《误差理论与测量平差基础》课程学习指南
第3章：《误差理论与测量平差基础》 - 山东科技大学泰安校区
0 0 0 n n
Z [k 1 , k 2 , kn ] X k0 KX k0
n ,1
DZZ KDXX K
T
例4、根据极坐标法测设P点的坐标，设已知 点无误差，测角中误差为m，边长中误差ms， 试推导P点的点位中误差。
2 j 2 0
Qii为Li的协因数。
Q jj为L j的协因数。
Qij为Li关于L j的协因数 或相关权倒数。
1 ji Qij 2 pi 0
变换形式为：
2 i2 0 Qii 2 2 j 0 Q jj 2 ji 0 Qij
不难得出：
DXX
12 12 1n Q11 Q12 Q1n Q 2 Q22 Q2 n 21 2 2 n 2 21 0 2 Qn1 Qn 2 Qnn n1 n 2 n
山东科技大学山东科技大学资源与土木工程系资源与土木工程系误差理论与测量平差基础第六章附有参数的条件平差第二章误差分布与精度指标第三章协方差传播律及权第五章条件平差第七章间接平差第一章绪论第八章附有限制条件的间接平差第九章概括平差函数模型第十章误差椭圆第四章平差数学模型与最小二乘原理教材内容第十二章近代平差概论第一节协方差传播律第二节协方差传播律的应用第三节权与定权的常用方法第四节第五节协因数传播律第六节由真误差计算中误差及其实际应用直接观测值间接观测值函数关系具有一定精度也应该具有一定精度根据函数关系提出问题
2 (二) 选定了 0 ，即对应一组权。
（三）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较 精度的作用，一个问题只选一个0。
误差理论与测量平差课程设计指导书
课程设计（一）课程设计指导书（测绘工程专业适用）华北科技学院建筑工程学院测绘工程教研室2012年8月24日一、课程设计的目的和要求课程误差理论与测量平差是一门理论与实践并重的课程，该课程设计是测量数据处理理论学习的一个重要的实践环节，它是在学生学习了专业基础课“误差理论与测量平差基础”课程后进行的一门实践课程。
其目的是增强学生对误差理论与测量平差基础理论的理解，牢固掌握测量平差的基本原理和基本公式，熟悉测量数据处理的基本技能和计算方法，灵活准确地应用于解决各类数据处理的实际问题。
课程设计中所用的数学模型和计算方法在误差理论与测量平差课程中讲授，二、课程设计内容根据上述的教学目的和任务，本课程设计主要是要求学生完成1－2个综合性的结合生产实践的题目。
如目前生产实践中经常用到的高程控制网严密平差及精度评定，边角网（导线）严密平差及精度评定等内容。
重点培养学生正确应用公式、综合分析和解决问题的能力，以及计算能力。
在下面内容中高程控制网必做，平面控制网二者选其一即可。
1、高程控制网严密平差及精度评定根据题目要求，正确应用平差模型列出观测值条件方程、误差方程和法方程解算法方程，得出平差后的平差值及各待定点的高程平差值，评定各平差值的精度和各高程平差值的精度。
具体算例为：如图1所示四等水准网，有2个已知点，3个未知点，7个测段。
各已知数据及观测值见下表已知点高程H1=5.016m H2=6.016m 高差观测值(m)图1 高程控制网已知高差观测值(m)端点号高差观测值测段距离序号1-3 1.359 1.1 11-4 2.009 1.7 22-3 0.363 2.3 32-4 1.012 2.7 43-4 0.657 2.4 53-5 0.238 1.4 65-2 -0.595 2.6 7求各待定点的高程；3-4点的高差中误差；3号点、4号点的高程中误差，并检验是否满足精度要求！对于高程控制网平差，一般采用间接平差模型，平差参数可以选择测段观测高差值作为参数，也可以选用未知点高程作为参数，本网可采用以测段的高差为平差元素，进行平差计算，亦可采用间接平差法编写程序计算。
误差理论与测量平差基础(武测)
35 -1.7 2.4
[a ] = 28 o 47'31.3" 10 ˆ = [b ] = 47 o18 '19 .4" b 10 ˆ a=
31 -3.7 -4.6 1.8 30 -3.7 1.4 29 32 32 37 0.3 3.4 2.8 3.8
2.3 -5.6 0.8 4.3 0.4 0.8
Chapter 2. Error Distribution and Index of Precision
四、随机向量的数字特征
1、随机向量 2、随机向量的数学期望 3、随机向量的方差-协方差阵
，
• •
协方差阵的定义 协方差阵的特点 协方差阵的定义 协方差阵的特点
4、互协方差阵 • •
Chapter 2. Error Distribution and Index of Precision 例1. 在测站D上，观测了 三个方向A、B、C，得10 个测回的方向观测读数a、 b、c，试估算各个方向观 测值的方差、协方差、相 关系数。
令
⎛ k11 k12 ⎛ Z1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ k 21 k 22 ⎜Z2 ⎟ Z = ⎜ ⎟, K = ⎜ t ×1 t ×n ⎜ ⎟ ⎜ ⎜k k ⎜Z ⎟ ⎝ t1 t 2 ⎝ t⎠
