必修五§3.4.1基本不等式的原理 [兼容模式] [修复的]
2018学年高中数学必修5课件：3.4.1 基本不等式的证明 精品
2．函数 f(x)＝2x＋8x(x>0)有最小值为________． 【解析】 2x＋8x≥2 2x·8x＝8，当且仅当 x＝2 时等号成立． 【答案】 8
3．已知 x，y 为正实数，且 x＋4y＝1，则 xy 的最大值为________.
【导学号：91730066】
【解析】 ∵x>0，y>0，∴1＝x＋4y≥2 4xy＝4 xy，
【自主解答】 (1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2 ab，a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc. 又 a，b，c 为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ ab＋ ac＋ bc. 又 a，b，c 互不相等， 故等号不能同时取到， 所以 a＋b＋c> ab＋ ac＋ bc.
(2)∵a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0， ∴ab2＋b≥2 ab2·b＝2a， 当且仅当ab2＝b 时等号成立． bc2＋c≥2 bc2·c＝2b， 当且仅当bc2＝c 时等号成立．
阶
段
阶
一
段
3．4 基本不等式 ab≤a＋2 b(a≥0，b≥0)
三
3．4.1 基本不等式的证明
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)
[基础·初探] 教材整理 1 算术平均数与几何平均数 阅读教材 P96，完成下列问a题＋．b 对于正数 a，b，我们把 2 称为 a，b 的算术平均数， ab 称为 a，b 的 几何平均数．
若两个正数 a，b 的算术平均数为 2，几何平均数为 2，则 a＝________，b＝
________. 【解析】
苏教版高中数学必修五3.4.1基本不等式的证明.docx
数学·必修5(苏教版)3.4基本不等式ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)3．4.1基本不等式的证明情景导入：如下图所示，以线段a＋b的长为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC＝a，CB＝b，过点C作垂直于直径AB的弦DD′，连接AD、DB，则DC能否用a，b表示，DD′与AB的关系如何？由此你得到怎样的不等式？►基础巩固一、选择题1．如果a、b为绝对值不相等的非零实数，那么ab＋ba的值是()A．大于2 B．小于－2或大于2 C．小于等于2 D．大于－2或小于2解析：a、b同号时大于2，a、b异号时小于－2. 答案：B2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是()A．a＞b＞a＋b2＞abB．a＞a＋b2＞ab＞bC．a＞a＋b2＞b＞abD．a＞ab＞a＋b2＞b解析：由a－a＋b2＝a－b2＞0，ab－b＝b(a－b)＞0，再结合基本不等式a＋b2＞ab.答案：B3．给出下面四个推导过程：①∵a ，b ∈R ＋，∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2；②∵x ，y ∈R ＋，∴lg x ＋lg y ≥2lg x·lg y ；③∵a ∈R ，a ≠0，∴4a ＋a ≥24a·a ＝4；④∵x ，y ∈R ，xy ＜0，∴x y ＋yx ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ≤－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x ＝－2. 其中正确的推导为( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④解析：①由于a ，b ∈R ＋，∴b a ，ab∈R ＋，符合基本不等式的条件，故①推导正确；②虽然x ，y ∈R ＋，但当x ∈(0,1)和y ∈(0,1)时，lg x 和lg y 都是负数，∴②的推导过程是错误的；③由a ∈R ，不符合基本不等式的条件， ∴4a ＋a ≥2 4a·a ＝4是错误的． ④由xy ＜0，得x y 、y x 均为负数，但在推导过程中将整体x y ＋yx提出负号后，⎝ ⎛⎭⎪⎫－x y ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－y x 均变为正数，符合基本不等式的条件，故④正确．答案：D4．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：y ＝1a ＋4b ＝12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋b a ＋4a b ≥12⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92.答案：C5．下列结论正确的是()A．当x＞0且x≠1时，lg x＋1lg x≥2B．当x＞0时，x＋1x≥2C．当x≥2时，x＋1x的最小值为2D．当0＜x≤2时，x－1x无最大值解析：当0＜x＜1时，lg x＋1lg x＜0，∴A错误；当x＞0时，x＋1x≥2x·1x＝2，∴B正确；当x≥2时，x＋1x的最小值为52，∴C错误．当0＜x≤2时，x－1x是增函数，最大值在x＝2时取得，∴D错误．答案：B二、填空题6．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则x与a＋b2的大小关系是________．解析：因A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)≤A2+++⎛⎫⎪⎝⎭1a1b2＝A2++⎛⎫⎪⎝⎭a b12，∴x≤a＋b2.答案：x≤a＋b 27．给出下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a 2＋4≥4a ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2；④2a 2b 2a 2＋b 2≤ab.