山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.5.1直线与圆的位置关系(一)》教案 北师大版【教案】
山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.2.1圆的对称性》教案 北师大版
某某省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《圆的对称性》教案北师大版课第三章第二节第一课时课题课型新授课时时间节次第三节授课人1、通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性；教学2、运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理；目标3、拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明．重点垂径定理及其逆定理难点垂径定理及其逆定理的证明教法、互动式探究教学法学法课前多媒体课件、圆规、圆形纸片、三角尺准备教学过程：一、创设情境，引入新课师：在古代人们将圆一分为二，画成了整齐而又深奥的太极图；在今天，人们又将轮胎方向盘等做成了圆形（同时多媒体出示相应的画面）．圆，究竟有什么样的奥秘，让人们对他如此的着迷，今天就让我们来揭开圆的神秘面纱，看看圆究竟有什么样的性质．同学们，请你想一想，在你们的认识当中，圆有什么样的性质？生：（看着自己手中的圆形纸片思考）圆有对称性．师：这也正是我们这节课要来研究的主要内容：板书课题：3.2圆有对称性（1）师：大家都知道圆是轴对称图形图形，既然它是轴对称图形，那它的对称轴在哪里？生：过圆心的一条直线．师：它有几条对称轴？生：无数条．师：我们就把圆的这一性质称为“圆的轴对称性”．课件出示：圆的轴对称性：圆是轴对称图形，圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线，它有无数条对称轴．学生阅读识记．设计意图：带领学生做好学习新课的知识准备，并逐步引入新课．在引入新课的同时，运用教具和学具（师生自制的圆形纸片）演示，让每个学生都动手实验，把圆形纸片沿着直径对折，观察两部分重合．通过实验，相会交流，鼓励学生表达自己的想法．二、探究新知（一）知识准备——圆的有关概念师：下面我们要用圆的对称性解决一些问题，首先我们先学习几个与圆有关的几个概念．课件出示并讲解：圆的相关概念1．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．如图，以A，B两点为端点的弧，记作AB，读作“弧AB”．2．连接圆上任意两点间的线段叫做弦．例如：弦AB．3．经过圆心的弦叫做直径．例如：直径AC．师：那么请问大家：直径是弦吗？生：是．师：那弦是直径吗？生：不一定．师：很好！下面我们来看下面几个概念：4.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．5.小于半圆的弧叫做劣弧，如图记作：AB（用两个字母表示）．6.大于半圆的弧叫做优弧，如图记作：ACB（用三个字母表示）．通过刚才的学习，我们了解了圆的轴对称性以及与圆有关的一些概念，下面我们就利用这些知识来进行第一个探究．设计意图：用直接教学法，是学生认识圆的有关概念，为下面的学习做好准备．（二）探究一——垂径定理师：首先请大家拿出你的圆形纸片，在纸片上按照如下要求作图，并回答这两个问题．如图，AB是⊙O的一条弦．做直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．（1）右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由．学生在圆形纸片上进行操作，独立思考．师：解决完以上问题的同学请举手．生根据自己完成的情况举手示意老师．师：那谁来说一下．生1：这个图形是轴对称图形，对称轴是CD所在的直线．AC=BC，AM=BM．师：还有没有？=．生2：AD BD师：你是怎样得到这些结论的？生：我沿着CD对折后，发现点A和B重合，AC和BC重合，AD和BD重合，于是AC=BC，=．AM=BM，AD BD师：其他同学还有别的做法吗？有没有同学对此进行了严格的逻辑推理．再给同学们几分钟的时间讨论一下，生：连接OA，OB，则OA=OB．在RT△OAM和RT△OBM中，∵OA=OB，OM=OM∴RT△OAM≌RT△OBM∴AM=BM∴点A和点B关于CD对称．∵⊙O关于直径CD对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合，AC和BC重合，AD和BD重合=．∴AC=BC，AM=BM，AD BD师：推理非常严密，还有没有其他的证明方法．生：其他的地方都一样，只是我在证明AM=BM时用的是“三线合一”师：大家明白他的想法吗？行不行．生：可以．师：通过以上证明我们得到什么样的结论呢？大家能否用文字语言描述我们探究得到的结论呢？生：已知有一条直径与弦垂直，则这条直径平分这条弦，也平分弦所对的优弧和劣弧．”这就是我们这节课要来学习的第一个重要定理——垂径定理．下面我们来分析一下垂径定理的条件和结论．谁来说一下？生：条件是“一条直径垂直于弦”，结论是“直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧”．其中弦所对的弧包括优弧和劣弧．师：那大家能用符号语言来描述这个定理吗？生：∵CD是直径，CD⊥AB，=．∴AM=BM，AC=BC，AD BD师用课件出示“垂径定理”的三种语言——图形、文字、符号语言，并且做出提示：“垂径定理”是圆中的一个重要的结论．三种语言要相互转化，才能运用自如．设计意图：培养学生分组合作的能力，和自我探究思考，动手操作能力，体现由一般到特殊的探究问题的思想，给学生一定的时间去探索讨论，有利于创新意识的培养．师：现在请同学们来辨析一下：下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？课件出示：（1）（2）（3）（4）生：（1）可以；（2）可以；（3）不能，因为 CD和AB不垂直；（4）不能，因为CD不是直径．师：通过这道题目我们要认识到只有同时满足“过圆心”和“垂直于弦”这两个条件，才能得到“平分弦”、“平分弦所对的优弧”和“平分弦所对的劣弧”这三个结论．设计意图：通过定理的应用：包含了线段、角相等、垂直等关系，是学生认识到在应用中一定要存在过圆心且垂直一弦的直线（包括线段）．（三）探究二——垂径定理的逆定理师：下面我们进行另外一个探究：如果我把垂径定理条件中的“CD⊥AB”和结论中“AM=BM”交换一下位置，那么能过得到什么样的结论呢？如图，AB是⊙O的一条弦，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M．右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生：是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线．师：很好．你能发现图中有哪些等量关系？．生：∠AMD=∠BMD=90°，AC=BC，AD BD师：能说一说你的理由吗？先给大家两分钟的时间，小组内互相说一说看看都有哪些说理的方法．生热烈讨论，师巡视倾听，并适时参与讨论．师：现在谁来说一下．生：连接OA，OB，则OA=OB．在△OAM和△OBM中，∵OA=OB，OM=OM，AM=BM∴△OAM≌△OBM∴∠AMD=∠BMD又∵∠AMD+∠BMD=180°．∴∠AMD=∠BMD=90°，即CD⊥AB∵CD是直径，CD⊥AB=．∴AC=BC，AD BD师：太棒了．这位同学把我们刚刚学习的垂径定理用的非常恰当．通过刚才的观察我发现同学们当中还有其他的方法，比如用三线合一，或是证明A，B两点关于直线CD对称从而得到结论，我们就不一一的说了．好，现在我们来分析一下：如图，AB是⊙O的一条弦，作一条平分AB的直径CD，交AB于点M，可以得到的等量关系有∠AMD=∠BMD=90°，AC=BC，AD BD=．这个结论一定成立吗？请思考一下：如果AB也是直径，上述结论是否成立？学生思考，小组讨论，达成共识．