论洛必达法则.doc

.
3
例13、 ，
但若用法则，则 不存在。
所以，洛必达法则失效时要寻求别的方法来求解极限。
连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用此法则，否则就会得出错误的结果。
例14、 （不是未定式） .
事实上， .
对 型进行转化时，哪个放分子，哪个放分母也是有讲究的。
例15、 极限反倒变复杂了，如果变换形式，
摘要
在数学分析中，求极限的方法是多种多样的，其中利用导数转化求极限是洛必达法则的一大特色。在使用洛必达法则求极限的过程中，一定要检验是否满足洛必达法则的三个条件，但法则成立的条件是比较苛刻的。实际上，洛必达法则在解决实际问题中有着广泛的作用。本文只从：①法则适用函数极限的类型；②将法则的应用推广至求数列极限以扩大法则的适用范围；③对法则的不足（失效）之处和使用误区等方面进行了探讨和研究。并将该法则推广到了多元函数及其复变函数和差分形式当中去。显示了该法则在极限计算中的重要作用。
（2） f (x)=0与 g (x)=0；
（3） ,
则 =
洛必达法则2：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：
（1） A>0，在 与 可导，且g '(x)≠0；
（2） f (x)=0与 g (x)=0；
（3）
则 =
2
洛必达法则3：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：
（1）在a的某去心邻域 可导，且g '(x)≠0；
解
例6、 .
解 .
可见利用洛必达法则能够解决很多函数极限问题，而且可以将法则和其他求极限方法结合起来同时使用。
3.
例7、求 .
解此问题可归类到 型未定式极限，但由于题目中变量为 正整数，对这些孤立点 无法求导，故不能直接利用洛必达法则求解。应先将极限式中的 换成连续变量 ，求函数 极限，再由归结原则知原数列极限值。
则 .
极限存在的因子可先从极限式中分离出来，这样求导时就变得简单些。
运用洛必达法则时常结合等价无穷小代换求极限。如例12.
3.3
近年来的高考数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高考数学为背景的命题形式成为了热点。许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问题，其中求参数的取值范围就是一类重点考察的题型。这类题目容易让学生想到用分离参数的方法，但其中有部分题在高中范围内用分离参数的方法常常需要复杂的讨论，学生掌握起来非常困难。研究发现，利用分离参数的方法难以解决这部分问题的原因是出现了 型的式子，而这就是大学中的不定式问题，解决这类问题最有效的方法就是利用洛必达法则。
解法2、 ，
若 ，则上式等于0，与已知条件矛盾；
若 ，则 是 型未定式，可用洛必达法则求解。即
.
根据以上从右至左，多次应用法则得 .
解法2求出 后，讨论了其存在性，排除了 的情形后，得出了 ；此时 是 型未定式，继续应用洛必达法则进行求解，从而避免了武断上述极限存在的错误。
该问题的关键是讨论 的存在性，只有它存在才能使用洛必达法则。
第三章
3.1
3.
在自变量的某变化过程中，对上述两种基本类型可直接应用法则求极限。
Hale Waihona Puke 例2、求数列极限 .解：先求函数极限 .取对数后的 极限为：
所以， .
注：在求极限时，如果 还是 型未定式，且 ， 仍满足洛必达法则条件，则可继续使用该法求极限。另外，要分辨是否是数列极限，是数列极限则不能直接使用洛必达法则。
例17、（2010年全国新课标理）设函数 。
（1）若 ，求 的单调区间；
（2）若当 时 ，求 的取值范围。
现用洛必达法则处理第（2）题如下：
解：（2）当 时， ，对任意实数 ，均存在 。
当 时， ，等价于 ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
知 在 上为增函数， ，知 在 上为增函数，
，所以 在 上为增函数。
例10、求极限 .
分析：这问题是 型未定式，但分子分母分别求导后，变成 ，而 与 当 时极限均不存在。但原极限存在，可用如下方法求得。
.
即此时法则失效。
例11、求
解 （振荡），法则失效，但原函数极限存在，
.
3
例12、求 .
解 ，
求导两次后极限式出现循环现象，故洛必达法则失效，不能使用。
但原式极限存在，可用下面方法求得：
对于 型，可通过通分化为 型未定式计算；
对于 ， ， 型，可先化为以e为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，转为直接求指数的极限，而指数的极限形式为 型，再转化为 型或 型计算。
例4、求 .