其中恒成立的不等式的序号是________．解析：当a ＝1时，①不成立；当ab ＜0时，④不成立． 答案：②③ 8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2，b ＞0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值．解析：∵a ＋b ＝2，∴12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4|a|＋|a|b ≥a4|a|＋1，显然当a ＜0且b ＝2|a|时，上式等号成立，此时b ＝－2a 与a ＋b ＝2联立即得a ＝－2.答案：－2三、解答题9．已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，d ＞0，求证：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac≥4.解析：ad ＋bc bd ＋bc ＋adac＝a b ＋c d ＋b a ＋d c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c d ＋d c ≥2＋2＝4， 当且仅当a ＝b 且c ＝d 时取“＝”号， ∴ad ＋bc bd ＋bc ＋ad ac ≥4.10．设x1，x2，…，x n都是正整数，求证：x21 x2＋x22x3＋…＋x2n－1x n＋x2nx1≥x1＋x2＋…＋x n.解析：∵x1，x2，…，x n都是正整数．∴由基本不等式得x21x2＋x2≥2x1，x22x3＋x3≥2x2，…x2nx1＋x1≥2x n.将以上n个式子相加命题即得证．►能力升级一、选择题11．设a＞b＞0，则a2＋1ab＋1a(a－b)的最小值是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：∵a＞b＞0，a2＋1ab＋1a(a－b)＝a2＋a－b＋bab(a－b)＝a2＋1b(a－b)≥a2＋+-⎛⎫⎪⎝⎭21b a b 2＝a2＋4a2≥4(当且仅当a＝2b＝2时取“＝”)，故.答案：D12．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285 C ．5 D ．6解析：∵x ＋3y ＝5xy ，∴1y ＋3x ＝5，∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y)⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12y x ＋3x y ≥15⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋212y x ×3x y ＝15(13＋12)＝5. 答案：C13．若a ，b ∈R ，且ab ＞0，则下列不等式中恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2＞2ab B ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b ＞2abD.b a ＋a b ≥2解析：令a ＝b ＝1可知A ，C 不成立； 令a ＝b ＝－1可知B 不成立． 答案：D二、填空题14．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是________(写出所有正确命题的序号)．①ab ≤1；②a ＋b ≤2；③a 2＋b 2≥2；④a 3＋b 3≥3；⑤1a ＋1b≥2.解析：①项，∵a ＞0，b ＞0,2＝a ＋b ，a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤1，即ab ≤1；②项，∵a ＋b 2－2+⎛⎫⎪⎝⎭a b 2＝(a －b )24≥0，∴a ＋b 2≤ a ＋b 2，∴a ＋b ≤2(a ＋b )，故a ＋b ≤2；③项，∵a 2＋b 22≥2+⎛⎫ ⎪⎝⎭a b 2，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22. 又∵a ＋b ＝2，∴a 2＋b 2≥2；④项，∵a 3＋b 3＝(a ＋b)3－3a 2b －3ab 2＝8－3ab(a ＋b)＝8－6ab ≥8－6＝2(由①ab ≤1)；⑤项，1a ＋1b ≥2ab≥2.答案：①③⑤15．(2013·云南玉溪检测题)若不等式|2a －1|≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x 对一切非零实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋1|x|≥2，当且仅当x ＝±1时取“＝”号，∴要使不等式恒成立，必须且只需|2a －1|≤2即－2≤2a －1≤2⇒－12≤a ≤32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32三、解答题 16．(2013·全国卷)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)a 2b ＋b 2c ＋c2a ≥1.解析：(1)由a ＋b ＋c ＝1⇒(a ＋b ＋c)2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝1， 而a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，∴3(ab ＋bc ＋ca)≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2c ，c 2a ＋a ≥2c ，三式相加得a 2b ＋b ＋b 2c ＋c ＋c 2a ＋a ≥2a ＋2b ＋2c ，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥(a ＋b ＋c)＝1.。
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B
讲授新课
一般地，对于任意实数a、b，我们有 ，a 2当且b 2仅当2aab＝b时，等号 成立.