师：那位同学说一说你们小组的看法？生：不一定．两条直径一定互相平分，但却不一定垂直．师：是的．如图所示，大家一看就能明白．现在请同学们用语言来描述一下我们得到的第二个结论．生：如果一条直径平分一条不是直径的弦，那么这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧．师：简洁的说就是：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．这就是我们这节课要来学习的第二个重要内容——垂径定理的逆定理．同样的我们也要看看这个定理的符号语言应该怎样写：∵CD是直径，AB是弦（不是直径），AM=BM=．∴CD⊥AB，AC=BC，AD BD设计意图：通过学生的独立探索，相互交流得出结论，认识并证明垂径定理的逆定理，并在这一过程中再次体会研究图形的多种方法．师：现在请同学们对比一下垂径定理及其逆定理，看看你有什么发现．生思考，时间允许的情况下，同位之间、小组之内交流一下．生：二者都包含五个条件：①CD 是直径②CD ⊥AB ③AM =BM ④AC =BC ⑤AD BD =．师：是的，实际上在数学中，对于这五个条件我们认识到其中的两个条件成立，那么其他的三个结论都成立．大家可以试着说一说，还有没有其他情况．生：由②③得到①④⑤．师：是的．我们以后可以用这种方法来确定某段弧所在圆的圆心的位置．例如已知一条弧，我们任作它的两条弦，并且作出它们的垂直平分线，那么这两条直线的交点就是圆心所在位置．（师边说边做图．）设计意图：理解并掌握垂径定理及其逆定理，充分感受此定理在几何学习中的意义及价值．使学生在知识及能力方面达到新课程标准的要求并得以升华．三、实际应用师：下面我们就用垂径定理及其逆定理来解决一些实际问题．（一）例题解析课件出示：例1 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD ,点0是弧CD 的圆心），其中CD =600m ，E 为弧CD 上的一点，且OE 垂直于CD ，垂足为F ，EF =90m.求这段弯路的半径．学生独立思考的基础上，师生共同分析，最后课件展示完整的做法：解：连接OC ，设弯路的半径为R m,则OF =(R -90)m ．∵OE ⊥CD∴CF =12C D =12×600=300(m). 根据勾股定理，得222OC CF OF =+即222300(90)R R =+-.解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545m．师：本题是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法去解决几何问题．这是我们在解决几何问题时常用到的方法．：同学们还要认识到，连接半径是解决圆的有关题目的常用辅助线．通过连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，可以求半径、弦、弦心距、弓形的高中的任意一个未知量．（二）巩固练习课件出示题目，安排学生完成题目后，提问学生回答，特别是说明理由．1、判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧. （）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. （）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）（5）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两弦互相平行．（）2、1300年前，我国隋朝建造的赵州桥是圆弧形，它的跨度（及弧所对的弦长）为，拱高（即弧的中点到弦的距离）为，求桥拱所在圆的半径（结果精确到）．3、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？设计思路：理论与实践相结合，让学生充分感受所学知识的实用价值，学以致用的同时提升对所学知识的理解程度．四、课堂小结师：大家来回顾一下，这节课我们都学习了哪些内容呢？生1：圆是轴对称图形图形，它的对称轴是过圆心的一条直线．生2：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．生3：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．生4：我们可以用代数方法解决结合问题．师：同学们还要认识到，连接半径是解决圆的有关题目的常用辅助线．通过连接半径，构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理，可以求半径、弦、弦心距、弓形的高中的任意一个未知量．设计思路：及时梳理所学内容，对学生来说是一个反思过程，能较好地反应思维的本质，提升思维的能力．五、检测题1、已知，如图在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，求证：AC ＝BD2、已知AB，CD为⊙O的弦,且AB⊥CD，AB将CD分成3cm和7cm两部分，求：圆心O到弦AB的距离．3、已知：⊙O弦AB∥CD求证：AC BD（1）（2）（3）4、已知：⊙O半径为6cm，弦AB与直径CD垂直，且将CD分成1∶3两部分,求：弦AB的长．5、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE＝BF．（4）（5）设计思路：这练习的过程中是学生感受到在圆中解决有关弦的问题时，常要作一条辅助线，它是圆心到弦的垂线段．六、布置作业课本101页，第1、3题．七、板书设计§3.2圆的对称性（一）一、圆的轴对称性圆是轴对称图形图形，它的对称轴是过圆心的一条直线．二、圆的有关概念优弧弧劣弧半圆弦直径三、垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．四、垂径定理的逆定理平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．五、例题八、教学反思收获：1. 本教学设计侧重学生对新知识形成过程的认识和理解，采用通过实验、观察、猜想、验证的手法去探求几何定理．对培养学生的动手能力，直觉思维、逻辑思维有较大的帮助．2. 较好体现了学为主体，教为主导的教学策略，师生在该节课的教与学互动性会得到充分的展示，学生也会得到充分的发挥机会；另外通过创新探索的内容，会使学生进一步体会数学在生活中的应用，培养学生探索精神问题：本教学设计在实施过程中，时间会较为紧迫，因此，相应的练习并没有完全处理完，这样可能会影响了学生对新定理的应用的训练，同时教师要鼓励学困生敢于发表自己的看法，并帮助他们去记忆和运用垂径定理及其逆定理．改进：将课堂上没有处理完的题目布置为课堂作业，做到面批面改，针对学生出现的问题进word 行个别指导。
九年级数学初三下册：【下】2.1直线与圆的位置关系)教案
直线与圆的位置关系数可判定它
直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交．
直线与圆有惟一公共点时，叫做直线与圆相切，这条
做圆的切线，这个公共点叫做切点.
直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离.
●O
●O
●
相交
相切
相
直线与圆的位置关系量化
• 如图,圆心O到直线l的距离为d与⊙O的半径为r
r ●O ┐d
置关系？为什么？
(1)r=2
(2)r= 2 2 (3)r=3
• 例2.如图,海中有一个小岛P,该岛四 周12海里内暗礁.今有货轮四由西向 东航行,开始在A点观测P在北偏东 60°处, 行驶10海里后到达B点观测P 在北偏东45°处,货轮继续向东航行. 你认为货轮继续向东航行途中会有触 礁北 的危险吗?
①r=4cm ②r=4.8cm ③r=6cm ④与 AB只有一个公共点,求r的取值范围
3、圆心O到直线l的距离为d，⊙O半径为
R是是方程x2﹣9x﹢20＝0的两个根，则
圆的位置关系是
,当d、R是
x2 ﹣ 4x ﹢ m ＝ 0 的 两 根 ， 且 直 线 与 ⊙O 相
m
.
