；
（II）求数列{an}的通项公式（要写出推理过程）；
解：
∴
∴{an}是首项为a1=2，且公差d=4的等差数列。
从而其前三项依次为2，6，10。
例7.
（I）求数列{an}的通项公式；
，
求函数f(n)的最小值。
分析：
由此发现，{an}是公差为d=1的等差数列，进而可写出其通项公式。先判断数列的类型，再求其通项公式的方法，做为一
种基本方法要熟练掌握。
（II）所给函数f（n）是一个不连续函数，或称之为离散函数，这一点可通过自变量n的取值看出。通过计算f（1），
f（2），f（3）的值会发现：f（n）是一个单调递增函数，（当然这一点应予以严格证明），既如此，那么f（n）的最小值
是f（2），于是问题得解。
解：
学习好资料欢迎下载
∴函数f(n)是增函数，
例8.
分析：对n赋值后，比较几对an与bn的大小，可作出合理猜测，再用数学归纳法予以论证。
解：
下面用数学归纳法证明上述猜想： 然数。
（1）当n=6时，显然不等式成立，∴n=6时，不等式an
例9. 有一个下岗职工，一月初向银行贷款10000元作为启动资金开店，每月月底获得的利润是该月月初投入资金的
20%，每月月底需交纳的所得税，为该月月利润的10%，每月的生活费为300元，余款作为资金全部投入下个月的经营，
如此继续，问到这年年底这个职工有多少资金？若贷款年利息为25%，问这个职工还清银行贷款后纯收入多少元？
分析：这是一道由社会生活实践中抽象出的应用型数学习题。将涉及到数列的有关知识，这种问题需要从起始月份
逐月分析，寻找蕴含其中的数量关系，化归为某个数学模型来求解。
解：依题意，第一个月月底余款为
学习好资料欢迎下载
若设第n个月月底的余款为an元，第n+1个月月底余款为an+1元，
这恰好是课本（《代数》（下册）复习参考题六的第34题）的一道习题的特例。将数据代入该习题所得结论，有
即到年底该职工共有资金23507.7元