解：此题属 型未定式。讲原式中的 写在分母上，使其变为 型后，应用洛必达法则，即 .
例5、求 （ 型）.
例16、（2011年全国新课标理）已知函数曲线 在点 处的切线方程为 。
（1）求 的值；
（2）如果当 ，且 时， ，求 的取值范围。
现用洛必达法则处理第（2）题如下：
解：（2）由题设可得，当 时， 恒成立。
令 ，则 ，
再令 ，
则 ，易知 在 上为增函数，且 ，故当 时， 当 时， 。
所以 在 上为减函数，在 上为增函数，故 ，所以 在 上为增函数。因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
求函数极限是高等数学中的一项重要内容，是研究微积分学的工具。在众多求极限方法中，洛必达法则因其使用简单方便又可解决绝大部分极限问题而备受青眯，但如果使用不当也容易产生误区，得出错误结果。
第二章
2.
2
洛必达法则1：若函数f (x)与g(x)满足下列条件：
（1）在a的某去心邻域 可导，且g '(x)≠0；
（2） f (x)= 与 g (x)= ；
（3） ,
则 =
2
从定理知道，无论是“ ”型还是“ ”型都必须具备一个重要条件，即在自变量的同一过程中， 存在（或为 ）时，才有 存在（或为 ），且 = ，但是此条件却不便先验证后使用。所以连续多次使用该法则时，每次都要验证它是否为“ ”型或“ ”型。
其使用程序如下： ， ，…， ，若 存在（或为 ），那么才有式子 = = = = 成立，而上式成立是基于 ， ，…， 都是“ ”型未定式，而且从右到左依次相等。但为了书写方便，在应用此法求极限时，总是习惯从右到左写。这样，如果忽略了对条件的验证，就有可能出错。
所以当 时， ，当 时， ，所以 在 上为减函数，在 上为增函数，
因为由洛必达法则知， ，
所以 ，即 的取值范围为 。
本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数 分离出来，然后对分离出来的函数 求导，研究其单调性、极值。此时遇到了“当 时，函数 值没有意义”这一问题，很多考生会陷入困境。如果考前对优秀的学生讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法。
，
故由归结原则得， .
该法则尽管求极限很方便，但也并不是万能的，而且使用时也要谨慎，否则容易出错。
3.
在求极限时若能灵活地将法则和其他求极限方法结合起来使用，则计算往往变得更为简单、方便。
例8、求 .
解显然，当 时， ， ，
故 .
该法则是通过计算函数的导数，利用导数的极限求出原函数的极限，故只适用于函数极限的求解。然而在应用时，对 型及 型数列极限也可间接应用。
关键词洛必达法则极限应用推广
Abstract
In mathematical analysis, a variety of ways to limit, derivative into the limit of which is a major feature l ' hospital rule. Los Bida rule limiting process, must be tested meets the three conditions which Los Bida, but rule conditions are more demanding. In fact, Los Bida law has a broader role in solving practical problems. This article from: ① principles applicable limit of function types; ② apply the rule extension to sequence limit in order to expand the scope of the law; ③ insufficient to rule (fail) and errors are discussed and studied. And the rule was extended to functions of several variables, with its complex functions and differential forms. Shows the law is important in limit calculation.
3.
有时极限式并不满足法则条件，如用法则求解，就会得到错误的结果，主要有三种情形。
3
例9、求 .
解：事实上，此题可以直接利用函数连续性得到结果。
如果运用洛必达法则， .
由于本题不是未定式 型，而上面错误地应用了洛必达法则，从而得出错误的结论。.
3
特别当 时，函数式中含有 或 ；或当 时，函数式中含有 或 时，用法则求极限时出现极限震荡，此时法则失效。
例1、问a,b取何值时，下式成立？
=1，a>0.
解：解法1、 =
而 ，由此可以得到 ，于是b=1，所以有 ，即a=4.根据以上从左到右推导顺序.问题出在式 ，即 的存在性并没有论证.根据洛必达法则的条件，只有当 存在时，式 才能成立.这种问题往往在求极限时被忽视.因此后面的做法就是去了根基.所以上述解法1错误。