提问4：你能给出它的证明吗？
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注意：
a 2 b2 2ab
(1) 当且仅当 a b, a2 b2 2ab ;
(2) 特别地,如果 a 0, b 0,用 a和 b代替 a、b, 可得a b 2 ab,也可写成 ab a b
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3.4基本不等式：
ab a b 2
引入新课 提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
D GF C A HE
B
引入新课
提问1：我们把“风车”造型抽象成下图.
讲授新课
例3. 若 a b 1，P lg a lg b,
Q 1 (lg a lg b), R lg a b ,
2
2
比较P、Q、R的大小.
讲授新课
例4. 当 x 1时， 求f ( x) x2 3x 1的值域 .
x1
讲授新课
例5. 若实数 a、b满足a b 2, 求 3a 3b的最小值 .
在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边的长为a、b， 那么正方形的边长为多少?面积为多少呢?
提问2：那4个直角三角形的面积和是多
少呢？
D
GF C
A HE
B
引入新课 提问3：根据观察4个直角三角形的面积
和正方形的面积，我们可得容易得到一个 不等式，a什2 么b时2 候2这ab两部 分面积相等呢？
苏教版高中数学必修五3.4.1 基本不等式的证明.docx
3.4.1 基本不等式的证明课时目标 1.理解基本不等式的内容及其证明；2.能利用基本不等式证明简单不等式．1．如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2____2ab (当且仅当______时取“＝”号)．2．若a ，b 都为____数，那么a ＋b 2____ab (当且仅当a ____b 时，等号成立)，称上述不等式为______不等式，其中________称为a ，b 的算术平均数，______称为a ，b 的几何平均数．3．基本不等式的常用推论(1)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22 (a ，b ∈R )；(2)当x >0时，x ＋1x ≥____；当x <0时，x ＋1x ≤_____________________________________.(3)当ab >0时，b a ＋a b ≥____；当ab <0时，b a ＋ab≤____.(4)a 2＋b 2＋c 2____ab ＋bc ＋ca ，(a ，b ，c ∈R )．一、填空题1．已知a >b >0，则a ，b ，a ＋b 2，ab ，2aba ＋b， a 2＋b 22这六个代数式用不等号“<”连结起来是__________________________________________________________________．2．若a <1，则a ＋1a －1有最______值，为________．3．已知正数0<a <1,0<b <1，且a ≠b ，则a ＋b ，2ab ，2ab ，a 2＋b 2，其中最大的一个是________．4．若lg x ＋lg y ＝1，则2x ＋5y的最小值为________．5．已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．6．已知m ＝a ＋1a －2(a >2)，n ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－2 (x <0)，则m 、n 之间的大小关系是________． 7．设0<a <b ，且a ＋b ＝1，则12，b,2ab ，a 2＋b 2按从大到小的顺序排列为______________．8．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈(]0，1恒成立，则a 的最小值为________．9．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围为________．10．已知两个正数x ，y 满足x ＋y ＝4，则使不等式1x ＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是________．二、解答题11．设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .12．a >b >c ，n ∈N 且1a －b ＋1b －c ≥na －c，求n 的最大值．能力提升13．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为________．14．已知a ，b ，c 为不等正实数，且abc ＝1.求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.1．