二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题
一、引言
微分方程是数学中重要的一部分，广泛应用于自然科学和工程技术
领域。

在微分方程中，常系数非齐次线性微分方程是一类常见且重要
的方程类型。

本文将介绍该类型微分方程的解法以及一些例题。

二、常系数非齐次线性微分方程的定义
常系数非齐次线性微分方程可以表示为：
$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，
$f(x)$为已知函数。

三、特征方程和齐次解
对于常系数非齐次线性微分方程，首先求解相应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$我们可以得到对应的特征
方程：$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$解特征方程可以得到两个不同的特
征根$\lambda_1$和$\lambda_2$。

根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：
1. 当特征根为实数且不相等时，齐次解可以表示为：
$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

2. 当特征根为实数且相等时，齐次解可以表示为：
$$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

3. 当特征根为复数时，齐次解可以表示为：$$y=e^{\alpha
x}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$$其中$\alpha$和$\beta$为实数，
$c_1$和$c_2$为常数。

四、非齐次解
下面我们来求解常系数非齐次线性微分方程的非齐次解。

1. 方法一：待定系数法
若$f(x)$为多项式或指数函数时，可以采用待定系数法。

假设非齐次解为：$$y^*=P(x)Q(x)e^{\lambda x}$$其中$P(x)$和$Q(x)$为待定的多项式函数，$\lambda$为特征根。

2. 方法二：常数变易法
若$f(x)$为三角函数或双曲函数时，可以采用常数变易法。

假设非齐次解为：$$y^*=x^n(P(x)\cos \omega x+Q(x)\sin \omega x)$$其中$n$为正整数，$P(x)$和$Q(x)$为待定的多项式函数，$\omega$为特征根的虚部。

3. 方法三：特解叠加法
若$f(x)$为多个函数的和或积时，可以采用特解叠加法。

分别求解出对应多个函数的特解，然后将它们相加或相乘得到非齐次解。

五、例题
1. 求解方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=8e^{-2x}$$
解：首先求解齐次方程：
$$\frac{d^2y}{dx^2}+4\frac{dy}{dx}+4y=0$$特征方程为：
$$\lambda^2+4\lambda+4=0$$解得特征根为$\lambda=-2$。

由于特征根为实数且相等，齐次解为：$$y=(c_1+c_2x)e^{-2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

然后我们根据非齐次项为指数函数，采用常数变易法。

假设非齐次解为：$$y^*=x(Ae^{-2x})$$其中$A$为待定常数。

将待定解$y^*$代入原方程，整理后得到：$$A-2Ae^{-2x}+4Ae^{-2x}=8e^{-2x}$$解得$A=4$。

所以非齐次解为：$$y=(c_1+c_2x)e^{-2x}+4xe^{-2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

2. 求解方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}-3\frac{dy}{dx}+2y=6\cos(2x)$$
解：首先求解齐次方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}-
3\frac{dy}{dx}+2y=0$$特征方程为：$$\lambda^2-3\lambda+2=0$$解得特征根为$\lambda_1=1$和$\lambda_2=2$。

由于特征根为实数且不相等，齐次解为：
$$y=c_1e^x+c_2e^{2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

然后我们根据非齐次项为三角函数，采用常数变易法。

假设非齐次解为：$$y^*=A\cos(2x)+B\sin(2x)$$其中$A$和$B$为待定常数。

将待定解$y^*$代入原方程，整理后得到：$$-
3A\sin(2x)+3B\cos(2x)+2A\cos(2x)+2B\sin(2x)=6\cos(2x)$$解得$A=2$，$B=0$。

所以非齐次解为：$$y=c_1e^x+c_2e^{2x}+2\cos(2x)$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

六、总结
本文介绍了常系数非齐次线性微分方程的解法，并提供了相关例题的详细求解过程。

通过学习和掌握这些解法，读者可以更好地理解和应用于实际问题中。

微分方程作为数学的重要分支，具有广泛的应用前景，希望读者能在实践中灵活运用，进一步深入学习和研究。