高中数学(必修1)第1章13函数的奇偶性

高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第一课时）讲课稿德阳市中江城北中学 姚志华教材：人教版全日制普通高级中学教科书（必修）数学第一册（上）一：情景设置提出问题：同学们，上一节我们学习了的函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生回答（众）：数形结合教师分析：对，我们是“利用函数的图象来理解函数的性质”，是先从函数的图象看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后利用函数解析式（从数的角度）进行研究。

这一节我们继续学习函数的另一个性质。

请大家请观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？ 把老师画下来是个“轴对称图形”，左耳与右耳是对称的，左眼与右眼是对称的，左手与手耳是对称的，这是我们初中学过的对称图形知识，那么大家还记得什么叫轴对称图形？什么叫中心对称图形？学生回答：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形。

图形围绕某一个点旋转1800得到的图形与原图形重合的图形叫中心对称图形。

大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽（演示4个图形）。

教师分析：这一章我们学习的是函数，函数的图象也是一种图形，当函数的图像也是轴对称图形或中心对称图形时，我们又如何利用函数的解析式来刻画函数图象的几何特征呢？二：基本知识（一）偶函数概念教师提问：请大家观察函数y=x 2与函数y=|x|－2的图像有什么特征？大家能否用对称的观点来研究函数的图象呢？（1）反映在形：函数图像是轴对称图形，对称轴是y 轴。

即若点（x ，f （x ））是函数y=x 2图像上的任意一点，则它关于y 轴的对称点（－x ，f （－x ））也在函数y=x 2的图像上，这样的函数称之为偶函数。

（2）反映在数上：对于函数y=x 2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=x 2…94 1 0 149…对于函数y=|x|－2有x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … f （x ）=|x|－2… －112 1 0 －1 …f （－21）=（－21）2=（21）2=f （21）；……（不完全归纳法），这里的数是取之不完的，因此与函数单调性一样，利用字母x 代替。

教师分析：我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应：O x y也就是说，若自变量x 取一对相反数，则函数值相等，即f （－x ）=（－x ）=f （x ）（这一结论是猜想出来的）。

于是得到偶函数的概念：如果对于函数y=f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=f （x ），那么函数y=f （x ）是偶函数。

任意的含义（因x 取不尽，所以利用任意来定义）【例1】已知偶函数f （x ）=ax 2+bx+3a+b 的定义域为[a －1，2a]，求函数y=f （x ）的解析式。

答案：f （x ）=31x 2+1。

变式：已知偶函数f （x ）=ax 2+bx+c ，x ∈[2a +1，a 2]，求a ，b 的值。

教师分析：大多数学生都能通过偶函数的定义出发由f （－x ）=f （x ），得b=0，而如何求a 呢？教师提问：函数f （x ）=3x 2，x ∈[0，2]是偶函数吗？为什么？ 学生回答：不是，因为函数的图象不关于y 轴对称。

教师提问：导致函数图象不关于y 轴对称的根源在哪里？ 学生回答：函数的定义域不关于原点对称。

教师分析：也就是说，偶函数的定义域有何特点？ 学生回答：必须是关于原点对称的集合。

教师点评：通过自然界的对称实例和对于函数y=x 2与函数y=|x|－2图像的直观观察，学生头脑中建立了函数奇偶性的直观表象，学生初步理解了函数奇偶性的几何意义，这样的引入有助于帮助学生找准新旧知识的连接点，对新知识的学习具有某种“召唤力”。

（二）奇函数概念教师问题：与研究偶函数概念的方法一样，请大家考察函数y=x1与函数y=x 3的图像具有怎样的对称性？学生回答：关于原点对称 提出问题：从函数函数y=x1与函数y=x 3（1）反映在数上：f （－1）=（－1）3==－13=－f （1）；f （－2）=（－2）3=－23=－f （2）；f （－21）=（－21）3=－（21）3=－f （21）……（不完全归纳法），也就是说，若自变量x 取一对相反数时，则函数值也得到一对相反数，即f （－x ）=（－x ）3=－f （x ）。

（2）反映在形上：若点（x ，f （x ））是函数y=x 3图像上的任意一点，则它关于原点的对称点（－x ，－f （x ））也在函数y=x 3的图像上，这样的函数称之为奇函数。

教师分析：我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应：于是得到奇函数的概念：如果对于函数y=f （x ）的定义域内任意一个x ，都有f （－x ）=－f （x ），那么函数y=f （x ）是奇函数。

（三）奇偶函数概念的几点说明：（1）整体性：奇偶函数是定义在整个定义域上的概念，这与函数的单调性截然不同； （2）任意性：定义中的x 必须是定义域内的任意一个值，不能通过某些值或无穷多个值来判定函数的的奇偶性；（3）定义域的对称性：从奇偶函数概念可知，若f （x ）有意义，则f （－x ）一定有意义，说明x 与－x 是同时在函数y=f （x ）的定义域内，也就是x 与－x 是成双成对出现，换句话说，函数y=f （x ）的定义域是关于原点对称。

（4）奇偶函数的分类：既然一个函数可以是奇函数，可以是偶函数，请问大家能否可以根据函数奇偶性将函数进行分类呢？（1）奇偶函数； （2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）既是奇函数又是偶函数。

