椭圆各类题型分类汇总
第13讲 椭圆及其标准方程5种常考基础题型(解析版)
第13讲 椭圆及其标准方程5种常考基础题型【知识点梳理】1．椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数(P 1F 2F 12122PF PF a F F +=>)，这个动点的轨迹叫椭圆．这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距．P 若，则动点的轨迹为线段；若，则动点1212PF PF F F +=P 12F F 1212PF PF F F +<P 的轨迹无图形．2．椭圆的标准方程与几何性质3．椭圆的通径以及有关最值过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其长为22b a．，1(0)F c -，2(0F 2||2(F F c c a ==①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个端点．②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．距离的最大值为，距离的最小值为．[使用点到点的距离公式证明]a c +a c -【典型例题】题型一：椭圆的定义【例1】（伊宁市第三中学高二期末（理））如果点在运动过程中，总满足关系式(),M x y则点的轨迹是（ ）．=M A ．不存在B ．椭圆C ．线段D ．双曲线【答案】B到点的距离之和为=(),M x y (0,3),(0,3)-，而的轨迹是椭圆，故选：B 3(3)6--=<M 【例2】设为定点，，动点M 满足，则动点M 的轨迹是（ ）12,F F 126F F =126MF MF +=A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】D 【解析】【分析】由条件可得，即可得答案.12126MF MF F F +==【详解】因为，所以动点M 的轨迹是线段，12126MF MF F F +==12F F 故选：D【例3】已知△ABC 的周长为20，且顶点B （0， 4），C （0，4），则顶点A 的轨迹方程是（ ）A ．（x≠0）B ．（x≠0）2213620x y +=2212036x y +=C ．（x≠0）D ．（x≠0）221620x y +=221206x y +=【答案】B【解析】∵△ABC 的周长为20，顶点B （0， 4），C （0，4），∴BC ＝8，AB +AC ＝20 8＝12，∵12＞8∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵a ＝6，c ＝4∴b 2＝20，∴椭圆的方程是故选B ．()22102036x y x +=≠【题型专练】1．（浙江高二期末）已知动点满((),Px y5a a =+a为大于零的常数) 则动点的轨迹是（ ）P A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．直线【答案】C 的几何意义为点与点间的距离，(),P x y(0,2)A 的几何意义为点与点间的距离，(),P x y(0,2)B -且4AB =又由为大于零的常数，可知，a 54a a +≥=>当且仅当，即时取等，5a a=a =，54a a =+>即动点到点与到点的距离之和为定值，且大于，P A B AB所以动点的轨迹为椭圆，P 故选：C.2.（陕西高二期末（文））已知点，动点P 满足，则点P 的轨迹为（ ）()()7,0,7,0A B -16PA PB +=A ．椭圆B ．直线C ．圆D ．线段【答案】A【解析】 ，()()7,0,7,0A B -，14=又，1614PA PB AB +=>= 根据椭圆的定义可知：P 的轨迹为椭圆.故选：A.3.（江苏高二期末（多选））在平面直角坐标系中，下列方程表示的曲线是椭圆的有（ ）A 4=B 4+=C ．|4|x =-D 2|2|x =+【答案】BC【解析】A 选项表示动点到定点和4=(),P x y()10,2F -()20,2F 的距离等于，即，所以点的轨迹是线段，故A 错；41212PF PF F F +=(),P x y12F FB 选项表示动点到定点和的距离等于，即4+=(),P x y ()11,0F -()21,0F 4，满足椭圆定义表示焦点在121242PF PF F F +=>=4=x轴上，焦距为，长轴长为的椭圆，故B 正确；24C 选项，由可得，整理得|4|x =-2224(1)4816x y x x -+=-+22143x y +=显然表示椭圆，故C 正确；D 选项可得，则2|2|x =+222(2)4(2)x y x ++=+223(2)y x =+，显然不表示椭圆，故D 错.故选：BC4.（陕西高二期末（文））已知△ABC 的周长为10，且顶点，，则顶点()2,0B -()2,0C A的轨迹方程是（ ）A ．B ．221(0)95x y y +=≠221(0)59x y y +=≠C ．D ．221(0)64x y y +=≠221(0)46x y y +=≠【答案】A【解析】∵△ABC 的周长为10，顶点，，()2,0B -()2,0C ∴，，=4BC +=10464AB AC -=>∴点A 到两个定点的距离之和等于定值，∴点A 的轨迹是椭圆，∵，∴，3,2a c ==2945b =-=又因为三点构成三角形，,,A B C ∴椭圆的方程是.()221095x y y +=≠故选：A ．题型二：利用椭圆定义的解题在处理椭圆问题的时候，要优先思考定义，俗称定义优先原则，而非上来就直接设直线和椭圆联立．所以在解题的时候如果看到点在椭圆上，要时刻思考椭圆定义，将该点和焦点连线，用上定义分析问题．【例1】（2020•镇江期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线交椭圆22:1169x y C +=1F 2F 2F C 于，两点，若，则等于（ ）P Q 11||||10F P F Q +=||PQ A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】B【解析】因，所以16411==++a PQ Q F P F 6=PQ 【例2】（2020•绥化月考）椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：，点、221169x y +=A B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点处，从点A A沿直线出发，经椭圆壁（非椭圆长轴端点）反弹后，回到点时，小球经过的最短路程是（ ）A A ．20B ．18C ．16D ．以上均有可能【答案】C【解析】因最短路程164=a 【例3】（2021新高考1卷） 已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则1F 2F C 22194x y +=M C 的最大值为（ ）12MF MF ⋅A. 13 B. 12C. 9D. 6【答案】C【解析】因，所以2121262MF MF a MF MF ⋅≥==+921≤⋅MF MF 【例4】（2020·重庆市松树桥中学校高二月考）设，分别为椭圆1F 2F 2214x y +=的左、右焦点，点在椭圆上，且，则（ ）P 12PF PF +=12F PF ∠=A ．B ．C ．D ．6π4π3π2π【答案】D，所以32213OF OF ==︒=∠9021PF F 【例5】（2020·吉林高三其他模拟（文））已知椭圆的焦点为，，其中C ()1,0F c -()2,0F c ，的长轴长为，过的直线与交于，两点.若，0c >C 2a 1F C A B 113AF F B =245BF AB =，则（ ）2AF =A ．B ．C ．D ．54a 43a 23a a【答案】D【解析】设则，所以，因为,3311m B F AF ==m BF AF AB 411=+=m AB BF 5452==，所以，所以，，因为a m m m BF BF 26521==+=+a m 31=a BF 352=a AF =1aAF AF 212=+，所以aAF =2【例6】设，为椭圆的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段的中点在y 轴上，则1F 2F 22194x y +=1PF 的值为（ ）21PF PF A ．B ．C ．D ．513452749【答案】C 【解析】【分析】由中位线定理以及椭圆方程得出，再由椭圆的定义得出，再求的值.243PF =1PF 21PF PF 【详解】由椭圆的定义可知，，由中位线定理可知，，将1226PF PF a +==212PF F F ⊥x =22194x y +=中，解得，即，，故43y =±243PF =1414633PF =-=214323147PF PF =⨯=故选：C【例7】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段22195x y +=F P x PF的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（ ）O OFPF A B ．C D ．