4、射线OA上取点A，OA=4㎝，以A为圆心，作 直径为4㎝的圆，问：射线OB与直线OA所夹锐 取怎样的值时，OB与OA
相交
r ●O
直线与圆的位置关系量化
r ●O ┐d
相交
• 直线和圆相交
直线和圆相切 直线和圆相离
r ●O
d ┐ 相切
d < r;
d = r;
r ●O d
┐ 相
d > r;
例1. 在△ABC中，∠A=45°，AC=4，以 圆心，r为半径的圆与直线AB有怎样的
山东省枣庄市峄城区吴林街道中学九年级数学下册 7.2 直线与圆的位置关系复习教案 北师大版
7.2直线与圆的位置关系复习教案教学目标1.理解点与圆，直线与圆位置关系．并能运用有关结论解决有关问题.2.了解切线概念，掌握切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．.教学重点与难点重点：能运用点与圆，直线与圆的位置关系解决有关问题.难点：能够运用圆有关知识进行综合应用.教法与学法指导教法：在数学复习课中，充分调动学生学习的积极性，充分发挥学生的主体作用，是十分重要的．我采用教师指导学生主动探索研究发现法．在实际教学中做到：1动2变3 点拔4 渗透5小结．学法：具体是用题组或基本图形网络知识点，学生自主探索，发现问题，并解决它；学生通过自主学习，小组合作，展开互动性学习完成本节课的学习目标.在整个专题复习过程中，学生积极主动参与复习的全过程，特别是参与知识梳理、板演、纠错剖析、规X整理、总结归纳等环节，有效地掌握所学习的知识和方法.课前准备教师准备：多媒体课件；学生准备：学生梳理有关直线与圆的位置关系内容，复习课本九下第三章第五节．教学过程：一、基础梳理，课前练习师：这节课我们继续探究直线与圆位置关系进一步探究其中蕴含的数学思想及方法.请同学们结合下列知识对本章内容进行简要回顾.1.点与圆的位置关系:有三种：点在圆外，点在圆上，点在圆内.设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外⇔d＞r．点在圆上⇔d=r．点在圆内⇔d＜r．2.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r3.直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离．设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交⇔d＜r，直线与圆相切⇔d=r，直线与圆相离⇔d＞r(1)切线的定义：直线和圆有唯一公共点门直线和圆相切时，这条直线叫做圆的切线．(2)切线的性质：圆的切线垂直于过切点的直径．(3)切线的判定：经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线．师：下面先请同学们做一个自我诊断.（多媒体出示自我诊断题组）1.△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5若以C为圆心，以r为半径作圆，那么：⑴当直线AB与⊙C相离时，r的取值X围是____；⑵当直线AB与⊙C相切时，r的取值X围是____；⑶当直线AB与⊙C相交时，r的取值X围是____.2.（2012某某某某，14，3分）如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为.△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC＝4cm，给出下列三个结论：①以点C为圆心1.3 cm长为半径的圆与AB相离；②以点C为圆心，长为半径的圆与AB相切；③以点C为圆心，2.5cm长为半径的圆与AB相交．上述结论中正确的个数是（）A．0个 B．l个 C．2个 D．3个生：各小组说出答案及理由．生1：（1）r=2.4 ；（2）r<2.4；（3）r生2：AB⊥BC生3解：① d＞r，直线和圆相离，正确；②d=r，直线和圆相切，正确；③ d＜r，直线和圆相交，正确．故选D．师：小结并给出积极肯定回答．设计意图：让同学对本节课知识有一定概念和深入明确目标．学生的兴趣浓厚，能够积极完成本节的知识点．处理方式：各小组代表用展台展示自己的答案，其余学生互查并纠正错误．中考要求：1、探索并了解点与圆、直线与圆的位置关系．2、了解三角形的内心和外心．3、了解切线的概念，掌握切线与过切点的半径之间的关系．4、能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．二、直击中考，例题剖析P1、（2012某某，14，3分）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P，则∠BPC= °．B 解析：连结OB，OC，则OB⊥PB，OC⊥PC．则∠BOC=110°，在四边形O PBOC中，根据四边形的内角和为360°，可得∠BPC=70°．A 答案：70点评：本题考查了圆周角与圆心角的关系以及切线的性质．2.（2012某某，20，满分12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C 点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若∠B=60°，CD=23，求AE的长．师：分析：（1）由CD是⊙O的切线，C是切点，故优先考虑连接OC，则OC⊥CD，AD ∥OC，因此易证AC平分∠DAB；（2）由∠B=60°，可联想到30°的直角三角形及用解直角三角形的方法求出AE，由∠B=60°，可得∠1=∠3=30°，因为CD=23，因此可得AC=43，从而可求得AB 的长，连接OE ，易知△OEA 是等边三角形，故可求得AE 的长，本题还可连接CE 、AB 等来求出AE ．生1：（1）证明：如图1，连接OC ， ∵CD 为⊙O 的切线 ∴OC ⊥CD ∴∠OCD =90° ∵AD ⊥CD ∴∠ADC =90° ∴∠OCD +∠ADC =180° ∴AD ∥OC ∴∠1=∠2 ∵OA =OC ∴∠2=∠3 ∴∠1=∠3 即AC 平分∠DAB ． 2）解法一：如图2 ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB =90° 又∵∠B =60° ∴∠1=∠3=30° 在Rt △ACD 中，CD =23 ∴AC =2CD =43 在Rt △ABC 中，AC =43∴0438cos cos30AC AB CAB ===∠ 连接OE∵∠EAO =2∠3=60°，OA =OE ∴△EAO 是等边三角形 ∴AE =OA =12AB =4. 生2：解法二：如图3，连接CE ∵AB 为⊙O 的直径 ∴∠ACB =90° 又∵∠B =60° ∴∠1=∠3=30°在Rt △ACD 中，CD =∴6tan CD AD DAC ===∠∵四边形ABCE 是⊙O 的内接四边形 ∴∠B +∠AEC =180° 又∵∠AEC +∠DEC =180° ∠DEC =∠B =60°在Rt △CDE 中，CD=∴2tan DC DE DEC ===∠∴AE =AD -DE =4.3、（2012某某某某，23，12分）．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ， AB ⊥CD ，⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ．（1）求证：CD ∥ BF ；（2）若⊙O 的半径为5， cos ∠BCD =54，求线段AD 的长．师：分析：（1）由BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径，根据切线的性质，可得到BF ⊥AB ，然后利用平行线的判定得出CD ∥BF（2）由AB 是圆O 的直径，得到∠ADB =90º ，由圆周角定理得出∠BAD =∠BCD ，再根据三角函数cos ∠BAD =cos ∠BCD =54=AD AB即可求出AD 的长 生：证明：（1）∵BF 是圆O 的切线，AB 是圆O 的直径 ∴BF ⊥AB ∵CD ⊥AB ∴CD ∥BF（2）解：∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ADB =90º ∵圆O 的半径5 ∴AB =10 ∵∠BAD =∠BCD∴cos∠BAD =cos∠BCD =45=ADAB∴1054cos ⨯=⋅∠=AB BAD AD =8∴AD =8设计意图：圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴．围绕考点，挑选部分中考题作为典型例题，一让学生亲身体会中考热点和命题趋势，进一步把握复习重点.老师讲解时是以基础性题目为主.把重点放在分类讨论和解题方法的引导上，二让学生通过对典型因此圆在中考中占有、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题只有将知识融会贯通，举一反三，才能学有所乐，学有所成．处理方式：同位之间采用不同的方法，完成后交换批阅．然后选出较好的进行展示，老师再给予肯定小结． 三、典例探究，发散思维1、(2012，某某)如图，点A ，E 是半圆周上的三等分点，直径BC =2，AD BC ⊥，垂足为D ，连接BE 交AD 于F ，过A 作AG ∥BE 交BC 于G ．（1）判断直线AG 与⊙O 的位置关系，并说明理由． （2）求线段AF 的长．师：（1）由题意可知点A 是弧ＢＥ的中点，由垂径定理即可得出： OA ⊥BE ，又∵AG ∥BE ，∴OA ⊥AG ．所以AG 和⊙O 的半径垂直，直线AG 与⊙O 的位置关系相切．（2）要求AF 的长，先由已知得出△AOB 为等边三角形；在求出AD 、BD 的长，在Rt △BDF 中由三角函数求出DF 的值，然后求出AF =AD -DF ．生：解：（1）AG 与⊙O 相切.………………………………（1分） 证明：连接OA ，∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴弧BA 、AE 、EC 相等， ∴点A 是弧BE 的中点， ∴OA ⊥BE ． 又∵AG ∥BE ， ∴OA ⊥AG ．∴AG 与⊙O 相切．………………………………（5分） （2）∵点A ，E 是半圆周上的三等分点， ∴∠AOB =∠AOE =∠EOC =60°． 又O A =OB ，∴△ABO 为正三角形．……………………………（6分） 又AD ⊥OB ，OB =1，A BC EDF GOA BC EDF G O∴BD=OD=12， AD=32．………………………………（8分）又∠EBC=12EOC∠=30，在Rt△FBD中，FD=BD⋅tan∠EBC= BD⋅ tan30°=36，∴AF=AD-DF=32-36=33． (10)2．（2012，某某）如图，⊙P 的圆心为P（－3,2），半径为3，直线MN过点M（5,0）且平行于y轴，点N在点M的上方．（1）在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P`，根据作图直接写出⊙P`与直线MN的位置关系：（2）若点N在（1）中的⊙P上．求PN的长．师：（1）确定了⊙P`的圆心的位置即可画出⊙P `．