+ k1n X n + k10 + k 2n X n + k 20 + ktn X n + kt 0
k 1n ⎞ ⎛ k10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎟ k 2n ⎟ ⎜ k 20 ⎟ 0 ⎟ , K1 = ⎜ ⎟ ⎟ t× ⎜ ⎟ ⎜k ⎟ ⎟ k tn ⎠ ⎝ t0 ⎠
， ，，
⎛ ∂f1 ⎞ +⎜ ⎜ ∂X ⎟dX n ⎟ ⎝ n⎠ ⎛ ∂f 2 +⎜ ⎜ ∂X ⎝ n ⎞ ⎟dX n ⎟ ⎠
误差理论和测量平差 第一讲
国土信息与测绘工程系教案（首页）班级：03测绘41、42课程：误差理论与测量平差授课日期：2005年月日第周A.提出问题，导入新课观测必然有误差，没有误差的观测数据是不存在的。
介绍本课程《误差理论与测量平差》的主要任务、在测绘科学中的地位和作用。
本次课程的内容：误差理论的基本概念、历史、当今的发展趋势。
B.授课章节名称：第一章绪论教学要点：1、误差理论的基本概念2、误差分类重点：1、误差分类2、最小二乘原理难点：1、测量条件2、偶然误差、系统误差和粗差的定义和区别C.教学过程设计测量平差的基本概念误差分类测量平差简史测量平差的任务本课程的学习方法本课程的教学用书和参考书介绍任课老师对学生的要求偶然误差的统计学性质真值的统计学意义第一讲第一章绪论大量观测数据的处理，是测量工作重要环节之一。
高斯（Gauss）和勒戎德尔（Legendre）于十九世纪初创立了解决这一问题的基本理论和方法——最小二乘法。
从那时起，两个世纪以来，随着科学与技术的不断进步，特别是近代科学与技术的发展，最小二乘法也增添了许多新的内容，理论更趋全面严谨，方法更加灵活多样，应用也更为广泛。
本课程的任务，就是介绍这一方面的有关理论和方法。
§1.1 测量平差基本概念在测量工作中，由于受测量过程中客观存在的各种因素影响，使得一切测量结果都不可避免地带有误差。
例如，对一段距离进行重复观测时，各次观测的长度总不可能完全相同。
又如，一个平面三角形三内角之和理论上应等于180°，实际上，如果对这三个内角进行观测，其三内角观测值之和一般不等于180°，而存有差异，这种差异的产生，是因为观测值中含有观测误差。
于是，研究观测误差的内在规律，对带有误差的观测数据进行数学处理并评定其精确程度等，就成为测量工作中需要解决的重要实际问题。
观测误差产生的原因很多，概括起来主要有以下四个方面。
1. 观测者由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，因此在仪器的安置、照准、读数等方面都会产生误差。
误差理论与测量平差基础第五章条件平差ppt课件.pptx
5-2 条件方程的列立
故有：
dA
1 ha
(dSa
cos CdS b
cos BdSc
)
将微分换成改正数，并将弧度换
成角度，得：
vA
ha (vSa
cos CvSb
cos BvSc
)
上式称为角度改正数方程。它具有明显的规律：
任意角度的改正数，等于其对边的改正数分别减去两邻 边的改正数乘以其邻角的余弦，然后再除以该角至其对边的
3、几种非线性条件方程的线性形式
极条件： 在图5-4中，极条件为 线性化得：
sin aˆ1 sin aˆ2 sin aˆ3 sin bˆ1 sin bˆ2 sinbˆ3
1
sin(a1 va1 )sin(a2 sin(b1 vb1 )sin(b2
va2 )sin(a3 va3 ) vb2 )sin(b3 vb3 )
dV
dV
dV
VTP VTP
2V T P
5-1 条件平差原理
2.2 求偏导
2.3 法方程 改正数方程
d 2V T P 2K T A 0 dV
AP1 AT K W 0
V P1 AT K
举例
水准网如右图：观测值及其权阵如下：
L 0.023 1.114 1.142 0.078 0.099 1.216 T m
m1
yA yˆi yB 0 i 1
5-2 条件方程的列立
➢GIS数字化数据采集中，折角均为90度的N边形的条件 方程
1、观测值
观测值为N个顶点的坐标，其个数为n=2 N。
2、必要观测个数
t=N+1
h
3、多余观测个数
r=n-t=2N-N-1=N-1 4、条件方程的类型
误差理论与测量平差基础第五章 条件平差
在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐 标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意 一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大 小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位 置基准 2个（任意一点的坐标 x0 , y0 ）、方位基准 1个（任意一条 边的方位角 0 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 S0 ）。 这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。