【答案】C 【解析】【分析】设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得2PF M 1PF 1MF 12F M PF ⊥，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.11222PF F F c ===2PF 12PF F △【详解】在椭圆中，，，22143x y +=2a =b =1c ==设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，2PF M 1PF 1MF 12F F O 12F M PF ⊥因为为的中点，则，则，M 2PF 11222PF F F c ===2122PF a PF =-=所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.12PF F △2PF 3π故选：C.【例8】（2018·福建省泰宁第一中学月考（理））、是椭圆1F 2F 22:1259x y C +=的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为P C 1||6PF =1F 12F PF ∠M ，则的长为（ ）||OM A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【详解】如图，直线与直线相交于点N ，由于PM 是的平分线，且PM ⊥，1F M 2PF 12F PF ∠1F N 所以三角形是等腰三角形，所以，点M 为中点，因为O 为的中点，1F PN 1PF PN =1F N 12F F 所以OM 是三角形的中位线，所以，其中12F F N 212OM F N =212112226F N PF PF PF a PF =-=-=-，因，所以，所以，所以选61=PF 62=N F 3=OM C【题型专练】1.（2020•武邑月考）椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，如果的中点在22193x y +=1F 2F P 1PF y 轴上，那么是的（ ）1||PF 2||PF A ．7倍 B ．6倍C ．5倍D ．4倍【答案】C【解析】由题意知：，所以，因，所以212F F PF ⊥13322===a b PF 6221==+a PF PF 51=PF ，所以521=PF PF 2.（2021•深圳期中）已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于22:12516x y C +=M C M C 的焦点的对称点分别为，，线段的中点在上，则（ ）A B MN C ||||AN BN +=A ．10 B ．15C ．20D ．25【答案】C【解析】设的中点为，椭圆的左右焦点分别为，则为的中点，为MN G 21,F F G MN 1F MA 的中点，所以，同理，所以12GF AN =22GF BN =()204221==+=+a GF GF BN AN3.（2020·重庆市第十一中学校高三月考）已知椭圆，焦点()2222:10x y C a b a b +=>>()12,0F -，.过作倾斜角为的直线L 交上半椭圆于点A ，以()22,0F ()12,0F -60︒11 , F A F O(O 为坐标原点)为邻边作平行四边形，点B 恰好也在椭圆上，则1OF AB 2b =A B ．C ．D ．12【答案】B【解析】由题意知关于轴对称，所以，又因，所以AB y OB OA =︒=∠=∠601O AF ABO AB OF 1为平行四边形，连接，则为直角三角形，所以，所以21,BF BF 21F BF ∆32,212==BF BF ，所以，所以322221+==+a BF BF 31+=a ()324312222=-+=-=c a b 4.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，若，则22192x y +=12,F F M 1||4MF =12F MF ∠=（ ）A ．B ．C ．D ．30°60︒120︒150︒【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆方程求得椭圆的定义，得，求得，所以12F F =1226MF MF a +==1||4MF =，在中，再由余弦定理列出方程，求得，即可求解．22MF =12F MF △121cos 2F MF ∠=-【详解】解：由题意，椭圆方程，可得22192x y +=3,a b c ====所以焦点，12(F F又由椭圆的定义，可得，因为，所以，1226MF MF a +==1||4MF =22MF =在中，由余弦定理可得,12F MF △222121212122cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠所以，解得，2221242242cos F MF =+-⨯⨯∠121cos 2F MF ∠=-又由，所以.12(0,180)F MF ∠∈ 12120F MF ∠=故选:C ．5.在平面直角坐标系中，若△ABC 的顶点和，顶点B 在椭圆上，则xOy (0,2)A -(0,2)C 181222=+x y 的值是（ ）sin sin sin A CB +A B ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】【分析】由题设易知为椭圆的两个焦点，结合椭圆定义及焦点三角形性质有，,A C ||||2AB CB a +=，最后应用正弦定理的边角关系即可求目标式的值.||2AC c =【详解】由题设知：为椭圆的两个焦点，而B 在椭圆上，,A C所以，，||||2AB CB a +==||24AC c ==由正弦定理边角关系知：|||||sin sin sin |A A C B CB A B C +==+故选：A6.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上且在轴的下方，若线段22143x y +=1F 2F P x 2PF 的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的倾斜角为（ ）O 2OF 2PF A ．B ．C ．D ．6π4π3π23π【答案】C 【解析】【分析】设线段的中点为，连接、，利用圆的几何性质可得出，求得2PF M 1PF 1MF 12F M PF ⊥，利用椭圆的定义可求得，可判断出的形状，即可得解.11222PF F F c ===2PF 12PF F △【详解】在椭圆中，，，22143x y +=2a =b =1c ==设线段的中点为，连接、，则为圆的一条直径，则，2PF M 1PF 1MF 12F F O 12F M PF ⊥因为为的中点，则，则，M 2PF 11222PF F F c ===2122PF a PF =-=所以，为等边三角形，由图可知，直线的倾斜角为.12PF F △2PF 3π故选：C.7.（甘肃）设是椭圆：上一点，，分别是的左、右焦点P C 2217x y m +=()13,0F -()23,0F C 13PF =，则2PF =A ．5B ．C ．4D ．33-【答案】A【解析】依题意得椭圆：焦点在轴，且，，C 2217x y m +=x 3c =27b =因为，所以，即，222a b c =+27316m =+=4a =又，，所以，故选：A ．13PF =1228PF PF a +==25PF =8.（湖南）椭圆上一点到焦点的距离为2，是的中点，则 等于（221259x y +=M 1F N 1MF ||ON ）A ．2B ．4C ．6D ．1.5【答案】B【解析】设椭圆另一焦点为,根据椭圆定义，故，2F 12210MF MF a +==28MF =中, 是的中点，是的中点，故 是中位线，12MF F △N 1MF O 12F F ON .故选：B.2118422ON MF ==⨯=9.（西藏拉萨市·拉萨中学高二月考（文））已知，是椭圆：的两个焦点，点1F 2F C 22194x y +=在上，则的最大值为（ ）M C 12MF MF ⋅A ．13B ．12C ．9D ．6【答案】C【解析】由题，，则，229,4a b ==1226MF MF a +==所以（当且仅当时，等号成立）．故选：C ．2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭123MF MF ==10．（宁夏吴忠中学高二月考（文））平面内有两个定点和一动点，设命题甲：12,F F M 是定值，命题乙：点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）12||||MF MF +M A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若点的轨迹是以为焦点的椭圆，则根据椭圆的定义可知动点到两定点M 12,F F M 12,F F 的距离之和 ，且为常数）成立是定值．12|||2|MF MF a =+(0a >a 若动点到两定点的距离之和 ，且为常数），当M 12,F F 12|||2|MF MF a =+(0a >a 122||a F F …，此时的轨迹不是椭圆．甲是乙的必要不充分条件．故选：．∴B11．（乾安县第七中学）已知A 为椭圆上一点，F 为椭圆一焦点，的中点为，2212516x y +=AFP O为坐标原点，若则（ ）2OP =AF =A ．B ．C ．D ．8642【答案】B【解析】不妨设椭圆左焦点为，右焦点为，2212516x y +=FE 因为的中点为，的中点为，所以，AE P EF O 24AE OP ==又由，可得.