冀教版八年级下数学21.1《一次函数》教学设计

21.1一次函数
教学设计思想
一次函数是在第二十一章学习一般函数的基础上对函数的具体研究，由此开始了对函数
的分类探索。在讲解的过程中先以交流的方式回顾函数的相关知识再进一步学习一次函数。
本节主要学习了一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达
式的方法。在讲解的过程中要注意一次函数与正比例函数的关系。

教学目标
知识与技能
表述一次函数及其特例——正比例函数，能判断两个变量间的关系是否可以看作函数；
感受函数、一次函数、正比例函数之间一般与特殊的关系。
过程与方法
经历由实际情景抽象出一次函数的过程；
情感态度价值观
初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。
教学重点和难点
重点是一次函数和正比例函数的概念，以及根据所给条件写出简单的一次函数表达式的
方法；

难点是根据所给条件写出简单的一次函数表达式。
解决办法：关键是对问题情境的解读，自主探索问题情境，可铺设探究阶梯，分层次解
读问题。

教学方法
启发引导、小组讨论
课时安排
2课时
教具学具准备
投影仪或电脑
教学过程设计
第一课时
Ⅰ．提出问题，创设情境
一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环．４个月零１周后人们
在2．56万千米外的澳大利亚发现了它．
1．这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？
2．这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？
3．这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？
我们来共同分析：
一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：
25600÷（30×4+7）≈200（km）
若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）
的函数．函数解析式为：

y=200x（0≤x≤127）
这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值．即
y=200×45=9000（km）
以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画．尽管这只是近
似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型．

类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多．它们都具备什么样的特征呢？
我们这节课就来学习．

Ⅱ．导入新课
首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些
函数有什么共同特点？

1．圆的周长L随半径r的大小变化而变化．
2．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变
化．

3．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本
的本数n的变化而变化．

4．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）
的变化而变化．

应答:1．根据圆的周长公式可得：L=2r．

2．依据密度公式p=mV可得：m=7.8V．
3．据题意可知： h=0.5n．
4．据题意可知：T=-2t．
我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x
的形式一样．

一般地，•形如y=•kx•（k•是常数，•k•≠0•）的函数，•叫做正比例函数（proportional
func-tion），其中k叫做比例系数．
Ⅲ例题练习
例1下列函数哪些是正比例函数？请指出正比例函数的比例系数

1.y=3x 2.y=2x+1 3.y=-2x 4.y=x2 5.y=πx 6.y=-3x
例题2 有一块10公顷的成熟麦田，用一台收割速度为0.5公顷/时的小麦收割机来收割。
1.求收割的面积y(公顷)与收割时间x(h)之间的函数关系式
2.求收割完这块麦田需用的时间
练习1：判断下列问题中那两个量具有正比例关系
向圆柱形水杯中加水，水的体积与高度
正方形的面积与它的边长
小丽录入一篇文章，她的打字速度与所用时间
人的体重和身高
练习2：填空
已知函数y=3x，当x=3时，y=

已知函数y=43x，当y=3时，x=
已知函数y=kx，当x=-2，y=10,k=
Ⅳ．课时小结
本节课我们通过实例了解了正比例函数的概念和表达式的形式，为以后学习一次函数奠
定了基础．

Ⅴ．课后作业
习题1.2.3题．
Ⅵ．板书设计
§21.1.1 正比例函数
一、正比例函数定义
二、正比例函数的表达式
三、例题
四、随堂练习

第二课时
复习
通过交流的方式回顾第二十章函数的概念及三种表达方式。
新授
我们已经知道函数是刻画变量之间关系的数学模型，这些模型有多种形态，其中最简单
的一种就是一次函数。

（一）试着做做
1.某新建住宅小区物业管理部门按房主的住房面积收取物业管理费，每月按1.60元／平
方米收取，对有汽车的房主每月再收取车库使用费80元。设有汽车房主的住房面积为xm2，
每月应收房主物业管理费与车库使用费共为y元，请写出y与x的函数关系式：y=_______。

2.小刚家到学校的路程为3.5km。他每天骑自行车去上学，速度为0.2km／min。
在上学的路上，小刚距学校的路程s2(km)与离开家的时间 t(min)的函数关系式为
s1=_______。

3.一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是：以厘米为单位量出身高值h，减去常数
105，所得差是G的值。用h表示G的函数表达式是 。

注：引导学生通过观察、比较，抓住式子的共同特点，抽象出概念的内涵。
1.y＝80＋1.6x。
2.s1=3.5－0.2t。
3.G=h-105
(二)大家谈谈
1.上面得到的三个函数表达式的形式有什么共同特点?与同学交流你的看法
以上三个函数表达式的共同特点是：函数都是用自变量的一次整式来表示的。
如果两个变量x和y之间的函数关系式可以表示成y=kx＋b(k,b为常数,k≠0)的形式，那
么就称y是x的一次函数(1inear function)。特别地，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是
常数，k≠0)。所以正比例函数y=kx是一次函数的特殊形式。

2.请写出两个一次函数的表达式，其中有一个是正比例函数，并与同学交流。
注：目的在于让学生通过充分交流，举一反三，达到对新概念的理解。在交流过程中，
应注意继续引导学生认识自变量次数、系数等特征。

（三）一起探究
1.在这段时间内，水库的水位y(m)和下闸蓄水的时间t(h)之间的函数关系式是怎样的?
这个函数是一次函数吗?

2.如果把这个函数写成y=kx＋b的形式，请指出k和b的值。
3.请指出这个一次函数的自变量的取值范围，
4.下闸蓄水55h时，水库的水位是多高?
事实上，由于水位是匀速上升的，所以每小时水位上升的高度是相同的，都是(135－
106)÷220=29220(m)。于是，在这段时间内水库的水位y(m)与下闸蓄水的时间t(h)之间的函
数关系式为y=29220t＋106。y是t的一次函数，其中k=29220,b=106。自变量的取值范围是
0≤t≤220。
注：1、2、3略。

4.29y55106113.25220
(该问题应引导学生理解：求下闸蓄水55 h时水库的水位，实质是求t=55(h)时的函数的
值，力戒就题论题)

（四）例题
例 如图25—1，△ABC是边长为x的等边三角形。
(1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式。h是x的一次函数吗?
(2)求△ABC的面积S与x之间的函数表达式。S是x的一次函数吗?

解：(1)因为BC边上的高AD也是BC边上的中线，所以，BD=1x2
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
2222
13
hADABBDxxx42

即
3
hx2

所以h是x的一次函数。
(2)21133SADBCxx=x2224
所以S不是x的一次函数。
（五）练习

1.在函数①y＝2－x，②y＝8＋0.03t，③1y1xx,④x3yx中，是一次函数的有
__________。
2.如果等腰三角形的周长是20cm，底边长是xcm，那么，腰长y(cm)与底边长x(cm)之
间的函数关系式是什么?这个函数是一次函数吗?

答案
1.①②。

2.y＝10－1x2是一次函数。
（六）小结
引导学生总结本节的主要知识点，以及分析问题的思路与方法。
（七）板书设计

一次函数
一次函数、正比例函数的概念
一起探究
例题