第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
图1中r =3· （3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
v x AB v xBC v xCA (x AB x BC xCA ) v y AB v yBC v yCA (y AB y BC y CA ) v z AB v z BC v zCA (z AB z BC z CA )
教材：5－4，5－5 习题：5.2.11， 5.2.12
第五章——条件平差
7、三角网中条件方程的列立举例
图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。 图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。
第五章——条件平差
图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆 周条件，一个极条件。 由以上三例知，三 角形只有图形条件；大 地四边形有图形条件和 极条件两类条件；只有 中点多边形才有全部的 三类条件。
（2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导
d 2V T P 2 K T A 0 dV
（3） （4） （5）
《误差理论与测量平差基础》第三章
1n 2n 2 n
§3.1 协方差传播律
设有t个 X 的线性函数： n ,1 Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t k t1 X 1 k t 2 X 2 k tn X n k t 0
E ( Z ) E ( KX k0 ) KE( X ) k0 K X k0
Z的方差为： DZZ E Z E ( Z )Z E ( Z )
E ( KX k 0 K X k 0 )( KX k 0 K X k 0 )
E K ( X X )( X X )T K T
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
E ( Z ) E ( KX K 0 ) K x K 0
D ZZ E[( Z E ( Z ))( Z E ( Z )) T ]
t ,t
E[( KX K x )( KX K x ) T ]
KE[( X x )( X x ) T ]K T
T
§3.1 协方差传播律
例3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到
三个内角L1、L2、L3，其中误差均为，将
闭合差平均分配后各角的协方差阵。 例3-5 设有函数： 已知:
Z F1 X F1 Y
t ,1 t , n n ,1
t , r r ,1
DXX、DYY 和DXY DZZ、DZX 和DZY
DYZ E[(Y E (Y ))( Z E (Z )) ]
T r ,t
误差理论与平差基础-误差椭圆.
误差理论与测量平差基础
—误差椭圆
本章教学内容
7.1 点位误差 7.2 误差曲线与误差椭圆 7.3 相对误差椭圆
1）直观：把各方向的位差清楚地图解出来了； 2）任意方向ψ上的向径0P就是该方向的位差σψ。 3）图形是关于E轴和F轴对称的。
2、误差曲线图的用途
B
A 图解点位点位中误差、任意方向上的位差等。
7.2.2 误差椭圆
误差曲线优点：
能直观地反映点位在任意方向上的位差； 能根据图找出点位在各个方向上的位差。
极大、极小方向的计算公式：
tan E
QEE Qxx Qxy
tan F
QFF Qxx Qxy
7.1.4 以E、F表示任意方向ψ上的位差
说明：任意方向ψ指以E轴为起算的方向！（与φ不同。）
E
∆F
P’
ψ
∆E
∆P
P P’’ ∆ψ P’’’
F
由上图，可得：
cos E sin F
表示的？
两点的坐标差： 坐标差的协因数：
xik xk xi yik yk yi
Qxx Qxk xk Qxixi 2Qxk xi
Qyy Qyk yk Qyi yi 2Qyk yi
Q Q Q Q Q xy
xk yk
xk yi
(Qxx Qyy ) sin 2 2Qxy cos 2
0
设φ 0为位差的极值方向，则有：
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《误差理论与测量平差基础》课程学习指南
2011.09
一、课程学习目标
通过学习牢固地掌握测量数据处理的理论和方法，熟悉三种控制网平差的全过程，为后续专业课程的学习打下扎实的基础。
二、课程知识结构
本课程由两大部分内容组成，即误差理论和测量平差基础。
误差理论部分是研究误差来源以及处理方法、研究偶然误差的统计性质、误差分布、误差的传播以及衡量精度的指标等。