故选：B .210AE AF a +==1046AF =-=题型三：利用椭圆定义求范围若表示椭圆，则122=+n y m x ⎪⎩⎪⎨⎧≠>>n m n m 00若表示焦点在轴上的椭圆，则122=+n y m x x 0>>n m 若表示焦点在轴上的椭圆，则122=+n y m x x 0>>m n 【例1】方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在x 轴上的椭圆的一个充分但不必要条件是 （ ）A ．B ．C ．D ．0k >12k <<1k >01k <<【答案】B【解析】方程x 2＋ky 2＝2可变形为：，表示焦点在x 轴上的椭圆，则有：，22122x y k +=202k <<解得.易知当时，，当时未必有，所以是k 1>12k <<k 1>k 1>12k <<12k <<k 1>的充分但不必要条件.故选B.【例2】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ）14k <<22141x y k k +=--A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则，解得：或401041k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩512k <<542k <<或是的真子集，所以“”是“方程5{12k k <<54}2k <<{}14k k <<14k <<22141x y k k +=--表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件.故选：B【例3】方程表示椭圆的一个必要不充分条件是（ ）2214x y m +=A ．m ＞0B ．m ＞4C ．m ＞0且m ≠4D ．m ＜0【答案】A【解析】若方程表示椭圆，则m ＞0且m ≠4，2214x y m +=∴m ＞0是方程表示椭圆的一个必要不充分条件，故选：A2214x y m +=【例4】（多选题）已知曲线22:1C mx ny +=A ．若，则是椭圆，其焦点在轴上0mn >>C y B ．若，则是椭圆，其焦点在轴上0m n >>C x C ．若，则0m n =>C D ．若，，则是两条直线0m =0n >C 【答案】AD【解析】由题意得：，所以当，则，所以表示焦点在11122=+n y m x 0>>n m n m 110<<y 轴上的椭圆，所以对，错，当时，曲线为，所以表示圆，半径为A B 0>=n m C n y x 122=+n1，当时，曲线为，所以，所以表示两条直线，故选：AD 0,0>=n m C n y 12=n y 1±=【题型专练】1.已知方程表示椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）22121x y m m -=++A ．B ．(,1)-∞-(2,)-+∞C ．D ．3(,)2-∞-(1,)⋃-+∞33(2,)(,1)22--⋃--【答案】D【解析】，且，所以或．()()210m m ++<()21m m +≠-+322m -<<-312m -<<-故选D ．2.若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（ ）C 22211x y m m +=-()0,1C A B ．2C ．D．【答案】D【解析】由于方程为椭圆，且焦点在轴上，所以，解得22211x ym m +=-()0,1y 222010111m m m m m m >⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪--=⎩2m =，所以，长轴长为.故选：Da ==2a =3.是方程表示椭圆的（ ）．01m <<22121x y m m -=-A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】若方程表示椭圆，则有，解得且22121x y m m -=-201021m m m m >⎧⎪-<⎨⎪≠-⎩01m <<13m ≠所以是方程表示椭圆的必要不充分条件故选：B01m <<22121x y m m -=-4．已知p ：方程表示椭圆，q ：.则p 是q 的（ ）22153x y k k +=+-53k -<<A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示椭圆，则解得且，22153x y k k +=+-50,30,53,k k k k +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩53k -<<1k ≠-易知可以推出，但是不能推出，故是的充分不必要条件．故选：A.p q q p p q 题型四：椭圆中有关三角形周长、面积问题【例1】已知△的顶点､在椭圆上，顶点ABC B C 2213x y +=A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）BCABC A ． B ．．D ．24【答案】D【解析】由椭圆方程知：，，2a =22||||||||2AB BF AC CF a +=+=22||||||BF BFCF =+∴△的周长为，故选：D.ABC 4a =【例2】（2020·广西钦州一中高三开学考试（理））设椭圆C ：22221x y ab +=(a >0，b >0)的左､右焦点分别为，，离心率P 是C 上一点，且⊥.若1F 2F 1F P 2F P 12PF F △的面积为4，则a =（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】C【解析】，，由椭圆定义，，c a=2234a c ∴=122PF PF a +=由⊥得，1F P 2F P ()22212||2PF PF c +=的面积为4，则，即，12PF F △121||42PF PF ⋅=12||8PF PF ⋅=，即,解得，即，故选：C .()22121224PF PF PFPF c ∴+-⋅=224163a a -=216a =4a =【例3】椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则的面积为2214924x y +=1F 2F P 16PF =12PF F △A ．24B ．28C ．40D ．48【答案】A 【解析】由题意得：，所以，又因，所以14221==+a PF PF 82=PF 252449222=-=-=b a c ，所以为直角三角形，所以，故选：A5=c 21F PF ∆248621=⨯⨯=∆ABC S 【题型专练】1.（2014安徽）设,分别是椭圆：的左、右焦点，过点1F 2F E 22221(0)x ya b a b+=>>1F 的直线交椭圆于两点，E ,A B 11||3||AF BF =（Ⅰ）若的周长为16，求；2||4,AB ABF =∆2||AF 【解析】：（Ⅰ）由得．11||3||,||4AF F B AB ==11||3,||1AF F B ==因为的周长为16，所以由椭圆定义可得2ABF ∆12416,||||28a AF AF a =+==故．21||2||835AF a AF =-=-=2.点，为椭圆：的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则1F 2F C 22143x y +=P C 12PF F △周长的取值范围为（ ）A ．B ．()2,6[)4,6C ．D ．()4,6[)4,8【答案】C【解析】由椭圆：，得：，C 22143x y +=2,1a c ==当点在椭圆上时，周长最大，为，P 12PF F △226a c +=当点在轴上时，去最小值，为，P x 44c =又因点为椭圆内部的动点，P C 所以周长的取值范围为.12PF F △()4,6故选：C.3.已知椭圆C ：的左右焦点分别是，过的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且22194x y +=12,F F 2F ，则（ ）118AF BF +=AB =A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】由椭圆知：a =3，22:194x y C +=由椭圆的定义得：，121226,26AF AF a BF BF a +==+==所以，11412AF BF AB a ++==又因为，118AF BF +=所以，AB 4=故选：A4.（黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，P 221169x y +=12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.12||.||12PF PF =12F PF ∠【答案】60【解析】椭圆，221169x y +=可得，设，，28a =1PF m=2PF n=可得，2221228124282m n a mn c m n mncos F PF+==⎧⎪=⎨⎪==+-∠⎩化简可得：，121cos 2F PF ∠=，故答案为．1260F PF ∴∠= 60 5.（2020·正定县弘文中学月考）焦点在x 轴上的椭圆 焦距为8，两个焦点为222125x y a +=12,F F ，弦AB 过点，则的周长为（ ）1F 2ABF ∆A ．20B ．28C ．D．