看出MN 与⊙P`的位置．（2）利用勾股定理可求出PN 的长．师：解：（1）点P （－3,2）关于y 轴对称点为P `（3,2）,以点P `为圆心，3为半径的圆即为所求，⊙P `与直线MN 相交．（2）NE =223(53)--=5.在Rt △PNE 中，PN =22(35)(5)++=69．3．(2012，某某）如图，点A 、B 、C 分别是⊙O 上的点，∠B =600，AC =3，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP =AC .(1)求证：AP 是⊙O 的切线； （2）求PD 的长．师：解析（1）证明AP 是⊙O 的切线，连接OA ，只需证明半径与直线的夹角是900，即∠PAO =900便可．（2）CD 是⊙O 的直径，∴连接AD ，∠ADC =900，又∠B =600，AC =3，应用三角函数可求得PD =AD =AC ∙tan 300=3. 解：（1）证明: 连接OA ，∵∠B =600，∠AOC =2∠B =1200, ∵OA =OC ,∴∠ACP =∠CAO=300,∴∠AOP =600,又∵AP =AC .∴∠P =∠ACP =300，∴∠OAP=900，即OA ⊥AP, ∴AP 是⊙O 的切线；(2) CD是⊙O的直径，连接AD，∴∠CAD=900，∴AD=AC∙tan300=3.∵∠ADC=∠B=600，∴∠PAD=∠ADC-∠P=300,∴∠P=∠PAD,∴PD=AD=3.设计意图：通过近几年的中考题让学生能够认清圆中我们要考哪些知识点和类型好再今后复习找准方向，圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹．处理方式：老师点拨并精讲．易混易错：1．判断直线与圆的位置关系的一种依据是圆心到直线的距离，这里的距离是点到直线的距离，即圆心到直线的垂线段的长，只有正确理解，才不会出错．2．圆的切线是垂直于过切点的半径，不能简单地说成是垂直与半径．四、课堂小结，反思提高1.通过本节课的学习，哪些是你记忆深刻的？2.本节课的学习值得思考的还有是什么？（学生自由回答）设计意图:组织学生小结，并作适当的补充，从知识、方法和情感三方面归纳小结，进行反思．有困惑的学生，课后和老师交流．五、课堂检测，达标反馈1、如图，PA、PB是⊙o的切线，A、B为切点，AC是⊙o 的直径，若∠P=46∘，则∠BAC=______.2、（2012,某某）如图，圆周角∠BAC=55°，分别过B、C两点作⊙O的切线，两切线相交于点P ，则∠BPC = °．3. （2011,某某某某）已知⊙O 的半径为2，直线l 上有一点P 满足PO =2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）4．如图，已知AD 为⊙O 的直径，B 为AD 延长线上一点，BC 与⊙O 切于C 点，30.A ∠= 求证：（1）BD =CD ；（2）△AOC ≌△CDB 。
4.2.1《直线与圆的位置关系》教案.doc
4..2.1直线与圆的位置关系教学目的：使学生掌握直线与圆的三种位置关系相交、相切、相离，会用两种方法来判定直线与圆的三种位置关系。
教学重点：用解方程组的方法及圆心到直线的距离与半径关系判定直线与圆的关系。
教学难点：直线与圆三种位置关系的理解。
教学过程一、复习提问初中学过直线与圆有几种位置关系？分别是哪几种？二、新课1、新课引入问题：一艘船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径长为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？以O为圆心，东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，取10km为单位长度。
则圆的方程为：x2＋y2＝9轮船航线所在直线的方程为：4x＋7y－28＝0问题归结为圆与直线有无公共点。
2、直线与圆的三种位置关系（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点。
例1、已知直线l：3x＋y－6＝0和圆心为C的圆x2＋y2－2y－4＝0，判断直线l与圆的位置关系，如果相交，求它们交点坐标。
解法一：由直线与圆的方程，得：⎩⎨⎧=--+=-+04206322y y x y x 消去y ，得：x 2－3x ＋2＝0因为△＝（－3）2－4×1×2＝1＞0，所以，直线与圆相交，有两个公共点。
解法二：圆的方程配方，得：x 2＋（y －1）2＝5圆心C 坐标为（0,1），半径为5，圆心C 到直线的距离为：d ＝221361103+-⨯+⨯＝105＜5所以，直线与圆相交，有两个公共点。
由方程x 2－3x ＋2＝0，解得：x 1＝1，x 2＝2可求得两个交点坐标为（1,3），（2,0）。
例2、已知点M （－3，－3）的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为 45，求直线l 的方程。
解：圆的标准方程为：x 2＋（y ＋2）2＝25，圆为（0，－2），半径5 因为直线被圆截得弦长为45，所以，弦心距为：22)52(5-＝5过点M 的直线方程为：y ＋3＝k （x ＋3），即kx －y ＋3k －3＝0 由弦心距为5，得：133202+-++k k ＝5，解得：k ＝－21或2 所以，所求直线方程有两条：x ＋2y ＋9＝0，或2x －y ＋3＝0练习：P140作业：P144 1、2、3。
《4.2.1直线与圆的位置关系(1)》教学案
《4.2.1直线与圆的位置关系》教学案一、教材分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系，并知道可以利用直线与圆的交点的个数以及圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系，但是，在初中学习时，利用圆心与直线的距离d 与半径r 的关系判断直线与圆的位置关系的方法却以结论性的形式呈现.在高一学习了解析几何以后，要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法.解决问题的方法主要是几何法和代数法.其中几何法应该是在初中学习的基础上，结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d 后，比较与半径r 的关系从而作出判断.适可而止地引进用联立方程组转化为二次方程判别根的“纯代数判别法”，并与“几何法”欣赏比较，以决优劣，从而也深化了基本的“几何法”.含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用，也适度地引入课堂教学中，但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的，要控制难度.虽然学生学习解析几何了，但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法，学生仍是似懂非懂，因此应不断强化，逐渐内化为学生的习惯和基本素质.二、教学目标1．知识与技能(1)理解直线与圆的位置的种类；(2)利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； (3)会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系. (二)过程与方法设直线l ：ax + by + c = 0，圆C ：x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0，圆的半径为r ，圆心(,)22D E--到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：(1)当d ＞r 时，直线l 与圆C 相离； (2)当d ＝r 时，直线l 与圆C 相切； (3)当d ＜r 时，直线l 与圆C 相交； 3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法. 教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系.四、课时安排2课时五、教学设计第1课时(一)导入新课思路1.平面解析几何是高考的重点和热点内容，每年的高考试题中有选择题、填空题和解答题，考查的知识点有直线方程和圆的方程的建立、直线与圆的位置关系等，本节主要学习直线与圆的关系.思路2.(复习导入)(1)直线方程Ax +By +C =0(A ，B 不同时为零).(2)圆的标准方程(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆心为(a ，b )，半径为r . (3)圆的一般方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(其中D 2+E 2-4F ＞0)，圆心为(-2D ，-2E)，半径为21F E D 422-+.(二)推进新课、新知探究、提出问题①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？ ②在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？ ③如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？ ④判断直线与圆的位置关系有几种方法？它们的特点是什么？讨论结果：①初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有直线与圆相离、直线与圆相切、直线与圆相交三种.②直线与圆的三种位置关系的含义是: 直线与圆的位置关系 公共点个数 圆心到直线的距离d 与半径r 的关系图形相交 两个 d ＜r 相切 只有一个 d =r 相离没有d ＞r方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.④直线与圆的位置关系的判断方法： 几何方法步骤：1°把直线方程化为一般式，求出圆心和半径. 2°利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离.3°作判断：当d ＞r 时，直线与圆相离；当d =r 时，直线与圆相切；当d ＜r 时，直线与圆相交.代数方法步骤：1°将直线方程与圆的方程联立成方程组.2°利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程. 3°求出其判别式Δ的值.4°比较Δ与0的大小关系，若Δ＞0，则直线与圆相离；若Δ=0，则直线与圆相切；若Δ＜0，则直线与圆相交.反之也成立.(三)应用示例思路1例1 已知直线l ：3x +y -6=0和圆心为C 的圆x 2+y 2-2y -4=0，判断直线l 与圆的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标.活动:学生思考或交流，回顾判断的方法与步骤，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价；方法一，判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.