一元二次方程应用图形面积问题1ppt课件
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一元二次方程与实际问题----面积问题 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
知识讲解
解法二:设正中央的矩形两边别为9xcm，7xcm.依题
意得
9x·7x=
3 4
×27×21
27
27
x2 = 4
解得
33 x1= 2
33 x2= - 2 (舍去）
33
21
故上下边衬的宽度为:
27-9x 2=
27-9· 2 2
=
54-27 3 4
≈1.8
故左右边衬的宽度为:
21-7x 2=
21-7·
九年级-上册-21.3.5
一元二次方程与实际问题 -----面积问题
难点名称：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次 方程的数学模型。
1
目录
CONTENTS
导入
知识讲解
课堂练习
小节
2
导入
我们知道议程是刻画实际问题中数学关系的有效数学模型，所以 我们经常用议程来分析解决实际问题，在以前的学习中，我们已 经了解并掌握了怎样用一元二次方程、二元二次方程组及分式方 程等去解决实际问题，那么今天，我们就尝试着用一元二次方程 去分析解决实际问题。
33 2
2
=
42-21 4
3
≈1.4
课堂练习
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边
从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s
的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q
出发几秒后可使△PCQ的面积为9 cm²？
7
课堂练习
例1：如图所示，在△ABC中，∠C=90°， AC=6cm，BC=8cm.点P沿AC边
从点A向终点C以1cm/s的速度移动；同时点Q沿CB边从点C向终点B以2cm/s
冀教版九上数学 一元二次方程的应用 第课时 面积问题
解：设截去的小正方形的边长 x cm. 则底面的长和宽
分别为 (80－2x) cm、(60－2x) cm，则列方程，得 (80－2x)(60－2x)＝1500. 解得 x1＝55，x2＝15. 检验：当 x1＝55 时，长为 80－2x＝－30 cm
宽为 60－2x＝－50 cm．
想想，这符合题意吗？不符合． 舍去． 当 x2＝15 时，长为 80－2x＝50 cm 宽为 60－2x＝30 cm． 符合题意. 所以 x＝15．
(20 - x)(32 - x) = 540. 整理得 x2 - 52x + 100 = 0， 解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2. 答：道路的宽为 2 米.
3. 如图，要设计一个宽 为 20 cm，长为 30 cm 的矩形图
案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为
2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三
第二十四章
九年级数学上（JJ） 教学课件
解一元二次方程
24.4 一元二次方程的应用
第1课时 面积问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.复习一元二次方程的解法. 2.学会用一元二次方程解决几何图形问题. (重点)
导入新课
观察与思考 问题1 解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
当堂练习
1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周
镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，
如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的
宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ B ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0 B．x2 + 65x - 350 = 0
一元二次方程应用题(几何图形面积问题)
解题思路
假设长方形的长为l，宽为w， 通过列方程建立方程组，然后 求解得出面积。
解答与解析
通过解方程组，得出长方形的 长、宽和面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
实例3 ：三角形面积问题
问题提出
已知直角三角形的斜边长度为c， 某一直角边的长度为a，求三角形 的面积。
解题思路
根据已知条件，利用勾股定理和三 角形面积公式建立方程，然后求解 得出面积。
一元二次方程应用题(几 何图形面积问题)
本演示将介绍一元二次方程的应用，特别是在解决几何图形面积问题时的应 用。通过精彩的实例和深入的讲解，帮助你全面理解和掌握这一知识点。
一元二次方程介绍
简要介绍一元二次方程的概念、形式和解法方法，以及元二次方程解决几何图形的面积问题，通过代入、求解方程， 计算各种图形的面积。
解答与解析
通过解方程和应用三角形面积公式， 得出三角形的面积的具体数值，详 细解析计算过程和答案。
总结与实践建议
总结一元二次方程在解决几何图形面积问题中的应用要点，并提供一些建议和实践步骤，以帮助你更好地掌握这一 知识。
实例1：正方形面积问题
1
问题提出
给定正方形的对角线长度为d，求正方形的面积。
2
解题思路
假设正方形的边长为x，利用勾股定理建立方程，然后求解得出面积。
3
解答与解析
通过解方程，得出正方形的边长和面积的具体数值，详细解析计算过程和答案。
实例2 ：长方形面积问题
问题提出
已知长方形的周长为P，求长方 形的面积。
一元二次方程应用__图形面积问题
练习：如图，小华从市场上买回一块矩形铁皮，他将此 矩形铁皮的四个角落各剪去一个边长为1m的正方形后， 剩下的部分刚好能围成一个容积为15m³的无盖长方体箱 子，且此长方体箱子的底面长比宽多2m。已知购买这种 铁皮每平方米需20元，算一算小华购回这张矩形铁皮共 花了多少钱？
解：设无盖长方体箱子宽x米，则长（x 2）米
解：设金色纸边的宽为xcm,则挂图长为 (80+2x)cm、宽为(50+2x)cm
由题意得：（80 2x）(50 2x) 5400
4x2 260x 1400 0
整理得： x2 65x 350 0
(x 5)(x 70) 0 x1 5, x2 70(不合题意舍去 ) 故金色纸边的宽为5cm.