【答案】D【解析】由题意知 ，因为，所以，解得，所以252=b 222c b a +=16252+=a 41=a 2ABF ∆的周长为，故选：D 4144=a 题型五：椭圆的标准方程【例1】椭圆的焦点坐标为( 5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ）A ．＝1B ．+＝1C ．+＝1D ．+＝122+169144x y 2144x 2169y 2169x 225y 2144x 225y 【答案】A【解析】∵椭圆的焦点坐标为( 5，0)和(5，0)，椭圆上一点与两焦点的距离和是26，∴椭圆的焦点在x 轴上，c ＝5，a ＝13，∴12，b =∴椭圆的方程为＝1．故选：A ．22+169144x y 【例2】已知椭圆：和椭圆：1C 22221(0)x y a b a b +=>>2C 22221(0)x y c d cd +=>>的离心率相同，则A ．B ．ab cd =ac bd=C ．D ．ad bc=2222a b c d-=-【答案】C【解析】由条件可知，所以，即，所以，故选：C 222222211,1c d e a b e -=-=2222c d a b =2222d a c b =ad bc =【例3】椭圆：的焦点在轴上，其离心率为，则C 2221(0)3x y a a +=>x 12A ．椭圆B ．椭圆的长轴长为4C C C ．椭圆的焦距为4D ．C 4a =【答案】B【解析】由条件可知，所以，即，所以，故选：B 413112222=-=-=a a b e 4332=a 2=a 1=c 【例4】椭圆的右焦点到直线的距离是22143x y+=0x y -=A ．B C ．1D 12【答案】B【解析】由条件可知，所以右焦点为，由点到直线的距离公式得1222=-=b a c ()0,1，故选：B22201=-=d 【例5】求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1），y 轴上；4a =c =（2）与椭圆有相同的焦点，且经过点2212x y +=3(1,)2（3）经过两点(2,(A B 【答案】（1）；（2）；（3）.22116y x +=22143x y +=2218x y +=【解析】（1）由，，4a =c =2221b a c =-=焦点在y 轴上，其标准方程为.∴22116y x +=（2）椭圆的焦点坐标为，2212x y +=(1,0)±椭圆过点，3(1,2，∴24a =∴2,a b ==椭圆的标准方程为.∴22143x y +=（3）设所求的椭圆方程为.221(0,0,)x y m n m n m n +=>>≠把两点代入，(2,(A B 得：，解得，14213241m n m n ⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩81m n ==，椭圆方程为.∴2218x y +=【例6】（2020·四川青羊.树德中学高三月考（文））已知椭圆的焦点为，．过点C 1(1,0)F -2(1,0)F 的直线与交于，两点．若的周长为8，则椭圆的标准方程为（ ）．1F C A B 2ABF ∆C A ．B ．C ．D ．2211615x y +=22187x y +=22143x y +=22134x y +=【答案】C【解析】根据椭圆的定义知的周长为，∴，又，，∴，2ABF 48a =2a =1c =2223b ac =-=∴椭圆的标准方程为．C 22143x y +=【例7】（2019全国1文12）已知椭圆C 的焦点为12(1,0),(1,0)F F -，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若，，则C 的方程为22||2||AF F B =1||||AB BF =A ．B ．C ．D ．2212x y +=22132x y +=22143x y +=22154x y +=【答案】B【解析】法一：如图，由已知可设，则，2F B n=212,3AF n BF AB n===由椭圆的定义有．121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=在中，由余弦定理推论得．1AF B △22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅在中，由余弦定理得，解得．12AF F △2214422243nn n n +-⋅⋅⋅=n =所求椭圆方程为，故选B．22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴22132x y +=法二：由已知可设，则，2F B n=212,3AF n BF AB n===由椭圆的定义有．121224,22a BF BF n AF a AF n=+=∴=-=在和中，由余弦定理得，12AF F △12BF F △2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩又互补，，两式消去，得2121,AF F BFF ∠∠2121cos cos 0AF F BF F∴∠+∠=2121cos cos AF F BF F ∠∠,，解得223611n n +=n =22224,,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为，故选B ．22132x y +=【例8】两点，且．PQ ⊥1PF（Ⅰ【解析】由椭圆的定义得，故，设椭圆的半焦距为42222221=-++=+=PF PF a 2=a c，又已知得，所以，所以21PF PF ⊥322222121=+==PF PF F F c 3=c 122=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为1422=+y x【例9】已知点，椭圆：，是椭圆A (0,2)-E 22221(0)x y a b a b +=>>F E的右焦点，直线，为坐标原点．AF O （Ⅰ)求的方程；E 【解析】由题意知，故，又已知得，所以3322==c k AF 3=c 23=a c 2=a 122=-=c a b ，故所求椭圆的标准方程为1422=+y x 【题型专练】1．到点和的距离之和为的点的轨迹方程为（ ）()-()8A ．B ．C ．D ．221164x y +=221124x y +=2211612x y +=2211216x y +=【答案】A【解析】因为和两点间的距离，()-()8<所有由椭圆的定义知动点的轨迹是以和为焦点，长轴长为的椭圆，()-()8所以，即，c =28a =4a =所以，(2222244b a c =-=-=216a=所以所求动点的轨迹方程为，221164x y +=故选：A.2.（镇远县文德民族中学校高二月考）求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点在轴上，中心为坐标原点，经过点，.x 31,2⎛⎫⎪⎝⎭(0,（2）以点，为焦点，经过点.1(1,0)F -2(1,0)F P ⎛ ⎝【答案】（1）；（2）.22143x y +=22154x y +=【解析】（1）设椭圆的标准方程为，22221(0)x y a b a b +=>>由题意有，可得221914a b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆的标准方程为.C 22143x y +=（2）设椭圆的标准方程为，焦距为.22221(0)x y m n m n+=>>02c 由题意有，0c===有，m =2n ==故椭圆的标准方程为.22154x y +=3.（多选）已知椭圆C ：，则下列结论正确的是221641x y +=A ．长轴长为B12C ．焦点坐标为D 0⎛± ⎝，【答案】D【解析】由题意知，所以焦点在轴上，所以，所以14116122=+y x y 41,21==b a 163222=-=b a c ，所以，故选D43=c 4.已知椭圆的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于221102x y m m +=--A ．3B ．5 C ．7D ．8【答案】D【解析】要表示焦点在轴上的椭圆时，，所以y 2,1022-=-=m a m b ，解得，故选：D()41221022=-=---=m m m c 8=m 5.已知椭圆的左右焦点分别为，过2222:1(0)x y C a b a b +=>>12,FF 2F 的直线l 交C 与A ，B 两点，若△的周长为C 的方程为（ ）1AF B A ．B ．C ．D ．22132x y +=2213x y +=221128x y +=221124x y +=【答案】B【解析】由题意知，解得，所以，故选B ⎪⎩⎪⎨⎧==36344ac a ⎩⎨⎧==23c a 1222=-=c a b 6.（2019·山西高三开学考试（文））在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点、1F 2F 在x 轴上，离心率，过的直线l 交C 于A 、B 两点，且的周长为16，那么C 的方程为（1F 2ABF ∆）A ．B ．2213618x y +=2211610x y +=C ．D ．22142x y +=221168x y +=【答案】D【解析】根据题意，的周长为16，即,2ABF ∆221116BF AF BF AF +++=根据椭圆的性质，有，即；椭圆的离心率，即，则，故416a =4a=c a=a =c =，则，则椭圆的方程为，故选：D ．2228b a c =-=221168x y +=7.