常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性常微分方程解法之一pdf
常系数线性微分方程复习一、常系数线性微分方程的形式和名词解释1. n 阶常系数线性微分方程的标准形式为：)(1)1(1)(t f y a y a y a y n n n n =+′+++−−L其中 a 1，a 2，L ，a n 是常数，f (t )为连续函数2. n 阶微分方程的含有n 个独立的任意常数的解，叫做一般解（通解）。
3. 微分方程不含任意常数的解，叫做特解。
4. 把微分方程与初始条件合在一起叫做微分方程的初值问题。
初值问题的解是即满足微分方程又满足初始条件的特解。
二、常系数线性齐次微分方程的解法01)1(1)(=+′+++−−y a y a y a y n n n n L其中a 1，a 2，L ，a n 是常数，等号右端自由项为零1. 求齐次线性微分方程的特征方程（只要将齐次线性微分方程式中的 y (k )换写成 λk ，k = 0，1，L ，n ，即得其特征方程）。
0111=++++−−n n n n a a a λλλL2. 求特征方程的根（称为微分方程的特征根）。
3. 求得了方程的 n 个特征根，就可得到微分方程的n 个线性无关的一般解（根的形式不同，解的形式也不同）。
(1) 特征方程有n 个互异的实根 λ1， λ2 ，L ，λn 。
方程的通解为 t n t tc c c y n 21e e e21λλλ+++=L例 求齐次微分方程032=−′−′′y y y 的通解特征方程0322=−−λλ 求出特征方程的根3121=−=λλ方程的通解 t tc c y −+=e e231(2) 特征方程有n 个实根，但存在重根（设λ0是方程的k 重根）。
方程的通解为t n t k t k k c c t c t c c y k n 10e e )e (1121λλλ++++++=++−L L例 求齐次微分方程043=−′′+′′′y y y 的通解特征方程04323=−+λλ 求出特征方程的根21321−===λλλ方程的通解为 t tt t c c c y 23221e ee −−++=(3) n 个特征根中存在复数根的情况（举例说明）a. 存在1对不重复的复数根 a ± j β ，n -2个互异的实根。
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧
求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法和特殊技巧1、求常系数非齐次线性微分方程的特解的一般方法下面两个公式是求特解的重要公式： A 、 p 为单根时()t f p D -1对应的特解为()dt t f eeX ptpt⎰-=,即 ()()t f eDet f pD ptpt-=-11； （21）B 、p 为s 重根时()t f p D s)(1-对应的特解为()()sptsptsdt t f e eX-⎰⎰⎰=,即()()t f eDet f p D ptspts-=-1)(1。
（22）注：公式（21）也可以作为公式（22）在1=s 时的特例。
由通解公式知，求常系数非齐次线性微分方程的通解问题，就是求其对应齐次方程通解(这主要是求代数方程根的问题)和求原方程的一个特解。
我们下面只讨论如何用（21）和（22）求非齐次方程的特解。
例1：求下列非齐次微分方程的特解： 1)()tt ee x D D226-+=--； 2）()t x Dsin 12=+；3) ()221t x D D+=+； 4) ()teex D D=+-232。
解：设特解为X 1) 解1：()()()tttttteeD e eD eeD D 22222151315161---++-+-=+--()()dteeee dte eeetttttttt⎰⎰----+-+=2222335151tttttttete e te e ee 2222251516151151251101-------=----=取tttee X 25161---= 。
（注意，te 2251--将被合并在方程的通解之中）解2：()()()()()dteeeeD eeD DeeD D tttttttt⎰----++=+-+=+--23322221312161()tt t ttttttttee dt ee eedteeeeD 22222335161512121-------=⎪⎭⎫⎝⎛+-=++=⎰⎰tttee X 25161---= 。
常系数非齐次线性微分方程
一、f (x)=ex Pm (x) 型
x
2 Q ( x ) ( 2 p)Q ( x ) ( p q )Q( x ) Pm ( x ) 2 (1) 若不是特征方程的根， p q 0, 可设 Q( x ) Qm ( x ), y* Qm ( x )e x ; ( 2) 若是特征方程的单根，
p q 0,
2
2
2 p 0,
2
可设 Q( x ) x Qm ( x ), y* x Qm ( x )e .
综上讨论
x
0 不是根 k x 设 y* x e Qm ( x ) , k 1 是单根, 2 是重根
4/12
f (x)=ex Pm (x) 型, 可设 y * ( x ) x k Qm ( x )e x （k是作为特征根的重数） 待定 2x 例1 求 y 3 y 2 y xe 的通解.
f (x)=ex[Pm1(x)cosx+Pm2(x)sinx] 型
[2( A sinx B cos x ) x( A cos x B sin x )] x( A cos x B sin x ) 4 sin x A 2 , B 0.