解法一:由直线l 与圆的方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-+)2(.042)1(,06322y y x y x消去y ，得x 2-3x +2=0，因为Δ=(-3)2-4×1×2=1＞0，所以直线l 与圆相交，有两个公共点. 解法二：圆x 2+y 2-2y -4=0可化为x 2+(y -1)2=5，其圆心C 的坐标为(0，1)，半径长为5，圆心C 到直线l 的距离d =2213|1603|+-+⨯=105＜5.所以直线l 与圆相交，有两个公共点.由x 2-3x +2=0，得x 1=2，x 2=1.把x 1=2代入方程①，得y 1=0；把x 2=1代入方程①，得y 2=3.所以直线l 与圆相交有两个公共点，它们的坐标分别是(2，0)和(1，3).点评:比较两种解法，我们可以看出，几何法判断要比代数法判断快得多，但是若要求交点，仍需联立方程组求解.例2 已知圆的方程是x 2+y 2=2，直线y =x +b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点，只有一个公共点没有公共点.活动:学生思考或交流，教师引导学生考虑问题的思路，必要时提示，对学生的思维作出评价.我们知道，判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组有无实数解，或依据圆心到直线的距离与半径长的关系判断直线与圆的位置关系.反过来，当已知圆与直线的位置关系时，也可求字母的取值范围，所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+bx y y x ,222有两组不同实数根、有两组相同实根、无实根的问题.圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点的问题，可转化为b 为何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题.解法一:若直线l ：y =x +b 和圆x 2+y 2=2有两个公共点、只有一个公共点、没有公共点，则方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==+b x y y x ,222有两个不同解、有两个相同解、没有实数解，消去y ，得2x 2+2bx +b 2-2=0， 所以Δ=(2b )2-4×2(b 2-2)=16-4b 2.所以，当Δ=16-4b 2＞0，即-2＜b ＜2时，圆与直线有两个公共点；当Δ=16-4b 2=0，即b =±2时，圆与直线只有一个公共点；当Δ=16-4b 2＜0，即b ＞2或b ＜-2时，圆与直线没有公共点.解法二：圆x 2+y 2=2的圆心C 的坐标为(0，0)，半径长为2，圆心C 到直线l :y =x +b 的距离d =2||11|0101|22b b =+-⨯+⨯-.当d ＞r 时，即2||b ＞2，即|b |＞2，即b ＞2或b ＜-2时，圆与直线没有公共点；当d =r 时，即2||b =2，即|b |=2，即b =±2时，圆与直线只有一个公共点； 当d ＜r 时，即2||b ＜2，即|b |＜2，即-2＜b ＜2时，圆与直线有两个公共点.点评：由于圆的特殊性，判断圆与直线的位置关系，多采用圆心到直线的距离与半径的大小进行比较的方法，而以后我们将要学习的圆锥曲线与直线位置关系的判断，则需要利用方程组解的个数来判断.变式训练已知直线l 过点P (4，0)，且与圆O ：x 2+y 2=8相交，求直线l 的倾斜角α的取值范围. 解法一：设直线l 的方程为y =k (x -4)，即kx -y -4k =0， 因为直线l 与圆O 相交，所以圆心O 到直线l 的距离小于半径， 即1|4|2+-k k ＜22，化简得k 2＜1，所以-1＜k ＜1，即-1＜tanα＜1.当0≤tanα＜1时，0≤α＜4π；当-1＜tanα＜0时，43π＜α＜π.所以α的取值范围是［0，4π)∪(43π，π).解法二：设直线l 的方程为y =k (x -4)，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,8),4(22y x x k y ，消去y 得(k 2+1)x 2-8k 2x +16k 2-8=0. 因为直线l 与圆O 相交，所以Δ=(-8k 2)2-4(k 2+1)(16k 2-8)＞0，化简得k 2＜1.(以下同解法一)点评:涉及直线与圆的位置关系的问题，常可运用以上两种方法.本题若改为选择题或填空题，也可利用图形直接得到答案.思路2例1 已知圆的方程是x 2+y 2=r 2，求经过圆上一点M (x 0，y 0)的切线方程.活动:学生思考讨论，教师提示学生解题的思路，引导学生回顾直线方程的求法，既考虑通法又考虑图形的几何性质.此切线过点(x 0，y 0)，要确定其方程，只需求出其斜率k ，可利用待定系数法(或直接求解).直线与圆相切的几何特征是圆心到切线的距离等于圆的半径，切线与法线垂直.解法一:当点M 不在坐标轴上时，设切线的斜率为k ，半径OM 的斜率为k 1，因为圆的切线垂直于过切点的半径，所以k =-11k . 因为k 1=00x y 所以k =-00y x .所以经过点M 的切线方程是y -y 0=-0y x (x -x 0).整理得x 0x +y 0y =x 02+y 02.又因为点M (x 0，y 0)在圆上，所以x 02+y 02=r 2. 所以所求的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.当点M 在坐标轴上时，可以验证上面的方程同样适用.解法二:设P (x ，y )为所求切线上的任意一点，当P 与M 不重合时，△OPM 为直角三角形，OP 为斜边，所以OP 2=OM 2+MP 2，即x 2+y 2=x 02+y 02+(x -x 0)2+(y -y 0)2.整理得x 0x +y 0y =r 2.可以验证，当P 与M 重合时同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.解法三:设P (x ，y )为所求切线上的任意一点，当点M 不在坐标轴上时，由OM ⊥MP 得k OM ·k MP =-1，即0x y ·x x y y --00=-1，整理得x 0x +y 0y =r 2.可以验证，当点M 在坐标轴上时，P与M 重合，同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.点评:如果已知圆上一点的坐标，我们可直接利用上述方程写出过这一点的切线方程. 变式训练求过圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点M (x 0，y 0)的圆的切线方程.解:设x 0≠a ，y 0≠b ，所求切线斜率为k ，则由圆的切线垂直于过切点的半径，得k =b y a x k CM---=-001，所以所求方程为y -y 0=by ax ---00(x -x 0)，即(y -b )(y 0-b )+(x -a )(x 0-a )=(x 0-a )2+(y 0-b )2.又点M (x 0，y 0)在圆上，则有(x 0-a )2+(y 0-b )2=r 2. 代入上式，得(y -b )(y 0-b )+(x -a )(x 0-a )=r 2.当x 0=a ，y 0=b 时仍然成立，所以过圆C :( x -a )2+(y -b )2=r 2上一点M (x 0，y 0)的圆的切线方程为(y -b )(y 0-b )+(x -a )(x 0-a )=r 2.例2 从点P (4，5)向圆(x －2)2＋y 2=4引切线，求切线方程.活动:学生思考交流，提出解题的方法，回想直线方程的求法，先验证点与圆的位置关系，再利用几何性质解题.解:把点P (4，5)代入(x －2)2＋y 2=4，得(4－2)2＋52=29＞4，所以点P 在圆(x －2)2＋y 2=4外.设切线斜率为k ，则切线方程为y －5=k (x －4)，即kx －y ＋5－4k =0.又圆心坐标为(2，0)，r =2.因为圆心到切线的距离等于半径，即1|4502|2+-+-k k k =2，k =2021. 所以切线方程为21x －20y ＋16=0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x =4. 点评:过圆外已知点P (x ，y )的圆的切线必有两条，一般可设切线斜率为k ，写出点斜式方程，再利用圆心到切线的距离等于半径，写出有关k 的方程.求出k ，因为有两条，所以应有两个不同的k 值，当求得的k 值只有一个时，说明有一条切线斜率不存在，即为垂直于x 轴的直线，所以补上一条切线x =x 1.变式训练求过点M (3，1)，且与圆(x -1)2+y 2=4相切的直线l 的方程. 解:设切线方程为y -1=k (x -3)，即kx -y -3k +1=0， 因为圆心(1，0)到切线l 的距离等于半径2， 所以22)1(|13|-++-k k k =2，解得k =-43. 所以切线方程为y -1=-43(x -3)，即3x +4y -13=0. 当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x =3，圆心(1，0)到此直线的距离等于半径2，故直线x =3也符合题意.所以直线l 的方程是3x +4y -12=0或x =3.例3 (1)已知直线l ：y =x +b 与曲线C ：y =21x -有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式21x -＞x +b 解集为R ，求实数b 的取值范围.图1解:(1)如图1(数形结合)，方程y =x +b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线l ； 方程y =21x -表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆， 当直线过B 点时，它与半圆交于两点，此时b =1，直线记为l 1； 当直线与半圆相切时，b =2，直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2)， 所以1≤b ＜2，即所求的b 的取值范围是［1，2).(2)不等式21x -＞x +b 恒成立，即半圆y =21x -在直线y =x +b 上方， 当直线l 过点(1，0)时，b =-1，所以所求的b 的取值范围是(-∞，-1). 点评:利用数形结合解题，有时非常方便直观.(四)知能训练 本节练习2、3、4.(五)拓展提升圆x 2+y 2=8内有一点P 0(-1，2)，AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦. (1)当α=43π时，求AB 的长； (2)当AB 的长最短时，求直线AB 的方程. 解:(1)当α=43π时，直线AB 的斜率为k =tan 43π=-1，所以直线AB 的方程为y -2=-(x +1)，即y =-x +1.解法一：(用弦长公式)由⎪⎩⎪⎨⎧=++-=,8,122y x x y 消去y ，得2x 2-2x -7=0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1+x 2=1，x 1x 2=-27， 所以|AB |=2)1(1-+|x 1-x 2|=2·212214)(x x x x -+=2·)27(41-⨯-=30.解法二：(几何法)弦心距d =21，半径r =22，弦长|AB |=230218222=-=-d r . (2)当AB 的长最短时，OP 0⊥AB ，因为k OP 0=-2，k AB =21，直线AB 的方程为y -2=21(x +1)， 即x -2y +5=0.(六)课堂小结(1)判断直线与圆的位置关系的方法:几何法和代数法. (2)求切线方程. (七)作业习题4.2 A 组1、2、3.。