测量平差基础部分处理带有偶然误差的观测值，求出待求量的最佳估值，并评定测量成果的精度。
课程学习内容分细为七块，即，误差理论、测量平差原理、测量平差方法、测量平差计算、点和线的位置误差、假设检验、近代测量平差等。
学习的层次可分为:理论、原理、方法、应用四个层次，其中，平差原理、平差方法、平差计算为测量平差学习的核心内容。
三、基本要求
1、基本知识部分：
1)误差理论部分
✧了解观测误差产生的原因；
✧掌握误差分类及其处理方法；
✧掌握偶然误差的统计特性以及误差分布；
✧掌握衡量精度的绝对指标和相对指标；
✧了解测量平差的任务和内容。
✧掌握求函数的协方差阵（协因数阵）的方法。
2)测量平差基础部分
✧掌握测量平差的数学模型（包括函数模型和随机模型）概念；
✧掌握间接平差、条件平差以及附有限制条件的条件平差函数模型建立方法；
✧了解最小二乘准则及其最小二乘估计的统计特性。
✧掌握基本平差原理、平差计算公式以及精度评定方法。
2、理论联系实际部分
1）掌握三角网、导线网、GPS网间接平差时误差方程式建立、条件平差时条件式建立方法、观测值权阵确立方法。
2）平差计算：分组平差原理、高斯约化原理。
3）掌握点位（误差椭圆）、直线元位置误差的计算。
3、近代平差部分
掌握秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。
四、学习建议
1、开始学习前预习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识。
2、对公式推导过程要有清晰的认识，熟悉各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨
公式中的符号所对应的向量。
3、每一个知识点均需做一定的习题，巩固课堂理论知识；
4、所有平差方法学习之后，同一算例采用不同方法求解，得出一致结果。
据此总结和归
纳各种平差方法的异同点。
五、各章学习重点、难点以及学习方法
第1章测量误差理论
学习目的：了解测量误差的来源和性质，掌握各种误差处理方法。
掌握协方差、协因数传
播律以及在测量中的应用。
学习重点:偶然误差的统计性质、衡量精度的数字指标。
学习难点：协方差、协因数传播律
学习方法：
1) 复习高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识，特别是误差理
论知识。
2）每一个知识点做一定的习题，巩固课堂理论知识。
第2章最小二乘平差
学习目的：了解平差函数模型和随机模型的概念和最小二乘平差准则。
熟练掌握条件平差和间接平差的平差计算以及精度评定方法；了解最小二乘估计的统计性质。
学习重点: 条件平差和附有参数的条件平差、间接平差和附有限制条件的间接平差的原理。
学习难点：条件平差和间接平差的平差计算
学习方法：
1) 复习概率与数理统计中的最小二估计相关知识。
2) 熟悉公式推导过程，注意各种平差方法中基本向量之间的关系，且明辨公
式中的符号所对应的向量。
3）每一个知识点做一定的习题，巩固课堂理论知识。
第3章测量平差基础
学习目的：了解平差函数模型和随机模型的概念和最小二乘平差准则。
熟练掌握条件平差
和间接平差的平差计算以及精度评定方法；了解最小二乘估计的统计性质。
学习重点: 条件平差和附有参数的条件平差、间接平差和附有限制条件的间接平差的原理。
学习难点：条件平差和间接平差的平差计算
学习方法：
1）注意测量平差准则在条件平差和间接平差中的应用方法。
2）每一个知识点做一定的习题，巩固课堂理论知识。
3）总结和归纳各种平差方法的异同点。
第4章测量平差计算
学习目的：掌握间接分组、条件分组平差原理以及计算方法以及法方程解算的几种方法学习重点: 间接分组、条件分组平差原理
学习难点：间接分组平差、条件分组平差
学习方法：
1）注意测量平差计算的方法和技巧。
2）每一个知识点做一定的习题，巩固课堂理论知识。
3）编写相关的平差解算程序进一步了解法方程解算的方法。
第5章测量平差计算
学习目的：掌握点位位差和任意方向位差、误差椭圆和相对误差椭圆的计算方法；了解误差椭圆和误差曲线的关系，熟练掌握误差椭圆的应用；了解直线元位置误差概
念。
学习重点: 误差椭圆及其计算
学习难点：误差椭圆和相对误差椭圆元素的计算方法
学习方法：
1）利用误差椭圆和误差曲线图形来熟悉误差曲线和误差椭圆之间的关系。
2）每一个知识点做一定的习题，巩固课堂理论知识。
第6章假设检验理论
学习目的：熟悉测绘数据处理中的常用分布和假设检验方法。
学习重点: 假设检验
学习难点：假设检验原理和方法
学习方法：
1）参考数理统计中的相关章节。
2）每一个知识点做一定的习题，巩固课堂理论知识。
第7章近代测量平差基础
学习目的：了解近代测量平差基础知识，熟悉粗差和秩亏自由网平差的处理方法。
学习重点: 秩亏自由网平差
学习难点：粗差的探测、稳健估计
学习方法：
1）读一些参考文献，扩大自己的知识面，了解近代平差数据处理研究的问题与方法。
2）认真理解秩亏自由网平差原理及其平差计算公式。