x e [ R ( x) cosx R ( x) sinx]
(1) m ( 2) m
8 /12
k x
(1) ( 2) 可设 y * ( x ) x k e x ( Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ) （m max{ m1 , m2 }， 待定 k是 i作为特征根的重数）
( n) ( n 1)
p1 y
( n 1)
pn1 y pn y f ( x )
常系数非齐次线性微分方程
在经济学中，常系数非齐次线性微分方程可以用于 描述经济系统的变化趋势和规律。
02 常系数非齐次线性微分方 程的解法
特解的求解方法
待定系数法
通过设定特解的形式，代入原方程求解待定系数。
微分算子法
利用微分算子的性质，构造特解的形式。
复数法
通过复数域的方法，求解特解。
变参数法
通过改变参数的值，寻找满足原方程的特解。
通解的求解方法
分离变量法
通过将方程转化为分离变量的形式，求解得到通解。
变量代换法
通过引入新的变量代换简化原方程，求解得到通解。
积分法
通过对方程两边积分，求解得到通解。
通解的求解实例
实例1
求解方程$y'' + 2y' + y = e^{-x}$，通过分 离变量法得到通解$y = (C_1 + C_2x)e^{-x}$。
求解方程 $y'' - 4y = 3x$ 的特解。
求解方程 $y'' + 2y' + y = e^{-x}$ 的特解。
例1
例2
例3
03 常系数非齐次线性微分方 程的通解
通解的定义与性质
定义
常系数非齐次线性微分方程的通解是指满足该方程的任意函数，它由一个特解和对应齐次方程的通解组成。
性质
通解具有唯一性，即对于给定的非齐次线性微分方程，其通解是唯一的。
判断方法
通过解方程来判断，如果方程有唯一解，则说 明解是唯一的。
应用
在数学、物理等领域中，解的唯一性是基础且重要的概念。
解的存在性
定义
解的存在性是指对于给定的初始条件，方程是否 有解。
常系数非齐次微分方程的特解怎么设
常系数非齐次微分方程的特解怎么设常系数非齐次微分方程的特解怎么设一、引言在微积分学中，微分方程是研究变量之间关系的重要工具。
其中，常系数非齐次微分方程是一类特殊且常见的微分方程，其解法具有一定的规律性。
本文将对常系数非齐次微分方程的特解设定进行探讨，并分析其中的原理和应用。
二、常系数非齐次微分方程的定义和特点常系数非齐次微分方程是指微分方程中的系数都是常数，且方程右端有非零的常数项。
其一般形式可以表示为：```a_n*y^(n) + a_(n-1)*y^(n-1) + ... + a_1*y' + a_0*y = f(x)```其中，n为微分方程的阶数，`a_n, a_(n-1), ..., a_1, a_0`为常数，`y^(n)`表示y的n次导数，f(x)为非零的常数项。
常系数非齐次微分方程的求解主要有两个步骤：先求解对应的齐次线性微分方程，再求解非齐次线性微分方程。
其中，对于齐次线性微分方程，我们可以利用特征方程的方法求解得到其通解。
而对于非齐次线性微分方程，则需要设定特解，并将特解与齐次方程的通解相加。
三、设定特解的方法设定特解的方法主要有待定系数法和常数变易法两种。
1. 待定系数法待定系数法是常用的一种设定特解的方法，其基本思想是通过设定未知函数的形式，将特解代入微分方程，进而确定未知函数的系数。
常见的设定特解的函数形式有多项式、幂函数、指数函数、三角函数等。
以常见的一阶非齐次线性微分方程为例，形式如下：```a_1*y' + a_0*y = f(x)```我们可以设定特解的函数形式为`y_p = C`，其中C为待定常数。
将特解代入方程，得到：```a_1*0 + a_0*C = f(x)```从上式可以解得待定常数C的值，进而求得此时的特解。
对于高阶非齐次线性微分方程，设定特解的方法类似。
不同的是，在设定特解的函数形式时，需要根据方程右端的f(x)的形式选择相应的函数。
第九节 常系数非齐次线性微分方程
第九节 常系数非齐次线性微分方程㈠本课的基本要求会求自由项为多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数齐次线性微分方程的特解和通解㈡本课的重点、难点由自由项的特点去找特解的思想是本节的重点，难点是自由项为混合型时特解的求法 ㈢教学内容一．二阶常系数线性非齐次方程的解法)(x f qy y p y =+'+'' ⑶由定理3知线性非齐次方程的通解是对应的线性齐次方程的通解与其自身的一个特解之和。
而求二阶常系数线性齐次方程的通解前已解决，现在的关键在于求线性非齐次方程的一个特解，而特解显然与自由项)(x f 有关。
以下介绍当自由项)(x f 属于某些特殊类型函数时的情况。
1．自由项)(x f 为多项式)(x P e m x λ，其中λ是常数，)(x P m 是x 的一个m 次多项式： m m m m m a x a x a x a x P ++++=--1110)(可令⑶的特解x e x Q y λ)(*=，为此将*y 及x e x Q x Q y λλ)]()([*+'='，x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([*2+'+''=''代入方程⑶并消去x e λ，得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ ⑻由分析得x m k e x Q x y λ)(*=，其中)(x Q m 是与)(x P m 同次（m 次）的多项式，而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0，1或2。
上述结论可推广到n 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意特解中的k 是特征方程含根λ的重复次数（即若λ不是特征方程的根，k 取0；若λ是特征方程的s 重根，k 取s ）。
例1．求方程13452+=+'+''x y y y 的一个特解 327181543*2+-=x x y 例2．求)474322221x x ec c x y y x +-++-='+''-的通解（ 例3．求x xe y y y -=+'+''323的通解2．自由项]sin )(cos )([)(wx x P wx x P e x f n l x +λ为型利用欧拉公式，有 ]22[]sin )(cos )([)(i e e P e e P e wx x P wx x P e x f iwxiwx n iwx iwx l xn l x ---++=+=λλ x iw x iw x iw n l x iw n l e x P e x P e i P P e i P P )()()()()()(2222-+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλλλ其中i P P i P P x P i P P i P P x P n l n l n l n l 2222)(,2222)(+=-=-=+= 是互成共轭的m 次多项式（即它们对应项的系数是共轭复数），而},max{n l m =。
常系数非齐次高阶线性微分方程
整 个 链 条 滑 过 钉 子,即 x 8
2
代入上式得 t 3 ln(9 80) (秒)
g
9
2、 f (x) e x Pl (x) cos x P~n (x)sin x 型
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
解 设链条的线密度为,经过时间t, 链条下滑了x 米, 8m 10m
则由牛顿第二定律得
m d 2 x (10 x)g (8 x)g,
o
dt 2
即 x g x g , x(0) 0, x(0) 0.