设a ，b 是两个正实数，用min(a ，b )表示a ，b 中的较小的数，用max(a ，b )表示a ，b 中的较大的数，则有min(a ，b )≤21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22≤max(a ，b )．当且仅当a ＝b 时，取到等号．2．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .§3.4 基本不等式ab ≤a ＋b2(a ≥0，b ≥0)3．4.1 基本不等式的证明答案知识梳理1．≥ a ＝b 2.正 ≥ ＝ 基本 a ＋b2ab 3.(2)2 －2 (3)2 －2 (4)≥作业设计1．b <2aba ＋b<ab <a ＋b 2<a 2＋b 22<a . 2．大 －1解析 ∵a <1，∴a －1<0，∴－⎝⎛⎭⎫a －1＋1a －1＝(1－a )＋11－a ≥2(a ＝0时取等号)，∴a －1＋1a －1≤－2，∴a ＋1a －1≤－1.3．a ＋b解析 因为a 、b ∈(0,1)，a ≠b ，所以a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab ，所以，最大的只能是a 2＋b 2与a ＋b 之一．而a 2＋b 2－(a ＋b )＝a (a －1)＋b (b －1)，又0<a <1,0<b <1， 所以a －1<0，b －1<0，因此a 2＋b 2<a ＋b ，所以a ＋b 最大． 4．2解析 ∵lg x ＋lg y ＝1，∴xy ＝10，x >0，y >0，∴2x ＋5y ＝2x ＋x2≥2(x ＝2时取等号)．5．3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号．6．m >n解析 ∵m ＝(a －2)＋1a －2＋2≥2(a －2)1a －2＋2＝4，n ＝222x －<22＝4.∴m >n .7．b >a 2＋b 2>12>2ab解析 ∵ab <⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，∴ab <14，∴2ab <12.∵a 2＋b 22>a ＋b2>0，∴ a 2＋b 22>12，∴a 2＋b 2>12. ∵b －(a 2＋b 2)＝(b －b 2)－a 2＝b (1－b )－a 2＝ab －a 2＝a (b －a )>0，∴b >a 2＋b 2， ∴b >a 2＋b 2>12>2ab .8．－2解析 x 2＋ax ＋1≥0在x ∈(]0，1上恒成立ax ≥－x 2－1a ≥⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋1x max . ∵x ＋1x ≥2，∴－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ≤－2，∴a ≥－2. 9.⎣⎡⎭⎫15，＋∞解析 ∵x >0，∴xx 2＋3x ＋1>0，易知a >0.∴x 2＋3x ＋1x ≥1a ，∴1a ≤x ＋1x ＋3. ∵x >0，x ＋1x ＋3≥2x ·1x＋3＝5(x ＝1时取等号)， ∴1a ≤5.∴a ≥15. 10.⎝⎛⎦⎤－∞，94 解析 ∵x ＋y ＝4， ∴1x ＋4y ＝14(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y＝14⎝⎛⎭⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝⎛⎭⎫5＋2y x ·4x y ＝94， 1x ＋4y ≥m 恒成立，只要⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ≥m ，即94≥m .11．证明 ∵a 、b 、c 都是正数，∴bc a 、ca b 、abc 也都是正数．∴bc a ＋ca b ≥2c ，ca b ＋ab c ≥2a ，bc a ＋abc ≥2b ， 三式相加得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c . 12．解 ∵a >b >c ，∴a －b >0，b －c >0，a －c >0.∵1a －b ＋1b －c ≥n a －c ， ∴n ≤a －c a －b ＋a －c b －c .∵a －c ＝(a －b )＋(b －c )，∴n ≤(a －b )＋(b －c )a －b ＋(a －b )＋(b －c )b －c ，∴n ≤b －c a －b ＋a －bb －c ＋2.∵b －c a －b ＋a －bb －c≥2 (b －c a －b )·(a －b b －c)＝2(2b ＝a ＋c 时取等号)． ∴n ≤4.∴n 的最大值是4. 13．