数学：35.2《直线与圆的位置关系》教案(冀教版九年级下)
数学：35.2《直线与圆的位置关系》教案（冀教版九年级下）【教学目标】一、知识目标1.理解直线与圆的位置的种类。
2.利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离。
3.会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系。
二、能力目标1．通过对直线和圆的三种位置关系的直观演示，培养学生能从直观演示中归纳出几何性质的能力。
2.让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想。
【重点难点】1．重点：直线与圆的三种位置关系的理解与应用。
2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。
【教学过程】【补充细节】例题分析：例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆04222=--+y y x ，判断直线l 与圆的位置关系；如果相交，求它们的交点坐标。
解1：⎩⎨⎧+-==--+6304222x y y y x ，0232=+-x x ，01214)3(2>=⨯⨯--=∆ ，∴相交，由 0)2)(1(=--x x ，11=x ，22=x ；)3,1(A ，)0,2(B解2：5)1(22=-+y x ，=d 521010513|610|22<==+-+，∴相交 例2、已知过点M （-3，-3）的直线l 被圆021422=-++y y x 所截得的弦长为54 ，求直线l的方程。
解：将圆的方程写成标准形式，得25)2(22=++y x ， 圆心)2,0(-，半径5=r∵直线l 被圆所截得的弦长为54，∴弦心距为5)52(522=-⑴k 存在时，设直线l 的方程为)3(3-=+x k y ，033=-+-k y kx=d 51|332|2=+-+k k ，02322=--k k ，21-=k 或2=k092=++y x 或032=+-y x⑵k 不存在时，直线l 的方程为3-=x ，3=d （否） 练习：1、已知直线03534=-+y x 与圆心在原点的圆C 相切，求圆C 的方程。
中考数学专题第四讲《直线与圆的位置关系》导学案教案教学设计
第四讲直线与圆的位置关系【知识点】※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.【例题分析】1.（2014•德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．2. 如图，直线与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点； （1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O 的半径5=R ，BD=12，求tan ∠ACB 的值．3.如图，AB 为的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B 重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q 。
直线与圆、圆与圆的位置关系教案(绝对经典)
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系【最新考纲】 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.【高考会这样考】 1.考查直线与圆的相交、相切问题，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2.计算弦长、面积，考查与圆有关的最值；根据条件求圆的方程．要 点 梳 理1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.2.圆与圆的位置关系设两个圆的半径分别为R ，r ，R ＞r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示：[友情提示]1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y ＝r2.2.过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.基础自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆的两条切线，切点分别为A，B，则O，P，A，B四点共圆且直线AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.答案(1)×(2)×(3)×(4)√2.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A.内切B.相交C.外切D.相离解析两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝42＋12＝17.∵3－2<d<3＋2，∴两圆相交.答案 B3.已知直线y＝mx与圆x2＋y2－4x＋2＝0相切，则m值为()A.±3B.±33 C.±32 D.±1解析将y＝mx代入x2＋y2－4x＋2＝0，得(1＋m2)x2－4x＋2＝0，因为直线与圆相切，所以Δ＝(－4)2－4(1＋m2)×2＝8(1－m2)＝0，解得m＝±1.答案 D4.已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________.解析在y轴上截距为2且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋2，则|2|k 2＋1＝1，所以k ＝±1，故所求切线方程为y ＝x ＋2或y ＝－x ＋ 2. 答案 x －y ＋2＝0或x ＋y －2＝05.圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦长为________.解析 由⎩⎨⎧x 2＋y 2－4＝0，x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0，得x －y ＋2＝0.又圆x 2＋y 2＝4的圆心到直线x －y ＋2＝0的距离为22＝ 2.由勾股定理得弦长的一半为4－2＝2，所以，所求弦长为2 2. 答案 22题型分类 深度解析考点一 直线与圆的位置关系考点一 直线与圆的位置关系【例1】 (1)已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A.相切B.相交C.相离D.不确定(2)(一题多解)圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点的充要条件是________. 解析 (1)因为M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，所以a 2＋b 2＞1，而圆心O 到直线ax ＋by ＝1的距离d ＝|a ·0＋b ·0－1|a 2＋b 2＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆O 相交.(2)法一 将直线方程代入圆方程，得(k 2＋1)x 2＋4kx ＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k 2－12(k 2＋1)＜0，解得－3＜k ＜ 3. 法二 圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋2的距离d ＝2k 2＋1，直线与圆没有公共点的充要条件是d ＞1， 即2k 2＋1＞1，解得－3＜k ＜ 3. 答案 (1)B (2)－3＜k ＜ 3规律方法 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系. (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.【变式练习1】 (1)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.相交过圆心D.相离(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)，设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (1)由题意知 圆心(1，－2)到直线2x ＋y －5＝0的距离d ＝|2×1－2－5|22＋12＝5<6且2×1＋(－2)－5≠0，所以直线与圆相交但不过圆心.(2)由题意知，圆心C (1，0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1＋3|2＝2，至多有2点到直线的距离为1时，0<r <3；反之也成立，故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 圆的切线、弦长问题【例2】 (1)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________.(2)过点P (2，4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________.解析 (1)圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0,即C :x 2＋(y －a )2＝a 2＋2,圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.(2)当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d ＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0，即4x －3y ＋4＝0. 综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0. 