（2022·全国甲（文）） 已知椭圆的离心率为，2222:1(0)x y C a b a b +=>>1312,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若，则C 的方程为（ ）121BA BA ⋅=-A.B.C. D. 2211816x y +=22198x y +=22132x y +=2212x y +=【答案】B 【解析】【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解.12=1⋅-BA BA 22,a b 【详解】解：因为离心率，解得，，13c e a ===2289b a =2289=b a 分别为C 的左右顶点，则，12,A A ()()12,0,,0A a A a -B 为上顶点，所以.(0,)B b 所以，因为12(,),(,)=--=- BA a b BA a b 121BA BA ⋅=-所以，将代入，解得，2289=b a 229,8a b ==故椭圆的方程为.22198x y +=故选：B.。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义：平面内与两定点F i F 2距离和等于常数 2a （大于F^2 ）的点的轨迹叫做椭圆.两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 2c .椭圆的几何性质：以2 2务每 1 a b 0为例a b2 2X y1. 范围：由标准方程可知，椭圆上点的坐标X, y 都适合不等式 — 1,召 1，即a bx a, y b 说明椭圆位于直线 xa 和yb 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性质主要用于求最值、轨迹检验等问题 .2. 对称性：关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
4.长轴、短轴:5.离心率椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关. 2 2a ，从而b ac 越小，椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0,从而b 越大，椭圆越接近圆。
2b 26. 通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，——a7. 设F 1、F 2为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当P 、F 1、F 2三点不在同一直线上时,3.顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个：Aa,0、 A^ a,0、B i 0, b 、B 2 0, b .AA2叫椭圆的长轴,A 1A 22a, a 是 长半轴长;B 1B 2叫椭圆的短轴,B-|B 2 2b,b 是短半轴长.(1) 椭圆焦距与长轴的比 ea c 0,(2)Rt OB 2F 2, B 2F 2OB 22OF 2 ，即 a 2 b 22c .这是椭圆的特征三角形，并且cos OF 2B 2的值是椭圆的离心率.近于 .当e 接近于1时，c 越接P 、F ,、F 2构成了一个三角形一一焦点三角形.依椭圆的定义知:PF i PF 2 2a, F 1F 2 2c .(二) 运用的知识点及公式 1、 两条直线I ,: y k ,x bi ,l 2: y k 2x b>垂直：则k i k 2 1 ；两条直线垂直，则直线所在的向量£&222、 韦达定理：若一元二次方程ax bx c 0(a 0)有两个不同的根 x ,,X 2，贝yb cx , x 2, x , x 2 a a3、 中点坐标公式：x 已 x 2 ,y 出 y 2 ,其中x, y 是点A(x ,, y ,), B(x 2, y 2)的中点坐标 2 24、 弦长公式：若点 A(x i ,y i ), B(X 2,y 2)在直线 y kx b(k 0) 上, 则y , kx , b, y kx ? b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB | ./(x , x 2)2~(y ,_竜(x , x 2)2 (kx , kx 2)2k 2)(x ,①2, (, ^)[(x ,X 2)? 4x ,X 2】或者AB (x x>)2(y y(三) 转方向：方向一：向斜率转化，变为函数最值及最优解问题，或者变为不等式问题 方向二：向距离转化, 2(,k 2)[(y , y 2) 4y ,y 2]。
椭圆典型题型归纳总结
椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1：已知一个动圆与圆22:(4)100C x y ++=相内切，且过点(4,0)A ，求这个动圆圆心M 的轨迹方程；练习：1.6=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2.10=对应的图形是（ ）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆3.10=成立的充要条件是（ ）A.2212516x y += B.221259x y += C. 2211625x y += D. 221925x y +=4.1m =+表示椭圆，则m 的取值范围是5.过椭圆22941x y +=的一个焦点1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，则,A B 两点与椭圆的另一个焦点2F 构成的2ABF ∆的周长等于 ；6.设圆22(1)25x y ++=的圆心为C ，(1,0)A 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；题型二. 椭圆的方程 （一）由方程研究曲线例1.方程2211625x y +=的曲线是到定点 和 的距离之和等于 的点的轨迹 （二）分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点(3,0)P ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点1P 、2(P ，求椭圆的方程；例4.求经过点(2,3)-且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程；（四）定义法求轨迹方程；例5.在ABC ∆中，,,A B C 所对的三边分别为,,a b c ，且(1,0),(1,0)B C -，求满足b a c >>且,,b a c 成等差数列时顶点A 的轨迹；练习：1、动圆P 与圆221:(4)81C x y ++=内切与圆222:(4)1C x y -+=外切，求动圆圆心的P 的轨迹方程。
2、已知动圆C 过点A (2,0)-，且与圆222:(2)64C x y -+=相内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ；（五）相关点法求轨迹方程；例6.已知x 轴上一定点(1,0)A ，Q 为椭圆2214x y +=上任一点，求AQ 的中点M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于,A B 两点，点P 是直线l 上满足1PA PB ∙=的点，求点P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为F 的椭圆被直线32y x =-截得的弦的中点的横坐标为12，求此椭圆的方程；题型三.焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形：通常结合定义、正弦定理、余弦定理、勾股定理来解决；椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 和焦点1(,0)c F -，2(,0)c F 为顶点的12PFF ∆中，12FPF α=∠，则当P 为短轴端点时α最大，且 ①122PF PF a +=； ②22212122cos 4c PF PF PF PF α=+-；③12121sin 2PF F S PF PF α∆==2tan 2b α⋅。
高中数学-椭圆常考题型汇总及练习
高中数学 - 椭圆常考题型汇总及练习第一部分：复习运用的知识（一）椭圆几何性质椭圆第一定义 :平面内与两定点 F 1、F 2 距离和等于常数 2a （大于 F 1F 2 ）的点的轨迹叫做椭圆 . 两个定点 叫做椭 圆的焦 点；两焦 点间的 距离叫 做椭圆的 焦距 2c . 椭圆的几 何性质 : 以 22x2y 2 1 a b 0 为例a2 b 222xy1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标 x,y 都适合不等式 2 1, 2 1，即 abx a, y b 说明椭圆位于直线 x a 和 y b 所围成的矩形里（封闭曲线） .该性质主要用 于求最值、轨迹检验等问题 .2.对称性 :关于原点、 x 轴、 y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。