4解析 只需求(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y 的最小值大于等于9即可， 又(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋yx＋a ≥a ＋1＋2 a ·x y ·y x ＝a ＋2 a ＋1，等号成立仅当a ·x y ＝yx即可，所以(a )2＋2 a ＋1≥9，即(a )2＋2 a －8≥0求得a ≥2或a ≤－4(舍去)，所以a ≥4，即a 的最小值为4. 14．证明 ∵1a ＋1b ≥21ab＝2c ， 1b ＋1c ≥2 1bc ＝2a ， 1c ＋1a≥2 1ac＝2b ， ∴2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥2(a ＋b ＋c )， 即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c . ∵a ，b ，c 为不等正实数，∴a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c.。
人教A版必修五讲义(2020)3.4 基本不等式1
4
2
利用基本不等式必须满足三个条件：“．一．正．”．、．“．二．定．”．、．“．三．取．等．”．。
应用一：利用配凑法求最值
例 3：已知 x ＜ 5 ，求函数 f (x) ＝4 x －2＋ 1 的最大值。
4
4x 5
【解析】：解：因 4x 5 0 ，所以首先要“调整”符号，又 (4x 2) 1 不是常数，所以
【解析】：∵ 0 x 3 ∴ 3 2x 0 ， 2
3
∴ y 4x(3 2x) 2 2x(3 2x) 2 2x 3 2x 2 9 2 2
当且仅当 2x 3 2x, 即 x 3 0, 3 时等号成立。 4 2
变式练习 2： 0 x 2 ，函数 f (x) ＝ x(2 3x) 的最大值为________。 3
注意：（1）内容： a ＞0， b ＞0，当且仅当“ a ＝ b ”时“＝”成立；（2）其中 a b 叫 2
做正数 a 、 b 的算术平均数， ab 叫做正数 a 、 b 的几何平均数，即两个正数的算术平均
数不小于它们的几何平均数。
3、常见的几个变形
（1） x ＋ 1 ≥2 ( x ＞0) x
x ＋ 1 ≤－2 ( x ＜0) x
4x 5
对 4x 2 要进行拆、凑项，
x
5 4
,5
4x
0
，
y
4x
2
1 4x
5
5
4
x
5
1 4x
3
2
3
1
当且仅当 5 4x
1 5 4x
，即
x
1时，上式等号成立，故当
x
1时，
பைடு நூலகம்
ymax
1。
变式练习 1： 已知 x ＞ 3 ，则 f (x) ＝ 1 ＋4 x －1 的最小值为_____________。
【高中数学必修五】3.4基本不等式 课件
均值不等式
如果 a, b 是正数，那么 ab a b
2
（当且仅当 a b 时取“=”）
应用均值不等式求最值的条件:
“一正”
“二定”
“三等”
a与b为正实数
积定和最小 和定积最大
若等号成立， a与b必须能
够相等
1
练习、已知正数x、y满足2x+y=1，求
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18
矩形菜园的面积为 xym2
得 xy 81
xy x y 2
=18/2=9
当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成 因立此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最 大，最大面积是81m2
结论2：两个正变量和为定值，则积有最大值，当且
解:设底面的长为xm,宽为ym,水池总造价为z元.根据题意,有:
z 150 4800 120(2 3x 2 3y) 3
240000 720(x y)
由容积为4800m3,可得:3xy=4800 ， 因此 xy=1600 由基本不等式与不等式的性质,可得
240000 720(x y) 240000 720 2 xy
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
例2：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形
菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用 篱笆最短。最短的篱笆是多少？
解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，
则xy=100，篱笆的长为2（x+y）
mx . y xy x y 2 100, 2
当且仅当a=b时，等号成立。
所得不等式推广： 重要不等式
高中数学必修五：3.4基本不等式 课件
（2）设矩形的长、宽分别为x(m)，y(m)，
依题意有2(x+y)=36，即x+y=18，
x y 因为x>0，y>0，所以， xy ≤ 2
因此 xy ≤ 9 将这个正值不等式的两边平方，得xy≤81, 当且仅当x=y时，式中等号成立， 此时x=y=9，
因此，当这个矩形的长与宽都是9m时，
它的面积最大，最大值是81m2。
ab ab 2
∴a b 2 ab