答案 (1)4π (2)x ＝2或4x －3y ＋4＝0 规律方法 1.弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2. 2.圆的切线方程的两种求法(1)代数法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k .(2)几何法：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d ，然后令d ＝r ，进而求出k .【变式练习2】 (1)过点(3，1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________. (2)过原点O 作圆x 2＋y 2－6x －8y ＋20＝0的两条切线，设切点分别为P ，Q ，则线段PQ 的长为________.解析 (1)设P (3，1)，圆心C (2，2)，则|PC |＝2，半径r ＝2，由题意知最短的弦过P (3，1)且与PC 垂直，所以最短弦长为222－（2）2＝2 2.(2)将圆的方程化为标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝5，则圆心为(3，4)，半径长为 5. 由题意可设切线的方程为y ＝kx ，则圆心(3，4)到直线y ＝kx 的距离等于半径长5，即|3k －4|k 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝112，则切线的方程为y ＝12x 或y ＝112x .联立切线方程与圆的方程，解得两切点坐标分别为(4，2)，⎝⎛⎭⎫45，225，此即为P ，Q 的坐标，由两点间的距离公式得|PQ |＝4. 答案 (1)22 (2)4 考点三 圆与圆的位置关系【例3】 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011. (2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5， 所以61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)由(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －23＝0. 故两圆的公共弦的长为2（11）2－⎝⎛⎭⎪⎫|4＋3×3－23|42＋322＝27.规律方法 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2，y 2项得到. 【变式练习3】 (1)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离(2)已知圆C 1：(x －a )2＋(y ＋2)2＝4与圆C 2：(x ＋b )2＋(y ＋2)2＝1 相外切，则ab 的最大值为( ) A.62B.32C.94D.2 3解析 (1)∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2，∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2.∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝（1－0）2＋（1－2）2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1. ∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.(2)由圆C 1与圆C 2相外切，可得（a ＋b ）2＋（－2＋2）2＝2＋1＝3，即(a ＋b )2＝9，根据基本不等式可知ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝94，当且仅当a ＝b 时等号成立. 答案 (1)B (2)C课后练习A 组(时间：40分钟)一、选择题1.圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A.－43B.－34C. 3D.2解析 由圆的方程x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d ＝|1×a ＋4－1|1＋a 2＝1，解之得a ＝－43. 答案 A2.过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y －7＝0 C.x －2y －5＝0D.x －2y －7＝0解析 ∵过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条， ∴点(3，1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上， ∵圆心与切点连线的斜率k ＝1－03－1＝12，∴切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. 答案 B3.(2018·洛阳一模)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A.充分不必要条件 B .必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 依题意，因|AB |＝2，则圆心O 到直线l 的距离等于12－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝22，即有1k 2＋1＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件，选A. 答案 A4.圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 圆的方程化为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，半径是22，结合图形可知有3个符合条件的点. 答案 C5.过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A.y ＝－34 B.y ＝－12 C.y ＝－32D.y ＝－14解析 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1，0)，半径为1，以|PC |＝（1－1）2＋（－2－0）2＝2为直径的圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1，将两圆的方程相减得AB 所在直线的方程为2y ＋1＝0，即y ＝－12. 答案 B 二、填空题6.已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，则|CD |＝________.解析 由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝23， ∴圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3. ∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，∴直线l 的倾斜角∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°， 因此|CD |＝|CE |sin 60°＝23sin 60°＝4. 答案 47.已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴.过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝________.解析 由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴， 则圆心C (2，1)满足直线方程x ＋ay －1＝0， 所以2＋a －1＝0，解得a ＝－1，所以A 点坐标为(－4，－1). 从而|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，所以|AB |2＝40－4＝36.即|AB |＝6. 答案 68.点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|PQ |的最小值是________.解析 把圆C 1、圆C 2的方程都化成标准形式，得 (x －4)2＋(y －2)2＝9，(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝4.圆C 1的圆心坐标是(4，2)，半径长是3；圆C 2的圆心坐标是(－2，－1)，半径是2.圆心距d ＝（4＋2）2＋（2＋1）2＝35>5.故圆C 1与圆C 2相离，所以，|PQ |的最小值是35－5.答案 35－5 三、解答题9.已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上. (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程. 解 (1)设圆心的坐标为C (a ，－2a )， 则（a －2）2＋（－2a ＋1）2＝|a －2a －1|2.化简，得a 2－2a ＋1＝0，解得a ＝1. 所以C 点坐标为(1，－2)，半径r ＝|AC |＝（1－2）2＋（－2＋1）2＝ 2. 故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝0，此时直线l 被圆C 截得的弦长为2，满足条件.②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ， 由题意得|k ＋2|1＋k2＝1，解得k ＝－34，则直线l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＝0或3x ＋4y ＝0.10.已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点. (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解 (1)易知圆心坐标为(2，3)，半径r ＝1， 由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得 (1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2. OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8.由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.B 组(时间：20分钟)11.