4. 长轴、短轴：5. 离心率3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点）有四个： A 1a,0 、 A 2 a,0 、 B 1 0, b 、 B 2 0,b .A 1A 2 叫椭圆的长轴， A 1A22a, a 是 长半轴长； B 1B 2 叫椭圆的短轴，B 1B22b,b 是短半轴长 .1） 椭圆焦距与长轴的比 e a c 0,0e2） Rt OB 2F 2 , B 2F 2OB 22OF 2 ，即a 2b 22c 2 .这是椭圆的特征三角形，并cos OF 2B 2 的值是椭圆的离心率 .椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关 .当 e 接近于 1 时， c 越接近于 22a，从而b ac 越小，椭圆越扁； 当 e 接近于 0 时，c 越接近于 0，从而 b22ac越大，椭圆越接近圆。
2b 2 6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦） ，2ba7.设 F 1、 F 2 为椭圆的两个焦点， P 为椭圆上一点，当 P 、 F 1、F 2 三点不在同一直线上时，P 、 F 1、 F 2 构成了一个三角形——焦点三角形 . 依椭圆的定义知：PF 1 PF 2 2a, F 1F 2 2c .(二) 运用的知识点及公式1、两条直线 l 1: y k 1x b 1,l 2: y k 2x b 2 垂直：则 k 1k 21；两条直线垂直，则直线所在的向量 v r 1 gv r2 022、韦达定理：若一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 有两个不同的根 x 1,x 2，则 bcx 1 x 2,x 1x 2 。
椭圆题型总结(较难)
椭圆题型总结一、焦点三角形1. 设F 1、F 2是椭圆12322=+y x 的左、右焦点，弦AB 过F 2，求1ABF △的面积的最大值。
（法一）解：如图，设2(0)xF B ααπ∠=<<，22||||AF m BF n ==，，根据椭圆的定义，1||AF m =，1||BF n =，又12||2F F =，在ΔAF 2F 1和ΔBF 2F 1中应用余弦定理，得2222)44cos )44cos m m m n n n αα⎧=+-⎪⎨=++⎪⎩，∴m =，n =∴11211||||2()sin 22F ABB A S F F y y m n α∆=⋅-=⋅⋅+α== 令sin t α=，所以01t <≤，∴21()22t g t t t t==++在(01]，上是增函数 ∴当1t =，即2πα=时，max 1()3g t =，故1ABF △（法二）解：设AB ：x=my+1，与椭圆2x 2+3y 2=6联立，消x 得 (2m 2+3)y 2+4my-4=0 ∵ AB 过椭圆内定点F 2，∴ Δ恒大于0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则Δ=48(m 2+1)1ABF S ∆=|y 1-y 2|=令 t=m 2+1≥1，m 2=t-1， 则 1ABF S ∆=t ∈[1,+∞) f(t)=144t t++在t ∈[1,+∞)上单调递增，且f(t)∈[9,+∞) ∴ t=1即m=0时，ΔABF 1注意：上述AB 的设法：x=my+1，方程中的m 相当于直线AB 的斜率的倒数，但又包含斜率不存在的情况，即m=0的时候。
在直线斜率不等于零时都可以这样设，往往可使消元过程简单化，而且避免了讨论。
2. 如图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1) 求点P 的轨迹方程；(2) 若2·1cos PM PN MPN-∠＝，求点P 的坐标.解：(1) 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴 b=225a c -=， 所以椭圆的方程为221.95x y += (2) 由2,1cos PM PN MPN=-得cos 2.PM PN MPN PM PN =- ①因为cos 1,MPN P ≠不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在△PMN 中，4,MN =由余弦定理有2222cos .MN PM PN PM PN MPN =+-②将①代入②，得22242(2).PM PN PM PN =+--故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213x y -=上. 由(Ⅰ)知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以由方程组22225945,3 3.x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 解得22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=±⎪⎩即P 点坐标为-.二、点差法定理 在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.3. 直线l 经过点A (1，2)，交椭圆2213616x y +=于两点P 1、P 2，（1）若A 是线段P 1P 2的中点，求l 的方程；（2）求P 1P 2的中点的轨迹．解：（1）设P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116361163622222121y x y x ⇒016))((36))((21212121=+-++-y y y y x x x x …………*∵A (1，2)是线段P 1P 2的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4， ∴016)(436)(22121=-+-y y x x ，即922121-=--x x y y 。
椭圆的常见题型及解法(一)
椭圆的常见题型及其解法(一)椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F 的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。
在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。
1.公式的推导设P （，）是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。
证法1：。
因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P 到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知11PF e d ，又，所以，而。
∴，。
2.公式的应用例1 椭圆上三个不同的点A （）、B （）、C （）到焦点F （4，0）的距离成等差数列，则12x x + .解：在已知椭圆中，右准线方程为254x =，设A 、B 、C 到右准线的距离为，则、、。
∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。
∴，即，。
例 2.12,F F是椭圆2214x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。
解：设，则1020332,2.22PF x PF x =+=-212034.4PF PF x ⋅=-P 在椭圆上，022x ∴-≤≤，12PF PF ⋅的最大值为4，最小值为1.变式练习1：. 求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB 的长度。
解：由已知可得，所以直线AB 的方程为，代入椭圆方程得设，则，从而变式练习2. 设Q 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，求证：以2QF （或1QF ）为直径的圆C 与以长轴为直径的圆相内切。
证明：设，圆C 的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。
故两圆相内切 同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。
3.椭圆焦半径公式的变式P 是椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点，E 、F 是左、右焦点，PE 与x 轴所成的角为α，PF 与x 轴所成的角为β，c 是椭圆半焦距，则（1）||cos PE b a c =-2α；（2）||cos PF b a c =+2β。
椭圆与双曲线常见题型归纳
椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解 1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P到两点(0,的距离之和为4，设点P 的轨迹为C ,直线1y kx =+与C 交于,A B 两点。
（Ⅰ）写出C 的方程; （Ⅱ）若OA OB ⊥，求k 的值。