(1)
解2：解1计算时分块较多，还要注意重叠部分要减去。 我们可以利用图形的平移，对图形进行重新整理，如右图。
解：设图中道路的宽为x米， 由题得：（32 x）(20 x) 540
整理得： x2 52 x 100 0 (x 2)(x 50) 0
解得：x1 2, x2 50(不合题意，舍去 ) 故道路宽为 2米.
变式2： 如图,在一块长92m,宽60m的矩形耕地上挖 三条水渠，水渠的宽度都相等。水渠把耕地分成面 积均为885m2的6个矩形小块，水渠应挖多宽？
解：设水渠宽为x米，
根据题意得： (92 2x)(60 x) 8856
整理得：x2 106 x 105 0
(x 1)(x 105) 0
x1 1, x2 105(不合题意，舍去 ) 故水渠应挖1m宽.
由题： x( x 2) 1 15
则矩形铁皮面积为： （5 2）（3 2） 35(平方米)
整理得： x2 2x 15 0
华师大版数学九年级上册2第1课时用一元二次方程解决图形面积问题同步课件
D.x2+3x+16=0
2.如图,某小区计划在一块长30 m、宽20 m的长方形ABCD土地上修建三 条同样宽的甬道,使其中两条与AB平行,另一条与AD平行,其余部分种植花 草.要使每一块花草的面积都为78 m2,那么甬道的宽应设计成多少米?若设 甬道的宽为x m,将6块草地平移拼成一个长方形,其一边长为(30-2x)m,另一 相邻边长为 (60-x) m,根据长方形的面积公式可列方程(30-2x)(60-x)=78×6, 化成一般情势为 x2-35x+66=0 ,解得x1= 2 ,x2= 3 (不合题意,舍去).
第22章 一元二次方程
22.3 第1课时 用一元二次方程解决图形面积问题
例题讲授 类型一：平面几何图形问题 例1 学校生物小组有一块长32 m、宽20 m的矩形实 验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、 横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为540 m2， 小道的宽应是多少？
20
x x
32
根据题意得AP= xcm,PC=(6-x)cm,CQ=2xcm,有
1 6 x2x 9
2
解得 x1=x2=3 答：点P，Q出发3s后可使△PCQ的面积为9cm².
5.如图21-3-10,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住 房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙 的一边留一个1 m宽的门.当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍 面积为80 m2?
课堂小结
几何图形与 一元二次方 程问题
几何图形 类型
常见几何图形面积 是等量关系.
围挡问题 动点问题
彩条/小路宽 度问题
常采用图形平 移能聚零为整 方便列方程
分析：问题中没有明确小道在实验田中的位置，
人教版九年级数学上册课件第3课时 用一元二次方程解决几何图形问题
当堂练习
5. 如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其 中有两横、两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之 一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一 位）？
①
②
③
④
当堂练习
解：设横彩条的宽度为3x cm.则竖彩条的宽度为2x cm.
根据题意，得30×20× 1 =30×20-(30-4x)(20-6x). 4
课堂小结
✓ 归纳总结 ✓ 构建脉络
课堂小结
常见几何图形面积 几何图形 是等量关系
几何图形与
一元二次方
程问题
课本封面问题 常采用图形
平移能聚零
类
型
彩条/小路宽 度问题
为整方便列 方程
动点面积问题
当堂练习
(2)对.两个正方形的面积之和为： x2+(10-x)2=2x2-20x+100
=2(x2-10x+25)+50=2(x-5)2+50 ∵无论x取何值，2(x-5)2总是不小于0的. ∴2(x-5)2+50≥50.即这两个正方形的面积之和总是 不小于50cm2的，所以不可能等于48cm2. 小峰的说法是对的.