教师问题：若一个函数是奇（偶）函数，请问大家怎样判定一个函数是奇函数还是偶函数呢？【例2】试判断下列函数是奇函数还是偶函数？（1）y=x 2，①x ∈R ；②x ∈[－1，1]；③x ∈[－1，1)；（2）f （x ）=xx-+11。

第一步：求函数的定义域（若关于原点对称，则转入第二步；若不对称，则是非奇非偶函数）；第二步：求f （－x ）；第三步：与f （x ）进行比较：若f （－x ）=f （x ），则函数y=f （x ）是偶函数；f （－x ）=－f （x ），则函数y=f （x ）是奇函数。

【例3】试判断下列函数是奇函数还是偶函数 （1）y=x 3+2x ；（2）y=2x 4+ 3x 2；（3）y=2x 2+1，x ∈[－1，2]； （4）y=x 2+2x +5； 答案：（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）非奇非偶函数； 【例4】试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）f （x ）=21x -+12-x ；（2）f （x ）=|x+4|+|x －4|；（3）f （x ）=x -1+1-x ；（4）f （x ）=2|2|12-+-x x 。

答案：（1）既是奇函数又是偶函数；（2）偶函数。

（3）非奇非偶函数；（4）奇函数。

引申：试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）f （x ）=a ；（2）f （x ）=|x+b|+|x －b|；（3）f （x ）=x n －x －n。

答案：（1）当a=0时，既是奇函数又是偶函数；当a ≠0时，偶函数。

（2）当b=0时，既是奇函数又是偶函数；当b ≠0时，奇函数。

（3）当n=0时，既是奇函数又是偶函数；当n ≠0时，若n 为奇数，则f （x ）为偶函数；若n 为偶数，则f （x ）为偶函数。

三：基本小结四：课外阅读数学概念的教学方法：旁敲侧击式为了让学生深刻理解“必要条件”的概念，可以让学生完成下面问题： 【例】已知函数f （x ）=121+x+a 是奇函数，则a=_________。

学生分析：学生往往会根据奇函数的充要条件f （－x ）+f （x ）=0得到a =－21。

教师分析：引导学生思考：函数f （x 的定义域中有0吗？由函数f （x ）为奇函数可以得到什么结论？学生会发现f （x ）为奇函数的必要条件是f （0）=0，于是很快得到a =－21，但必须验证函数f （x ）是奇函数。

不直接正面叙述“必要条件”，而是在解题中，从一个侧面揭示概念的重要性，让学生在两种解法中加深了对“必要条件”的理解。

五：课后补记（1）定义域的对称性是奇偶函数的本质属性之一，因为f （x ）、f （－x ）就意味着函数在x 与－x 处都有意义，换句话说，若函数y=f （x ）的定义域不关于原点对称，则y=f （x ）既不是奇函数也不是偶函数。

（2）f （－x ）=－f （x ）或f （－x ）= f （x ）是奇偶函数的另一本质属性，因为这是依据定义而可以证明的，这是函数一个非常特殊的性质，也并不是所有的函数都具有这种性质。

（3）判断函数的奇偶性的方法：①定义法；②图像法。

（二）例题补记【例1】试判断下列函数是奇函数还是偶函数：（1）y=⎩⎨⎧>+<-0)1(0)1(x x x x x x ，，；（2）y =⎪⎩⎪⎨⎧>-=<+0)1(000)1(22x x x x x x x ，，，。

答案：（1）奇函数；（2）偶函数。

引申：试判断下列函数是奇函数还是偶函数（1）已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）=x|x －2|，求当x ＜0时函数f （x ）的解析式；（2）已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x （1+3x ），求函数f （x ）的解析式。

答案：f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+0)1(000)1(3232x x x x x x x ，，，。

点拨：若函数y=f （x ）是定义在R 上的奇函数，则f （0）=0。

换句话说，奇函数图像只要与y 轴相交，交点必然过原点。

高中数学第二章《函数》第三节函数的奇偶性（第2课时）讲课稿德阳市中江城北中学姚志华一：知识回顾1：偶函数概念：如果对于函数y=f（x那么函数y=f（x）是偶函数。

2：奇函数概念：如果对于函数y=f（x）的定义域内任意一个x，都有f（－x）=－f（x），那么函数y=f（x）是奇函数。

二：基本知识（一）奇偶函数的图像特征：定理1：y=f（x）为奇函数⇔y=f（x）的函数的图像关于原点对称。

定理2：y=f（x）为偶函数⇔y=f（x）的函数的图像关于y轴对称。

分析：证明对称的基本思想：（1）同一个图形上对称的证明：证明图形上任意一点关于该点（线）的对称点也在该图形上即可；（2））两个图形上对称的证明：①证明其中一个图形上任意一点关于该点（线）的对称点在第二个图形上；②证明第二个图形上任意一点关于该点（线）的对称点在第一个图形上，当且仅当两个方面都具备时，命题才成立。

证明：设奇函数y=f（x）上的任意一点A（a，f（a）），则此点关于原点的对称点为A`（－a，－f（a）），又－f（a）=f（－a），从而A点关于原点的对称点为A`（－a，f（－a）），故A`也在奇函数y=f（x）的函数的图像上，故命题成立。