例1. 解:（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C是以(0(0为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2214y x +=． （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，其坐标满足 22141.y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩， 消去y 并整理得22(4)230k x kx ++-=， 故1212222344k x x x x k k +=-=-++，． 若OA OB ⊥，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，于是22121222233210444k k x x y y k k k +=---+=+++， 化简得2410k -+=，所以12k =±．例2．设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）设过定点)2,0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围 例2．解：（Ⅰ）解法一：易知2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(),P x y ，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1解法二：易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y ，则22212121212121212cos 2PF PF F F PF PF PF PF F PF PF PF PF PF +-⋅=⋅⋅∠=⋅⋅⋅((22222211232x y x y x y ⎡⎤=++++-=+-⎢⎥⎣⎦（以下同解法一）（Ⅱ）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线()()1222:2,,,,l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得：2214304k x kx ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭∴12122243,1144k x x x x k k +=-⋅=++由()2214434304k k k ⎛⎫∆=-+⨯=-> ⎪⎝⎭得：k <或k > 又00090cos 000A B A B OA OB <∠<⇔∠>⇔⋅> ∴12120OA OB x x y y ⋅=+>又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22223841144k k k k -=++++22114k k -+=+∵2223101144k k k -++>++，即24k < ∴22k -<< 故由①、②得2k -<<2k <<例3． 设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点，)1,0(-B ． （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求12PF PF ⋅的最大值和最小值;（Ⅱ）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CF λ=，求λ的值； （Ⅲ）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF ∆的周长的最大值.例3．解：（Ⅰ）易知2,1,a b c ==，所以())12,F F ,设(),P x y ,则())2212,,3,3PF PF x y x y x y ⋅=--=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值 1（Ⅱ）设C （0x 0，y），)1,0(-B ()10F由11CF BF λ=得λλλ1,)1(300-=-=y x ，又142020=+y x 所以有0762=++λλ解得 )01(7舍去>=-=λλ（Ⅲ）因为|P 1F |＋|PB|＝4－|PF 2|＋|PB|≤4＋|BF 2|∴1PBF ∆周长≤4＋|BF 2|＋|B 1F |≤8．所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时，1PBF ∆周长最大，最大值为8．例4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为)0,3( (1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线l ：2+=kx y 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA (其中O 为原点)，求k 的取值范围。
椭圆题型大全
椭圆题型总结题型一 椭圆的定义应用例1：评析： 点P 在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点P 椭圆的定义，二是点P 满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义 题型二 椭圆标准方程的求法例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)22-，求椭圆的标准方程解法1 因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>， 由椭圆的定义可知：2a ==a ∴=2222,6cb ac =∴=-=所以所求的标准方程为221106x y += 解法2 22222,4c b a c a =∴=-=- ，所以可设所求的方程为222214x y a a +=-，将点53(,)22-代人解得：a = 所以所求的标准方程为221106x y += 评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义 求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准 方程的类型，并将其用有关参数,a b 表示出来然后结合条件建立,a b 所满足的等式，求得,a b 的值，再代人方程例3：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．解 设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =， 得()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =． 因为点P ()00,x y 在圆224x y +=上，所以22004x y +=． 即()()2231634x y -+=，即2216439x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，这就是动点M 的轨迹方程．评析 本题中的点M 与点P 相关，我们得到0316x x =-，03y y =是关键，利用点P 在224x y +=上的条件，进而 便求得点M 的轨迹方程，此法称为代人法．题型三 直线与椭圆交点问题例1 已知椭圆C 的焦点F 1（－22，0）和F 2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．解:由已知条件得椭圆的焦点在x 轴上,其中c=22,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:2219x y +=.联立方程组22192x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得, 21036270x x ++=. 设A(11,x y ),B(22,x y ),AB 线段的中点为M(00,x y )那么:12185x x +=-,0x =12925x x +=所以0y =0x +2=15.也就是说线段AB 中点坐标为(-95,15).评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题，进而转化为一元二次方程的问题．题型四 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题例2评析 “点差法”的要点是巧代斜率，与弦中点有关的问题有三类：平行弦的中点轨迹，过定点的弦中点轨迹，过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程13．直线y kx =2213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），求k 的值．解：将y kx =2213x y +=，得22(13)30k x +++=．由直线与椭圆交于不同的两点，得2222130,)12(13)12(31)0.k k k ⎧+≠⎪⎨∆=-+=->⎪⎩即213k >． 设),(),,(B B A A y x B y x A ，则.由1OA OB ⋅=，得1A B A B x x y y +=．而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x2222353(1)231k k k k -=+=+．于是2253131k k -=+．解得k =k 的值为±。
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椭圆经典例题分类汇总 1. 椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．