ab ab 即： 2
ab ab 当且仅当a=b时 2
ab 为a，b 的算术平均数， 称 2 称 ab 为a，b 的几何平均数。
注意：1．适用的范围：a, b 为非负数. 2．语言表述：两个非负数的算术平
均数不小于它们的几何平均数。
ab 3.我们把不等式 ab (a≥0,b≥0) 2
的最大
值，及此时x的值。
3 解： f ( x) 1 (2 x ) ，因为x>0， x
3 3 所以 2 x ≥ 2 2 x 2 6 x x 3 得 (2 x )≤ -2 6 x
因此f(x)≤ 1 2 6
当且仅当 号成立。
3 2x x
3 ，即 x 2
2
时，式中等
当a b时， ( a b) 0 2 当a b时， ( a b) 0
2
a b 2ab
2 2
1．指出定理适用范围： 2．强调取“=”的条件：
a, b R
ab
基本不等式2： 如果a,
b∈R+，那么
（当且仅当a=b 时，式中等号立）
2 2 证明： ( a ) ( b ) 2 a b ∵
由于x>0，所以
高中数学必修五苏教版课件：3.4.1 基本不等式的证明(2)
（3）已知0＜x＜2，求函数f(x)＝ 3x(8 3x) 的最大值，并
求相应的x值．
1 1 （4）已知 x＞0，y＞0，x＋3y＝1，求 的最小值，并 x y
求相应的x，y值．
课堂小结：
1．用基本不等式求最值必须具备的三个条件： 一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往 往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的 条件进行求解； 2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有： （1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式； （2）配凑出和为定值； （3）配凑出积为定值； （4）将限制条件整体代入． 一般说来，和式形式存在最小值，凑积为常数；积的形式存在最大值， 凑和为常数，要注意定理及其变形的应用．
最值定理：已知
最小值 2 p ； 有最大值
2
②如果和 x y是定值
s ． 4
s ，那么当 x y 时，积
xy
说明：最值定理是求最值的常用方法，但应注意以下几点： ①最值的含义；
②用基本不等式求最值必须具备的三个条件：一“正”、二“定”、三“相等” ③函数式中各项必须都是正数; ④函数式中含变数的各项的和或积必须是常数时才能用最值定理求最值．
高中数学 必修5
问题一：我们上一节课已经学习了两个重要的不等式， 请同学们回忆一下，这两个重要不等式叙述的内容是 什么，“等号”成立的条件是什么？
练习：已知x, y都是正数，若x y 4, 那么x y有无最大值，若有， 求出最大值．
x, y 都是正数， ①如果积 xy 是定值 p ，那么当 x y时，已知 x, y R
，若
高中数学新人教A版必修5课件 3.4.1 基本不等式
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第1课时 基本不等式
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2
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数学3.4《基本不等式》课件一(新人教A版必修五)
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池， 其容积为4800立方米，深为3米，如果池底每 平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价 为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最 低总造价是多少？
练习：
x
1
1、当x>0时，
x
的最小值为 2 ，此时x= 1 。
2、(04重庆）已知
2x 3y 2(x 0, y 0)
§3.4基本不等式: ab a b
2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D
D
a2 b2
b
G Fa
C
a
A
E
A E(FGH)
b
C
H
BLeabharlann B基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab a b (a 0,b 0) 2
ad bc bc ad 4
bd
ac
3.证明：a4 b4 c4 a2b2 b2c2 a2c2 abc(a b c)
C、 y 3x 3x (x R)
D、 y sin x 1 (0 x )
sin x
2
构造积为定值，利用基本不等式求最值
例4、 求函数
y 1 的最x小(x值 3) x3
y 思考x2：求5 函数 x2 4
的最小值
构造和为定值，利用基本不等式求最值
例5、已知 0 x 1 ，求 x 1 x2 的最大值
(4)a2
1
1 a2 1
2
其中恒成立的 （1）（2）（3） 。