当堂练习
✓ 当堂反馈 ✓ 即学即用
当堂练习
1. 从正方形铁片的边截去2cm宽的一个长方形，余下的
面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（D ）
A.8cm B.64cm
C.8cm2 D.64cm2
2. 直角三角形的两条直角边的和是14cm,面积是24cm2.
则其两条直角边长分别是 6cm 、 8cm .
整理，得12x2-130x+75=0.
一元二次方程的应用(几何图形) 课件 2022—2023学年青岛版数学九年级上册
4.7一元二次方程的应用 （几何图形）
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道
九年级上册
学习目标：
1、会列出一元二次方程解决简单的实际问题（几何问题）， 培养应用意识和分析问题、解决问题的能力。 2、能根据问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
1.将一根长64cm的铁丝剪成两段,再将每段分别围成正方形(如图),
如果这两个正方形的面积和等于160cm2,求两个正方形的边长。
解:设温室宽为x m，长为3x m,那么蔬菜种植区的长为(3x-
6)m，宽为(x-2)m 根据题意，得：（3x-6）(x-2)=300 整理,得 x2 -4x-96=0
解得 x1 =12,x2=-8
经检验,当温室的宽是12m时，符合题意.
当x =12时,3x=3×12=36.
答：温室宽度为12m时，蔬菜种植面积300m2.
当x -x =16-4 =12.
答：两个正方形的边长分别是12cm和4cm.
2. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长25m), 四边用木栏围成,木栏长40m.
(1)设养鸡场宽为x m， 则长为（__4_0___2__x_）__m__,_即__(_2_0_-__x_)_m；
经检验,当道路的宽是2m时，符合题意.
答：道路宽度为2m时，绿化面积7644m2.
课本152页练习1
4.天泉村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长宽的比为3：1,在温室内,沿前后两侧
内墙各留3m的空地放置工具，其他两侧内墙各留1m宽通道.当矩形温室的长与宽多少时,
蔬菜种植区的面积是300m2?
等量关系式:蔬菜种植面积=300m2
同步117页跟踪3
3.如图，在边长100m,宽80m的矩形场地上修建两条宽度相等且互
相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7644m2,则道
一元二次方程的应用--面积问题课件
（2）、可列方程为， x(18 x) 90 （3）、另设面积为 s 化简为：x 2 18x 90 0 324 360 36 0 所以方程无解， 即不能围成长方形
可列方程为， s x(18 x) s ( x 9) 2 81 81 smax 81 最大面积是 81
返回
解：设垂直于墙壁的一边长为x 米， 则平行于墙壁的一边长为（36－2x）米。
根据题意得: (36 2 x) x 160
18米
x1 8
x2 10
答（略）
x
x （2）考虑到墙长，所以 x1 8 应舍去。
（3）设垂直于墙的一边长 为xm， 则平行于墙的一边为（ 36 6 - 2 x）m 可列方程为 x(42- 2x) 160 解得：x1 16, x2 （舍去） 5 当x 2 5时， 42 - 2 x 32 18，所以舍去。 答：（略）
思考： 用一块长28cm、宽 20cm的长方形纸片，要 在它的四角截去四个相等的小正方形，折成 一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 180cm２，求截去的小正方形的边长。
解法（参考）
解：设长为xm，则宽为（ 18 - x）m （ 1 ）、可列方程为， x(18 x) 32 化简为：x 2 18x 32 0 解得：x1 16, x2 2(舍去) 答：围成长方形的长为 16m，宽为2m。
解法（参考）
探究二
某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20 米的长方形场地上修筑若干条一样宽的道路, 余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现 在有四位学生各设计了一种方案(如图),根据 各种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分 别是多少?使图中的草坪面积为540米2。
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8
x x
5
（8－2x）Biblioteka x１８m2x
5
• 6.如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个 封面长宽比例相同的的矩形，如果要 使四周的彩色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上下边衬等宽，左右 边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度（精确到0.1cm）
6
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相 等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形 的边长。
3
• 5.、如图，在宽为20米，长为32米的矩形地 面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为51 平方米，求道路的宽．（部分参考数 据：322 1024，522 2704 ，482 2304 ）
4
例1.镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为 （5－2x）m,得
10
• 9.如图，AB=6厘米，BC=8厘米，点P 从A点开始，在AB边上以1厘米/秒的速 度向B移动，点Q从B点开始，在BC边 上以2厘米/秒的速度向C点移动.如果点 P点Q同时出发，经几秒钟，使△PBQ的 面积等于8平方厘米？
C
8cm
Q
P A
6cm
B 11
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依题意得：60- 2x40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40 经检验, x2 40不合题意,应舍去.