x
99
解得 x(t)
1
(e
1 3
gt
1
e3
gt
) 1,
11
第二步 求如下两方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x
②
y p y q y Pm (x) e(i) x
③
设 i 是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), 则 ② 有
特解:
y1 xkQm (x) e(i) x (Qm (x)为m次多项式)
6
例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
比较系数, 得
b0
1 2
,
b1
1
因此特解为
y*
形式e为xPym*(x)e xQm (x) . 3
常系数非齐次线形微分方程
解的稳定性
要点一
稳定性定义
如果微分方程的解在某个初始条件下，对于任意小的扰动 ，其解的轨迹变化都不显著，则称该解是稳定的。
要点二
判定方法
通过分析微分方程的系数和初值条件，利用线性化方法和 Lyapunov函数等方法进行稳定性判定。
04 微分方程的应用
在物理中的应用
振荡器模型
常系数非齐次线性微分方程可以用来描述物 理中的振荡器模型，如弹簧振荡器、电磁振 荡器等。
解法
通过将高阶方程降阶，转化为多个一阶非齐 次线性微分方程，再利用一阶非齐次线性微
分方程的解法求解。
变系数非齐次线性微分方程
定义
变系数非齐次线性微分方程是指系数随x变化的非齐次线 性微分方程。
解法
通过变量替换或参数方程等方法，将变系数方程转化为 常系数方程，再利用常系数非齐次线性微分方程的解法 求解。
总结词
积分因子法是一种通过引入积分因子来化简常系数非齐次线性微分方程的方法，通过消除方程中的导 数项，将其转化为可求解的一阶线性微分方程。
详细描述
积分因子法的基本步骤是寻找一个函数，使得方程两边同乘以该函数后，导数项被消除。这个函数就 是积分因子。通过积分因子的引入，可以将高阶微分方程转化为低阶微分方程，从而简化求解过程。
非线性微分方程
定义
非线性微分方程是指未知函数及其导数之间存在非线 性关系的微分方程。
解法
非线性微分方程的解法通常需要使用数值方法或近似 解法，如迭代法、摄动法等。
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波动方程
在物理中，波动方程是一种典型的常系数非齐次线 性微分方程，可以用来描述声波、光波、水波等的 传播规律。
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常系数非齐次线性微分方程
常系数非齐次线性微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理
学等领域有着广泛的应用。
那么，常系数非齐次线性微分方程是什么呢？它的一般形式是什么样的？它的解法有哪些呢？下面我们来一一
探讨。
首先，常系数非齐次线性微分方程是指一类满足以下形式的微分方程：a1(x)y'' + a2(x)y' + a3(x)y = f(x)
其中，a1(x)、a2(x)、a3(x)是常数系数，y是未知函数，f(x)是给定的函数。
这类微分方程的特点是：未知函数的阶数不超过二阶，并且常数
系数都是常数。
其次，常系数非齐次线性微分方程的解法有多种。
对于没有特殊限制
的常系数非齐次线性微分方程，通常采用牛顿迭代法来求解。
牛顿迭
代法是利用牛顿近似定理，通过不断迭代来逼近方程的解的一种求解
方法。
但是，如果该方程具有特殊的性质，则可以使用其它方法来求解。
例如，如果该方程具有对称性，则可以使用对称法求解；如果该
方程具有线性特征，则可以使用线性特征法求解。
最后，常系数非齐次线性微分方程在数学和物理学等领域有着广泛的
应用。
在数学中，它常用于描述各种数学模型；在物理学中，它常用
于描述各种物理现象，如电学、力学、热学等。
因此，掌握常系数非
齐次线性微分方程的求解方法，对于理解和研究这些领域的知识具有
十分重要的意义。