例2 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值． 例3 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围． 例4 已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围． 例5 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程． 2.焦半径及焦三角的应用 例1 已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）．
3.第二定义应用 例1 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标． 例2 已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离．
例3 已知椭圆15922yx内有一点)1,1(A，1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是椭圆上一点． (1) 求1PFPA的最大值、最小值及对应的点P坐标；
(2) 求223PFPA的最小值及对应的点P的坐标．
4.参数方程应用 例1 求椭圆1322yx上的点到直线06yx的距离的最小值． 例2 (1)写出椭圆14922yx的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积． 例3 椭圆12222byax)0(ba与x轴正向交于点A，若这个椭圆上总存在点P，使APOP(O为坐标原点)，求其离心率e的取值范围．
5.相交情况下--弦长公式的应用 例1 已知椭圆1422yx及直线mxy． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点
（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程． 例2 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点1F作倾斜解为3
的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
6.相交情况下—点差法的应用 例1 已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与直线01yx交于A、B两点，M为AB中点，OM的斜率为，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
例2 已知椭圆1222yx，求过点2121，P且被P平分的弦所在的直线方程． 例3 已知椭圆1222yx，（1）求过点2121，P且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足21OQOPkk， 求线段PQ中点M的轨迹方程．
例4 已知椭圆13422yxC：，试确定m的取值范围，使得对于直线mxyl4：，椭圆C上有不同的两点关于该直线对称．
例5 已知)2,4(P是直线l被椭圆193622yx所截得的线段的中点，求直线l的方程． 椭圆经典例题分类汇总 1.椭圆第一定义的应用 例1 椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，
椭圆的标准方程为：11422yx； （2）当02，A为短轴端点时，2b，4a， 椭圆的标准方程为：116422yx； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．
例2 已知椭圆19822ykx的离心率21e，求k的值． 分析：分两种情况进行讨论． 解：当椭圆的焦点在x轴上时，82ka，92b，得12kc．由21e，得4k．
当椭圆的焦点在y轴上时，92a，82kb，得kc12． 由21e，得4191k，即45k． ∴满足条件的4k或45k． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8k与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上．故必须进行讨论．
例5 已知方程13522kykx表示椭圆，求k的取值范围．
解：由,35,03,05kkkk得53k，且4k． ∴满足条件的k的取值范围是53k，且4k． 说明：本题易出现如下错解：由,03,05kk得53k，故k的取值范围是53k． 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0ba这个条件，当ba时，并不表示椭圆．
例6 已知1cossin22yx)0(表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围． 分析：依据已知条件确定的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出的取值范围．
解：方程可化为1cos1sin122yx．因为焦点在y轴上，所以0sin1cos1．
因此0sin且1tan从而)43,2(． 说明：(1)由椭圆的标准方程知0sin1，0cos1，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y轴上，知cos12a，sin12b． (3)求的取值范围时，应注意题目中的条件0 例5 已知动圆P过定点03，A，且在定圆64322yxB：的内部与其相内切，求动圆圆心P的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，
即定点03，A和定圆圆心03，B距离之和恰好等于定圆半径，
即8BMPBPMPBPA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
半长轴为4，半短轴长为73422b的椭圆的方程：171622yx． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法． 2.焦半径及焦三角的应用
例1 已知椭圆13422yx，1F、2F为两焦点，问能否在椭圆上找一点M，使M到左准线l的距离MN是1MF与2MF的等比中项若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 解：假设M存在，设11yxM，，由已知条件得
2a，3b，∴1c，21e．
∵左准线l的方程是4x， ∴14xMN． 又由焦半径公式知：
111212xexaMF，1122
12xexaMF．
∵212MFMFMN，∴11212122124xxx． 整理得048325121xx． 解之得41x或5121x． ① 另一方面221x． ② 则①与②矛盾，所以满足条件的点M不存在．
例2 已知椭圆方程012222babyax，长轴端点为1A，2A，焦点为1F，2F，P是椭圆上一点，21PAA，21PFF．求：21PFF的面积（用a、b、表示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用CabSsin21求面积． 解：如图，设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设yxP，，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： 221FF2221PFPF12PF·224coscPF．① 由椭圆定义知： aPFPF221 ②，则－①②2得 cos12221bPFPF． 故sin212121PFPFSPFF sincos12212b 2tan2b． 3.第二定义应用 例1 椭圆1121622yx的右焦点为F，过点31，A，点M在椭圆上，当MFAM2为最小值时，求点M的坐标． 分析：本题的关键是求出离心率21e，把MF2转化为M到右准线的距离，从而得
最小值．一般地，求MFeAM1均可用此法． 解：由已知：4a，2c．所以21e，右准线8xl：． 过A作lAQ，垂足为Q，交椭圆于M，故MFMQ2．显然MFAM2的最小值为AQ，即M为所求点，因此3My，且M在椭圆上．故32Mx．所以332，M．
说明：本题关键在于未知式MFAM2中的“2”的处理．事实上，如图，21e，即MF是M到右准线的距离的一半，即图中的MQ，问题转化为求椭圆上一点M，使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值．
例2 已知椭圆142222bybx上一点P到右焦点2F的距离为b)1(b，求P到左准线的距离． 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．
解法一：由142222bybx，得ba2，bc3，23e． 由椭圆定义，baPFPF4221，得 bbbPFbPF34421．
由椭圆第二定义，edPF11，1d为P到左准线的距离，
∴bePFd3211， 即P到左准线的距离为b32． 解法二：∵edPF22，2d为P到右准线的距离，23ace，
∴bePFd33222．又椭圆两准线的距离为bca33822． ∴P到左准线的距离为bbb32332338． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．