x 10
答：截去正方形的边长为10厘米。 7
1.有一块长方形的铁片，先把他的四角 各截去一个边长为5厘米的正方形，然 后折起来，做成一个没盖的盒子。已知 铁片的长是宽的2倍，做成的盒子的容 积为1500立方厘米，求铁片的长和宽。
D5 5
H
E 5 A5
5C 5
G
F
5
5B
8
[例4] 学校要建一个面积为150平方米的 长方形自行车棚，为节约经费，一边利 用18米长的教学楼后墙，另三边利用总 长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的 长和宽.
9
• 8.如图3-9-13，所示一个农户用24m长 的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等 且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个 鸡舍的总面积为36平方米,求每个鸡舍 的长和宽.
一元二次方程的应用 ——图形面积问题
1
例. 如图，在长为40米，宽为22米的 矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂 直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪 的面积为760平方米，道路的宽应为多 少？
40米
22米
2
• 2.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长 为40米,宽为26米的矩形场地上修建三 条同样宽的甬路,使其中两条与边平行, 另一条与边垂直,其余部分种草,若使每 一块草坪的面积都为144平方米,求甬 路的宽度?
x x
5
（8－2x）Biblioteka x１８m2x
5
• 6.如图，要设计一本书的封面，封面 长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个 封面长宽比例相同的的矩形，如果要 使四周的彩色边衬所占面积是封面面 积的四分之一，上下边衬等宽，左右 边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽 度（精确到0.1cm）
6
例2．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相 等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形 的边长。
3
• 5.、如图，在宽为20米，长为32米的矩形地 面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分）， 余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为51 平方米，求道路的宽．（部分参考数 据：322 1024，522 2704 ，482 2304 ）
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例1.镜框有多宽?
一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的 长为8m，宽为5m．如果镜框中央长方形图案的面积为 18m2 ，则花边多宽? 解：设镜框的宽为xm ，则镜框中央长方形图案的长 为（8－2x）m, 宽为 （5－2x）m,得
10
• 9.如图，AB=6厘米，BC=8厘米，点P 从A点开始，在AB边上以1厘米/秒的速 度向B移动，点Q从B点开始，在BC边 上以2厘米/秒的速度向C点移动.如果点 P点Q同时出发，经几秒钟，使△PBQ的 面积等于8平方厘米？
C
8cm
Q
P A
6cm
B 11
解：设截去正方形的边长x厘米，
则图中虚线部分长等于_6_0__2_x_厘米，
宽等于___4_0_-_2_x__厘米
依题意得：60- 2x40- 2x 800
解得：x1 10, x2 40 经检验, x2 40不合题意,应舍去.
x 10
答：截去正方形的边长为10厘米。 7
1.有一块长方形的铁片，先把他的四角 各截去一个边长为5厘米的正方形，然 后折起来，做成一个没盖的盒子。已知 铁片的长是宽的2倍，做成的盒子的容 积为1500立方厘米，求铁片的长和宽。
D5 5
H
E 5 A5
5C 5
G
F
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5B
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[例4] 学校要建一个面积为150平方米的 长方形自行车棚，为节约经费，一边利 用18米长的教学楼后墙，另三边利用总 长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的 长和宽.
9
• 8.如图3-9-13，所示一个农户用24m长 的篱笆围成一排一面靠墙、大小相等 且彼此相连的三个矩形鸡舍.要使三个 鸡舍的总面积为36平方米,求每个鸡舍 的长和宽.
一元二次方程的应用 ——图形面积问题
1
例. 如图，在长为40米，宽为22米的 矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂 直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪 的面积为760平方米，道路的宽应为多 少？
40米
22米
2
• 2.如图3-9-1所示,某小区规划在一个长 为40米,宽为26米的矩形场地上修建三 条同样宽的甬路,使其中两条与边平行, 另一条与边垂直,其余部分种草,若使每 一块草坪的面积都为144平方米,求甬 路的宽度?