已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝25，则过点P (2，－1)的圆C 的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( ) A.1031B.921C.1023D.911解析 易知P 在圆C 内部，最长弦为圆的直径10， 又最短弦所在直线与最长弦垂直，且|PC |＝2， ∴最短弦的长为2r 2－|PC |2＝225－2＝223， 故所求四边形的面积S ＝12×10×223＝1023.答案 C12.过点A (1，2)的直线l 将圆C ：(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝________.解析 易知点A (1，2)在圆(x －2)2＋y 2＝4的内部，圆心C 的坐标为(2，0)，当直线l 被圆截得的弦的弦心距最长时，劣弧所对的圆心角最小，此时l ⊥CA ，如图所示，所以k ＝－1k CA ＝－1－2＝22. 答案 2213在直角坐标系xOy 中，曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0，1).当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.(1)解 不能出现AC ⊥BC 的情况，理由如下：设A (x 1，0)，B (x 2，0)，则x 1，x 2满足方程x 2＋mx －2＝0，所以x 1x 2＝－2.又C 的坐标为(0，1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12， 所以不能出现AC ⊥BC 的情况.(2)证明 BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 22，12，可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m ，所以AB 的中垂线方程为x ＝－m 2.联立⎩⎨⎧x ＝－m 2，①y －12＝x 2⎝⎛⎭⎫x －x 22，② 又x 22＋mx 2－2＝0，③由①②③解得x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－m 2，－12，半径r ＝m 2＋92. 故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝⎛⎭⎫m22＝3，即过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值.。
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1 山东省枣庄市第四十二中学九年级数学下册《3.5.1直线与圆的位置关系（一）》教案 北师大版 课 题： 教学目标： 1．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系． 2．探索圆的切线的性质：观察切线的性质，进一步证实观察结果，培养学生的实际观察能力、总结能力及逻辑推理能力，形成良好的数学学习习惯． 3．通过本课的学习，是学生知道知识源于生活，同时又会反作用于生活，进一步树立努力学好数学，时刻准备为社会服务的意识．
教学重点：
1．直线与圆的三种位置关系的理解． 2．切线的性质的运用． 教学难点： 切线的性质的运用． 教学准备：多媒体课件、几何画板课件． 教法学法： 本节课我采用了自主探究、合作交流相结合的教学方法，并适时利用多媒体电化教学手段． 复习点和圆的位置关系，引导学生用类比的方法来研究直线与圆的位置关系，在直线与圆的位置关系的判定的过程中，采用小组讨论的方法，培养学生互助、协作的精神． 教学过程： 一、 复习铺垫，孕育新知 师：之前我们已经学习了点和圆之间的位置关系，现在我们来简单的回顾一下．点与圆的位置关系有哪些？ 生1：点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外． 师：如何判断的？ 生2：点与圆的位置关系根据点与圆心之间的距离d与圆的半径r之间的大小关系来判定： d＜r 点在圆内； d=r 点在圆上 d＞r 点在圆外
师：也就是用d和r之间的数量关系来判断点和圆之间的位置关系．还可以怎样判断？ 学生迟疑． 设计意图：和学生共同回忆以前的知识，降低教学难度，激发兴趣，从而顺利过渡到本节知识内容，为下一个环节做好铺垫． 师：直观观察啊．同学们可不要忽略了这一点，直观的观察往往是我们解决问题的开始．今天我们将来学习一些新的知识，在开始学习之前先请同学们欣赏一下海上日出的壮美景象．
边播放录像，边解说： 呵，是太阳要出来了！渐渐地，太阳探出前额，红红的额头，只是没有光亮．它好像是很重很重似的，一点儿一点儿地从海面升起．慢慢地，一纵一纵地．太阳使劲向上升着．最后，它如释重负般地跳出海面，整个脸膛儿通红的，红得可爱．刹那间，它发出夺日的光亮， 2
强烈的阳光，射得人睁不开眼．它旁边的云彩也被镀上一层金边，好似身着红装的少女，正在翩翩起舞． 师：我们的数学就是来源于生活．在这里我们可以把太阳看成是一个圆，地平线是一条直线，日出的景象向我们完整的展示了圆与直线的位置关系．这也正是我们这节课要来学习的内容． 板书课题：直线和圆的位置关系（一） 设计意图：营造探索新知的氛围，让学生体验自主学习的快乐，并且感受数学知识无处不在． 二、 自主学习 合作探究 （一）探究一——定义 师：下面请同学们拿出练习本，画出你认为的直线和圆的不同的位置关系，画的时候注意一下顺序． 生在练习本上画图，师巡视．学生完成自己的作图后在小组内交流一下，争取获得更完整的答案． 师安排学生利用实物投影仪进行展示． 生一边展示一边解说：
师：谢谢这位同学精彩的解说和精美的绘图．（大家鼓掌）看完这位同学的作品，大家有什么想法吗？ 生一边展示自己的作品一边解说：
师：这位同学把日出的景象描述的更加完整．但我们单从圆与直线的位置关系来看是不是有重复的呢？同学们能不能把第二位同学的这七副图给分分类． 学生思考，对以上图形进行分类． 师：谁有想法？ 生：我认为①和⑦是一类；②和⑥是一类；③④⑤是一类． 师：那你分类的标准是什么？ 3
生：我是根据直线与圆公共点的个数来进行分类的．①和⑦没有公共点；②和⑥有一个公共点；③④⑤有两个公共点． 是根据学生的回答进行板书． 师：实际上这位同学的分类很好的展示了直线和圆的三中位置关系：当直线和圆没有公共点时，我们称直线和圆相离；当直线和圆有一个公共点时，我们称直线和圆相切，这唯一的一个公共点叫做切点，这条直线称为圆的切线；当直线和圆有两个公共点时，我们称直线和圆相交，这两个公共点叫做交点，这条直线称为圆的割线．现在请同学们打开课本第123页，对照课本把直线和圆的位置关系有关的定义来识记一下． 学生阅读识记． 师：请大家看着课本123页的图3-24，当直线与圆相交时，直线上所有的点与圆的位置关系如何？ 生：交点之间的点在圆内，两个交点点在圆上，交点之外的点在圆外． 师：相切时呢？ 生：只有切点在圆上，其余的点在圆外． 师：相离时呢？ 生：直线上所有的点都在圆外． 师：由此我们通过直观的观察，看直线与圆公共点的个数即定义来判断直线与圆的位置关系． 设计意图： 充分利用小组的优势使学生在互相研讨的过程中，能够准确的发现问题，总结问题． 师：现在请同学们看大屏幕． 课件出示： 练习一：头脑风暴 快速判断下列各图中直线和圆的位置关系．
师：第一题？ 生1：相离． 师：没有问题．第二题直线和⊙O1的位置关系呢？ 生2：相交． 师：是吗？直线和⊙O1的位置关系是相交吗？ 生2：是相离． 师：对了．直线和⊙O2的位置关系才是相交．第三幅图中直线AC与⊙O的位置关系呢？ 生3：相交． 师：这所谓“吃一堑长一智”，果然不假．这次同学们看的很清楚，我们平时做题时就是要这样，一定要读清题意才能下结论．那在第三幅图中，直线AB和圆的位置关系如何？ 4
生4：相切． 师：是吗？同学们都是这样想的吗？请你到大屏幕前来看一看，我再给你放大一些．
生：是相交．因为直线AB和⊙O有两个交点． 师：问题来了：怎样才能正确判读直线和圆的公共点有且只有一个？在刚才乍一看，AB和⊙O有一个交点，可是近距离放大观察却发现有两个公共点．这说明什么问题？ 生：直观观察有时候不够准确． 师：看来我们要另外找一个方法了． 设计意图：为进一步研究直线和圆的关系的判定做准备． （二）探究二——判定 师：谁有什么想法？ 生：我们可以测量一下d与r,看看它们之间的大小关系可不可以？ 师：你是怎么想到的？ 生：我是仿照点和圆的位置关系想到的． 师：非常好．这位同学有知识类比迁移的本领．类比点和圆的位置关系，我们也可以用数量关系来精确地判断位置关系．那请同学们深思一下：用哪些量之间的关系来刻画比较合适？还有怎样的数量关系可以分别刻画这3种位置关系？ 学生思考，也有学生不由自主的在同位之间小组之间进行商议． 师： 有想好的同学请举手． 生：我想是圆的大小和直线和圆的距离． 师：是的．总要两个量，圆的大小也就是圆的半径是很明显的，那另外还需要一个怎样的量才能分别刻画这3种位置关系呢？你说是直线和圆的距离，具体是指什么？我们如果要测量这个量的话，到底测量哪儿？ 师利用多媒体出示一个圆（含圆心）固定不动，而直线由下而上运动的动画，启发学生思考． 师：圆有无数个点组成组成，即便是直线和圆都不动，圆上个点到直线的距离也是不尽相同，这个量不好使用，同学们仔细观察这个动画，如果我们需要一个距离来刻画直线和圆的位置关系的话，那是那两者之间的距离？ 生：我想应该是圆心与直线之间的距离． 师：好，下面我们就来看一看圆的半径和圆心与直线之间的距离这两个量能不能担任刻画这3种位置关系的重任．也就是说它们之间怎样的数量关系可以分别刻画这3种位置关系？请同学们再来思考一下． 学生画图，思考讨论，同时教师在黑板上画图． 师：为了方便描述，我们把圆的半径记为r, 圆心与直线之间的距离记为d.．现在谁来说一下？ 5
教师根据学生的回答进行板书． 生1： 当dr时，直线与圆相离；当dr时，
直线与圆相切；当dr时，直线与圆相交． 师：有没有不同意的？没有．我们在学习点与圆之间的位置关系时知道数量关系和位置关系可以互相推导，那这儿呢？ 生：也可以． 师：那我们就可以把箭头换成是“等价于”的箭头了． 教师完善板书： 直线与圆相离 dr
直线与圆相切 dr 直线与圆相交 dr 师：我还想问一下同学们，你们是怎样发现这一结论的？ 生：我是观察的． 师：刚才我们已经认识到仅仅依靠观察还是不够的，能不能推理一下呢？ 学生沉思． 师：谁来说一下． 课件出示：如果⊙O的半径长是r,圆形O到直线l的距离为d,
生1：当dr时，直线上到圆心距离最近的点到圆心的距离都大于r，那么直线上每一个点到圆心的距离都大于r，所以所有的点都在圆外，直线与圆没有公共点，根据定义可知，直线和圆相离． 师：非常棒，这位同学的推理能力很强．同学们能不能仿照这位同学的推理过程验证一下其余的两种位置． 生尝试说明． 生2：当dr时，直线上到圆心距离最近的点到圆心的距离等于r，其余的点到圆心的距离都大于r，所以只有一个点在圆上，其余的点都在圆外，也就是说直线与圆只有一个公共点，根据定义可知，直线和圆相切． 生3：当dr＜时，直线上有两个点到圆心距离等于r，这两点之间的点到圆心的距离都小于r，这两点之外的点到圆心的距离都大于r，所以有两个点在圆上，也就是说直线与圆有两个公共点，根据定义可知，直线和圆相交． 师：这是用数量关系来刻画位置关系，那用位置关系来刻画数量关系行不行？ 生：也是可以的，只要反过来说就可以了．