(完整版)与一元二次方程有关的面积问题(含答案)

与一元二次方程有关的面积问题（含答案）

1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽？

解：设道路为x 米宽，

由题意得：20×32﹣20x×2﹣32x+2x 2=570， 整理得：x 2﹣36x+35=0， 解得：x=1，x=35，

经检验是原方程的解，但是x=35＞20，因此不合题意舍去． 答：道路为1m 宽．

2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少 解：设纸盒的高是xcm （40-2x)(25-2x)=450 (2x-55)(x-5)=0

x1=27.5(不符合题意，舍去）,x=5 答：纸盒的高是5cm

3、如图所示（1）小明家要建面积为150m 2

的养鸡场，鸡场一边靠墙，另一边用竹篱笆围成，竹篱笆总长为35m 。若墙的长度为18m ，鸡场的长、分别是多少？

（2）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场最大面积是多少平方米？ (3) 如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到250 m 2

吗？通过计算说明理由。

（4）如果墙的长为15m ，鸡场一边靠墙，竹篱笆总长为45m ，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2吗？通过计算并画草图说明。

（2）设围成的鸡场长为m 米，则宽为米2

45m

- 则围成的鸡场面积为：245m m -⋅ =m m 2

45

212+

- =8

2025

)245(212+

--m

所以2

45

=

m 时，面积有最大值 但墙长15米,所观m 能取的最大值为15米

当m=15时，鸡场面积最大为15⨯15=225（平方面） （3）不能

理由：设围成的鸡场长为y 米，则宽为米2

45y

- 由题意得：2502

y

-45y =⋅ 整理得：0500452=+-y y

解得

25y 2021==，y 均大于15米，不合题意

所以，围成的鸡场的面积不能达到250 m 2

（本题也可以将鸡场面积表示出来，用配方法求出最大值是小于250 m 2

的，从而判断不能围成鸡场面积是250 m 2

）

（4）能， 理由：由（3）得1002

y

-45y =⋅ 整理得0200452=+-y y

解得：

5y 4021==，y

因为墙长为15米 所以y=5

当长为5米时，可围成的鸡场的面积能达到100 m 2

4、已知：如图所示，在△ABC 中，∠C=900

，BC=7cm, AC= 5 cm,.点P 从点A 开始沿AC 边向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点C 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.

（1）如果Q 、P,分别从C 、A,同时出发，那么几秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2

？ （2）如果Q 、P,分别从C 、A,同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于5cm ？ （3）在（1）中，△PCQ 的面积能否等于7 m 2

?说明理由 解：（1）设x 秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2，由题意得：

42)5(2

1

=⋅-x x ，解得1,421==x x ，不合题意，舍去

7821>=x Θ

1=∴x

所以1秒后，△PCQ 的面积等于4 m 2

（2）设，y 秒后 PQ 的长度等于5cm

2225)2()5(=+-∴y y

解得

2y 021==（不合题意，舍去），y

所以，2秒后， PQ 的长度等于5cm

（3）在（1）中，若△PCQ 的面积能否等于7 m 2

，则

72)5(2

1

=⋅-x x 整理得：0752=+-x x 03714)5(2<-=⨯⨯--=∆Θ ∴原方程无解

∴在（1）中，△PCQ 的面积不能等于7 m 2

5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

①如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长是多少米？

②能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

6、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。 ①要使这两个正方形的面积之和等于17平方厘米，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？ ②两个正方形的面积之和可能等于12平方厘米吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由； ③要使这两个正方形的

面积之和最小，两段铁丝的长度应该是多少？

（3）由（1）知，两个正方形的面积和为

22)5(x x -+=2

25

)25(22+-x

0)25

(2≥-x Θ

2

2525值为时，面积和最小，最小=∴x

所以，剪成的两段铁丝的长都为10cm 时，两个正方形的面积和最小，最小值为

2

25

平方厘米 7、在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B

沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△PBQ 的面积等于8 m 2

？

P

Q

C

B

A

D